Questo sito si serve dei cookie per fornire servizi. Utilizzando questo sito acconsenti all'utilizzo dei cookie - Maggiori Informazioni - Acconsento
Atik
Coelum Astronomia
L'ultimo numero uscito
Leggi Coelum
Ora è gratis!
AstroShop
Lo Shop di Astronomia
Photo-Coelum
Inserisci le tue foto
DVD Hawaiian Starlight
Skypoint

Vai indietro   Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia > Il Mondo dell'Astronomo dilettante > Rudi Mathematici
Registrazione Regolamento FAQ Lista utenti Calendario Cerca Messaggi odierni Segna come letti

Rispondi
 
Strumenti della discussione Modalità  di visualizzazione
Vecchio 04-08-10, 17:29   #11
Rob77
 
Messaggi: n/a
Predefinito Re: Coordinate Polari - Integrazione

Questa discussione mi stimola un passo ulteriore

Abbiamo trattato il caso dell'ellisse e della circonferenza.
Come si generalizzerebbe invece per una curva in cui le coordinate cartesiane dipendono sia dal raggio (r) che dall'anomalia (fi) ?

Appena ho tempo provo (cioè mai!)
  Rispondi citando
Vecchio 05-08-10, 00:14   #12
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 7,290
Predefinito Re: Coordinate Polari - Integrazione

Quote:
Rob77 Visualizza il messaggio
Abbiamo trattato il caso dell'ellisse e della circonferenza.
Come si generalizzerebbe invece per una curva in cui le coordinate cartesiane dipendono sia dal raggio (r) che dall'anomalia (fi) ?
a) Occhio ai simboli!
Sei partito tu col chiamare "alfa" l'anomalia.
Nelle mie risposte ho mantenuto questo simbolo: con "alfa" ho sempre indicato l'anomalia in coordinate polari.
La variabile "phi" l'ho introdotta nel dare le equazioni parametriche delle coordinate cartesiane dell'ellisse nella forma:
x = a sin(phi);
y = b cos(phi).

b) Guarda che anche nel caso dell'ellisse in coordinate polari, come per qualsiasi curva (tranne soltanto il cerchio nel caso particolarissimo di avere il centro del cerchio nell'origine del riferimento) le coordinate cartesiane dipendono sia dal raggio-distanza r che dall'anomalia "alfa". Infatti puoi sempre porre:
x = r cos(alfa); y = r sin(alfa).
oppure, cambiando come ho fatto io l'anomalia da alfa a Pi_greco/2 – alfa,
x = r sin (alfa); y = r cos(alfa).
Nel caso dell'ellisse, conviene considertare le equazioni parametriche delle coordinate cartesiane.
In generale, una volta che la curva sia nota, il raggio-distanza r dipende dall'anomalia alfa con una precisa legge (caratteristica per la curva in questione); e allora è generale alche il fatto che ci si possa ricondurre ad esprimere le coordinate cartesiane x ed y in funzione della sola anomalia (e di qualche altro parametro costante dipendente dalla curva in questione, come il semidiametro massimo a e l'eccentricità e nel caso dell'ellisse).

c)Tranne il caso di segmenti (di retta) e di archi di cerchio, l'integrale di ds (ossia la lunghezza di un arco di curva) non viene da una primitiva di quelle abituali.
Se già è di matematica abbastanza 'avanzata' il caso dell'ellisse (e in generale delle coniche) ... figuriamoci per curve più difficili!

d) Al giorno d'oggi, disponendo di computer, il problema di trovare in pratica la lunghezza di un arco di curva qualsiasi, è ridotto ad una banalissima routine di integrazione numerica.
Se infatti conosci la curva, vuol dire che conosci le posizioni dei suoi punti (con sufficiente accuratezza). In qualsiasi modo tu esprima queste posizioni (coordinate cartesiane o polari ... e persino in forma di tabella a passo molto piccolo, sia per curve "empiriche" –come un profilo di un oggetto corporeo da fabbricare ... che stavo per dire "manufatto" ma, ahimè, non c'è quasi più nulla di "manufatto", ossia di "fatto a mano"! – sia per curve teoriche – logaritmi, funzioni iperboliche, ecc. come era per gli antichi , Erasmus compreso, fino a 35-40 anni fa –), se le conosci sai anche fare le distanze tra punti prossimi. Per buone accuratezze ci sono trucchi per ottenerle anche con distanze tra punti consecutivi non così piccole da poter sostituire l'archetto di curva con la sua corda (per esempio approssimando l'archetto di curva ad un archetto di cerchio, di parabola, ... di qualche curva di cui sai calcolare la lunghezza esatta di un archetto o almeno approssimarla meglio di quanto non la approssimi la sua corda).

e) Morale: distinguiamo la matematica astratta da quella applicata!
Nel primo caso ... esercitiamo la logica (e anche questo è umanesimo!) e godiamo di certe eleganze e di certe proprietà che io non ho pudore di qualificare "estetiche" come si usa dire per ogni "arte". Nel secondo caso ... cerchiamo la via più facile (o meno difficile!) per raggiungere il risultato accettabile rispetto al problema effettivo. [In questo gioca un ruolo da protagonista l'accuratezza richiesta dallo stesso problema].
E ricordiamoci che un buon ingegnere non è mai un ... "vile meccanico" (di manzoniana memoria: lungi da me l'offendere i tecnici e gli ingegneri meccanici!). Il suo scopo è ottimizzare la soluzione di un problema pratico: ed ovviamente, logica e conoscenza matematica favoriscono enormemente (quasi sempre) il procedimento di ottimizzazione. Al massimo o sono superflue (perché il problema è facile e\o già risolto da altri) o ancora [i.e. allo stato presente dell'arte] non sono sufficienti alla soluzione del problema. Comunque, logica e conoscenza matematica non guastano mai!
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»
Erasmus ora è in linea   Rispondi citando
Links Sponsorizzati
Astrel Instruments
Vecchio 05-08-10, 07:43   #13
Piotr
Moderatore
 
L'avatar di Piotr
 
Data di registrazione: Oct 2005
Ubicazione: Provincia di Torino
Messaggi: 762
Predefinito Re: Coordinate Polari - Integrazione

Gran bel post, Erasmus.
E' un'ottima sintesi del ruolo e della missione della matematica: cose che, curiosamente, non vengono quasi mai trattate e spiegate in nessun corso scolastico.
__________________
Mi contraddico? Ebbene, mi contraddico!
Sono un universo, contengo miracoli.
(Walt Whitman)
Piotr non in linea   Rispondi citando
Vecchio 05-08-10, 16:03   #14
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 7,290
Predefinito Re: Coordinate Polari - Integrazione

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
[...]
Ho scritto su ciò una pagina apposta per te, Rob77.
Mizarino la troverà orripilante. In effetti lo è!
Ma, come esercizio, serve a verificare che, in coordinate polari r(α), il differenziale ds della lunghezza di un arco di curva è effettivamente:
ds = √[(dr/)^2 +r ^2] · .

La pagina ad hoc sta qua:
=> Lunghezza d'un arco di ellisse in coordinate polari.
Porco mondo, mannaggia il sito di hosting imageshack.us/
Ho scoperto or ora che il link della mia bellissima PNG non funziona più!
Cliccandoci sopra, Safari apre una "dialog box" con la scritta:
Safari non può collegarsi al server.
Safari non può aprire la pagina “http://img688.imageshack.us/img688/2...inatepola.png” perché non è possibile connettersi al server “img688.imageshack.us”.

Vediamo se riesco a riparare senza usare l'hosting.
Ho convertito in WORD (estensione ".doc") la pagina in questione (originalmente in AppleWorks) e l'ho messa dentro ad un file ZIP. Questo viene di appena 48 kByte scarsi (contro i 285 kByte della precedente immagine PNG della stessa pagina).
Vediamo ora se lo spazo riservato agli allegati è sufficiente per allegare questo file ZIP.
...
Niente!
Manovrando nella "gestione allegati", c'è sì scritto che il formato ZIP è caricabile fino a 97 kiloByte per documento: ma dopo aver cliccato su "scegli il documento", averlo scelto e aver visto appare il nome di questo, appena si clicca sul bottone a destra "carica", appare sottostante al nome del documento la scritta: «Quota forum eccedente di 45.3 KB».
Dunque, siccome il documento è di 47.5 kByte, lo spazio residuo per il forum è di appena di 2,2 kByte !

Adesso provo a cambiare forum: vado nel "Bar dell'Osservatorio" e guardo se si può allegare là ...
...
Niente: anche là mi si dice la stessa cosa: «Quota forum eccedente di 45.3 KB».

Piotr: com'è sta storia?
Prova ad informarti.
Che senso ha che ci sia una meravigliosa gamma di formati allegabili se poi non c'è spazio per allegare niente più?
-------------------
Faccio un altro tentativo più strano: cerco di allegare il documento in un altro forum e poi di richiamarlo qua con un link al relativo URL.
...
Fatto!
Vediamo un po':
=>Ellypse_polar_co-ordinates.zip, (... spazioforum.net/forum/index.php?act=attach&type=post&id=1960)
...
O:K.!
Funziona alla grande!
Cliccando sulla scritta rossa, mi si scarica direttamente il documento sulla "scrivania" (= desk-top per i sudditi di Bill Gates) . Anzi: si apre da solo lo ZIP, viene estratto il documento WORD (che resta sulla "scrivania") e sparisce il file ZIP (che mi ritrovo nel "cestino" senza avercelo buttato io).

Adesso torno indietro, edito il 'post' da cui mi sono citato e aggiungo questo link ...

Ciao, ciao.
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»
Erasmus ora è in linea   Rispondi citando
Vecchio 05-08-10, 16:41   #15
Mizarino
Utente Super
 
L'avatar di Mizarino
 
Data di registrazione: May 2004
Messaggi: 9,724
Predefinito Re: Coordinate Polari - Integrazione

Tanto per provare,ho cliccato sul tuo link in rosso, ma dopo un po' mi è uscito un messaggio di errore ed una richiesta di username e password ... Sono scappato subito ...
Mizarino non in linea   Rispondi citando
Vecchio 05-08-10, 18:03   #16
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 7,290
Predefinito Re: Coordinate Polari - Integrazione

Quote:
Mizarino Visualizza il messaggio
Tanto per provare,ho cliccato sul tuo link in rosso, ma dopo un po' mi è uscito un messaggio di errore ed una richiesta di username e password ... Sono scappato subito ...
Porco mondo, è vero!
Io sono un "coordinatore" ( – là si dice così invece di "moderatore" –) di una sezione di "Spazioforum.net" (ovviamente del forum «Unione Europea: io la vorrei federale, e tu?»).
Ho provato a scaricare anch'io da qua dopo aver fatto il "LogOut" da Spazioforum.net; e allora si è aperta una pagina di Spazioforum con l'avviso che non ho il permesso di fare quel che ho richiesto ... con l'ovvio invito a fare il LogIn o ad iscrivermi se ancora non l'ho fatto

E stramannaggia Bill Gates e la sua Microsoft
Non posso usufruire dello spazio-web concessomi da Telecom "Alice" perché non posso entrare nel mio spazio riservato (nemmeno per leggere la bolletta!): comunque segua le istruzioni (con password con tanto di caratteri speciali, come quelli suggeriti dalla stessa pagina di Alice) mi si ripete di continuo che la password non va bene perché deve contenere caratteri speciali!
Ho invano contattato la Telecom. Mi è stata data per email una password provvisoria per entrare (fatta tutta di numeri): sono entrato e di colpo sono stato invitato a cambiare quella password con una personalizzata, necessariamente con caratteri non solo di cifre. Si è ripetuto allora il solito scherzetto cinese: la mia password non va mai bene comunque sia fatta perché "deve contenere caratteri speciali"
Allora sono rientrato con la password numerica provvisoria datami per email dalla Telecom. Sembrava funzionare ma .... di colpo mi è comparso l'avviso che "la sessione viene sospesa per accertamento" ...
Insomma: adire al mio spazio, cui avrei diritto per contratto, mi è impossibile!
Gratta, gratta (sempre per contatto telefonico con gli operatori Telecom), si viene a scoprire che il mio tentativo di accesso si intoppa perché il tutto funziona con un software speciale Microsoft, (che va benissimo per gli utenti in Microsoft, che Dio la strapiombi!).
Ma dove stanno le norme "anti-trust"?

Mi rassegno: rifaccio l'hosting in "imageshack.us/" con altro nome dello stesso documento.
Sperando che il link duri.
....
Fatto!
Ho corretto anche l'URL nel link del messaggio originale.

Eccolo qua ripetuto, ma con le parole del nuovo nome:
=> Ellipse's polar co-ordinates.png
http://img826.imageshack.us/img826/1...oordinates.png

Bye bye
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»
Erasmus ora è in linea   Rispondi citando
Links Sponsorizzati
Telescopi Artesky
Vecchio 05-08-10, 19:36   #17
Luciano Monti
Utente Senior
 
Data di registrazione: Apr 2007
Ubicazione: Milano
Messaggi: 1,108
Predefinito Re: Coordinate Polari - Integrazione

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Safari non può collegarsi al server.
Safari non può aprire la pagina “http://img688.imageshack.us/img688/2690/ellisseincoordinatepola.png” perché non è possibile connettersi al server “img688.imageshack.us”.
Calma Erasmus, calma! Ci sono 1000 motivi per cui puoi non raggiungere una pagina: magari e' solo colpa del server, che e' temporaneamente giu'. Io ho appena provato a scaricare il tuo paper, e funziona tutto a dovere...

Ciao,
Luciano
Luciano Monti non in linea   Rispondi citando
Vecchio 06-08-10, 09:16   #18
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 7,290
Predefinito Re: Coordinate Polari - Integrazione

Quote:
Luciano Monti Visualizza il messaggio
Calma Erasmus, calma! Ci sono 1000 motivi per cui puoi non raggiungere una pagina: magari e' solo colpa del server, che e' temporaneamente giu'. Io ho appena provato a scaricare il tuo paper, e funziona tutto a dovere...

Ciao,
Luciano
Stamattina si è rimesso a funzionare anche il vecchio link.

Però ... tu, Luciano, da che link hai provato a scaricare?
Se sei andato al 'post' #7 dove l'ho messo la prima volta ... non hai letto che ho cambiato URL dopo aver rifatto l'hosting con un altro nome?

Il vecchio link sta nella citazione del 'post' #7 che mi son fatta nel 'post' #14; e anche nel brano del "dialog-box" di Safari (sempre nel 'post' #14) citato ora da te (nel 'post' #17).
[Cliccando sull'indirizzo URL che compare anche nella tua citazione di Safari, viene "404 Not Found"; ma è solo perché il link si trascina anche le virgolette dopo l'estensione .png. Cancellando le virgolette, ossia col vecchio URL esatto, vedo che questo si è rimesso a funzionare].

Beh: una volta che 'sto documento l'avete scaricato ... fate uno sforzo e leggetelo pure, dai!
-----------------------------
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 07-08-10 14:11.
Erasmus ora è in linea   Rispondi citando
Vecchio 06-08-10, 11:13   #19
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 7,290
Predefinito Re: Coordinate Polari - Integrazione

La lunghezza dell'arco della sinusoide y = sin(phi) tra 0 e Pi-greco è uguale a metà della circonferenza dell'ellisse di parametri:
a = √2; b = c = 1
e quindi eccentricità e = 1/√(2)

Sviluppando l'integrale ellittico di 2 specie in serie di potenze di r = [e*sin(phi)]^2 per calcolare questa lunghezza, diciamola L(π), si trova
L(π) = √(2)*π*{1 – Somma per n da 1 a oo di [1/(2n-1)]*[(2n)!]^2/[(2^n)*n!]^4}=
= 3.82019779...

Facciamo una stima grossolana della stessa lunghezza nel modo seguente.
Consideriamo i punti di intersezione dell'ellisse con le perpendicolari all'asse principale per i fuochi. Siano H e K quelli dalla stessa parte rispetto all'asse principale e H' e K' quelli dall'altra parte. Confondiamo l'arco a curvatura bassa tra H e K con un arco di cerchio con raggio di curvatura del cerchio osculatore nel punto medio tra H e K (cioe di coordinate x = 0 e y=b): raggio che vale (a^2)/b. Confondiamo l'arco a curvatura alta tra H' e H con un arco di cerchio con raggio di curvatura del cerchio osculatore nel punto medio tra H' e H (cioè di coordinate x = –a e y = 0): raggio che vale (b^2)/a.
Ricordiamoci che la nostra ellisse ha a = √(2) e b = 1.
Il raggio di curvatura (a^2)/b in [0,b] vale dunque 2 e il raggio di curvatura (b^2)/a in [-a,0] vale 1/√(2) = √(2)/2
Approssimiamo la mezza circonferenza d'ellisse con questi due surrogati di arco di cerchio, e diciamo L questa lunghezza approssimativa.
Fatti i conti, risulta L = 4,20139...

Se adesso facciamo il rapporto con la misura esatta (che era 3,82019779...) troviamo
L/L(π) = 1,0099...
Ossia un errore per eccesso minore di 1%
Dunque, spezzando l'ellisse in alcuni archi ed approssimando questi ad archi di cerchio si ha una buona stima della sua lunghezza.
-----
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 07-08-10 14:16.
Erasmus ora è in linea   Rispondi citando
Vecchio 06-08-10, 12:32   #20
Luciano Monti
Utente Senior
 
Data di registrazione: Apr 2007
Ubicazione: Milano
Messaggi: 1,108
Predefinito Re: Coordinate Polari - Integrazione

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Stamattina si è rimesso a funzionare anche il vecchio link.

Però ... tu, Luciano, da che link hai provato a scaricare?
Se sei andato al 'post' #7 dove l'ho messo la prima volta ... non hai letto che ho cambiato URL dopo aver rifatto l'hosting con un altro nome?

Il vecchio link sta nella citazione del 'post' #7 che mi son fatta nel 'post' #14; e anche nel brano del "dialog-box" di Safari (sempre nel 'post' #14) citato ora da te (nel 'post' #17).
L'ho scaricato dal link che ho citato, ovvero dal link del post 14.

Ciao,
Luciano
Luciano Monti non in linea   Rispondi citando
Rispondi


Links Sponsorizzati
Geoptik

Strumenti della discussione
Modalità  di visualizzazione

Regole di scrittura
Tu non puoi inserire i messaggi
Tu non puoi rispondere ai messaggi
Tu non puoi inviare gli allegati
Tu non puoi modificare i tuoi messaggi

codice vB è Attivo
smilies è Attivo
[IMG] il codice è Attivo
Il codice HTML è Disattivato


Tutti gli orari sono GMT. Attualmente sono le 16:45.


Powered by vBulletin versione 3.6.7
Copyright ©: 2000 - 2022, Jelsoft Enterprises Ltd.
Traduzione italiana a cura di: vBulletinItalia.it