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Vecchio 21-05-22, 12:57   #3501
aspesi
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

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astromauh Visualizza il messaggio
Ci vorrebbe una simulazione, ma non ho il PC con me.

Ho iniziato a calcolare quante sono le probabilità di fare il giro delle quattro capitali con pochi viaggi.

Capitali

1 e 2 sicuramente bene

Fail 1/3
Ok 2/3

Fail 2/3
Ok 1/3

__________________



Ciao astromauh
Ci sei...

Soluzione di chi ha proposto il quiz:

Detto V il numero medio di viaggi per visitare tutte e quattro le città, abbiamo V=V0+V1+V2+V3 dove Vi è il numero medio di viaggi da fare per visitare una nuova città dopo averne già visitate i.

Quindi V0=V1=1

Per calcolare V2 e V3 possiamo usare la formula p(1−p)^(k−1) cioè quella che determina la probabilità di avere un successo al k-esimo tentativo dopo averne falliti k−1 (e dove p è la probabilità di avere successo).

La media di quella serie è 1/p quindi siccome è p2=2/3 e p3=1/3 ne consegue che V2=3/2 e V3=3,
concludendo che V=1+1+3/2+3=13/2


aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 22-05-22, 21:35   #3502
Erasmus
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Il mese prossimo ho intenzione di visitare 4 grandi capitali europee, Madrid, Parigi, Londra e Berlino.

Però non ho stabilito un calendario preciso, sceglierò casualmente, di volta in volta, l'ordine delle città, cioè quale città visitare dopo quella appena vista.

Purtroppo, ho la memoria corta e quindi quando dopo aver visitato una certa città deciderò la prossima meta, terrò in considerazione tutte le altre 3, anche se le ho già visitate.
Mi spiego meglio: supponiamo che la prima tappa del viaggio sia Parigi; dopo avervi soggiornato, sceglierò la prossima meta fra le altre 3, poniamo sia Londra; dopo aver visitato anche Londra, non sceglierò la successiva destinazione solo fra Madrid e Berlino (come sarebbe logico), ma includerò anche Parigi tra la prossima tappa tra cui scegliere. E così via...

Mediamente, quanti viaggi dovrò fare (cioè qual è il valore atteso) per visitare tutte e 4 le città?
A me il quiz non pare moltro difficile, semprecché il mio ragionamento sia corretto.
Aspetto dunque che aspesi – il mago della probabilità – e pure Miza – l'Illustrissimo [quasi] infallibiile – valutino il mio modo di ragionare.
Se ho capito bene, può succedere che si ripetano le visite alla stessa capitale perché, dopo il primo viaggio in visita ad una certa precisa capitale, c'è sempre un terzo di probabilità di andare a visitare una delle altre 3 prescindendo dall'averla già visitata o no.

a) La probabilità di fare solo 4 viaggi a me pare essere (2/3)·(1/3) =2/(3^2).
Infatti dopo la visita di due capitali c'è probabilità 2/3 di visitarne una terza e, se ciò succede, probabilità 1/3 di visitare la quarta.
Facciamo che la lista delle visite in ordine temporale sia del tipo (a, b, c, d).
La probabilità di fare più di 4 viaggi è dunque 7/9.
Il numero di viaggi può essere un numero intero qualunque maggiore di 4 ma con probabilità sempre minore al crescere del numero stesso.

b) Supponiamo che i viaggi siano 5.
Vuol dire che una delle 4 capitali è visitata due volte .
In questo caso
• dopo la visita della seconda città c'è probabilità 1/3 di ri-visitare la prima e, se succede, 2/3 di visitarne una terza e,s e succede, 1/3 di visitare la quarta.
Quindi (1/3)·(2/3)·(1/3) = 2/(3^3) = 2/27 è la probabilità dello schema (a, b, a, c, d).
• Ma lo schema potrebbe essere anche (a, b, c, a, d).
Dopo le visite a due diverse capitali. la provbavbilità di visutarne una terza è 2/3 e, se succede, la probabilità di rivusitare una già visitata è 2/3 e, se ciò succede, la probabilità di vcisitare la quarta è 1/3, Quindi la probabilitrà dello schema (a, b, c, a, d) è (2/3·(2/3)·(1/3 = (2^2)/(3^3) = 4/27.
Complessivamente la probabilità di fare 5 viaggi è dunque 2/27 + 4/27 = (2 + 4)/(3^3).

c) Cerco la probabilità di fare 6 viaggi.
Gli schemi possono essere del tipo:
(a, b, a, a, c, d) con probabilità (1/3)·(1/3)·(2/3)·1/3 = 2/(3^4);
(a, b, a, c, a, d) con ptobabilità (1/3)·(2/3)·(2/3)·1/3 = 4/(3^4);
(a, b, c, a, a, d) con ptobabilità (2/3)·(2/3)·(2/3)·1/3 = 8/(3^4).
Complessivamente la probabilità di fare 6 viaggi è (2 + 4 + 8)/(3^4).

d) Cerco la probabilità di fare 7 viaggi.
Gli schemi possibiliu sono:
(a, b, a, a, a, c, d) con probabilità (1/3)·(1/3)·(1/3)·(2/3)·1/3 = 2/(3^5);
(a, b, a, a, c, a, d) con probabilità (1/3)·(1/3)·(2/3)·(2/3)·1/3 = 4/(3^5);
(a, b, a, c, a, a, d) con probabilità (1/3)·(2/3)·(2/3)·(2/3)·1/3 = 8/(3^5);
(a, b, c, a, a, a, d) con probabilità (3/3)·(2/3)·(2/3)·(2/3)·1/3 = 16/(3^5).
Complessivamente, la ptobabilità di fare 7 viaggi è (2 + 4 + 8 +16)((2^5).

e) Tra 4 e 7 viaggi ho trovato le probabilità:
p(4) =2/9; p(5) = (2+4)27; p(6) = (2+4+8)/81; p(7) = (2 + 4 + 8 + 16)/243.
Queste sono tutte del tipo:
Codice:
                        n–3
                          2^k
                        k=1
p(n viaggi) = –––––––
                       3^(n–2)
Penso allora che questa legge vada bene per un numero n qualunque di viaggi.
Mi conforta la verifica che la somma di tali probabilità per n da 4 a ∞ fa proprio 1.
Infatti, sommando i ternini con lo stesso numeratore trovoo:
2/9 + 2/27 + ... + 2/(3^k)+ ... = (2/9)·(1+1/3+1/9 + ...) = (2(9)·(3(2) =1/3.
4/27 + 4/81+ ... +4/)3^k)+ ... = (4/27)·(1+1/3+1/9 + ...) = (4(27)·(3(2) =2/9.
8/81+8/243+ ... +8/)3^k)+ ... = (8/81)·(1+1/3+1/9 + ...) = (8(81)·(3(2) = 4/27.
...
{(2^k)/[3^(k+1)]} ·(1+1/3+1/9 + ...) = (2^k)/[3^(k+1)]·(3/2) = [2^(k–1)]/3^k.
...
Sommando queste infinite somme e raccogliendo da tutte il fattore 1/3 trovo:
(1(3)·[1 + 2/3+ 4/9 + 8/27+...+ (2/3)^k + ...] = (1/3)·[1/(1 – 2/3)] = (1/3)·(3/1) = 1.

Il cercato "valore atteso" del numero di viaggi –diciamolo n – è dunque:
Codice:
                      ∞      n–3
              n =  n ·  (2^k)/[3^(n–2)]
                    n=4     k=1
Non ho ancora fatto il calcolo numerico di questa serie.
Adesso vado a farlo (con Grapher sull'altro computer) ... e vedremo se combacia con quello che uscirà dalla simulazione di astreomauh.
Intanto aspesi potrebbe controllare confrontando con la soluzione sua o di altro "mathematicus" dilettante.
–––––

–––––––––––
[Occhio! Scrivo sopra il P.S. che ho già scritto qui sotto.
Per cancellare la scritta che il sistema aggiunge in calce al testo quando si modifica, ho cancellato il messaggio (che avevo già modificato inserendo un P.S.) e poi l'ho rimesso di nuovo. Ma il primo messaggio l'avevo già inviato circa un'ora fa.]

P.S. (Editando)
Sono antato sull'altro computer a fare il calcolo con Grapher.
Naturalmente la somma per n da 4 a ∞ non si può fare!
Ma la somma da 4 a r con r crescente, cresce avvicinianandosi sempre piiù a 6,5 e, siccome il Grapher sa scrivere solo le primwe 16 cifre dopo la virgola, andando di 10 in 10 trovo
6,500 000 000 000 000 0
a partire da 70 in su!
Dunque secondo me il valore atteso del numero di viaggi è 6,5.

P.S. 2
Solo adesso mi accorgo che aspesi ha già messo in ccolor linen la soluzione di chi ha proposto il quiz!
Clicco su "QUOTA" e la leggo.
Non capisco il tipo di procedimento!
Però alla fine leggo che. secondo l'autore, la risposta giusta è 13/2.
URRAAAH! E 'proprio uguale alla mia!
Oh: un a me stesso questa voplta è giusto che me lo metta!

P.S.3 (Editando)
Sono le 9 in punto di lunedì 23/05/22.
Jo editato (per l'ennesima volta) per correggere ulteriori errori di "stUmpa"!
__________________
Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 05-07-22 22:33.
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Vecchio 23-05-22, 07:21   #3503
aspesi
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Quote:
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A me il quiz non pare molto difficile, semprecché il mio ragionamento sia corretto.

Però alla fine leggo che. secondo l'autore, la risposta giusta è 13/2.
URRAAAH! E 'proprio uguale alla mia!
Oh: un a me stesso questa vplta è giusto che me lo metta!
te lo metto molto volentieri anch'io

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Vecchio 23-05-22, 08:48   #3504
Erasmus
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Quote:
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te lo metto molto volentieri anch'io
"Grazie, grazie! Ma come è buono Lei!" [diceva Fantozzi (Villaggio)]

Qualche domanda:
1) Tu, aspesi, sapevi risolvere il quiz?
2) Se sì come? Se no perché?
3) Hai capito il procedimento con cui l'autore del quiz arriva alla soluzione?
[Io no! Se tu sì, di grazia spiegalo anche a me!
Ho però capito che, in sostanza, viene applicato un meccanismo di ricorrenza che sfrutta il celebre "principio di induzione [completa]" di Peano. Ma non riesco a capire davvero il percorso, cioè i simgoli passaggi.
Dunque ... la mia dimostrazione è per ora" –cioè fino al ritrovamento di una probabile precedente sua pubblicazione– originale
Ed è in questo senso che mi son dato io stesso un OK!
––––––––-
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Ultima modifica di Erasmus : 07-06-22 13:53.
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Vecchio 23-05-22, 10:47   #3505
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Qualche domanda:
1) Tu, aspesi, sapevi risolvere il quiz?
2) Se sì come? Se no perché?
3) Hai capito il procedimento con cui l'autore del quiz arriva alla soluzione?

Sì, ho risolto il quiz più o meno secondo il ragionamento di chi l'aveva proposto (e ha poi postato la soluzione).

Infatti:
- 2 viaggi sono sicuri
- poi per visitare la terza città. avendo 1 : 3/2 di beccarla, occorrono in media 1,5 viaggi (l'inverso della probabilità)
- analogamente servono 3 viaggi in media per visitare la quarta, avendo 1/3 di probabilità di scegliere proprio lei.

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Vecchio 23-05-22, 15:26   #3506
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LOGICA.

Aldo, Giovanni e Giacomo sono tre amici appassionati di tennis.
In questo momento due di loro stanno giocando una partita e il terzo li guarda.

1) Il più basso tra Aldo e Giovanni è il più vecchio tra i due che stanno giocando.

2) Il più giovane tra Giovanni e Giacomo è il più basso tra i due che stanno giocando.

3) Il più alto tra Aldo e Giacomo è il più giovane tra i due che stanno giocando.

Chi è lo spettatore?
Chi è il più basso e chi ol più alto?
Chi è il più giovane e chi il più vecchio?

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Vecchio 25-05-22, 18:37   #3507
Erasmus
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Quote:
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Sì, ho risolto il quiz più o meno secondo il ragionamento di chi l'aveva proposto [...]

- 2 viaggi sono sicuri
- poi per visitare la terza città. avendo 1 : 3/2 di beccarla, occorrono in media 1,5 viaggi (l'inverso della probabilità)
- analogamente servono 3 viaggi in media per visitare la quarta, avendo 1/3 di probabilità di scegliere proprio lei.
Quindi avresti semplicemente la somma dei reciproci delle rispettive quattro probabilità
p1 = p2 = 1; p3 = 2/3; p4 = 1/3
<Valore atteso>: n = 1/p1 + 1/p2 + 1/p3 + 1/p4 = 1 + 1 + 3/2 +3 = 5 +3/2 = 13/2.

Allora ... da un lato io ho fatto un lavoraccio superfluo; dall'altro, però, ho scoperto una bellissima serie convergente a 13/2 precedentemente a me sconosciuta!
––––––
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Ultima modifica di Erasmus : 07-06-22 13:55.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 29-05-22, 13:47   #3508
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Lanci 5 dadi regolari.
E' più facile ottenere un tris (3 numeri uguali e due diversi) oppure tutti i 5 numeri diversi?

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 05-06-22, 11:43   #3509
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Lanci 5 dadi regolari.
E' più facile ottenere un tris (3 numeri uguali e due diversi) oppure tutti i 5 numeri diversi?

E' più facile ottenere un tris

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 07-06-22, 11:20   #3510
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Lanci 5 dadi regolari.
E' più facile ottenere un tris (3 numeri uguali e due diversi) oppure tutti i 5 numeri diversi?
Provo a calcolare!
E' come tirare a sorte un numero di cinque cifre un un sistema numerico a 6 cifre. Mettendo in ordineè'è costante i 5 dati (come se si lanciasserro uno alla volta) ci sono
6^5 = 7776 "cinquine" distinte.
Ci sono C(5, 3) = 10 tris possibili tutti uguali a (x,x, x).
Per ciascono di essi gli alyt
tri due numeri possono variare in (6 – 1)·(6 – 1) = 55 modi.
I casi di tris sono dunque
6·(10·25) = 1500.
I casi di 5 numeri tutti diversi sono 6! = 720
Infatti
• un primo numero può uscire in 6 modi diversi,
• per ciascuno di questi un secondo numero diverso dal primo può uscire in 5 modi diversi
• un (k+1)–esmo numero diverso da ciascuno dei primi k distinti numeri può uscire in 6–k modi diversi.
Quiondi le cinquine di numeri ciscuno divero dagli altri 4 sono 6·5·4·4·2 = 730
Oh: i casi di tris sono più del doppio dei casi di 5 numeri tutti diversi!
le rispetrtive probabilità sonp
p(tris) = 1500/7776 ≈ 19,29%
p(5 numeri distinti) = 720/7776 ≈ 9,26%
–––
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Erasmus non in linea   Rispondi citando
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