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Vecchio 30-09-17, 01:04   #1151
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
[...] odio la trigonometria...
In questo quiz la trigonometria puoi anche non usarla affatto.

Perché hai messo le risposte dentro la citazione del testo?
Sembra che Erasmus stesso abbia dato "contestualmente" le risposte.
------------
Traccia per H le parallele ai cateti.
Sia M l'intersezione con BC della parallela per H ad AC.
Sia N l'intersezione con AC della parallela per H a BC.
Hai costruito così il qadrato HMCN e i due triangolini AMH (rettangolo in M) e HNB (rettangolo in N) entrambi simili ad*ACB (rettangolo in C).
Sfruttando ls similituudine di AMH e HìNB con ACB e il fatto che AH + HB = AB si trova:
MH = HN = AC·CB /(AC + CB) = ab/(a+b);
AH =AB·CA/(CA + BC) = c·b/(a + b);
HB =AB·BC/(CA + BC) = c·a/(a + b).
Infine, HC è la diagonale del quadrtato HMCN.
––––––––
Se ABC non è rettangolo, viene quasi tutto uguale a quanto detto, tranne ikl fatto che AMH e HNB non sono rettangoli e HMCN non è un quadrato ma un rombo. E allora la diagonale HC dìi questo rombonon è lunga √(2) volte il lato [che vale ancora ab/(a+b)].
In tal caso la determinazione di HC senza trigonometria è un tantino più laboriosa.
E, detta S l'area del triangolo, conviene sfruttare opportunamente la formula di Erone (messa in questa forma):
S^2 = {2[(sb^2 + (bc)^2 + (ca)^2] – (a^4 + b^4 +c^4)}/16.
Infatti, l'area di un triangolo simile ad ABC con i lati k volte i lati di ABC vale S·k^2.
Sottraendo allora ad S le aree dei triangolini AMH e HNB (simili ad ABC) si trova l'area del rombo.
E poi L'area di uno dei due triangolini AMH e HNB più quella di mezzo rombo è l'area di uno dei due triangoli AHC e HBC i quali hanno in comune il lato HC (diagonale del rombo) ... di cui chiedo ora la lunghezza – chiamiamola z – (in funzione di quella dei lati a, b e c).
–––
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 04-12-17, 13:56   #1152
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Nuovo quiz di geometria facile, facile ...
Disegno su un fogliuo di carta ...
a) Traccio una retta r da sinistra a destra;
b) Segno su r un punto A e poi a destra di A un punto B che viene a trovarsi ad una certa distanza p da A; e poi a destra di B un altro punto C a distanza q da B minore della distanza p di B da A.
c) Dusegno le due circonferenze di centri rispettivi A e C e raggi rispettivi AB e CB;
d) Traccio più in alto di r la retta t tangente ai due cerchi rispettivamente in D e in E ;;
e) Segno su t il punto medio M del segmento DE

Vi ho spiegato in che modo ho costruito la seguente figura (bruttina ma eloqiuente. ).

Ed ecco il quesito:
Dimostrare che, se M è il punto medio del segmento DE, allora il triangolo ACM è rettangolo in M.
–––
__________________
Erasmus
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Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 04-12-17, 14:06   #1153
Lagoon
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Dunque proviamoci.

ADEC è un trapezio rettangolo.
Chiamo t il segmento DM=ME.

AADEC=(q+p)∙t da cui

AAMC=(q+p)∙t - q∙t/2 - p∙t/2=(q+p)∙t - [(q+p)∙t]/2=[(q+p)∙t]/2

MB è altezza del triangolo AMC, con base AC, nonchè tangente in B.

A questo punto gli angoli:
- BMC=CME=α1
- AMB=AMD=α2

1+2α2=180º =>

α12=90º


Ultima modifica di Lagoon : 04-12-17 14:22.
Lagoon non in linea   Rispondi citando
Vecchio 04-12-17, 14:33   #1154
aspesi
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Si ha un trapezio rettangolo:

Base maggiore = AD
Base minore = EC
Lato obliquo = AD + EC
Altezza = DE = 2DM

Si vede subito che
p*q = AB*BC = DM* ME = DM^2 = MB^2
AMC è un triangolo rettangolo per il secondo teorema di Euclide

Anche l'area del triangolo AMC è 1/2 dell'area del trapezio ACEDA
SADM = SABM
SECM = SMBC
perché DM = ME = MB

(Erasmus , lo so che non ti piace e non la consideri una dimostrazione... )



Cacchio, ho visto adesso che Lagoon mi ha preceduto...
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 04-12-17, 15:09   #1155
nino280
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Io non mi cimento +. Perché ho già visto sia la risposta di Lagoon che quella di Aspesi.
Ciao
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nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 04-12-17, 22:58   #1156
nino280
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

https://s18.postimg.org/cmejafb89/Talete_Erasmus.png


Se si fa il disegno come Dio comanda si vedono tante cose.
Quando è stato che ho parlato di Talete? Toh, questa mattina, in miscellanea quando ho scritto che se vedo un fascio di rette parallele io penso immediatamente a Talete.
E nel disegno si vede proprio un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali come diceva Talete.
Io ho il difetto che riesco meglio a disegnare e meno a spiegarmi.
Faccio un tentativo.
Se disegno due circonferenze tangenti, la circonferenza che passa per i loro centri ma che ha anche il centro sulla congiungente ha come diametro la somma dei raggi delle circonferenze iniziali.
E raggio la loro media aritmetica, (R + r) /2
Dal disegno:
i segmenti h1 e i1 per forza di cose sono uguali fra di loro, ma per Talete anche n è uguale a m
Anche f1 è media aritmetica fra j1 e k1 (non mi ricordo se si dice media aritmetica o geometrica)
E il segmento C D è tangente alle tre circonferenze e passa per E come punto medio.
Ma poi si sa che tutti i punti che stanno su una semicirconferenza e se prendo come ipotenusa il diametro e cateti le congiungenti fra quel punto e gli estremi del diametro stesso hai sempre 90° nel vertice opposto al diametro o ipotenusa.
Poi l'ho marcato. Si vede chiaramente senza troppe parole.
Per correttezza metto i valori dei tre raggi:
j1 = 10
f1 = 8
k1 = 6
Ciao
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nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 05-12-17, 06:10   #1157
nino280
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Ancora + veloce senza passare ne dalle aree ne da Talete.
https://s17.postimg.org/aw76n4aan/Veloce.png


Ora ho tracciato il segmento E K = h2
Ma ora si vede subito che:
m = h2
n = h2
perché derivano da rette tangenti alla circonferenza.
Io poi trasgredendo il disegno di Erasmus ho dato delle lettere diverse a punti e segmenti e ho chiamato p e q i cateti del triangolo A E B
Questi cateti però sono anche bisettrici degli angoli C E K e di K E D
e la loro somma è 180°
quindi la somma dei due semi angoli deve essere = a 90°
Come verifica rilevo i due semi angoli (si vedono marcati in verde epsilon e tau (o sigma in greco)
52,23876° + 37,76124° = 90°
Ciao
In pratica il concetto geometrico che ci serve per questo problemino è uno solo:
dato un punto esterno ad una circonferenza e tracciate le due rette tangenti dal punto alla circonferenza, sono uguali i due segmenti che vanno dal punto ai due punti di tangenza.
Poi il resto viene da se come conseguenza.
E una prima conseguenza è quella che se congiungo il punto con il centro della circonferenza, questa terza retta è bisettrice dell'angolo fra le due tangenti.
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Ultima modifica di nino280 : 05-12-17 15:32.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 05-12-17, 10:33   #1158
Erasmus
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Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Si vede subito che
p*q = AB*BC = DM* ME =[...]
La 1ª uguaglianza è superflua, ... la 2ª io non la vedo subito. Perché sono "ipovedente"?

–––––
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Ultima modifica di Erasmus : 05-12-17 14:06.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 05-12-17, 14:06   #1159
nino280
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Erasmus forse non ha ancora avuto tempo di esaminare le mie due soluzioni.
Non so se ho detto bene o sciocco.
Aspetto fiducioso
Ciao
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nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 05-12-17, 14:42   #1160
aspesi
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
La 1ª uguaglianza è superflua, ... la 2ª io non la vedo subito. Perché sono "ipovedente"?

–––––
Non vedi subito questa uguaglianza?
AB*BC = DM*ME = MB^2

Come dice Nino280
MB=DM perché sono segmenti che partono dallo stesso punto M e sono tangenti alla stessa circonferenza.

Quindi, i triangoli ADM e AMB sono uguali (congruenti) perché hanno i 3 lati uguali.
E lo stesso per BMC e CME

aspesi non in linea   Rispondi citando
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