Qualche quiz

[Erasmus]

aspesi

E bravo Erasmus... così ci arrivavo anch'io...
Il problema non è (forse) molto chiaro, ma vuole che sia la superficie, che il volume di una particolare sfera siano rispettivamente uguali a pi.greco()*N e pi.greco()*N1, dove sia N che N1 sono entrambi di 4 cifre.

Questo è tutt'altro da quello che avevi chiesto prima: problema chiarissmo, inequivocabile. Rileggiti:

aspesi

La superficie e il volume di una sfera sono uguali a pigreco volte un numero di 4 cifre.
Quanto vale il raggio?

Cioè: hai parlato di "un numero di 4 cfre" ... e vorresti che chi legge ne pensi due diversi (di numeri di 4 cifre)?
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Vediamo il quiz "corretto e riiveduto" ...
4R^2 = (1000A1 + 100B1 + 10C1 + D1) = N1. (1)
Ciò comporta che R è un intero da due cifre .
[Se ne avesse di meno 4R^2 non arriverebbe a 400 (3 cifre) e se ne avesse di più 4R^2 supererebbe il milione (6 cifre)].
N1 è un quadrato perfetto divisibile per 4.
Perciò R è un numero compreso tra 16 e 49 inclusi, [32^2 > 999 e 98^2 < 10000]:
16 ≤ R ≤ 49 (a).

(4/3)*R^3 = (1000A2 + 100B2 + 10C2 + D2) = N2. (2)
Ciò comporta:
R^3 = 3*(1000A2 + 100B2 + 10C2 + D2)/4 = 3*N2/4.
N2 è divisibile per 4 (perché R^3 è intero) e per 9 (perché R^3 è divisibile per 3, ed essendo R intero, R^3 deve essere divisibile per 27).
R è un intero divisibile per 3 maggiore di 9 (ossia R^3 ≥ 750) e minore 20 (ossia R^3 ≤ 7500).
Riassumendo
(a) 16 ≤ R ≤ 49;
(b) 10 ≤ R ≤ 19;
(c) R mod 3 = 0.

Morale: soluzione unica:
R = 18
N1 = 1296
N2 = 7776.

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P.S.
Vale sempre l'osservazione di prima:
aspesi, aspesi: non sta bene dire le bugie!

[I. e. : non ci credo che per te la soluzione del quiz fosse poco chiara ... ]
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[aspesi]

Erasmus

Morale: soluzione unica: (se B=10: questo l'ho aggiunto io...)
R = 18
N1 = 1296
N2 = 7776.

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P.S.
Vale sempre l'osservazione di prima:
aspesi, aspesi: non sta bene dire le bugie!

[I. e. : non ci credo che per te la soluzione del quiz fosse poco chiara ... ]
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Quello che hai scritto è chiarissimo!

Però, ti invito a spiegare questo:

B=base dei numeri
Affinché sia S che V siano rappresentati da 4 cifre, deve essere:
36n^2 >= B^3
36n^3 < B^4

Cioè:
n >= B^(3/2)/6
n < B^(4/3)/6^(2/3)

L'esponente di B bella prima disequazione è maggiore che nella seconda.
Questo dovrebbe significare che le due curve si incontrano in due punti, che le soluzioni sono finite e si trovano comprese fra due estremi.
(Vedi che non dico bugie?)

Ciao
Nino

[Erasmus]

aspesi

[...]
Però, ti invito a spiegare questo:

B=base dei numeri
Affinché sia S che V siano rappresentati da 4 cifre, deve essere:
36n^2 >= B^3
36n^3 < B^4

Cioè:
n >= B^(3/2)/6
n < B^(4/3)/6^(2/3)

L'esponente di B nella prima disequazione è maggiore che nella seconda.
Questo dovrebbe significare che le due curve si incontrano in due punti, ...

Quali "curve"? quelle ... di confine delle regioni (con "=" al posto di "≤" o "≥")?
Ed in funzione di quali variabili?
n e B con continuità per individuare regioni in cui ci stiano punti con n e B interi?

aspesi

... che le soluzioni sono finite e si trovano comprese fra due estremi.

Questo sì
Ma non c'è niente da spiegare!
Cambiando base o numero di cifre il numero di soluzioni può essere ZERO, UNO o PIU' DI UNO.
Per esempio, per base ancora 10 ma numero di cifre 3, hai due soluzioni:
a) R = 6; N1 = 4·R^2 = 144; N2 = (4/3)·R^3 = 288
b) R = 9; N1 = 4·R^2 = 324; N2 = (4/3)·R^3 = 972

Ma ... de hoc satis, dai!
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[aspesi]

Erasmus

Quali "curve"? quelle ... di confine delle regioni (con "=" al posto di "≤" o "≥")?
Ed in funzione di quali variabili?
n e B con continuità per individuare regioni in cui ci stiano punti con n e B interi?

Questo sì
Ma non c'è niente da spiegare!
Cambiando base o numero di cifre il numero di soluzioni può essere ZERO, UNO o PIU' DI UNO.
Per esempio, per base ancora 10 ma numero di cifre 3, hai due soluzioni:
a) R = 6; N1 = 4·R^2 = 144; N2 = (4/3)·R^3 = 288
b) R = 9; N1 = 4·R^2 = 324; N2 = (4/3)·R^3 = 972

Ma ... de hoc satis, dai!
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OK, se ne è parlato abbastanza...

Però, ad "occhio", io pensavo che, prescindendo dalle basi B, ci fossero infinite soluzioni.

E invece, no!

Non so se dico una sciocchezza, ma le soluzioni dovrebbero essere finite proprio perché, esaminando le due disequazioni che ho riportato prima, il limite inferiore cresce più rapidamente di quello superiore.
Facendo i conti, tutte le soluzioni, ammesso ci siano, si trovano comprese fra B=0 e B=36


Nino

[Erasmus]

aspesi

... ad "occhio", io pensavo che, prescindendo dalle basi B, ci fossero infinite soluzioni. ...

Che intendi dire dicendo « prescindendo dalle basi B? ».
Come ti è venuto il"sospetto" di infinite soluzioni?

Proviamo ad esporre il problema in termini generalizzati senza mai coinvolgere la rappresentazione dei numeri.

«Dati i numeri interi positivi b ed n, determinare i numeri x – se esistono! – per ciascuno dei quali risulti che:

4·x^2 è intero positivo; | (4/3)·x^3 è intero positivo;
b^(n–1) ≤ 4·x^2 < b^n.   | b^(n–1) ≤ (4/3)·x^3 < b^n. 

Discussione del problema
Posto y = 2x, le precedenti condizioni equivalgono a quest'altre:

1 y^2 è intero;       | 3  y^3 è intero positivo multiplo di 6;
2 b^(n–1) ≤ y^2 < b^n.| 4  6·b^(n–1) ≤ y^3 < 6·b^n. 

Dalle 1) e 3) viene che y è intero. Infatti y deve essere radice quadrata d'un intero e radice cubica di un intero, [e se fosse radice quadrata d'un intero ma non intero, il suo cubo non sarebbe intero].
Allora dalla 3) viene che y è divisibile per 6, [altrimenti nemmeno il suo cubo sarebbe divisibile per 6].
Pertanto, tornando a x = y/2:

5  x è intero divisibile per 3;
6  (1/4) b^(n–1) ≤ x^2 < (1/4)·(b^n);
7  (3/4)·b^(n–1) ≤ x^3 < (3/4)·(b^n).

Il numero di soluzioni per x intero è senz'altro finito essendo x^2 e x^3 funzioni strettamente crescenti con x (reale) ed essendo il valore ammesso d iqueste funzioni limitato sia superiormente che inferiormente.
Allora:
• Elenchiamo in un insieme A i numeri interi positivi multipli di tre il cui quadrato sia compreso tra [b^(n–1)] /4 e (b^n – 1)/4 inclusi.
• Elenchiamo in un insieme B i numeri interi positivi multipli di tre il cui cubo sia compreso tra (3/4)·[b^(n–1)] e (3/4)·[(b^n )– 1] inclusi.
• Consideriamo l'intersezione C degli insiemi A e B.
Gli (eventuali) elementi di C sono le soluzioni x del problema.

Per esempio, per b = 10 e n = 4 otteniamo:
A = {x| x intero positivo multiplo di 3 e √(250) ≤ x < √(2500)} = {18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48};
B = {x| x intero positivo multiplo di 3 e (750)^(1/3) ≤ x < (2500)^(1/3) = {12, 15, 18};
C = A intersecato B = {18}.
Soluzione unica x = 18.

Cose del tutto anologhe succedono per altro b e/o altro n.

Bye bye

[aspesi]

Erasmus

.........

Per esempio, per b = 10 e n = 4 otteniamo:
A = {x| x intero positivo multiplo di 3 e √(250) ≤ x < √(2500)} = {18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48};
B = {x| x intero positivo multiplo di 3 e (750)^(1/3) ≤ x < (2500)^(1/3) = {12, 15, 18};
C = A intersecato B = {18}.
Soluzione unica x = 18.

Cose del tutto anologhe succedono per altro b e/o altro n.

Bye bye

, ci sono 38 soluzioni, al variare della base.

Queste sono alcune (nell'ordine, raggio .... superficie .... volume):
base 3: .... 3 = 10 .... 1100 .... 1100
base 5: .... 6 = 11 .... 1034 .... 2123
base 6: .... 9 = 13 .... 1300 .... 4300
base 7: ....12 = 15 .... 1452 .... 6501
base 8: ....12 = 14 .... 1100 .... 4400
base 9: ....15 = 16 .... 1210 .... 6150
base 10: ....18 = 18 .... 1296 .... 7776
base 11: ....21 = 1,10 .... 1364 .... 9306
base 12: ....21 = 19 .... 1030 .... 7190
base 12: ....24 = 20 .... 1400 .... 10,800
base 13: ....24 = 1,11 .... 1434 .... 11,12,3,10
base 14: ....27 = 1,13 .... 10,12,4 .... 97,12,8
base 15: ....30 = 20 .... 1100 .... 10,10,00
base 15: ....33 = 23 .... 1456 .... 14,2,14,6
base 16: ....33 = 21 .... 1104 .... 11,11,2,12
base 16: ....36 = 24 .... 1440 .... 15,300
base 17: ....36 = 22 .... 10,15,16 ....12,11,45
...............
base 33: ....96 = 2,30 .... 10,28,3 .... 32,27,7,30

Non ci sono soluzioni in base 4, 32, 34, 35, mentre per alcune ci sono due soluzioni.


Al prossimo quiz...

[aspesi]

La somma delle lunghezze dei lati di un triangolo vale 18 cm, mentre la somma dei quadrati delle lunghezze dei lati vale 128 cm^2.
Fra questi quattro valori (16, 14, 11, 9 cm^2), qual è la misura corretta dell'area del triangolo?

[Erasmus]

aspesi

La somma delle lunghezze dei lati di un triangolo vale 18 cm, mentre la somma dei quadrati delle lunghezze dei lati vale 128 cm^2.
Fra questi quattro valori (16, 14, 11, 9 cm^2), qual è la misura corretta dell'area del triangolo?

Se il triangolo fosse isoscele avremmo due lati lunghi x ed uno lungo y con
2x + y = 18 cm;
2·x^2 + y^2 = 128 cm^2.

Risolvendo il sistema si troverebbe
x = [18+√(30)]/3 cm ≈ (circa) 7,8257 ... cm
y = [18 –2√(30)]/3 cm ≈(circa) 2,3485 ... cm
L'area sarebbe allora [9–√(30)]·√[3+2√(10/3] cm^2 ≈ (circa) 9,085401009 ... cm^2

Nessuno dei numeriproposti come area andrebbe bene esattamente.

Propendo, ma non sono sicuro, per un triangolo leggermente scaleno, con lati quasi uguali a quelli appena detti e con l'area di 9 cm^2.

Ciao, ciao

[aspesi]

Erasmus

Nessuno dei numeriproposti come area andrebbe bene esattamente.

Propendo, ma non sono sicuro, per un triangolo leggermente scaleno, con lati quasi uguali a quelli appena detti e con l'area di 9 cm^2.

Ciao, ciao

Il risultato (area = 9 cm^2) è giusto
Però, il valore 9,0854... che hai trovato rappresenta il valore massimo della superficie.

Ponendo S=esattamente 9 cm^2, di che triangolo si tratta e quanto sono lunghi i 3 lati?

[nino280]

Se accettiamo come soluzione 9,qualche cosa dovremmo accettare anche 14,qualchealtracosa.
Se il perimetro è 18 p il semiperimetro è 9.
Da Erode o era Erone, vado a memoria:
piperpimenoaperpimenobperpimenoctuttosottoradice = S
Ho dato dei valori ai lati affinchè il 2p sia 18
per 7 ; 6 ; 5 ottengo con Erone la radice di 216 e quindi un'area di 14,6969
Se assuno 2p = 8 ; 5 ; 5 ottengo sempre con Erode o era Erone la radice di 144 e quindi un'area di 12 cm^2
Ora mi aspetto le ca...ate di Erasmus per il mio modo di fare matematica.