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Vecchio 28-07-22, 09:24   #2281
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

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astromauh Visualizza il messaggio
Le stazioni, compreso la partenza e l'arrivo sono 39.
Quote:
astromauh Visualizza il messaggio
E qui c'è il dettaglio del numero di passeggeri presenti ad ogni fermata,
prima della partenza del battello.

1 Passeggeri= 38
2 Passeggeri= 74
...
38 Passeggeri 38
...

[Ma invece di "prima della partenza" io direi proprio "[subito] dopo la paretenza" (da ciascuna stazione)].

Non capisco però il bisogno di fare l'elenco completo delle presenze tra una stazione e la successiva perché basterebbe dire la funzione P(k) delle presenze tra la k-esima stazione e la successiva (k+1)-esima [per k da 1 a n–1] dopo aver citato (come campioni significativi) i numeri di presenze per k = 1, 2 e 3.

E non capisco nemmeno il tuo discorso conclusivo (sul fatto che, secondo te, il procedimento per numero di stazioni pari sarebbe diverso dal procedimento per numero di stazioni dispari.

Diciamo n il numero di stazioni.
Se ci pensi ... meglio, capisci anche tu che a priori può essere n pari o dipari, e che – sempre a priori, cioè prima di sapeere quanto vale n, siccome alla fermata k-esima salgono n – k passeggeri e ne scendono k – 1, la variazione di presenze è
n+1 – 2k
per cui il numero di passeggeri cresce se è k < (n+1)/2 e cala se è k > (n+1)/2
Allora, se n è pari, (diciamolo 2m) l'ultima volta che il numero di passeggeri cresce è per
k = n/2 = m:
e se n è dispari, (diciamolo 2m+1), l'ultoma volta che il numero di passeggeri cresce è per
k = (n+1)/2 – 1 = m.
Siccome anche k è intero, se n è dispari ed è k= (n+1)/2 = m+1 il numero di passeggeri non cresce e non cala, ossia tanti salgono quanti scendono
Il numero massimo di presenze non può essere dato arbitrariamente con la sola condizione che sia un intero (non troppo piccolo né troppo grande).
Siccome (come visto) la variaxione di presenze in funzione di k è n + 1 – 2k, il numero di prtesenze subito dopo la k-esima partenza è la somma, per h da 1 a k, di questo numero n+1 – 2k.
E' facilissimo vedere che questo numero è
P(k) = k(n+1) – 2·[k(k+1)/2] = k(n–k).
Allora, se m è il massimo numero di presenze, questo si ha per k ed n tali che
k(n – k) = m ==> k = [n ± √/n^2 – 4m)]/2.

Vedi allora che iil numero massimo di presenze m non può essere dato arbitrariamente (con la sola condizione che sia interro positivo... non troppo piccolo nè troppo grande) perché sappiamo già che deve essere
o k=n/2 [se n è pari] o k = (n +1)/2 (se k è dispari)

Vedi allora bene che la soluzione col segno "meno" davanti al radicale è da scartare [perché darebbe k < n/2)]
e inoltre
il massimo numero di presenze m può solo essere tale che
o n^2 – 4m = 0 [e allora n = 2√(m), cioè m è il quadrato di un intero e k = n/2= √(m)]
o n^2 – 4m = 1 [e allora n = √(4m+1), cioè 4m+1 deve essere il quadrato di un intero] e allora k = [√(4k+1) + 1]/2 = (n + 1)/2
Nel presente caso 380 non è un quadrato d'un intero e invece 4·380 + 1 = 39^2.
Dunque n è dispari e vae 39.
E la massima presenza si ha dopo la partenza dalla stazione numero (39 + 1)/2 = 20]
Ma siccome qui salgono n – k = 39 – 20 =19 passeggeri e ne scendono k – 1 = 20 – 1 = 19, anche nella tappa precedente i passeggeri erano 380 (e l'ultima stazione in cui i passeggeri saliti sono di più di quelli scesi è la precedente, cioè la numero
k – 1 = (n –1)/2 <==> 20 - 1 = (39 – 1)/2 = 19.
––––

P.S
Vedo ora che aspesi è già intervenuto (approvando entrambi Erasmus e astromauh).
Ma io avevo iniziato a scrivere (e praticamente concluso) il mio xommento al messaggio di astromauh (che ho letto dopo ver dato la mia risposta prima dell'intervento di aspesi.
Purtroppo -... sono troppo lento ... e impiego anche un mare di tempo per correggere gli errori di baìttitura (se no questi errori ... sono una caterva che rende quasi incomprensibile quel che ho scritto).
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 30-07-22 22:23.
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Vecchio 30-07-22, 15:41   #2282
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Vecchio 30-07-22, 19:30   #2283
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Vecchio 31-07-22, 07:42   #2284
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Ciao
Non so calcolarlo, ma è giusto

(3+RADQ(5))/2

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Vecchio 31-07-22, 09:04   #2285
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[...]«Un battello scende lungo un fiume.
Sia alla partenza che ad ogni stazione intermedia salgono sul battello tanti passeggeri, ognuno diretto ad una diversa stazione, quante sono le fermate successive.
Sapendo che il numero massimo di passeggeri contemporaneamente presenti sul battello è 380, si determini il numero delle stazioni»
Modifico un po' il testo ... e mi diventa un altro quiz!
La prima parte resta la stessa, cambia soltanto l'ultima frase!

Nuovo quiz
«Un battello scende lungo un fiume. Sia alla partenza che ad ogni stazione intermedia salgono sul battello tanti passeggeri, ognuno diretto ad una diversa stazione, quante sono le fermate successive.»
Codice:
Caso 1.
Supponiamo che le stazioni siano 36.
   1.a) Qual è il massimo numero di passeggeri contemporaneamente presenti sul battello?
   1.b) Dopo la partenza da quale stazione il numero di passeggeri è massimo?
Caso 2. 
Supponiamo che le stazioni siano 37.
   2.a) Qual è il massimo numero di passeggeri contemporaneamente presenti sul battello?
   2.b) Dopo la partenza da quale stazione il numero di passeggeri è massimo?

–––
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Vecchio 31-07-22, 11:02   #2286
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Non so calcolarlo, ma è giusto
(3+RADQ(5))/2
Fatto 2 il diametro del cerchio, il lato L del triangolo grigio (grande) viene
L = 2·[√(3)/2] = √(3)
e allora la sua altezza H viene
H = L·√(3)/2 = 3/2.
I lati del triangolo verde sono lunghi L/2 = √(3)/2 e quindi l'altezza h vale
h = H/2 = 3/4. (*)
L'area V del triangolo verde è dunque:
V = {[√(3)/2]·(3/4)}/2 = [3√(3)]/16. (**)
Dalla (*) viene che il centro del cerchio dista 1/4 dalla retta t (secante del cerchio).
Perciò la lunghezza di metà della corda (intersezione di t col cerchio) risulta:
<mezza corda> =√(1 – 1/16) = √(15)/4.
Detta allora x la lunghezza del lato minore del triangolo rosso, abbiamo l'uguaglianza:
<mezza corda> + x = <3 metà del lato del triangolo verde> <==>
<==> √(15)/4 + x = 3·[√(3)/4] <==> x = √(3)·[3 – √(5)]/4.
Siccome la retta t è inclinata di 60° sulla tangente orizzontale r, l'altezza del triangolo rosso rispetto al suo lato orizzontale [che è pure lungo √(3)/2] viene
[√(3)/2]·x = [3 – √(5)]·3/8.
L'area R del triangolo rosso è dunque
R = [√(3)/2]·[3 – √(5)]·3/8]/2 = {[3√(3)]/16}·[3 – √(5)]/2. (***)
Ricordando la (**) il richiesto rapporto è dunque
V/R = 2/[3 – √(5) = 2 [3 + √(5)]/4 = [3 + √(5)]/2 ≈ 2,618033988749895
–––
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Vecchio 31-07-22, 11:37   #2287
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Non so calcolarlo, ma è giusto

(3+RADQ(5))/2



Prova a vedere se con questo ulteriore disegno arrivi a calcolarlo.
Io ad esempio ho costruito il triangolo scaleno a fianco di quello rosa di sopra e trovo che hanno area uguale.
Visto che il triangolo equilatero da 10,82532 ora è capovolto, disegno un nuovo triangolo quello verde che è naturalmente differenza fra il 10,82532 e il 4,1349
Ma tutti questi nuovi triangoli sono ancora tutti in Rapporto Aureo fra di loro.
Ad esempio:
10,82532 / 6,69041 = 1,618035
Ma anche;
6,69041 / 4,1349 = 1,618035
Ciao
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Vecchio 31-07-22, 13:05   #2288
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Supponiamo che le stazioni siano 36.
1.a) Qual è il massimo numero di passeggeri contemporaneamente presenti sul battello?
1.b) Dopo la partenza da quale stazione il numero di passeggeri è massimo?
1.a ------> 324
1.b ------> 18

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Caso 2.
Supponiamo che le stazioni siano 37.
2.a) Qual è il massimo numero di passeggeri contemporaneamente presenti sul battello?
2.b) Dopo la partenza da quale stazione il numero di passeggeri è massimo?
[/code][/color]
–––
2.a ------> 342
2.b ------> 18 e 19

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Vecchio 01-08-22, 11:42   #2289
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Senza contare che anche le basi di quei due triangoli "contigui" quello verde con quello blu sono in rapporto Aureo
Cioè:
3,09017 / 1,90983 = 1,618035
Che se poi io ne faccio il suo quadrato 1,618035^2 = 2,618035 (che è la soluzione del Quiz)
Aspesi, mi devi trovare una spiegazione facile di tutta questa telenovela che io sono andato a narrare, ad esempio una similitudine fra triangoli, sennò io la notte non dormo.
Ciao

Ma quello che non mi ero proprio accorto nei disegni degli altri giorni ( ora ne ho fatto uno nuovo andando a sostituire quello che c'era ieri qui sopra)
Era che andando a misurare il lato più lungo di quel triangolo scaleno rosa, trovo che tale lunghezza è 10 volte Il rapporto aureo.
Vale a dire l'altro rapporto aureo, cioè lo 0.618033 (si va prima scrivevo 035 finale ma è più giusto 033988 come ultime cifre decimali).
Ciao

Diciamo il 10 volte ci sta, per via del fatto che io avevo preso un equilatero (quello grande) di lato 10, che se lo avessi preso lungo 1, mi veniva proprio il rapporto aureo.

Ultima modifica di nino280 : 02-08-22 10:59.
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Vecchio 01-08-22, 13:49   #2290
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nino280 Visualizza il messaggio
Aspesi, mi devi trovare una spiegazione facile di tutta questa telenovela che io sono andato a narrare, ad esempio una similitudine fra triangoli, sennò io la notte non dormo.
Ciao
Mi spiace, tutto questo pare anche a me sorprendente, e non saprei dove andare a cercare il perché.
Magari, ci pensa Erasmus (chiedendogli di non essere complicato, come solito... )


Ultima modifica di aspesi : 01-08-22 15:02.
aspesi non in linea   Rispondi citando
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