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Vecchio 30-06-10, 15:06   #1
Flashgordon
Utente Junior
 
Data di registrazione: Sep 2002
Messaggi: 63
Predefinito Matematica degli Antichi

Salve!
Visto che non esiste nessuna discusione che tratti della mia curiosita' , mi azzardo ad aprire questa ( Archeomatematica mi sembrava troppo pretenziosa ..) , per non disturbarne altre in atto.
Io in matematica ho superato approssimativamente il terzo livello, quando la fine del gioco era lontanissima .....

La mia curiosita' e' questa : ho trovato questa frase in un sito abbastanza autorevole, il cui url conteneva ...cnr...irrsae ... :

'' '' I Sumeri erano eccellenti matematici. Erano in grado di calcolare le potenze di un numero, di estrarne la radice, e sapevano risolvere equazioni anche con due incognite.Scrivevano i numeri già dal 5000 a.C. e, quando furono conquistati da una popolazione semitica e fu fondato l'Impero Babilonese, il loro sistema di numerazione non subì mutamenti. '' ''

Che ne dite ?
A me risulterebbe che i Sumeri usassero un sistema di numerazione additivo che si trasformo' in posizionale , base 60, solo secoli piu' tardi, dopo ''l'arrivo'' dei Babilonesi . Anche supponendo che fosse al livello di quello ( orribile, diceva all'incirca Erasmus , non ricordo bene ) dei Greci , avrebbero potuto fare tutto quanto ho trascritto prima tra virgolette?

Ciao a tutti
Flashgordon

PS: se il moderatore trovasse che questo argomento sia ''fuori luogo'' , ha facolta' di farne cio' che vuole , magari dopo avermi risposto ...
Flashgordon non in linea   Rispondi citando
Vecchio 30-06-10, 16:39   #2
Cocco Bill
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Data di registrazione: Feb 2010
Ubicazione: Firenze
Messaggi: 18,741
Predefinito Re: Matematica degli Antichi

Dubito che fossero in grado di calcolare la radice di un numero. Anche gli antichi Greci non ci riuscivano, è un concetto che è stato introdotto più tardi. Ai greci mancava poco, stavano iniziando il calcolo infinitesimale e calcolare alcune serie.
Cocco Bill non in linea   Rispondi citando
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Vecchio 01-07-10, 09:55   #3
Piotr
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Data di registrazione: Oct 2005
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Messaggi: 762
Predefinito Re: Matematica degli Antichi

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Flashgordon Visualizza il messaggio
PS: se il moderatore trovasse che questo argomento sia ''fuori luogo'' , ha facolta' di farne cio' che vuole , magari dopo avermi risposto ...
Il moderatore non torva affatto fuori luogo l'argomento, anzi: lo trova molto interessante e appropriato.

Ciò non toglie che l'argomento sia anche difficile: non so quasi nulla del Sumeri, ma mi sento di dissentire da quanto dice Cocco Bill: l'estrazione di radici non richiede necessariamente il calcolo differenziale, ed è appurato che durante l'ellenismo i Greci fossero in grado di estrarre radici cubiche (che servivano per calcoli balistici sulle catapulte), e in genere riuscivano a farlo per via grafica.

Esiste un libro assolutamente stupefacente su quello che riuscivano a fare gli "antichi" del primo Ellenismo (III, II secolo a.C.): si intitola "la Rivoluzione Dimenticata" di Lucio Russo. Vi assicuro che è impressionante.
__________________
Mi contraddico? Ebbene, mi contraddico!
Sono un universo, contengo miracoli.
(Walt Whitman)
Piotr non in linea   Rispondi citando
Vecchio 01-07-10, 12:22   #4
Mizarino
Utente Super
 
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Messaggi: 9,724
Predefinito Re: Matematica degli Antichi

Faccio la doverosa premessa che di quali fossero gli strumenti matematici degli antichi io so solo che la Geometria Euclidea prende il nome da Euclide ...

Detto questo, a quanto detto da Piotr aggiungerei una considerazione:
una volta che uno abbia il "concetto" di radice quadrata o cubica, ovvero abbia bisogno di trovare, dato un numero N, quale numero, moltiplicato una o due volte per sé stesso, dà N, il problema, ai fini pratici, è piuttosto elementare.

Mettiamo che ci bastino 3 cifre significative, e di volere la radice cubica di 671.
Ora 8*8*8 fa 512, più piccolo di 671 e 9*9*9 fa 729, più grande di 671. Fin qui ci si arriva anche a mente.
Ovvio che la soluzione deve essere compresa fra 8 e 9. Questo lo capisce anche la portinaia del matematico Sumero ...
Ora proviamo la cosa più scema e brutale possibile, cioè quella che pomposamente viene chiamata "interpolazione lineare".
Fra 729 e 512 ci sono 217 unità, mentre fra il nostro numero 671 e 512 ci sono 159 unità. Magari la nostra soluzione sta fra 8 e 9 nello stesso rapporto di 159/217 (che fa 0,73) ...
Diciamo allora che la nostra soluzione sia 8,73.
Di quanto abbiamo sbagliato ?
La soluzione corretta (espressa con 3 cifre significative) è 8,75.
La soluzione approssimata è sbagliata di due parti su 875, cioè dello 0,23%
Mica c'è da arrabbiarsi molto se si scopre che l'appartamento, che doveva essere di 100 metri quadri, si rivela in realtà di 99,8 metri quadri ...

Si potrebbe far anche di meglio, osservando che 10*10*10 fa 1000, e che fra 1000 e 729 ci sono 271 unità ... ma la interpolazione quadratica (ovvero alle "differenze seconde") la lascio fare ad Erasmus, se ne ha voglia ...
Mizarino non in linea   Rispondi citando
Vecchio 01-07-10, 13:24   #5
aleph
Utente Esperto
 
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Messaggi: 2,114
Predefinito Re: Matematica degli Antichi

Personalmente non sono affascinato in maniera particolare dalla la matematica degli antichi, perché la cosa che mi colpisce di più nella matematica nel suo insieme è la capacità di astrazione.

E la matematica degli antichi, a parte il protoconcetto di numero e di figura geometrica, come astrazione non mi pare abbia prodotto poi tanto.

Traccerei una linea di demarcazione tra la matematica antica e quella moderna, con la nascita dello zero e la conseguente matematizzazione dell'infinito, e da allora le cose (almeno per i miei gusti) si sono fatte molto più interessanti...
aleph non in linea   Rispondi citando
Vecchio 01-07-10, 18:45   #6
Erasmus
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Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 7,290
Predefinito Re: Matematica degli Antichi

Dei Sumeri non so assolutamente niente!

Sul mondo ellenistico nel suo massimo fulgore (tempi di Eratostene d'Alessandria, contemporaneo di Archimede ed in corrispondenza epistolare con costui) ... bisogna fare due osservazioni.
a) Cosa sapevano fare i greci ... di pende da chi, da quali "greci" o "ellenizzati".
Per esempio, Archimede ne sapeva una più del diavolo.
Forse perché, essendo siciliano, aveva anche una cultura fenicia – siamo nel massimo della potenza di Cartagine di cui Siracusa è alleata – e una mentalità strettamente "numerica" e pratica, oltre che "geometrica". Ad un matematico greco "puro" poteva bastare il sapere che la lunghezza d'una circonferenza è proporzionale al sua diametro, che l'area di un cerchio è proporzionale al quadrato del raggio e che la costante di proporzionalità è la stessa nei due casi, senza interessarsi a come migliorare la precisione del valore di questa costante. Ma ad Archimede (molto "ingegnere" oltre che matematico) non bastava. Lui voleva sapere il valore entro una determinata incertezza. Gli estremi dell'intervallo di fiducia (per usare parole moderne) Archimede li dava in termini di frazioni. Per esempio, è noto che Archimede ha stabilito che Pi-Greco è minore di 22/7 e maggiore di 223/71.
223/71 < π < 22/7
Per arrivare a questo risultato, ha fatto (sempre approssimando i numeri irrazionali con opportuni intervalli di fiducia delimitati da frazioni molto prossime) una barca di radici quadrate. Quelle per trovare i perimetri dei poligoni regolari di 12, 24, 48 e 96 lati inscritti nel cerchio di diametro 2, cioè le radici:
r1 = √(3);
r2 = √(2+r1)
r3 = √(2+r2)
r4 = √(2+r3)
r = √(2 – r4).
e quelle per trovare (sempre con Pitagora) i perimetri dei poligoni regolari di 12, 24, 48, 96 lati circoscritti allo stesso cerchio di diametro 2.
Infatti Archimede è partito dall'esagono che ha il lato lungo come il raggio del cerchio in cui è inscritto e 2/√(3) volte la lunghezza del raggio del cerchio cui è circoscritto.
E sapeva che (dicendo ... quel che sapeva in notazione moderna), se 2a è il lato di un poligono regolare inscritto in un cerchio di raggio r, il lato del poligono regolare con numero doppio di lati inscritto nello stesso cerchio è
√[2r^2–2r·√(r^2 – a^2)].
Sapeva anche che, se 2a è il lato d'un n-agono regolare inscritto nel cerchio di raggio r, il lato 2b dell'n-agono regolare circoscritto allo stesso cerchio è:
2b = 2a· [r/√(r^2 – a^2)].

b)E' vero che gli antichi mediterranei, ai loro tempi al top della civiltà, non sapevano rappresentare i numeri in modo da facilitare i calcoli (come avviene con la rappresentazione decimale "posizionale"). Ma è anche vero che in tutte le lingue indo-europee i numeri (aggettivi numerali cardinali) sono ... intrinsecamente in base 10.
Ciò facilita enormemente il calcolo dei prodotti usando la proprietà associativa della somma e distributiva del prodotto rispetto alla somma.
Voglio dire: un autodidatta "figo" come Archimede, se deve fare 254 * 83, pensa 254 come somma 200 + 50 + 4 e 83 come somma 80 + 3.
Quindi fa:
80*(200 + 50 + 4) + 3*(200 + 50 + 4) =
= (80*200 + 80*50 + 80*4) + (3*200 + 3* 50 + 3*4)
E siccome la sua lingua è intrinsecamente decimale, per lui fare 80*200 e 80*50 non è molto più difficile di fare 8*2 e 8*5.
Insomma: fa le stesse cose che facciamo noi quando eseguiamo un prodotto nel metodo che ci ha insegnato la maestra!

-------------------------------
Veniamo al discorso della radice cubica.
La cosa è ... "mooolto" difficile per un greco puro che affronta la faccenda geometricamente! Anzi: è impossibile con riga e compasso!

Ma non per un ellenista, smaliziato nell'arte puramente aritmetica (come un Archimede).

Prendiamo il 671 proposto da Mizarino e ... immaginiamo come avrebbe ragionato Archimede.
a) Siccome 8*8*8 = 512 < 671 < 729 = 9*9*9, bisogna cercare due frazioni, n1/d1 e n2/d2 prossime abbastanza per la precisione che si vuole e tali che
(n1/d1)^3 < 671 < (n2/d2)^3.
b) "Euristicamente" metto 8 = N*8/N e provo a fare il cubo di N*8/(N–1).
Analogamente, metto 9 = M*9/M e provo a fare il cubo di M*9/(M+1).
Se non va bene provo con altri numeri con frazioni del tipo 8*N/(N-d) e 9*M/(M+d).

Per tentativi (questo vuol dire "euristicamente", dal greco "eurizo" = sperimento, trovo) cerco fin che trovo numeri N, M e d che mi vadano bene.

b) Forse 1/11 di 8 mi fa avvicinare abbastanza. Vediamo quanto:
(1+1/11)*8 = 12*8/11 = 96/11.
(96/11)*(96/11)*(96/11) = (n1/d1)*(n1/d1)*(n1/d1) = 884736/1331;
671*1331 = 893101 > 884736.
L'errore sul cubo è appena (893101–884736)/1331 = 8365/1331 =6 + 379/1331 < 6 +1/3
Minore dell'1%. Sulla radice cubica ... è una miseria (circa 0.3%).
OK: 96/11 mi sta bene!

c) Proviamo aumentare 8 di 2/21 di 8 ... in cerca di una radice cubica "per eccesso".
(1+2/21)*8 = 23*8/21 = 184/21:
(184/21)*(184/21)*(184/21) = 6229504/9261:
671*9261= 6214131 < 6229504
L'errore sul cubo sarebbe
(6229504–6214131)/9261 = 15373/9261 = 1 + 6112/9261 < 1+2/3 ... piccolissimo!
OK:*mi sta bene 184/21.

Riassumendo:
96/11 < "radice cubica di 671" < 184/21,
ossia
2016/231 < "radice cubica di 671" < 2024/231
Una per difetto e l'altra per eccesso: ma con uno scarto di appena 8/231 una dall'altra.
Magari un 2022/231 va da Dio!

Ecco: Archimede direbbe:
«La radice cubica di 671 è compresa tra 96/11 e 184/21»
(Naturalmente, direbbe i numeri nella sua lingua o li scriverebbe nella rappresentazione "greca" a lui abituale).
------
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Erasmus
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«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 02-08-10 12:38.
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Vecchio 01-07-10, 18:51   #7
Cocco Bill
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Predefinito Re: Matematica degli Antichi

Non sono d'accordo. Una cosa è approssimare la radice, un'altra è la radice. Le radici sono numeri reali e all'epoca dei Sumeri, nonchè a quella degli antichi Greci i numeri reali non si conoscevano.
Cocco Bill non in linea   Rispondi citando
Vecchio 01-07-10, 22:12   #8
Piotr
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Predefinito Re: Matematica degli Antichi

Cocco, il problema è allora che non li conosciamo neanche noi.
Sappiamo cosa siano gli interi, i razionali, e anche gli irrazionali. Ma questo lo facevano anche loro: la scoperta dell'irrazionalità della diagonale del quadrato è famosissima, proprio perchè gettò nel panico la scuola pitagorica.

Loro non consideravano un numero irrazionale un vero numero, siamo d'accordo: ma non è che non sapessero consocerlo con buona approssimazione, come dal bell'esempio fatto da Erasmus.

E noi, uomini moderni,sappiamo definire un reale, ma non per questo lo conosciamo: usiamo simboli specifici e lo manovriamo, ma dal punto di vista del conoscerlo, se per conoscere si intende conoscere tutte le sue cifre decimali, allora...
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Vecchio 02-08-10, 09:55   #9
MikyMate
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Predefinito Re: Matematica degli Antichi

Aleph, non sono daccordo... Ritengo che gli antichi avessero una grande capacità di astrazione, questo osservando tutti i risultati da loro prodotti, nonostante moltissimi avessero sistemi numerici totalmente inadeguati... ogni tanto continuo a chiedermi come diavolo facessero i romani a fare i conti con quei diavoli di numeri...
Sarà ora che mi documento un po', è un argomento che mi interessa, ma devo ammettere di essere ancora estremamente ignorante...
Comunque, tornando, per esempio ai greci, credo che abbiano fatto anche molto di più di ciò che si potesse aspettare da loro, dopo è logico, le cose vengono fuori un po' alla volta, non mi aspetto certo un'astrazione come quella attuale, principalmente per il fatto che a loro non serviva...
Anche i numeri reali, l'esigenza di usarli è arrivata col tempo... in natura i numeri reali non esistono (siamo daccordo su questo?), cosa se ne facevano?...
__________________
"Che le stelle ti guidino sempre, e la strada ti porti lontano"

-Cieli Sereni-
MikyMate non in linea   Rispondi citando
Vecchio 02-08-10, 12:58   #10
Mizarino
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Predefinito Re: Matematica degli Antichi

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Cocco Bill Visualizza il messaggio
Non sono d'accordo. Una cosa è approssimare la radice, un'altra è la radice. Le radici sono numeri reali e all'epoca dei Sumeri, nonchè a quella degli antichi Greci i numeri reali non si conoscevano.
Nemmeno il mio computer li conosce. Fa tutto quello che mi serve (che è molto più di quanto servisse ai Greci) usando solo numeri razionali in base 2, di solito con 53 cifre binarie ...
Mizarino non in linea   Rispondi citando
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