Qualche quiz

[Erasmus]

Nino II,
spara tu un numero con una cifra asterisco esito del processo del quiz 1) ed un altro esito del processo del quiz 2).

Vediamo se indovino io la cifra sostituita con la stelletta ... o se si sveglia qualche "bella addormenta" ...


Bye, bye

[aspesi]

Erasmus

Se ti dico perché ci riesci nel secondo quiz (quello del numero XYXY), ci credi che allora so pure perché ci riesci anche nel primo quiz (quello del numero con un numero dispari di cifre)?

In entrambi i casi, la cifra sostituita con '*' è quella che rende il numero ******************* certo numero intero ... che sai tu (e che io ho capito ... )

Ho sostituito 19 caratteri con 19 asterischi. Indovina che caratteri erano!
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Vorrei anch'io vedere interventi di altri.

Purtroppo, non ci arrivo (ad indovinare i caratteri dei tuoi asterischi)...

Ci credo certamente (che tu sai risolvere i due quiz) ed anche per me il meccanismo è simile. Però, io so solo "una regoletta" (nel caso di divisibilità dei numeri) che mi consente di trovare la soluzione.

Erasmus

Allora ... faccio un po' di fumo (o di "noise", come diceva l'Illustrissimo latitante).
a) x^(2n) – y^(2n) è sempre divisibile sia per (x + y) che per (x – y);
b) Invece x^(2n) + y^(2n) non è divisibile né per (x + y) né per (x – y) ...

Ho fatto solo fumo, oppure nello smog ci sta qualche informazione sul come si risolvono questi due quiz?

Ciao, ciao.

Io ci vedo fumo e nebbia... però mi spiegherai tutto alla fine...

[aspesi]

Erasmus

Nino II,
spara tu un numero con una cifra asterisco esito del processo del quiz 1) ed un altro esito del processo del quiz 2).

Vediamo se indovino io la cifra sostituita con la stelletta ... o se si sveglia qualche "bella addormenta" ...


Bye, bye

Quiz n.1 :
1 1 * 4 9 3 3

Quiz n.2 :
2 1 0 * 1 9 4

[Erasmus]

aspesi

Quiz n.1 :
1 1 * 4 9 3 3

'*' = 6 ––>1 1 6 4 9 3 3

aspesi

Quiz n.2 :
2 1 0 * 1 9 4

'*' = 0 ––> 2 1 0 0 1 9 4
--------------

-----------------------------
P.S.

Nel secondo quiz:
• o sei partito da 3737 e l'hai moltiplicato per 562
• oppure sei partito da 7474 e l'hai moltiplicato per 281

Nel primo quiz ... la differenza tra un numero X e il suo rovescio Y è invariante rispetto all'aumento o al calo dei due termini della stessa quantità:
X – Y = (X+d) – (Y+d) = (X – d) – (Y – d) con d arbitrario.
Più difficile stabilire tutti i possibili numeri di partenza ... Ci rinuncio.

Ciao, ciao

[aspesi]

Erasmus

6 ––>1 1 6 4 9 3 3


0 ––> 2 1 0 0 1 9 4
--------------

-----------------------------
P.S.

Nel secondo quiz:
• o sei partito da 3737 e l'hai moltiplicato per 562
• oppure sei partito da 7474 e l'hai moltiplicato per 281

Nel primo quiz ... la differenza tra un numero X e il suo rovescio Y è invariante rispetto all'aumento o al calo dei due termini della stessa quantità:
X – Y = (X+d) – (X+d) = (X – d) – (Y – d) con d arbitrario.
Più difficile stabilire tutti i possibili numeri di partenza ... Ci rinuncio.

Ciao, ciao

Non solo hai indovinato le cifre..., ma anche il numero XYXY di partenza... (3737)

Non ho capito però come ci arrivi... Per me, semplicemente, il primo quiz ha a che fare con un numero divisibile per 99...

[Erasmus]

Erasmus

[...]
a) x^(2n) – y^(2n) è sempre divisibile sia per (x + y) che per (x – y);

Per esempio, per X = 10 e Y = 1,
10^(2n) – 1^(2n)
è divisibile sia per 10 + 1 = 11 che per 10 – 1 = 9.
n = 1 –––> 99 = 9*11
n = 2 –––> 9999 = 9 * 11 * 101
n = 3 –––> 999999 = 9 * 11* (3 * 7 * 13 * 37) .
ecc.

Erasmus

b) Invece x^(2n) + y^(2n) non è divisibile né per (x + y) né per (x – y) ...

Ma se n è dispari x^(2n) + y^(2n) è divisibile per x^2 + y^2

Per esempio, per X = 10 e Y = 1, se metto n = 3 ho subito:
X^6 + Y^6 = 10^6 + 1^6 = 1000001;
10^2 +1^2 = 101

(X^6 +Y^6)/(X^2 + Y^2) = X^4 – (x^2)·(Y^2) + Y^4;
(10^6 +1^6)/(10^2 +1^2) = 10^4 – (10^2)·(1^2) + 1^4 = 10000 – 100 + 1 = 9901 (numero primo)
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Oh: ho fatto apposta ancora un po' di fumo e di nebbia.
Ma questa volta ... i numeri ci sono!

Nella nebbia ... avvicinando le persone una per una ... riconoscerai quelle già note, no?

Ciao, ciao.

[Erasmus]

aspesi

Per me, semplicemente, il primo quiz ha a che fare con un numero divisibile per...

Eeehhh ... ma allora si gioca a carte scoperte!
Ripassati la frase con le 19 stellette di seguito ...
A questo punto "*******************" = "divisibile per quel" ... o no?

Ripeto: «X^(2n) – Y^(2n) è divisibile sia per (X – Y) che per (X + Y)».
Aggiungo: «Ossia per X^2 – Y^2»
E per X = 10 e Y = 1 ?

Ripeto: «X^(2n) + Y^(2n) non è divisibile né per (X – Y) Né per (X + Y); ma se n è dispari è divisibile per X^2 + Y^2»
Aggiungo: «1 è il naturale dispari minimo»
E per X = 10 e Y = 1 ?
---------------
Vedi che la nebbia non era troppo ... fumosa!

Ciao, ciao,

[aspesi]

Erasmus

Vedi che la nebbia non era troppo ... fumosa!

Ciao, ciao,

Tutto bellissimo...

Questa è la regoletta del 1) quiz.

Si è visto che la differenza fra un numero (composto da un numero dispari di cifre) e il numero scritto invertendo le cifre è sempre divisibile per 99 (9*11).

Caratteristica dei numeri divisibili per 99: occorre e basta che, separato il numero in gruppi di due cifre a partire da destra, la somma dei numeri formati da questi gruppi sia divisibile per 99.

Quindi, per indovinare la cifra indicata con un asterisco, basta fare la somma, a partire da destra, dei gruppi di due cifre e sottrarla dal più piccolo multiplo di 99 superiore ad essa: il risultato darà, come unità o decina, secondo la posizione dell'asterisco nel proprio gruppo, la cifra cercata.

Nell'esempio indicato sopra:
Sia 27.513 il numero cercato. Il numero con le cifre in ordine inverso è 31.572. La differenza è 4.059.
Moltiplichiamo la differenza ad es. per 287 e otteniamo 1.164.933.
Ho presentato questo numero come: 1 1 * 4 9 3 3

La somma dei gruppi di due cifre (nell'ordine a partire da destra) è:
33 + 49 + 1* + 1 = 83 + 1*
99 - 83 = 16
La cifra mancante (l'asterisco) occupa il posto delle unità, quindi è il 6.

Nota: nel caso di un numero iniziale con un numero di cifre PARI, perché la differenza sia divisibile per 99 occorre trasportare a sinistra il primo gruppo di due cifre a destra (e viceversa):
Es.: 472319 - 192347 = 279972

[Erasmus]

aspesi

... la differenza fra un numero (composto da un numero dispari di cifre) e il numero scritto invertendo le cifre è sempre divisibile per 99, (9*11).

[Vengo adesso da un concerto. Donattoni (prima parte orribile, la seconda ... un po' meno) e Procofief (la musica del film Alexandr Njèwskji, che ricordavo benino; passabile).
Bravi però suonatori, coro e mezzosoprano.]

1° quiz.
Se le cifre sono, ad esempio, ABCDEFG, la differenza col rovescio è
(A–G)·(10^6–1) +10·(B–F)·(10^4 –1) + 100·(C–E)·(10^2 – 1).
Ogni termine è divisibile per 10^2 – 1 = (10 – 1)·(10 + 1).
E questo vale per qualsiasi base della numerazione, qualunque sia il numero rappresentato da 10.
In base "dieci" la differenza (e quindi il prodotto per qualsiasi intero) è divisibile per "novantanove".
Ma è divisibile per (10 – 1)·(10 + 1) = 100 – 1 in qualsiasi base!
Per esempio, in base "sette", 10 = "sette" e 100 – 1 = "quarantotto".

Occhio!: siccome c'è da indovinare solo una cifra, tranne il caso in cui la somma delle cifre note è divisibile per 9, non occorre cercare quella che rende il numero divisibile per 99.
Tranne il caso evidenziato in grassetto, la cifra che devo mettere può variare al massimo tra 1 e 8. Ce n'è una sola che renderà il numero divisibile per 9. Automaticamente, quando sarà divisibile per 9, sarà anche divisibile per 11.
Solo se la somma delle cifre note è già divisibile per 9, la regola del 9 non è sicura e bisogna controllare se la cifra da indovinare è 0 o 9 controllando che il numero così "tappato" sia anche divisibile per 11.

Altrimenti si fa "la regola del 9" per trovare il resto della divisione per 9. E la cifra cercata è il complemento a 9 di tale resto
Nel caso del tuo esempio, con la "regola del 9" – le eventuali cifre uguali a 9 le posso saltare! – ottengo:

11?4933 ––> 1 +1 + 4 + 3 + 3 = 12 ––> 1 + 2 = 3 ≠ 9 –––> 9 – 3 = 6
Il complemento di 3 a 9 è 6. Ergo: ? = 6 . (Questa è la cifra cercata)

2° quiz.
E' più facile!
XYXY = (10Y+Y)· (10^2 +1) = 101· (XY)
Il numero è sempre divisibile per 101 (che è un numero primo). Allora è divisibile per 101 anche il prodotto per un intero arbitrario.

Vado per tentativi.
Al posto della stelletta, metto successivamente 0, 1, 2 ...e ogni volta divido per 101. Quando mi risulta un numero intero, la cifra che ho messo è OK.
(Nel tuo esempio, al primo tentativo).
Adesso posso scomporre in fattori primi il numero così "tappato". [Un fattore è 101].
Provo a combinare fattori fin che ottengo un numero con 4 cifre del tipo XYXY.

Nel caso del tuo esempio:
2100194 =2*37*101*281,
–mai dimenticando che XYXY = 101*XY – ho due possibilità:
a) (37*101)*(2*281) = 3737*562=2100194
b) [(2*37)*101] =7474*281 = 2100194.

Ciao, ciao

[aspesi]

Erasmus;407773.

1° quiz.

Ciao, ciao

Sei sorprendente!
Il tuo meccanismo di risoluzione del primo quiz è ancora più semplice del mio!

Però anche il secondo quiz si può risolvere senza tentativi (moltiplicazione per 101).
Quando torno dal supermercato metto il mio metodo.