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Vecchio 30-07-22, 19:40   #5611
nino280
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio

Perché di dice che è il lotto più piccolo, altrimenti potrebbe essere anche 78.
x(20-y)=52
(11-x)y=54
Risolvendo il sistema si hanno queste due soluzioni:
y=12
x=6,5

y=90/11
x=4,4

Se io prendo la soluzione 4,4 e 90/11 sotto il 36 mi viene il 52 invece dovrei avere il 54
Come si spiga questa cosa?
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 30-07-22, 21:25   #5612
Erasmus
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Oggi mi va di "cazzeggiare".
Una matrice quadrata A con determinante diverso da zero, per esempio
Codice:
      |  1   –6     0 |
A = |  0   –1     1 |       (*)       [Inciso: calcolo det(A) con la Regola di Sarrus]
      |  1   –1   –1 |

det(A) = [1·1·(–1) + (–6)·(–1)·1 +  0·0·(–1)] –[1·1·0 + (–1)·(–1)·1 +(–1)·0·(–6)] = –1 + 6 – 1 = 4
ammette la matrice inversa A^(–1) – diciamola Ai – che è la matrice che in prodotto con A dà la matrice identità I, (quella con tutti "1" sulla diagonale discendente da sinistra a destra e tutti "0" altrove).
Sarebbe qui troppo lungo spiegare come si fa a calcolare la matrice inversa. Ma in rete ci sono tanti siti con chiare spiegazioni.
La matrice inversa di quella dell'esempio (*) è:
Codice:
                | –2    6     6 !       | –1/2   3/2    3/2 |
Ai = (1/4)· | –1    1     1 |   = | –1/4   1/4    1/4 |      (**)
                | –1    5     1 |       | –1/4   5/4    1/4 |
infatti:
Codice:
                       | –2    6    6 |    |  1   –6     0 |               | 4   0   0 |    |1  0  0|
Ai·A =    (1/4) · | –1    1    1 | ·  |  0   –1     1 | = (1/4) · | 0   4   0 | = |0  1  0| = I.
                       | –1    5    1 |    |  1   –1   –1 |                | 0   0   4 |    |0  0  1|
Un sistema lineare di n equazioni in n incognite si può porre in forma "matriciale", ossia come unica equazione natriciale del tipo:
A v = b
dove
v è il vettore-colonna delle incognite, cioè una matrice di n righe ed una sola colonna elenco delle n incognite scritte dall'alto in basso in ordine dalla prima all'ultima,
b è il vettore–colonna dei termini noti ed
• A è la matrice [quadrata] degli n x n coefficienti.
Per esempio, se il sistema è
Codice:
a11·x + a12·y + a13·z = b1
a21·x + a22·y + a23·z = b2
a31·x + a32·y + a33·z = b3
in forma natriciale esso diventa
Codice:
|a11   a12   a13|   |x|    |b1|
|a21   a22   a23| · |y| = |b2|
|a31   a32   a33|   |z|    |b3|
Naturalmente risolvere "a mano" un sistema lineare messo in forma matriciale, trovando quindi "a mano" la matrice inversa della matrice dei coefficienti, per numero delle ingognite (e delle equazioni) maggiore di 2 è meno sbrigativo di risolverlo con uno dei metodi insegnati già in terza media. Ma disppnendo di un computer è facile programmare la soluzione con metodo matriciale tramite due specifiche procedure che sono:
• Calcolo della matrice inversa di una data matrice quadrata;
• Calcolo del prodotto di due matrici "conformabili", cioè con numero di colonne della prima uguale al numero di righe drlla seconda.
Allora la soluzione dell'equazione matriciale
v = b
è ovviamente [essendo Ai·A·v = Iv = v]:
Ai·A·v = Ai·b <==> v = [A^(–1)]·b
in modo del tutto analogo alla soluzione di una equazione lineare che, ridotta in forma canonica. è del tipo
a·x = b
ed è risolta da
x = b/a <==> [a^(–1)]·a·x = [a^(–1)]·b.
–––––-
Dopo questa bella treoria, proviamo a risolvere col metodo matriciale il quiz qui sopra.
Dal testo, detta P l'età del padre, F l'età della figlia [femmina] ed M l'etìtà del il figlio [maschio], si ricava il sistema:
Codice:
   
P + 1 = 6F;                                                 1·P – 6·F + 0·M = –1;
M = F + 3;                                       <==>  0·P – 1·F + 1·M =  3;
P + 10 = (F + 10) + (M + 10) + 14;              1·P – 1·F –  1·M = 24:
Si nota subito che la matrice dei coefficienti [delle incognite] è la stessa A dell'esempiuo (*) di cui sappiamo già la matrice inversa Ai = A^(–1) che sta in (**).
Ci resta solo da fare il prodotto della matrice inversa per il vettore-colonna dri termini noti, [cioè di componenti (–1, 3, 24)]. Eccolo qua:
Codice:
|P!              | –2    6     6 |   | –1|                | 2+18+144|               |164|            |P|     |41|
|F| = (1/4)· | –1    1     1 | · |  3 | =  (1/4) · | 1+  3+  24| = (1/4) · |  28|  <==> |F| = |  7| .
|M|             | –1    5     1 |   | 24|                | 1+15+  24|               |  40|            |M|.   |10|
–––
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Erasmus
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Vecchio 31-07-22, 07:58   #5613
aspesi
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

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nino280 Visualizza il messaggio
Se io prendo la soluzione 4,4 e 90/11 sotto il 36 mi viene il 52 invece dovrei avere il 54
Come si spiga questa cosa?
Ciao
No, x=4,4 è la larghezza del rettangolo di area 52 e 90/11 è l'altezza dell'altro rettangolo di area 54.

Il rettangolo di cui si vuole determinare l'area, oltre a 36, potrebbe quindi avere area uguale a:
(11-4,4)*(20-90/11) = 6,6*130/11 = 78
e ovviamente gli altri due rettangoli avrebbero l'area nota di 52 e 54.

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 31-07-22, 12:16   #5614
Erasmus
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Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Se io prendo la soluzione 4,4 e 90/11 sotto il 36 mi viene il 52 invece dovrei avere il 54
Come si spiga questa cosa?
Perché confondi il significato dei simboli x ed y della "soluzione".
x ed y non sono i lati del rettangolo in alto a sinistra. quello di cui si chiede l'area S, bensì i lati del rettangolo in basso a destra, quallo che manca nel lotto di terreno a forma di L.
I lati del rettangolo di cui si chiede l'area sono
<larghezza> = 11 – x:
<altezza> = 20 – y.
Allora, con la soluzione
(x, y) = (13/2, 12)
l'area in alto a sinistra viene
S = (11 – 13/2)·(20 – 12) = [(22 – 13)/2]·8 = (9/2)·8 = 9·4 = 36.
E sotto ti viene
(11 – 13/2)·12 = (9/2)·12 = 9·6 = 54.

Con la soluzione
(x, y) = (22/5, 90/11)
ti viene
S = (11– 22/5)·(20 – 90/11) = (33/5)·(130/11) = (33/11)·(130/5) = 3·26 = 78
e sotto ti viene
(11– 22/5)·(90/11) = (33/5)·(90/11) = (33/11)·(90/5) = 3·18 = 54.
–––––
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 03-08-22 16:41.
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Vecchio 01-08-22, 07:30   #5615
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Anna, Berta e Claudia adorano il gelato.
Quando Anna e Berta mangiano una vaschetta insieme, la finiscono in quattro minuti. Anna e Claudia insieme impiegano solo tre minuti. E Berta e Claudia impiegano solo due minuti.

Quanto tempo impiegano le tre ragazze a finire una vaschetta quando mangiano insieme?

[Si presume, in condizioni ideali, che il consumo di gelato sia costante per ogni ragazza.]

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Vecchio 01-08-22, 10:25   #5616
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

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Anna, Berta e Claudia adorano il gelato.
Quando Anna e Berta mangiano una vaschetta insieme, la finiscono in quattro minuti. Anna e Claudia insieme impiegano solo tre minuti. E Berta e Claudia impiegano solo due minuti.

Quanto tempo impiegano le tre ragazze a finire una vaschetta quando mangiano insieme?

[Si presume, in condizioni ideali, che il consumo di gelato sia costante per ogni ragazza.]

Dovrei controllare meglio, ma voglio andare al mare.

Mi pare che tutte e tre insieme dovrebbero impiegare 24/13 minuti per terminare una vaschetta.

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Vecchio 01-08-22, 11:02   #5617
aspesi
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
astromauh Visualizza il messaggio
Dovrei controllare meglio, ma voglio andare al mare.

Mi pare che tutte e tre insieme dovrebbero impiegare 24/13 minuti per terminare una vaschetta.



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aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 01-08-22, 13:22   #5618
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Anna, Berta e Claudia adorano il gelato.
Quando Anna e Berta mangiano una vaschetta insieme, la finiscono in quattro minuti. Anna e Claudia insieme impiegano solo tre minuti. E Berta e Claudia impiegano solo due minuti.
Quanto tempo impiegano le tre ragazze a finire una vaschetta quando mangiano insieme?]
Si può risolvere il quiz sostituendo la quantità di gelato della vaschetta con una certa quantità Q di carica elettrica e le. tre ragazze con altrettanti resistori A, B e C di rispettiva resistenza (elettrica ... per ora incognita):
• Ra del il resistore A
• Rb del il resistore B
• Rc del il resistore C.

Si ricordi che la resistenza equivalente del parallelo di due o più resistori è il reciproco della somma dei reciproci delle rispettive resistenze.
Per esempio, la resistenza equivalente del parallelo di due resistori di rispettive resistenze Rx ed Ry è:
Codice:
               1              Rx·Ry
Rxy = ––––––––- = ––––––– .
          1        1        Rx + Ry
        ––– + –––
         Rx      Ry
Con ciò il parallelo di tre resistori equivale al parallelo di due di essi in parallelo al terzo.
Infatti, per rispettive resistenza Ra, Rb, ed Rc si ha [code]:
Ra·Rb
Rab = ––––––– ==>
Ra + Rb

Rab·Rc (Ra·Rb)·Rc Ra·Rb·Rc 1
==> ––––––– = ––––––––––––––––––––––––– = –––––––––––––––––– = ––––––––––––––– = Rabc.
Rab + Rc Ra·Rb RaRb + RaRc + RbRc 1 1 1
(Ra+Rb) –––––– + (Ra+Rb)·Rc ––– + ––– + –––
Ra +Rb Rc Rb Ra [(code]
Sotto tensione elettrica E, per i resistori A, B e C passerebbe la rispettiva corrente
Ia = E/Ra; Ib = E/Rb; Ic = E/Rc.
Sotto tensione E, il tempo che ci vuole perché transiti la carica elettrica Q attraverso un resistore di resistenza R è
T = Q/I = Q/(E/R) = R·(Q/E).
Si noti che il tempo è proporzionale alla resistenza.
Tale tempo (in minuti primi) sia
Tab = [RaRb/(Ra+Rb)]·(Q/E) = 4 per il parallelo di A e B ;
Tbc = [RbRc/(Rb+Rc)]·(Q/E) = 3 per il parallelo di B e C;
Tca = [RcRa/(Rc+Ra)]·(Q/E) = 2 per il parallelo di C ed A.
Tenendo presente che con tesione elettrica costante il tempo impiegato da una certa quantità di carica a transitare per un resistore è il prodotto della sua resistenza per il rapporto tra carica e tensione, se conosciamo la tensione e la carica transitata possiamo risalire alla resistenza misurando il tempo di transito della carica per poi fividerlo per i rapporto tra carica e temsione.
Supponaiamo allora che la tensione E sia 12 volt e la carica Q sia 720 coulomb.
Con ciò le resistenze dei tre paralleli du due dei tre resistori (xioè di A con B, di B con C e di C con A) risultano (mettendo tutte le grandezze in unità di misura SI):
Rab = RaRb/(Ra+Rb) = 4·60/(720/12) Ω = 4 Ω; (*1)
Rbc = RbRc/(Rb+Rc) = 3·60/(720/12) Ω = 3 Ω; (*2)
Rbc = RbRc/(Rb+Rc) = 3·60/(720/12) Ω = 2 Ω. (*3)
Da queste tre equazioni si possono ricavare i valori delle tre resistenze Ra, Rb ed Rc per calcolae poi il tempo impiegato alla stessa carica spinta dalla stessa tensione a transitare per il parallelo dei tre resistori.

I calcoli si semplifiìcano se, invece delle resistenze si adoperano le conduttanze.
La conduttanza di un resistore è il reciproco della sua resistenza.
In SI l'unità di misura delle conduttanze è il siemens, simbolo S, che ovviamente è il reciproco dell'unità di misura della resistenza (che è l'ohm, sinbolo Ω).
Si trova pure (e facilmente!) che la conduttanza di più resistori in parallelo è la somma delle rispettive conduttanze.
Cioè:
1) Per definizioine ja conduttanza Gx di un resistore di resistenza Rx è 1/Rx;
2) La conduttanza del parallelo di due resistori di rispettive resistenze Rx ed Ry risulta:
Gxy = 1/Rxy = (Rx + Ry)/(Rx·Ry) = 1/Rx + 1/Ry = Gx + Gy.

Le conduttanze dei paralleli di A con B, di B con C e di C con A. sono dunque
Gab = 1/Ra + 1/Rb = Ga + Gb;
Gbc = 1/Rb + 1/Rc = Gb + Gc;
Gca = 1/Rc + 1/Ra = Gc + Ga.
Il vantaggio di passare dalle resistenze alle conduttanze non è poco, dato che il sistema delle equazioni (*1), (*2) e (*3) diventa il facile sistema lineare
Ga + Gb = 1/4 S;
Gb + Gc = 1/3 S;
Gc + Ga = 1/2 S.
Sommando memcro queste tre equazioni e dividendo poi tutto per 2 si trova
Ga + Gb + Gc = (1/4 + 1/3 + 1/2)/2 S = (3 + 4 + 6)/(12·2) S = 13/24 S
e quindi la resistenza del oarallelo dei tre resistori A, B e C è
Rabc = 24/13 Ω ≈ 1,846 Ω
E' quindi di poco inferiore ai 2 Ω del parallelo di C ed A perché B ha ha la resistenza maggiore (e C quella minore.)
Risolvendo infatti il sistema lineare delle tre eqazionimelle tre incognite conduttanzeingognite confuttanzeconduttanze di A, B e C si trova:
Ga = 5/24 S ––> Ra = 24/5 Ω = 4,8 Ω
Gb = 1/24 S ––> Rb = 24/5 Ω = 24 Ω
Gc = 7/24 S ––> Rc = 24/7 Ω ≈ 3,43 Ω

Spero che l'analogia sia piaciuta almeno ad ANDREAtom.
–––––––––––
Ah ... E la risposta al quiz?
Ovviamente è
T = 24/13 di minuto , cioè 1440/13 secondi, ossa [circa] 1 minuto 50 secondi e 77 centesimi.
Fuori dall'analogia (ossia mettendo i tempi al posto delle resistenze) risulta quanto segue:
Da sola (mangiando alla stessa costante velocità con cui mangia in compagnia di una o di entrambe le amiche), a svuotare la vaschetta di geleto
• Anna impiegherebbe 12/5 di minuto = 4,8 minuti = 4 minuti e 48 secondi;
• Berta impiegherebbe 24 minuti;
• Claudia impiegherebbe 24/7 di minuto ≈ 3,43 minuti, cioè [quasi] 3 minuti e 26 secondi.
• Insieme le tre ragazze consumano la vaschetta di gelato in 24/13 di minuto, ossia qualche decimo di secondo in meno di 1 minuto e 51 secondi.
–––––
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Ultima modifica di Erasmus : 01-08-22 13:50.
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Vecchio 01-08-22, 14:16   #5619
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Mi pare alquanto "cervellotico" e comunque destinato a soli "elettronici"; ma a parte questo non credo che questo esempio sia equivalente ai dati richiesti nel quiz, perchè le tre ragazze mangiano il gelato ciascuna a velocità diversa ma costante, mentre il tempo di scarica dei coulomb immagazzinati in un condensatore non segue una curva lineare ma il tempo di scarica è più veloce quando il condensatore è carico alla massima tensione e sempre più lenta man mano che la tensione diminuisce.
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Dai diamanti non nasce niente,
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Vecchio 01-08-22, 15:07   #5620
aspesi
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

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Si può risolvere il quiz sostituendo la quantità di gelato della vaschetta con una certa quantità Q di carica elettrica e le. tre ragazze con altrettanti resistori A, B e C di rispettiva resistenza (elettrica ... per ora incognita):
• Ra del il resistore A
• Rb del il resistore B
• Rc del il resistore C.

Ma come al solito, sei stato inutilmente complicato

Velocità con cui mangiano il gelato (al minuto)
A + B = 1/4
A + C = 1/3
B + C = 1/2
Da cui:
A = 1/24
B = 5/24
C = 7/24
e insieme mangiano 13/24 di gelato al minuto.
Per cui, le 3 ragazze (insieme) impiegano 24/13 di minuto (cioè 1 minuto e 50,76923 secondi a finire la vaschetta.

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