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Vecchio 30-03-12, 12:33   #1091
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

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aspesi Visualizza il messaggio
Erasmus, di tutto quello che hai scritto ho capito pochissimo (e sfido qualche altro lettore ad affermare il contrario)

Non sei molto ... accattivante!

Uno incomincia a leggere, e finché capisce va avanti. Si ferma dopo aver letto e non capito qualcosa che non gli fa capire (con certezza) la frase. Cioè: Se non capisce, c'è una prima frase che non capisce (magari anche la prima che ha letto).
Da che punto del mio 'post' incomincia l'incomprensione?
Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Come sai, questi problemi mi sono particolarmente ostici.
L'hai 'postato' tu!
¿ L'hai fatto per postare un quiz, o solo per me perché davvero ti spiegassi come si risolve?
In generale, per trovare un massimo o un minimo relativo (cioè interno al dominio, non di confine) di una funzione ... bisogna pur conoscerla la funzione! [Mi pare che tu prima mi chiedi per che inclinazione il "pelo libero" sta alla massima altezza; e poi qual è l'andamento dell'altezza al variare dell'inclinazione!]
Se "alfa" è l'inclinazione (0 a vaso bello fermo e verticale), si trova facilmente che (detta L la lunghezza del lato della base– che là era assunta 1 –), l'altezza, al variare di "alfa" vale
h(alfa) = L[(1/2)·sin(alfa) + cos(alfa)]
A questo risultato ci arrivi facilmente anche tu se riconsideri la figura che ho fatto apposta!
Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Dico quello che mi è un po' più chiaro, e come mi sentirei di affrontarlo io (ci ho perso più di un'ora...)
1) Non ho molta sintonia spaziale. Anziché i volumi, guarderei quindi l'area di una sezione ortogonale allo spigolo d'appoggio.
Oh bella! E io che ho fatto?
Ma l'hai vista la figura? Tu sei partito con fondo [del vaso] quadrato (base quadrata del parallelepipedo). Ma un lato della base può essere di lunghezza qualsiasi. L'importante è che quello di lunghezza qualunque sia lo spigolo-perno (nella rotazione che inclina il vaso) e che l'altezza dell'acqua a vaso non inclinato sia uguale allo spigolo della base ... che si inclina (che gira in un piano verticale) dell'angolo 'alfa' rispetto all'orizzontale), attorno ad un estremo che resta dov'è, cioè a terra sempre nello stesso punto).

Riconsidera la mia figura.
Ci sono due vasi. A sinistra la situazione reale.
A destra, per comodità (....del nostro abituale ragionare geometricamente nelle direzioni orizzontale/verticale) ho girato la direzione verticale vera in senso antiorario invece di girare il vaso in senso orario.
Vedi allora che al variare dell'iclinazione, la direzione della retta per il centro C del "pelo libero" ha equazione y = mx + L, dove m = tan(alfa) [e alfa è l'inclinazione come dici tu]
Ma, per comodità, abbiamo preso L = 1.
Allora y = mx + 1.
Ci sei fin qua?
Lo spigolo che fa da perno è a destra, visto di profilo come un punto, in posizione
P(L/2, 0). (cioè, con L = 1, ad ascissa xP = 1/2 e ordinata yP = 0).

La retta per P perpendicolare a quella del "pelo libero la interseca in un punto, diciamolo Z.
L'altezza che vuoi sapere al variare dell'inclinazione è la lunghezza del segmento di estremi P e Z, Diciamola
h = |PZ|
Ma la retta del "pelo libero" passa sempre per il suo cento C(0, 1).
Quindi il triangolo rettangolo CZP ha sempre la stessa ipotenusa CP al variare dell'inclinazione: vuol dire che, nella figura di destra, Z si muoverebbe sulla circonferenza di diametro con estremi in C e P.

Analiticamente, se scrivi l'equazione della retta per P perpendicolare a quella del pelo "libero" (che passa per C) trovi (con sistemino lineare) l'intersezione Z (cioè le sue coordinate); da cui la distanza di Z da P, cioè
h = |ZP|
al variare di m nella equazione della retta del "pelo libero" y = mx + 1.
Ti viene h in funzione di m, cioè
h(m) = (m/2 + 1)/√(1 + m^2)
Se ora osservi che m = tan(alfa) ... sei a cavallo!

Ripasso:
[Per comodità di scrittura metto t per tan(alfa), c per cos(alfa) e s per sin(alfa)]
1 + t^2 = 1 + (s/c)^2 = (c^2 + s^2)/c^2 = 1/c^2 –––> c = 1/√(1 + t^2).
s = (s/c)·c = t·c –––> s = t/√(1 + t^2).

Per noi c'è m al posto di t [cioè tan(alfa)].

h(alfa) = (t/2+1)/√(1 + t^2) = [(s/c)/2 + 1]·c = s/2 + c.

Morale
h(alfa) = [(1/2)·sin(alfa) + cos(alfa)]·L

A questo stesso risultato ci arrivi anche in quest'altro modo.
Nel disegno di destra della mia figura, considera la retta per P che rappresenta il fianco destro del vaso: retta verticale nel disegno dove però la verticale vera (fisica) è inclinata di alfa in senso antiorario.
Sia Q l'intersezione di questa retta con la retta del "pelo libero".
Sul segmento di estremi P e Q considera il punto Y che disti da P come C (centro del "pelo liquido") dista da O (centro della base del vaso). Cioè Y di coordinate xY=1/2 e yY = 1.
Allora hai subito
|CY| = 1/2
|PY|= 1
|PQ| = |PY| + |YQ|

E anche:
|YQ|= |CY|· tan(alfa)
!PZ| = |PQ|· cos(alfa).

Pertanto
|PZ| = h(alfa) = |PY| + |YQ|)·cos(alfa) = [1 + (1/2)·tan(alfa)]· cos(alfa) = cos(alfa) + [sin(alfa)]/2

[Come Volevasi Dimostrare ]

Ora, se fai la derivata, trovi che si annulla per tan(alfa) = 1/2.
[Anche se fai la derivata di h(m) trovi che si annulla per m = 1/2]
Se tan(alfa) = 1/2, allora cos(alfa) = 2/√(5) e sin(alfa) = 1/√(5)
Da cui H max = (1/2)·[1/√(5)] + 2/√(5) = [√(5)]/2.
La massima altezza è la distanza (nel disegno) di P da C.
(Per forza! h(alfa) = |PZ| è il cateto di un triangolo rettangolo in cui, al cambiare posto di Z, resta fissa l'ipotenusa |CP| (Z si muove, al variare di alfa, sulla circonferenza che ha un diametro con estremi in C e P)

Sempre nella figura (disegno a destra), se il "tetto" non è tappato, l'acqua comincia ad essere versata quando bagna tutto un fianco (e lascia ascitto tutto quello opposto).
Allora l'altezza è l'altezza geometrica rispetto all'ipotenusa del triangolo rettangolo con cateto minore il lato della base del del vaso (che vale 1) e cateto maggiore la sua altezza (che vale 2).
L'ipotenusa è √(5) e l'altezza (diciamola p) è p = 2/√(5).
Questo avviene ovviamente per
1·sin(alfa) = p = 2·cos(alfa)
Ossia per tan(alfa) = 2
Ed infatti, allora (come verifica):
sin(alfa) = 2/√(1 + 4) = 2/√(5)
cos(alfa) = 1/√(1 + 4) = 1/√(5).
p = (cateto corto)·sin(alfa) =1·sin(alfa) = sin(alfa) = 2/√(5)
p = (cateto lungo)·cos(alfa) = 2·cos(alfa) = 2/√(5)
Ipotenusa = (cateto corto)·cos(alfa) + (cateto lungo)·sin(alfa) = 1·1/√(5) + 2· 2/√(5) = 5/√(5) = √(5)

Ciao ciao
[Ci ho messo molto più di un'ora ]
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Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
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Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 30-03-12, 12:46   #1092
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

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Ma l'hai vista la figura? Tu sei partito con fondo [del vaso] quadrato (base quadrata del parallelepipedo). Ma un lato della base può essere di lunghezza qualsiasi. L'importante è che quello di lunghezza qualunque sia lo spigolo-perno (nella rotazione che inclina il vaso) e che l'altezza dell'acqua a vaso non inclinato sia uguale allo spigolo della base ... che si inclina (che gira in un piano verticale) dell'angolo 'alfa' rispetto all'orizzontale), attorno ad un estremo che resta dov'è, cioè a terra sempre nello stesso punto).

Riconsidera la mia figura.
No, che non ho visto la tua figura.
Non riesco ad aprirla dal tuo messaggio #1065


Ultima modifica di aspesi : 30-03-12 12:58.
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 30-03-12, 12:53   #1093
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
No, che ho visto la tua figura.
Non riesco ad aprirla dal tuo messaggio #1065

Ma ... non ero io quello che non vedeva le figure?
Adesso le vedo benissimo (dopo ... la "spunta" nell'opzione sull'ootimo suggerimento di Nino I).
Provo a ricaricarla.
Aspetta, ché ci metterò un po' di tempo. ...

Vado e torno!!!
---

P.S:
Ho editato.
OCCHIO: le immagini non possono essere più di 4 per post!

Ho già messo la figura in risposta ... all'intrusione di Nino I
Ma la metto anche qua:
Immagine:
Link:
http://s11.postimage.org/d3ul3lp2p/figura.png
Figura ricaricata su niovo indirizzo
Provo l'anteprima ...
....,
Non vedo l'immagine, ma l'intera scritta dell'istruzione.
Cancello allora qualche smile ... e vado a rifare l'anteprima
...
Fatto!
Per me TUTTO O.K.

Ciao, ciao
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 30-03-12 13:21.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 30-03-12, 12:54   #1094
nino280
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Predefinito Re: Qualche quiz

Idem come sopra neanche io la vedo.
Vedo soltanto una x rossa in un quadrato.
Ciao
Ecco cosa vedo:
------------------------------------------------------------------------------------------------
Questo aveva inizialmente l'equazione cartesiana y = 1.
Adesso, posto m = tan(α), verrà ad avere l'equazione y = mx + 1.
In questo riferimento solidale col vaso inclinato, l'altezza che tu chiedi è la distanza del punto P(1/2, 0) dalla retta r di equazione y = mx + 1.

La formula della distanza (detta di sopra) la scriviamo allora per:
q = 1; a = 1/2, b = 0.
e diventa:
d(m) = (m/2 + 1)/√(1 + m^
-------------------------------------------------------------------------------------------

Ultima modifica di nino280 : 30-03-12 12:59.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 30-03-12, 12:57   #1095
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

Ti ringrazio, Erasmus; a determinare l'altezza c'ero arrivato anch'io:

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
6) L'altezza del pelo dell'acqua è la somma delle altezze del triangolo e del parallelogramma e dovrebbe valere:
h = cos(alfa) + sen(alfa)/2

7) Ho provato a calcolare l'andamento di questa funzione (si dovrebbe trovare il massimo 1,118 che hai trovato tu a 26,565 gradi ed anche il minimo), ma mi vengono numeri strani...
Come mai?

Quello che ti chiedevo era come calcolare "il MINIMO", cioè a che inclinazione l'altezza dell'acqua è minore; e come descrivere l'andamento della funzione per vari angoli alfa.

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 30-03-12, 13:12   #1096
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

@ Nino I
E io, invece, vedo la mia stessa figura (anche più grande di dove l'avevo messa io) dentro il tuo 'post'.

Ma ho fatto un altro "hosting"
Lo metto come immagine (tag IMG) e come link (tag URL)
Immagine:

Link:
Provo l'anteprima:
...
Tatto!
Per me ... tutto OK!

Ciao, ciao
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Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 30-03-12, 13:15   #1097
nino280
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Predefinito Re: Qualche quiz

Ora è OK
http://postimage.org/image/w8xudd3qn/
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 30-03-12, 14:34   #1098
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Ma la tua non è una "immagine"!
E' una "pagina" HTML del sito di "hosting" nella quale campeggia la figura (ma ci sta anche altro).
Io ho appunto estratto la sola figura (estensione ".png", che deve essere l'ultima parola nella barra degli indirizzi!)
---------
Ma lascia stare. Aspetta un attimo. C'è aspesi che insiste nel dialogo con me.
Lasciacelo concludere.
Grazie.
--------------------

@ ASPESI! Ci sei ancora?

La vedi adesso la figura?

Se annulli la derivata rispetto ad m della funzione
h(m) = (m/2 + 1)/√(1 + m^2)
trovi una soluzione sola (m = tan(alfa) = 1/2).
Il minimo che cerchi ... non è un "minimo relativo".
Ovviamente, il minimo assoluto (se limiti al dominio di alfa a quando l'acqua incomincia ad uscire) ce l'hai al confine!

E ... GUARDA MEGLIO, ché l'ho già scritto nella prima soluzione!
(E spiegato anche nel pistolotto scritto apposta per te ... ma cosa mi fai fare! Ci ho messo ore e ore continuando a limare per paura che poi mi dica che non non sono chiaro!
E ... ca-spita (eufemismo): quando sono preciso, una volta mi dici che sono astruso, un'altra che il mio approccio è ridicolo, un'altra che il tipo di calcolo non fa per te un'altra che mi spiego in modo contorto. E che ca-spita pretendi?
Ovviamente ... se spieghi senza concisione risulti più chiaro, ma il paper si allunga a dismisura... [incommensurabilmente? No, eh! ]

Ci riprovo
L'acqua incomincia ad uscire quando l'altezza del "pelo libero" è l'altezza geometrica rispetto all'ipotenusa del triangolo di cateti 1 e 2.

Ci siamo fin qua?

Se no ... te lo spiego!
Infatti allora, il "culo" del vaso è sollevato da un lato ed inclinato tanto che una parete è tutta bagnata mentre quella di fronte è stata "evacuata" dall'acqua, sta tutta fuori. Quindi il fianco tende a coricarsi (oltre 45°) portando la sommità (che era alta 2) all'altezza del punto del fondo che si alza al massimo (e questo punto dista 1 – lato della base – dal punto che fa da perno:
Vedi subito che per tale inclinazione (massima prima che si tracimi l'acqua), hai:
tan(alfa) = m = 2
e allora, per m = 2, hai
h(m) = (m/2 + 1)/√(1 + m^2) ––> h(2) = (2/2 + 1)/√(1 + 2^2) = 2/√(5).

Infatti, se nella mia figura tiri la diagonale dal punto [–1/2, 0] al punto [1/2, 2], vedi che l'altezza viene [per questa inclinazione, che è arctan(2), e considerandola proiezione del lato (che è lungo 1) del fondo tra gli estrtemi [-1/2, 0] e [1/2, 0]
h = 1· sin[arctan(2)].
Ora, siccome 2 è il reciproco di 1/2, questa inclinazione è la complementare di quella ad altezza massima
h = cos[arctan(1/2)]
Oppure, proiettando il fianco (che è alto 2)
h = 2·cos[arctan(2)] = 2 ·sin]arctan(1/2)]

Infine, l'andamento è una bella sinusoide
h = [sin(alfa)]/2 + cos(alfa).

Il massimo lo sappiamo: √(5)/2 = 1, 1180399...
Il minimo sarà l'opposto.
Ma l'opposto ... è negativo!
Lo realizziamo supponendo di poter inclinare, a vaso tappato nel tetto, più di 90°, col vaso che va in parte sotto il livello della sua base (come quando si vuota in fretta – o si scola per bene – un secchio).

Ovviamente questo ... non ha senso nel caso che proponi tu.

Quanto poi all'andamentto del livello dopo che l'acqua ha incominciato ad uscire, mi pare ancora una cosa facile.

Resta sempre bagnata tutta la parete più bassa, [quella che fa da battente ... allo "stramazzo" (come sa bene Mizarino), che è lunga 2], mentre parte del "fondo" esce dal bagnato. Quindi l'altezza che chiedi [andando con alfa oltre all'inclinazione arctan(2)] è senz'altro:
h = 2·sin(90° – alfa) = 2·cos(alfa).
Ovviamente, per alfa = angolo retto, risulta h = 0 (perché, a vaso coricato orizzontalmente l'acqua è uscita tutta).

O mamma mia!
Mi par d'essere tornato a scuola a spiegare agli allievi giovincelli gli esercizi di trigonometria!
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Erasmus
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Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 30-03-12, 14:45   #1099
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

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Provo l'anteprima:
...
Tatto!
Per me ... tutto OK!

Ciao, ciao

Non "Tatto!". Volevo dire "Fatto!". [La "F" sta sotto a "T", vicina ... e io sono un pessimo dattilografo. Da sempre. ]
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Vecchio 30-03-12, 14:51   #1100
Epoch
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Predefinito Re: Qualche quiz

@Erasmus.
Pensa se scrivevi "Gatto"...
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Sul libro delle facce - www.astrofilisusa.it
Stumentazione: 114/900 Celestron, cercatore 8x50 - Binocolo Konus 20x80 - webcam TouCam Pro con fw SPC900NC

...Bisogna andare in alto per capire il trucco, che la terra non è piatta non è al centro di tutto, salire, ancor più in alto per vedere che il mondo, sta in una goccia del mare più profondo...
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