Qualche quiz

[nino280]

Prendo una strisciolina di carta, un rettangolo, di altezza 0,9 e lunghezza quanto voglio, mezzo giro incollo i lati da 0,9 e ne faccio un anello di Mobius. A questa figura è sparita una altezza, ma ha una superficie unica, sia davanti che dietro l'ex rettangolo e quindi doppia.
Ciao

[Erasmus]

aspesi

Se hai voglia e tempo...

Già alla prima aggiunta le derivate parziali ti incasinano ...

Ma il dodecagono irregolare (cioè: con una prima aggiunta di triangoli isosceli sui lati inclinati su quelli del quadrato) l'ho provato.

[La mia Calcolatrice Grafica mi permette di entrare con una funzione di una sola variabile continua (obbligatoriamente di nome x) più un parametro ... quantizzato (obbligatoriamente di nome n) che si può variare (a scatti di passi uguali) tra un minimo ed un massimo muovendo col mouse su una specie di cursore (tipo quello di un player)].

Ho trovato dunque un dodecagono irregolare con un rapporto
area/perimetro ≈ (1/4)·1,0545322...
Ciascuno degli 8 vertici che stanno sui lati del quadrato dista dal vertice prossimo del quadrato
x ≈ 0,19313.
Ciascuno degli altri 4 vertici (che stanno sulle diagonali del quadrato) dista dal vertice prossimo del quadrato
y ≈ [(1–0,2689)/√(2)]·x ≈ (0,27311/1,41421]·0,19313 ≈ 0,09984 ≈ 1/10
--------
Sarebbero da considerare anche le curve chiuse di equazione cartesiana:
(2|x|)^k + (2|y|)^k = 1
per k crescente.
[Per k=1 viene una losanga quadrata di diagonale lunga 1. Per k = 2 viene un cerchio. Per k tendente a oo la curva tende al quadrato di lato 1)
Per k > 2 il rapporto area/perimetro è certamente maggiore di 1. Ma la curva circonferenza non si lascia integrare se non per via numerica.
Potrebbe darsi che il massimo assoluto area/perimetro ce l'abbia una forma siffatta per opportuno k.
Guarda infatti cosa succede al variare di k:

=> (2|x|)^k + (2|y|)^k =1 (per vari k)

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[aspesi]

Erasmus

Ho trovato dunque un dodecagono irregolare con un rapporto
area/perimetro ≈ (1/4)·1,0545322...

Quindi è superiore a S/P=0,261755.. dell'ottagono, ma inferiore a S/P=0,265079...delle smussature arrotondate

Erasmus

Guarda infatti cosa succede al variare di k:

=> (2|x|)^k + (2|y|)^k =1 (per vari k)

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Bello!
Ma rimango dell'avviso che il massimo sia con l'arrotondamento dell'ottagono irregolare (x=0,2651...):
Perimetro = 2*pi.greco*x + 4*(1-2x) = 3,544872...
Area = pi.greco*x^2 + 2*[(1-2x)*1] - (1-2x)^2 = 0,939673...

[astromauh]

nino280

Prendo una strisciolina di carta, un rettangolo, di altezza 0,9 e lunghezza quanto voglio, mezzo giro incollo i lati da 0,9 e ne faccio un anello di Mobius. A questa figura è sparita una altezza, ma ha una superficie unica, sia davanti che dietro l'ex rettangolo e quindi doppia.
Ciao

Hai visto troppe volte questo film.

[nino280]

Interessante. La scena si ripete e torna al punto di partenza , e potremmo andare avanti all'infinito, proprio come in un anello di Mobius che dopo due giri si ritorna al punto di partenza.
Aspesi nel quiz non ha specificato se si tratta di una "figura" piana, ma credo che ciò sia sottinteso. Chi lo sa magari la pellicola del film era essa stessa un anello di Mobius.

[aspesi]

nino280

Aspesi nel quiz non ha specificato se si tratta di una "figura" piana, ma credo che ciò sia sottinteso.

Certo, si trattava di costruire all'interno del quadrato 1*1 una figura (con le stesse caratteristiche del quadrato) che presentasse un valore del rapporto Area/Perimetro superiore a quello del quadrato originale e del cerchio inscritto.

[Erasmus]

aspesi

... rimango dell'avviso che il massimo sia con l'arrotondamento dell'ottagono irregolare (<area>/<perimetro>=0,265079...):
Perimetro = 2*pi.greco*x + 4*(1-2x) = 3,544872...

Ho trovato un'altra forma ... "competiva"!
Ma il record [dello smusso circolare] resiste.

Al posto dello smusso circolare ho messo uno smusso sinusoidale. (*) il "!massimo" capita per un arco più lungo (ossia: si riduce la parte rettilinea del contorno)
Il rapporto <area>/<perimetro> è solo 2 per mille minore di quello con lo smusso circolare.

(*) NB: Il rapporto tra la lunghezza L dell'arco della sinusoide in mezzo periodo ed il semiperiodo stesso vale circa 1.216008.
Guarda qua:
=> Smussi sinusoidali PNG

[Erasmus]

Si vede un'immagine o un link costituito da un indirizzo URL ... abbreviato (nel senso che contiene puntini "...")?

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[nino280]

Se non disturbo thiè

[nino280]

Erasmus

Si vede un'immagine o un link costituito da un indirizzo URL ... abbreviato (nel senso che contiene puntini "...")?

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Qui non si vede un bel niente. Invece l'immagine l'ho aperta da :


Smussi sinusoidali PNG