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Vecchio 06-06-10, 22:11   #11
Erasmus
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Predefinito Re: Quanto pesa un chilo ? (BIS) [Era di Mizarino]

Quote:
Rob77 Visualizza il messaggio
Non vorrei farla semplice (premetto non ho letto tutti i post) ma

F = G*m1*m2/r^2 - Legge di gravitazione universale

Quindi essendo la distanza ai poli minore che all'equatore maggiore sarà F e di conseguenza il peso dell'oggetto.

Ciao,
Roberto
Ciao, Rob77
Ti dò il "benvenuto", dato che fino ad ora non ti ho mai visto da 'ste parti.

La "tua" formula va bene per masse "puntiformi".
Per corpi estesi dovresti integrare le forze gravitazionali fatte da ciascuna loro parte elementare.
E' noto (fin dai tempi di Newton, anche se la cosa passa come "Teorema di Gauß") che il campo gravitazionale generato da una sfera a strati concentrici omogenei (ossia con densità che dipende solo dalla distanza dal centro) è, al di fuori di essa, uguale a quello che genererebbe l'intera sua massa se fosse concentrata nel suo centro.
La "tua" formula, dunque, va ancora bene per una sfera siffatta, in particolare a densità uniforme. Non va bene per un ellissoide schiacciato o allungato (che non genera nemmeno un campo radiale, ma un campo con linee di campo rettilinee solo sui raggi equatoriali e sui due raggi polari).
Mizarino, integrando numericamente, ha trovato che effettivamente la gravità all'equatore di un ellissoide "schiacciato" è minore che al polo per qualsiasi "eccentricità" del meridiano. Ha anche trovato come cambia la gravità ai poli, a parità di massa, al crescere dello schiacciamento (cioè dell'eccentricità dell'ellisse "meridiano").
La sorpresa è che inizialmente la gravità ai poli cresce; ma dopo un po' inizia a calare e tende a zero al tendere dell'ellissoide ad una "sfoglia" di lasagne (ossia al tendere ad 1 dell'eccentricità).
Come varia la gravità polare in funzione del rapporto Re/Rp – dove Re è il raggio equatoriale ed Rp quello polare – è stato poi trovato anche da Erasmus per via completamente analitica; e al variare del rapporto Re/Rp da 0 ad oo invece che da 1 ad oo (ossia: anche per ellissoidi allungati e non solo per quelli schiacciati).

Puoi trovare tutto quanto cui ho qui accennato (e molto di più) sull'altro "thread" con questo stesso titolo.

Ciao
__________________
Erasmus
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Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 06-06-10, 23:14   #12
Rob77
 
Messaggi: n/a
Predefinito Re: Quanto pesa un chilo ? (BIS) [Era di Mizarino]

Grazie del benvenuto e dell'esaustiva spiegazione

Io ho purtroppo pochissimo tempo tra gioie (un bambino di 2 mesi) e dolori (un lavoro infernale)
Quindi ti chiedevo se gentilmente potevi passarmi la funzione che Mizarino ha integrato.

Grazie mille!
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Vecchio 07-06-10, 06:55   #13
Erasmus
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Predefinito Re: Quanto pesa un chilo ? (BIS) [Era di Mizarino]

Mizarino ha "pubblicato" con una immagine GIF i suoi risultati
Quote:
Mizarino Visualizza il messaggio
Mi hai convinto! Poche cose mi terrorizzano di più che l'idea di lavorare a vuoto ...
Così sono passato all'integrazione numerica per cubetti infinitesimi, fatta dividendo l'ellissoide in 8 miliardi di cubetti, ed ecco una figura che riassume tutto:
In funzione del rapporto fra il raggio equatoriale e quello polare (in ascisse) è mostrata l'accelerazione di gravità al polo (curva nera), quella all'equatore (curva rossa) e il rapporto fra le due (curva blu).

http://www.webalice.it/mizar02/figure/Gravity.GIF
Per il contributo di Erasmus, vedi qua:
Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
@ Miza

Non era poi tanto difficile integrare analiticamente ... "a dischi" per trovare il campo gravitazionale ai poli dello sferoide schiacciato.

Con la formula analitica, hai l'accuratezza ad libitum per qualsiasi schiacciamento.
Per esempio, per Re/Rp mollto grande, si conferma l'andamento già visto teoricamente
gp = 2π*G*s*d,
(dove s è lo spessore della "frittella" [ossia il diametro polare quando lo schiacciamento è molto grande], d è la densità e G la costante di Newton-Cavendish).

[NB: una sferetta di diametro s e stessa densità d avrebbe in superficie un campo esattamente 1/3 di quello che c'è al centro della "frittella"].

-------------------------------

Ecco il grafico e la relativa formula.
=> Oblate-spheroid polar gravity, PNG


Nella figura, x (ascissa del grafico) è il rapporto tra il diametro equatoriale e quello polare (come nel grafico di Mizarino).


La curva si estende con continuità a valori di x < 1, ossia ad ellissoidi con diametro polare maggiore di quello equatoriale. Lo sviluppo in serie è lo stesso. Nel punto x = 1 c'è una discontinuità eliminabile, (come quella di [sin(x)]/x in x = 0].
Si nota che la gravità cresce fino a raggiungere il valore:
y ≈1,02200387486173...
volte quello che sarebbe sulla sfera (di uguale massa e uguale volume) per ascisa
x ≈ 1,38980051765 ...

Complimenti, Miza, per l'accuratezza delle coordinate del massimo nell'integrazione numerica.
[Ma il grafico ... l'hai fatto a mano libera? ]

Le funzioni reali (arcotangente per x>1 e logaritmo per x<1) sono la stessa cosa [se si passa per il campo complesso].
La discontinuità sparisce con lo sviluppo in serie perché si semplifica "sopra e sotto" il fattore [√(x^2 – 1)]^3.
Quando è 0 < x < 1 [ellissoide allungato come la palla da rugby] il radicale è immaginario e con esso immaginari vengono tutti i termini della serie dell'arcotangente, essendo le potenze tutte di grado dispari.
Allora le potenze [dispari] dell'unità immaginaria [diciamola j, con j^2 = –1 e quindi j^(2n+1) = [(–1)^n] *j] rendono i termini tutti dello stesso segno e l'unità immaginaria si semplifica tra numeratore e denominatore di ogni termine.

Insomma, con lo sviluppo in serie non si vede la discontinuità in x=1 e neanche il cambio di funzione nello scavalcare il buco in x=1.

Il massimo non è in x=√(2) [ma ci siamo vicinissimi]; e tuttavia questo valore è notevole.
Infatti per x=√(2) l'argomento di arctan[√(x^2 – 1)], cioè √(x^2 – 1), vale 1 e arctan(1) =π/4.
Il valore x=√(2) è notevole perché, essendo allora √(x^2 – 1) = 1, siamo all'estremo destro di convergenza della serie arctan[√(x^2 – 1)].
Si ha: arctan[√[(√2)^2 – 1)] = arctan[√(2 – 1)] = arctan(1) = π/4.
Lì la funzione vale dunque:

y[√(2)] = 3·{[√(2)]^(4/3)}·(1 – π/4) = 3·(4–π)/[16^(1/3) ≈ 1,0219775442.

Sviluppata la funzione in serie di potenze [dispari] di √(x^2 – 1) e semplificato ciò che si può, per 0 ≤ x ≤ √(2), [cioè proprio a cavallo della discontinuità eliminabile], si trova:
y(x) =3·[1/3 – (1/5)·(x^2 –1) + (1/7)·(x^2 –1)^2 –(1/9)·(x^2 –1)^3+ ... +[(–1)^n]·[1/(2n+3)]·(x^2 –1)^n + ....

Si noti che è una serie di addendi polinomiali, trasformabile in serie di potenze di x.

Per x> √(2) la serie non converge.

Bye, bye!
__________________
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