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#181 | ||
Utente Super
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 7,081
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---------- Vediamo il quiz "corretto e riiveduto" ... 4R^2 = (1000A1 + 100B1 + 10C1 + D1) = N1. (1) Ciò comporta che R è un intero da due cifre . [Se ne avesse di meno 4R^2 non arriverebbe a 400 (3 cifre) e se ne avesse di più 4R^2 supererebbe il milione (6 cifre)]. N1 è un quadrato perfetto divisibile per 4. Perciò R è un numero compreso tra 16 e 49 inclusi, [32^2 > 999 e 98^2 < 10000]: 16 ≤ R ≤ 49 (a). (4/3)*R^3 = (1000A2 + 100B2 + 10C2 + D2) = N2. (2) Ciò comporta: R^3 = 3*(1000A2 + 100B2 + 10C2 + D2)/4 = 3*N2/4. N2 è divisibile per 4 (perché R^3 è intero) e per 9 (perché R^3 è divisibile per 3, ed essendo R intero, R^3 deve essere divisibile per 27). R è un intero divisibile per 3 maggiore di 9 (ossia R^3 ≥ 750) e minore 20 (ossia R^3 ≤ 7500). Riassumendo (a) 16 ≤ R ≤ 49; (b) 10 ≤ R ≤ 19; (c) R mod 3 = 0. Morale: soluzione unica: R = 18 N1 = 1296 N2 = 7776. --------------------------------- P.S. Vale sempre l'osservazione di prima: aspesi, aspesi: ![]() ![]() ![]() [I. e. : non ci credo che per te la soluzione del quiz fosse poco chiara ... ] -------- ![]()
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Erasmus «NO a nuovi trattati intergovernativi!» «SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!» Ultima modifica di Erasmus : 04-12-10 09:19. |
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#182 | |
Utente Super
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Data di registrazione: Nov 2009
Ubicazione: Terra dei Walser
Messaggi: 7,818
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![]() Quote:
![]() Quello che hai scritto è chiarissimo! Però, ti invito a spiegare questo: B=base dei numeri Affinché sia S che V siano rappresentati da 4 cifre, deve essere: 36n^2 >= B^3 36n^3 < B^4 Cioè: n >= B^(3/2)/6 n < B^(4/3)/6^(2/3) L'esponente di B bella prima disequazione è maggiore che nella seconda. Questo dovrebbe significare che le due curve si incontrano in due punti, che le soluzioni sono finite e si trovano comprese fra due estremi. (Vedi che non dico bugie?) ![]() Ciao Nino |
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#183 | |
Utente Super
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 7,081
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Ed in funzione di quali variabili? n e B con continuità per individuare regioni in cui ci stiano punti con n e B interi? ![]() Questo sì ![]() Ma non c'è niente da spiegare! Cambiando base o numero di cifre il numero di soluzioni può essere ZERO, UNO o PIU' DI UNO. Per esempio, per base ancora 10 ma numero di cifre 3, hai due soluzioni: a) R = 6; N1 = 4·R^2 = 144; N2 = (4/3)·R^3 = 288 b) R = 9; N1 = 4·R^2 = 324; N2 = (4/3)·R^3 = 972 Ma ... de hoc satis, dai! ![]() ----------- ![]()
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Erasmus «NO a nuovi trattati intergovernativi!» «SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!» |
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#184 | |
Utente Super
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Data di registrazione: Nov 2009
Ubicazione: Terra dei Walser
Messaggi: 7,818
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![]() Quote:
Però, ad "occhio", io pensavo che, prescindendo dalle basi B, ci fossero infinite soluzioni. E invece, no! Non so se dico una sciocchezza, ma le soluzioni dovrebbero essere finite proprio perché, esaminando le due disequazioni che ho riportato prima, il limite inferiore cresce più rapidamente di quello superiore. Facendo i conti, tutte le soluzioni, ammesso ci siano, si trovano comprese fra B=0 e B=36 ![]() Nino |
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#185 | |
Utente Super
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 7,081
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![]() Quote:
Come ti è venuto il"sospetto" di infinite ![]() Proviamo ad esporre il problema in termini generalizzati senza mai coinvolgere la rappresentazione dei numeri. «Dati i numeri interi positivi b ed n, determinare i numeri x – se esistono! – per ciascuno dei quali risulti che: Codice:
4·x^2 è intero positivo; | (4/3)·x^3 è intero positivo; b^(n–1) ≤ 4·x^2 < b^n. | b^(n–1) ≤ (4/3)·x^3 < b^n. Posto y = 2x, le precedenti condizioni equivalgono a quest'altre: Codice:
1 y^2 è intero; | 3 y^3 è intero positivo multiplo di 6; 2 b^(n–1) ≤ y^2 < b^n.| 4 6·b^(n–1) ≤ y^3 < 6·b^n. Allora dalla 3) viene che y è divisibile per 6, [altrimenti nemmeno il suo cubo sarebbe divisibile per 6]. Pertanto, tornando a x = y/2: Codice:
5 x è intero divisibile per 3; 6 (1/4) b^(n–1) ≤ x^2 < (1/4)·(b^n); 7 (3/4)·b^(n–1) ≤ x^3 < (3/4)·(b^n). Allora: • Elenchiamo in un insieme A i numeri interi positivi multipli di tre il cui quadrato sia compreso tra [b^(n–1)] /4 e (b^n – 1)/4 inclusi. • Elenchiamo in un insieme B i numeri interi positivi multipli di tre il cui cubo sia compreso tra (3/4)·[b^(n–1)] e (3/4)·[(b^n )– 1] inclusi. • Consideriamo l'intersezione C degli insiemi A e B. Gli (eventuali) elementi di C sono le soluzioni x del problema. Per esempio, per b = 10 e n = 4 otteniamo: A = {x| x intero positivo multiplo di 3 e √(250) ≤ x < √(2500)} = {18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48}; B = {x| x intero positivo multiplo di 3 e (750)^(1/3) ≤ x < (2500)^(1/3) = {12, 15, 18}; C = A intersecato B = {18}. Soluzione unica x = 18. Cose del tutto anologhe succedono per altro b e/o altro n. ![]() Bye bye ![]()
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Erasmus «NO a nuovi trattati intergovernativi!» «SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!» Ultima modifica di Erasmus : 06-12-10 11:39. |
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#186 | |
Utente Super
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Data di registrazione: Nov 2009
Ubicazione: Terra dei Walser
Messaggi: 7,818
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![]() Queste sono alcune (nell'ordine, raggio .... superficie .... volume): base 3: .... 3 = 10 .... 1100 .... 1100 base 5: .... 6 = 11 .... 1034 .... 2123 base 6: .... 9 = 13 .... 1300 .... 4300 base 7: ....12 = 15 .... 1452 .... 6501 base 8: ....12 = 14 .... 1100 .... 4400 base 9: ....15 = 16 .... 1210 .... 6150 base 10: ....18 = 18 .... 1296 .... 7776 base 11: ....21 = 1,10 .... 1364 .... 9306 base 12: ....21 = 19 .... 1030 .... 7190 base 12: ....24 = 20 .... 1400 .... 10,800 base 13: ....24 = 1,11 .... 1434 .... 11,12,3,10 base 14: ....27 = 1,13 .... 10,12,4 .... 97,12,8 base 15: ....30 = 20 .... 1100 .... 10,10,00 base 15: ....33 = 23 .... 1456 .... 14,2,14,6 base 16: ....33 = 21 .... 1104 .... 11,11,2,12 base 16: ....36 = 24 .... 1440 .... 15,300 base 17: ....36 = 22 .... 10,15,16 ....12,11,45 ............... base 33: ....96 = 2,30 .... 10,28,3 .... 32,27,7,30 Non ci sono soluzioni in base 4, 32, 34, 35, mentre per alcune ci sono due soluzioni. Al prossimo quiz... ![]() ![]() Ultima modifica di aspesi : 06-12-10 14:16. |
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#187 |
Utente Super
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Data di registrazione: Nov 2009
Ubicazione: Terra dei Walser
Messaggi: 7,818
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![]() La somma delle lunghezze dei lati di un triangolo vale 18 cm, mentre la somma dei quadrati delle lunghezze dei lati vale 128 cm^2.
Fra questi quattro valori (16, 14, 11, 9 cm^2), qual è la misura corretta dell'area del triangolo? ![]() |
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#188 | |
Utente Super
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Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 7,081
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2x + y = 18 cm; 2·x^2 + y^2 = 128 cm^2. Risolvendo il sistema si troverebbe x = [18+√(30)]/3 cm ≈ (circa) 7,8257 ... cm y = [18 –2√(30)]/3 cm ≈(circa) 2,3485 ... cm L'area sarebbe allora [9–√(30)]·√[3+2√(10/3] cm^2 ≈ (circa) 9,085401009 ... cm^2 Nessuno dei numeriproposti come area andrebbe bene esattamente. Propendo, ma non sono sicuro, per un triangolo leggermente scaleno, con lati quasi uguali a quelli appena detti e con l'area di 9 cm^2. Ciao, ciao
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Erasmus «NO a nuovi trattati intergovernativi!» «SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!» |
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#189 | |
Utente Super
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Ubicazione: Terra dei Walser
Messaggi: 7,818
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![]() Però, il valore 9,0854... che hai trovato rappresenta il valore massimo della superficie. Ponendo S=esattamente 9 cm^2, di che triangolo si tratta e quanto sono lunghi i 3 lati? ![]() |
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#190 |
Utente Super
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Ubicazione: Torino
Messaggi: 9,520
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![]() Se accettiamo come soluzione 9,qualche cosa dovremmo accettare anche 14,qualchealtracosa.
Se il perimetro è 18 p il semiperimetro è 9. Da Erode o era Erone, vado a memoria: piperpimenoaperpimenobperpimenoctuttosottoradice = S Ho dato dei valori ai lati affinchè il 2p sia 18 per 7 ; 6 ; 5 ottengo con Erone la radice di 216 e quindi un'area di 14,6969 Se assuno 2p = 8 ; 5 ; 5 ottengo sempre con Erode o era Erone la radice di 144 e quindi un'area di 12 cm^2 Ora mi aspetto le ca...ate di Erasmus per il mio modo di fare matematica. ![]() ![]() ![]() |
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