Easy quiz(zes): but mathematical!

[Erasmus]

a) Dimostrare, senza far uso del calcolo differenziale, che l'area di un rettangolo, a parità di perimetro, è massima se il rettangolo è un quadrato.
Oppure che il perimetro di un rettangolo, a parità di area è minimo se il rettangolo è un quadrato.

b) Dati due numeri reali positivi x ed y, si indichino con
• Ma la media aritmetica (x+y)/2
• Me la media efficace √[(x^2 + y^2)/2]
• Mg la media geometrica √(xy)
• Mh la media armonica 2/(1/x + 1/y).
Se x = y = M, ogni media vale ovviamente M
Se x è diverso da y, si mettano in ordine crescente le 4 medie provando la validità dell'ordine.

c) Dare una interpretazione geometrica (chiara ed elegante!) del fatto che, se x ed y sono numeri reali positivi, allora:
√(xy) ≤ (x+y)/2

d) Una barra rettilinea (pesante, rigida e a densità uniforme) lunga L è posta su un piano orizzontale rigido e liscio (ossia: se la barra si muove striasciando, non fa attrito!). Sulla barra sono montati (ancorati rigidamente) due piccoli "razzi", (ossia dispositivi capaci di gettare gas propellente per combustione di speciale combustibile. I "razzi sono identici e sono montati uno ad una estremità e l'altro accanto ad una distanza L/4 dalla stessa estremità. Quando sono accesi, gettano il gas orizzontalmente ma sempre perpendicolarmente alla barra e sempre uno in un verso e l'altro nel verso opposto. I razzi vengono accesi simultaneamente a barra ferma e le forze che essi applicano alla barra sono, per tutto il tempo del loro funzionamento: orizzontali, ortogonali alla barra, di verso opposto ma di intensità uguale e costante.
La massa dei razzi non è trascurabile: ma si suppone trascurabile il calo di massa dovito all'espulsione del gas propellente.
Dire come si muove la barra durante l'azione dei due "razzi".
NB. La figura che segue ... ha la pretesa di schematizzare una istantanea del dispositivo durante il suo funzionamento.

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  -f 

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[Mizarino]

Erasmus

a) Dimostrare, senza far uso del calcolo differenziale, che l'area di un rettangolo, a parità di perimetro, è massima se il rettangolo è un quadrato.

Caro Erasmus, visto che ogni tanto rimproveri un mio presunto disinteresse, rispondo al quiz (in genere io rispondo se e solo se - per dirla con stile matematico, intravedo la soluzione in meno di cinque minuti). Ecco dunque la "mia" soluzione.
Siano A e B i lati del rettangolo, di cui A è il minore, e sia L la loro media aritmetica, e X la metà della differenza (B-A).
Il perimetro P del rettangolo è 2*(A+B), e si può scrivere come 2*(L+X + L-X) ovvero 4*L.
L'area S sarà A*B, e dunque sarà (L+X)*(L-X) = L^2 - 2*L*X + X^2.
Poiché si ha sempre X < L, S sarà sempre minore di L^2 per qualsiasi X > 0, e sarà massima, ovvero uguale ad L^2, per X=0, quando abbiamo un quadrato.

[astromauh]

Mizarino

Caro Erasmus, visto che ogni tanto rimproveri un mio presunto disinteresse, rispondo al quiz (in genere io rispondo se e solo se - per dirla con stile matematico, intravedo la soluzione in meno di cinque minuti). Ecco dunque la "mia" soluzione.
Siano A e B i lati del rettangolo, di cui A è il minore, e sia L la loro media aritmetica, e X la metà della differenza (B-A).
Il perimetro P del rettangolo è 2*(A+B), e si può scrivere come 2*(L+X + L-X) ovvero 4*L.
L'area S sarà A*B, e dunque sarà (L+X)*(L-X) = L^2 - 2*L*X + X^2.
Poiché si ha sempre X < L, S sarà sempre minore di L^2 per qualsiasi X > 0, e sarà massima, ovvero uguale ad L^2, per X=0, quando abbiamo un quadrato.

Errore a parte, la dimostrazione data da Mizarino mi sembra leggermente prolissa perchè ricorre anche alla media aritmetica dei lati del rettangolo.
Io avrei detto cosi':


Dato un quadrato di lato x, la sua area è x^2.

I rettangoli con il perimetro uguale a questo quadrato, sono quelli che hanno una coppia di lati opposti uguali a (x + a) e quelli restanti uguali a (x - a), per cui la sua area risulterà essere (x+a) *(x-a) => x^2 - a^2.

Siccome il quadrato di un numero diverso da zero è sempre maggiore di zero, l'area del quadrato x^2 è sempre maggiore di quella del rettangolo x^2 -a^2.



OK, non c'è molta differenza.

[Erasmus]

Mizarino

... e dunque sarà (L+X)*(L-X) = L^2 - 2*L*X + X^2.

" Cagnato! "
–––

[astromauh]

Mizarino

Caro Erasmus, visto che ogni tanto rimproveri un mio presunto disinteresse, rispondo al quiz (in genere io rispondo se e solo se - per dirla con stile matematico, intravedo la soluzione in meno di cinque minuti). Ecco dunque la "mia" soluzione.
Siano A e B i lati del rettangolo, di cui A è il minore, e sia L la loro media aritmetica, e X la metà della differenza (B-A).
Il perimetro P del rettangolo è 2*(A+B), e si può scrivere come 2*(L+X + L-X) ovvero 4*L.
L'area S sarà A*B, e dunque sarà (L+X)*(L-X) = L^2 - 2*L*X + X^2.
Poiché si ha sempre X < L, S sarà sempre minore di L^2 per qualsiasi X > 0, e sarà massima, ovvero uguale ad L^2, per X=0, quando abbiamo un quadrato.

Scusa, ma non hai sbagliato un passaggio?

(L+x)*(L-x)= L^2 - x^2

[Mizarino]

astromauh

Scusa, ma non hai sbagliato un passaggio?
(L+x)*(L-x)= L^2 - x^2

Sì, certo, ho sbagliato per rincoglionimento mattutino post-sveglia ...
Però correggendo l'errore il ragionamento ne esce indenne ... la superficie è massima quando x è minimo, cioè zero ...

[Erasmus]

Mizarino

Sì, certo, ho sbagliato per rincoglionimento mattutino post-sveglia ...

Aah ... così?
Ti interessi ai miei 'post' solo quando sei rincoglionito ?

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[Mizarino]

Erasmus

Aah ... così?
Ti interessi ai miei 'post' solo quando sei rincoglionito ?

No. Per la verità Astromauh sa benissimo in che circostanze io, al mattino, leggo i post...
Ora, lo stato di rincoglionimento in quel momento dipende da quanto tempo è passato dal risveglio e dal fatto che io abbia oppure no già bevuto il caffè ...
Comunque, se si perdona la svista immediatamente prima della conclusione, tutto il ragionamento fila benissimo ...

[nino280]

Ma io ho mica detto che è il più grande. Ho detto che è uno dei più grandi.
Mi ricordavo del googol e sono andato a cercarlo, ho trovato per strada anche il numero di Graham segnalato da Aspesi, e certamente tempo fa avremo già parlato del googol con la desinenza plex, ma me ne ero scordato.
Più che altro il motivo che sono andato a riprenderli era per restare nel tema per vedere come si comportano "altri" con la faccenda delle priorità in una elevazione di elevazione.
Ciao

[astromauh]

nino280

Benissimo.
Ci siamo anche per i decimillesimi.
Non so per quale motivo iri sera ho arrotondato a 6,11
Ciao

Forse perché dopo quell'11 c'è uno zero?

Ma nemmeno 6,1101 è precisissimo, perché in realtà avevo un po' il dubbio con
6,110099.

Come ho spiegato io trovo l'angolo Alfa provando tutti i valori di Alfa da 0° a 90° finché non ne trovo uno per cui è valida l'uguaglianza

sin(Alfa) / sin(120-Alfa) = Ay / By

Però non è che posso provare veramente tutti i valori di Alfa, perché sono infiniti, per cui partendo del grado 0 sono arrivato al grado 90 incrementando ogni volta l'angolo di 0.00001°. E quindi il risultato che ottengo è solo approssimato. Volendo potrei trovare un risultato di Alfa con un numero di cifre decimali maggiore, ma l'operazione è un po' laboriosa, e nessuno mi ha chiesto di farlo.

La mia equazione mi piace perché coinvolge direttamente i due dati che vengono forniti dal quesito, ossia Ax che è la distanza della seconda retta dalla prima, e By che è la distanza dalla terza retta sempre dalla prima. Dal rapporto tra queste distanze dipende l'ampiezza dell'angolo Alfa e di conseguenza anche la lunghezza L dei lati del triangolo.

L'aspetto negativo della mia soluzione è che senza il PC sarebbe difficile ricavare il valore di Alfa da quella equazione.

Ma hai capito qual è il mio angolo Alfa?

E' l'angolo in C che guarda Ay, mentre l'angolo 120 - Alfa è l'angolo sempre in C che guarda By. Mentre Ax e By sono i valori delle y dei punti A e B.

Per cui possiamo stabilire che

sin(Alfa) * L / sin(120-Alfa) * L = Ax / Ay

Ma se questo rapporto è giusto, possiamo togliere L, che ancora non conosciamo, dall'equazione, per cui otteniamo

sin(Alfa) / sin(120-Alfa) = Ay / By

Una volta trovato il valore di Alfa si trova anche il valore di L,

perché se

sin(Alfa) * L = Ay

allora

L = Ay / sin(Alfa)