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Vecchio 23-09-22, 13:30   #3211
ANDREAtom
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Vecchio 23-09-22, 13:57   #3212
aspesi
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Lati recintati:
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Giusto.

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Vecchio 23-09-22, 16:25   #3213
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L'ho risolto con la "forza bruta" ma mi sono bastati solo tre tentativi perchè ho intuito subito che l'area maggiore del rettangolo si ha quando il lato corto è metà di quello lungo, poi altri due tentativi per verifica.
qual'è invece il metodo di calcolo?
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Vecchio 23-09-22, 17:16   #3214
Erasmus
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x = a

Non credo che nino280 abbia capito perché viene x = a. Lui ha assunto arbitrariamente 45° l'inclinazione della corda del triangolo equilatero (battezzata dal quiz di lunghezza b) sul lato orizzontale di questo triangolo trovando che in tal caso viene
x = a ≈ 73,2051% del lato del triangolo equilatero.
Un osservatore che non avesse ancora svolto i dovuti calcoli di discussione del quiz potrebbe pensare che solo con la detta inclinazione di 45° risulti x = a. E che diminuendo questa inclinazione, siccome diminuiscono sia b che a ed x, ... chissà se varrà ancora l'uguaglianza x = a!

Non so nemmeno se aspesi ha risolto il quiz o se si fida della soluzione che penso abbia letta là da dove ha preso questo quiz!

Insomma: penso di fare cosa utile nel mettermi a discutere davvero questo quiz.

Posta 1 la lunghezza del triangolo equilatrero e φ l'iclinazione della corda b sulla base di questo triangolo si ha
b·cos(φ) + a·cos(60°()= 1 <==> b·cos(φ) = 1– a/2;
b sin(φ) = a·si(60°) <==> b sin(φ) = a·√(3)/2;
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
b^2 = 1 + (a^2)/4 – a + (a^2).3/4 <==> b^2 = 1 – a + a^2. (*)
Consideriamo ora il triangolo isoscele sulla base 1 + x i cui lati obliqui sono lunghi b.
L'altezza di questo triangolo isoscele rispetto alla base lunga 1 + x vale
h = (1 – a)· sin(60°) = (1 – a),√(3)/2 ==> h^2 = [(1 – a)^2]·3/4
Allora, con Pitagora – e ricordando la (*) – si trrova
[(1 + x)/2]^2 = b^2 – h^2 = 1 –a + a^2 –(3/4)[1 –2a + a^2] <==>
<==> [(1 + x)/2]^2 = 1/4 + a/2 + (a^2)/4 = [1 + a)/2]^2 ==>
<==> (1 + x)/2 = (1 +a)/2 <==> x = a.
Dunque: l'uguaglianza x = a è indipendente da φ.
Al variare di φ variano pure b ed a. [Per esempio, per φ = 30° b viene minimo ed uguale a √(3)/2 vwd a viene 1/2].Ma resta valida l'uguaglianza x = a.

P.S.
Ho ricavato x = a dopo avr eliminato φ e b da uguglianze che contenevano anche queste variabili, ossia da un'equazione svincolata dalle funzioni della trigonometria. Ma non ripudiando a priori l'uso delle funzioini della trigonometria l'uguaglianza x = a si trova facilmente senza imbattersi – nel dover ricorrere a Pitagora – in una equazione di 2° grado; e senza incotrare b, ossia proprio indipemdentemente dal valore di b.
Infatti, se sim proietta il vertice del triangolo isoscele di lati obliqui lunghi b ortogobnalmernte sulla base 1 +x sin trova proprio:
(1 + x)/2 = 1 – (1– a)·cos(60°) = 1 – (1– a)/2 = (1 + a)/2 <==> x = a
––––
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Erasmus
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Vecchio 23-09-22, 17:18   #3215
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L'ho risolto con la "forza bruta" ma mi sono bastati solo tre tentativi perchè ho intuito subito che l'area maggiore del rettangolo si ha quando il lato corto è metà di quello lungo, poi altri due tentativi per verifica.
qual'è invece il metodo di calcolo?
Più o meno come hai fatto tu (metà di un quadrato)



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Vecchio 23-09-22, 17:33   #3216
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Non credo che nino280 abbia capito perché viene x = a. Lui ha assunto arbitrariamente 45° l'inclinazione della corda del triangolo equilatero (battezzata dal quiz di lunghezza b) sul lato orizzontale di questo triangolo trovando che in tal caso viene
x = a ≈ 73,2051% del lato del triangolo equilatero.
Un osservatore che non avesse ancora svolto i dovuti calcoli di discussione del quiz potrebbe pensare che solo con la detta inclinazione di 45° risulti x = a. E che diminuendo questa inclinazione, siccome diminuiscono sia b che a ed x, ... chissà se varrà ancora l'uguaglianza x = a!

Non so nemmeno se aspesi ha risolto il quiz o se si fida della soluzione che penso abbia letta là da dove ha preso questo quiz!

Insomma: penso di fare cosa utile nel mettermi a discutere davvero questo quiz.

Posta 1 la lunghezza del triangolo equilatrero e φ l'iclinazione della corda b sulla base di questo triangolo si ha
b·cos(φ) + a·cos(60°()= 1 <==> b·cos(φ) = 1– a/2;
b sin(φ) = a·si(60°) <==> b sin(φ) = a·√(3)/2;
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
b^2 = 1 + (a^2)/4 – a + (a^2).3/4 <==> b^2 = 1 – a + a^2. (*)
Consideriamo ora il triangolo isoscele sulla base 1 + x i cui lati obliqui sono lunghi b.
L'altezza di questo triangolo isoscele rispetto alla base lunga 1 + x vale
h = (1 – a)· sin(60°) = (1 – a),√(3)/2 ==> h^2 = [(1 – a)^2]·3/4
Allora, con Pitagora – e ricordando la (*) – si trrova
[(1 + x)/2]^2 = b^2 – h^2 = 1 –a + a^2 –(3/4)[1 –2a + a^2] <==>
<==> [(1 + x)/2]^2 = 1/4 + a/2 + (a^2)/4 = [1 + a)/2]^2 ==>
<==> (1 + x)/2 = (1 +a)/2 <==> x = a.
Dunque: l'uguaglianza x = a è indipendente da φ.
Al variare di φ variano pure b ed a. [Per esempio, per φ = 30° b viene minimo ed uguale a √(3)/2 vwd a viene 1/2].Ma resta valida l'uguaglianza x = a.

P.S.
Ho ricavato x = a dopo avr eliminato φ e b da uguglianze che contenevano anche queste variabili, ossia da un'equazione svincolata dalle funzioni della trigonometria. Ma non ripudiando a priori l'uso delle funzioini della trigonometria l'uguaglianza x = a si trova facilmente senza imbattersi – nel dover ricorrere a Pitagora – in una equazione di 2° grado; e senza incotrare b, ossia proprio indipemdentemente dal valore di b.
Infatti, se sim proietta il vertice del triangolo isoscele di lati obliqui lunghi b ortogobnalmernte sulla base 1 +x sin trova proprio:
(1 + x)/2 = 1 – (1– a)·cos(60°) = 1 – (1– a)/2 = (1 + a)/2 <==> x = a
––––
Erasmus sei divertente.
Non ho letto tutto il paperino. Mi sono bastate due righe soltanto.
Nino ha fatto questo, Nino ha fatto quest'altro, Nino non ha capito.
Ma insomma
E che ne sai tu cosa ho capito, cosa ho assunto ARBITRARIAMENTE.
Che ne sai tu.
Da oggi in poi, facciamo così
Io faccio un disegno e poi dico ;
Erasmus, spiegami quello che ho fatto.
Ma basta, per favore.
Ieri sera un'altro mi accusava che io lavorando al tornio, (e lavorando male intendeva lui9)io facevo cadere gli aerei. Magari lui non ha mai lavorato in vita sua.
E basta!!!
Per inciso quel 45° che tu dici che ho preso a caso è una variabile, ed è valido per tutti gli angoli possibili.
Mille volte ho detto che il pallino è una variabile.
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Vecchio 23-09-22, 17:35   #3217
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Non so nemmeno se aspesi ha risolto il quiz o se si fida della soluzione che penso abbia letta là da dove ha preso questo quiz!

––––


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Vecchio 24-09-22, 01:55   #3218
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Erasmus sei divertente.
Non ho letto tutto il paperino. Mi sono bastate due righe soltanto.
Nino ha fatto questo, Nino ha fatto quest'altro, Nino non ha capito.
Frena! Io NON HO DETTO quello che mi attribuisci!
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Ma insomma
E che ne sai tu cosa ho capito, cosa ho assunto ARBITRARIAMENTE.
Che ne sai tu.
Perché te la prendi come se ti avessi offeso?
a) Ho scritto "Non credo che nino280 abbia capito"" e, se conosci l'italiano, questo è ben diverso da "nino280 non ha capito".
Insomma: considerando il tuo disegno non si può capire se viene x = a per qualsiasi inclinazione di b sul lato orizzontale del triangolo equilatero o se occorre che quella inclinazione sia proprio 45 gradi. E su questo .... non ci piove!
b) "Arbitrariamente" non è mica un avverbio offensivo! Significa che hai deciso tu [liberamente!] di prendere 45 gradi, non è qualcosa che dipende dalle informazioni date dal quiz!
Avresti potuto prendere un altro angolo, per esempio 30 gradi. [Con 30 gradi ti sarebbe venuto x = a = 5]. Che la tua scelta è stata "arbitraria" è indubbio! E se invece, secondo te, mi sbaglio, spiegami da cosa è dipeso che tu abbia messo quell'inclinazione a 45 gradi se non proprio da una tua libera scelta!
c) Tu hai scritto i valori di a e di x per dato lato del triangolo equilatero: e quei valori ti risultano uguali. Ma non dici affatto che risulterebbero uguali anche con la detta inclinasone diversa da 45 gradi, Che è sempre x = a dal tuo disegno non si può capire!
d) Io scrivo quello che mi pare opportuno scrivere senza offendere l'interlocutore!
Esprimo le mie opinioni che, essendo opinioni e non certezze, possono anche essere sbagliate! Ed infatti le esprimo in termini tali che si capiasca che sono solo opinioni, e lo faccio quando non ho elementi sufficienti per poter valutare con certezza!
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Vecchio 24-09-22, 02:35   #3219
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·
Non hai risposto alla mia domanda! Non mi dici cioè se questa dimostrazione è [originalmente] tua o se l'hai ripresa da dove hai preso il quiz.
Comunque... è ben più complicata di quella che ho messo in calce (nel P.S.) alla mia risposta.
La ripeto (perché tu possa rendertene conto. )
«Sia 1 la lunghezza dei lati del triangolo equilatero.
Proiettando il vertice del triangolo isoscele di lati obliqui lunghi b ortogonalmente sulla base – che è lunga 1 + x –questa viene divisa in due parti uguali per una delle quali (quella inferiore nella figura originale) risulta immediatamente
(1+x)/2 = 1 – (1 – a)·cos(60°) <==> (1+x)/2 = (1 + a)/2 <==> x = a

Occorre solo ricordare che cos(60°) = 1/2.
Questa prova è bellissima perché prescinde da b e dalla inclinazione della corda lunga b sui lati del ytriangolo equilatero.
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Vecchio 24-09-22, 04:20   #3220
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Lati recintati:
lato maggiore 450
lati minori 2 x 225
L'ho risolto con la "forza bruta" [...]
[...]
Qual è invece il metodo di calcolo?
Generalizzando, si assuma L la somma delle lunghezze di tre lati (due dei quali, trattandosi di rettangolo, sono paralleli ed uguali).
Si assuma come variabile x la lunghezza di ciascuno dei due lati paralleli (per cui il terzo lato viene L – 2x) .
L'area S del rettangolo è allora
S = x·(L – 2x) = Lx– 2x^2.
Se mettiamo questa funzione in coordinate cartesiane (con S sull'asse delle ordinate ed x sull'asse delle ascisse) vediamo che il grafico è una parabola con la concavità verso il basso che interseca l'asse delle ascisse dove è S = 0, cioè in x = 0 e in x = L/2. S è quindi positiva per
0 < x < L/2.
Il metodo più comodo per trovare massimi e minimi di una funzione qiualunque (purché derivabile) è quello di annullare la derivata prima.

Ma in questo caso ... non è necessario conoscere le derivate!
Si sa infatti che una espressione di secondo grado in coordinate cartesiane rappresenta una parabola con l'asse verticale. Nel nostro caso viene una parabola con la concavità verso il basso. cioè con il vertice che rappresenta il punto di massimo della funzione.
Per la simmetria della parabola rispetto al suo asse, il vertice capita a metà dell'intervallo tra i punti dove la funzione si annulla.
La nosytra funzione
S = x·(L – 2·x)
si annulla in x = 0 e in x = L/2. Il vertice sta dunque in x = L/4 dove l'area S vale
Smax = L/4·(L – 2·L/4) = (L^2)/8.
Siccome x era la lunghezza di ciascuno di due lati paralleli, due lati del rettangolo sono duenqu lunghi L/4 e gli altri due L/2-
Per L = 900 m viene (come hai trovato anche tu):
x= 225 m; L – 2x = L/2 = 450 m.
–––––––
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