Qualche quiz

[nino280]

Ciao

[nino280]

Erasmus

@ nino280 e aspesi:
I vostri risultati (entrambi 22 e rotti decimali) sono sbagliati!
–––––

Non capisco cosa vai scrivendo.
Io questo quiz non l'ho manco esaminato.
Perchè dopo aver visto le "vostre" soluzioni ho desistito.
Quel 22 e rotti che tu dici, era solo una verifica di un esempio che diceva Aspesi che io ne ho verificato la veridicità, diciamo l'esattezza.
Mi ero già spiegato con Aspesi a suo tempo che quel disegno non era la soluzione del quiz.
Ciao

[nino280]

E sia. Lo faccio.
Conformemente ai dati del quiz e adoperando il teorema di Fermat - Torricelli che nemmeno io conoscevo, ho trovato il valore : vedere disegno.
Io l'ho ottenuto come si vede dall' intersezione dei tre circocentri degli equilateri costruiti sui lati. Ma ci si arrivava ugualmente congiungendo i vertici opposti degli equilateri (cioè la loro intersezione)
Ciao

[aspesi]

Erasmus

@ nino280 e aspesi:
I vostri risultati (entrambi 22 e rotti decimali) sono sbagliati!
–––––

Avevo detto che Erasmus non sapeva risolvere questo problema...
Adesso, non so se è colpa del tuo procedimento o solo dei calcoli che hai sbagliato.

Ti consiglio comunque di (ri)leggere bene i miei messaggi precedenti; per approfondire, cerca con google "Punto di Fermat"

[aspesi]

nino280

Ciao

(ma l'area è espressa al quadrato; se i lati dei quadratini sono a, l'area del triangolo è 5/2a^2; nel tuo caso a=10 mm, quindi l'area è 250 mm^2)

[aspesi]

nino280

E sia. Lo faccio.
Conformemente ai dati del quiz e adoperando il teorema di Fermat - Torricelli che nemmeno io conoscevo, ho trovato il valore : vedere disegno.
Io l'ho ottenuto come si vede dall' intersezione dei tre circocentri degli equilateri costruiti sui lati. Ma ci si arrivava ugualmente congiungendo i vertici opposti degli equilateri (cioè la loro intersezione)
Ciao

Il risultato è praticamente uguale a quello che avevo trovato io facendo un disegnino a mano (l'avevo scritto in un messaggio precedente, 22,0267*) e conferma che il valore trovato da Erasmus (23 e rotti) è sbagliato )



*Coordinate del Punto di Fermat (x=2,95, y=2,55) considerando il vertice A come origine (x=0, y=0)

[nino280]

aspesi

*Coordinate del Punto di Fermat (x=2,95, y=2,55) considerando il vertice A come origine (x=0, y=0)

Per quanto riguarda le coordinate del Punto di Fermat io trovo (andando a rilevare i valori) una leggera differenza rispetto ai tuoi valori.
Precisamente x = 2,93794 e y = 2,50595
Ciao
Invece per il calcolo che ha fatto Erasmus, credo di aver capito dove può aver sbagliato, l'ho letto una sola volta il suo paper e anche molto velocemente.
C'è un lato che è radice di 170 e non radice di 240.
Ad ogni modo come si vede, la differenza fra queste somme di distanze fra i due sistemi, cioè fra la condizione dell'incentro e la condizione del punto di Fermat, è quasi impercettibile, essendo di circa 0,1 e sarebbe fra il 22.13622 ed il 22.0265.

[Erasmus]

nino280

Non capisco cosa vai scrivendo. [...]

Ma quanto valevano i lati?
Ah: un lato era √(170). Io invece ero convinto – mi pareva di ricordarli a memoria – che i lati fossero
[a, b, c] = [10, √(240), √(250)].
Ho preso dunque 240 al posto di 170.
Ho scritto infatti:

Erasmus

[...] per
a^2 = 100; b^2 = 240; c^2 = 250
ho trovato:
x ≈ 11,945154105395;
y ≈ 5,98505524oo59:
z ≈ 5,559333892535.
E quindi la somma minima delle distanze di P dai vertici è:
x + y + z ≈ 23,489543237989.

aspesi

Sono buono, non ti faccio perdere tempo con le derivate, questo punto, graficamente, si trova facilmente (più o meno come hai scritto tu)

Esattamente come ho fattoi io! I punti H, K ed L sono infatti i centri dei cerchi circoscritti i tuoi tre tringoli equilateri.
Quanto alle derivate ... e come faresti a dismostrare che i lati sono visti da quel punto sotto l'angolo di 120 gradi?.
Invece, per il significto dei termini di quelle derivte (da me già rilevato) è facile !
Nella derivata rispetto ad x i tre termini sono tre coseni degli angoli fatti dai tre segmenti "distanze" con l'asse delle ascisse x; e nella derivata rispetto ad y i oseni degli angoli con l'asse delle ordinte, cioè i seni degli angoli con l'asse delle ascisse.
Allora, combinando, hai tre vettori tutti eoi intensità 1 con somma zero: cosa possibile xsolo se uno è inclinato sugli altri di ±120 gradi,
Ma se non parti con le derivte come la trovi la regola dei 120 gradi?
Infine: la domanda era di determinare dove sta il punyo o di dire quant'è quella somma minima?.
Penso che sarai fd'accordo che è più breve il mio procedimento che quello di trovare esattanente il punto con la Geometria Analitica per poi calcolare le tre distanze. Io ottengo direttamente le equazioni in ciascuna distanza come incognita, Equazioni irrzionali che però con i moderni mezzi di calcolo hanno la stessa difficoltà delle equazioni di secondo grado.
––––––––-

[Erasmus]

aspesi

[...]
E' chiaro che AD=4 ; DE=3 ; AE=5 [...]

E' chiaro?
Può darsi ... ma per un cieco chiaro o scuro fa lo stesso!
Però un cieco intelligente e colto capirebbe una adeguata spiegazione.

aspesi

Un modo:

similitudine triangoli rettangoli
6 : ED = (6 + AD) : 5

AD = RADQ(25 - ED^2) [...]

Vedi mo'? Toh che il cieco per il quale chiaro o scuro fa lo stesso capisce al volo questa adeguata spiegazione!
Adesso il cieco procederà da solo (e a modo suo), forse rifacendo quiel che altri ha già fatto.
––––––––
Metto x = ED e y = AD (e tengo conto del fatto che anche AE = 5)
Siccome EC è parallela ad AB i triangoli rettngoli CDE e ACB sono simili.
Allora:
(6+y)/6 = 5/x ==> y = 30/x – 6 = 6(5–x)/x ==> y^2 = 36[(5 – x)^2]/x^2.
Dal triangolo rettangolo ADE [essendo AE = 5] ricavo:
y^2 = 25 – x^2 ==> y^2 = (5+x)(5–x).
Eliminando y ho dunque l'equqaione in x:
(x^2)(5+x)(5–x)) = 36(5 – x)^2
Scarto subito la soluzione x = 5 che mi darebbe l'assurdo y = 0 e allora mi resta:
P(x) =x^3 + 5x^2 +36x = 180.
Prima di imbarcarmi per andar a risolvere un'equazione di 3° grado guardo se, per caso, c'è qualche soluzione intera positiva.
P(1) = 1 + 5 + 36 = 42 (troppo poco!)
P(2) = 8 + 20 + 72 = 90 (ancora poco).
P(3) = 27 + 45 + 108 = 72 + 108 = 180 OK!
Una soluzione accerttabile è dunque x = 3.
Se divido P(x) – 180 per x – 3 trovo x^2 + 8x + 6 0 i cui zeri non sono reali.
Dunque l'unica soluzione accettabile è x = 3 e di conseguenza
y = 6(5 – 3)/3 = 4.
Allora posso trovare il diametro del cerchio:
2r = √[(4+6)^2 + 5^2] = 5√(5)
e quindi risalire al'angolo al centro di BC (che è
2arcsin{5/[5√(5)]}= 2arcsin[√(5)/5]
e a quello di EC che sarà π – 4arcsin[√(5)/5].
Calcolata allora l'area derlla lunetta di corda EC [sotrraendo il triangolo isodcele OEC al relativo settore], le si aggiunge l'area del triangolo CDE che è 9.
Il conto se lo faccia qualcun altro!
Al cieco basta aver capito come si arriva alla soluzione
–––––––––––

[aspesi]

Giochi della Bocconi