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Vecchio 01-02-09, 02:57   #1
Erasmus
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Predefinito Il "mio" PI-greco (con una barca di cifre)

Nel thread "il test di Randi", ad un certo punto l'interesse si è spostato da una questione di matematica della probabilità alla simulazione al computer dello spazio degli eventi onde determinare le richieste probabilità per conteggio dettagliato e completo.

Anni fa avevo spesso sentito dire che la velocità e l'efficienza di un computer veniva "testata" con programmi che andavano in cerca di un numero sempre più grande di cifre esatte di PI (greco).

Allora anch'io avevo fatto un bellissimo programma (naturalmente in Turbo Pascal per Mac ) che trovava una barca di cifre esatte di PI-greco.

Siccome allora non avevo Internet (e nessun dei miei conoscenti l'aveva) ed inoltre mi piace il "fai da te", il mio programma usa un metodo che mi sono trovato da solo inventandolo di sana pianta ... ma naturalmente la probabilità che nessun altro abbia pensato le stesse cose, se non è zero, è senz'altro infinitesima!

I problemi affontati e ... risolti sono 2:
1) Come accelerare enormemente la produzione di cifre esatte di PI estrapolandole dai termini di una successione che tende a PI (con la sua ... normale velocità di convergenza) costituita dal semiperimetri dei poligoni regolari di 2^(k+1) lati (k =1, 2, 3, ...) inscritto in un cerchio di raggio 1,
2) Scegliere una struttura dati che potesse simulare perfettamente la rappresentazione dei numeri con una barca di cifre decimali (migliaia e più!).

La questione della struttura dati e quella delle procedure delle operazoni (aritmetiche e radice quadrata) da fare su dati di quel tipo per realizzare la successione (con termini appunto di una enormità di cifre significative) ... porta dritto alla ricerca dell'efficienza ... e diventa subito qualcosa di entusiasmante!

Non è nmmeno banale trovare i "pesi" (ovviamente anche loro con una barca di cifre!) con cui "pesare" gli ultimi n termini della successione dei semiperimetri per estrapolarne un PI enormemente più preciso dell'ultimo semiperimetro calcolato.

[Lo sarebbe se si trattasse di successione alternatamente di sopra e di sotto del limite.
Ma la nsostra è una successione strettamente monotòna crescente]

Scaricate il documento PDF che sta dentro un file ZIP cliccando qua:
=> Il "mio" Pi-greco, (prima parte)

Ciao, ciao.

-------------
OCCHIO:
Ho sostituito (oggi, martedì 03.02.09, h 19:00) il documento con uno dello stesso nome ... corretto e riveduto (avendo rilevato che conteneva qualche erroruccio non proprio di "battitura")
Files allegati
Tipo di file: zip My_PI_section_1.zip (77.3 KB, 30 visite)
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 03-02-09 18:02.
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Vecchio 01-02-09, 14:41   #2
foster12
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Predefinito Re: Il "mio" PI-greco (con una barca di cifre)

Ciao erasmus! Dio ti benedica!

Ho sentito mike bongiorno dire che la pi greca è 3.14

Praticamente volevo stracciare tutti i miei libri di analisi....

Va beh...
foster12 non in linea   Rispondi citando
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Vecchio 02-02-09, 02:28   #3
Erasmus
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Predefinito Re: Il "mio" PI-greco (con una barca di cifre)

Quote:
foster12 Visualizza il messaggio
Ciao erasmus! Dio ti benedica!

Ho sentito mike bongiorno dire che la pi greca è 3.14

Praticamente volevo stracciare tutti i miei libri di analisi....

Va beh...
Ciao, foster.
Grazie del saluto (speciale ed inaspettato ... che mi ricorda quello molto usato in Tirolo: «Grüßgott!», che sarebbe la contrazione di "Grüß(e) [dich der] Gott!" = Dio ti salvi).

Spero di poter allegare tra poco una seconda pagine del "mio" PI-greco.

Mi piacerebbe che intervenisse qualcuno che ha fatto cose analoghe, ossia:
a) Data una successione monotòna convergente, trovare una "pesatura" di n termini consecutivi che approssimi il limite "sbalorditivamente" più in fretta.
b) Scegliere una struttura-dati (1) in grado di rappresentare i numeri nella consueta forma decimale con tutte le cifre fino a quella di peso 10^(-n) con n grande e (2) adatta a sopportare procedure che svolgano su variabili numeriche così strutturale le 4 operazioni aritmetiche e la radice quadrata.

Il punto a) potrebbe interessare qualche "matematico" specializzato in serie e successioni. Il punto b) mi pare interessante per chi programma abitualmente al computer (vuoi come professionista, vuoi come dilettante ma con compresenza quasi ... "professionale".

Sparo una domanda ... provocatoria:
Che razza di algoritmi e di metodi (informatici) usavano quelli che trovavano una caterva di cifre esatte di Pi-greco?

==================
Il programma compilato (ossia l'applicazione, per dire come si dice in Macintosh) gira ancora in "Ambiente classic" (disponibile sul mio attuale G5 in OS X).
All'epoca (1994), avevo fatto una piccola statistica dei tempi di esecuzione delle varie fasi e per diverso numero di cifre richieste (di PI greco) che avevo poi convertito in una funzione empirica con la quale il programma poteva scrivere, durante l'attesa, quanto c'era da spettare.
Quando il programma chiede un input, non aspetta in eterno! Dopo un po' procede per default. In tal caso si vede un contatore che scandisce il tempo ancora disponibile. In quasi tutti i casi, la pressione di un tasto sbagliato fa ripartire da capo il contatore.
Supponiamo che – per esempio in attesa della risposta all'avviso «R per ripetere; $ per uscire» – siano disponibili 20 secondi, scaduti i quali il computer esce dal programma.
Allora si vede in basso a sinistra la scritta: "Exit time" seguita da un numero che scandisce i secondi ancora disponibili da 20 a 0.
Per fare questo, però, avevo usato una routine che non faceva nient'altro che contare; del tipo:
"for j:=1 to m do for k:=1 ti n do"
La taratura dei tempi (cioè la scelta dei valori di m ed n nei cicli for di sopra) era stata fatta sperimentalmente.
M andava bene solo per la velocità di quel mio primo Mac!
Ora, purtroppo, succede che nei casi in cui non si può far partire da capo il contatore ... se non si è veloci come Speedy Gonzales non si fa in tempo a rispondere alle opzioni offerte e a leggere le didascalie.

Un altro attuale difetto è quello delle scritte che si sovrappongono.
Dal Turbo Pascal per Mac si poteva programmare le scritte sul video scegliendo il font, le dimensioni e lo stile. C'era la procedura DrawString(s, x, y) che andava a scrivere la stringa s nella posizione (in pixel) [x,y]. Font, dimensioni e stile erano quelli impostati per ultimi con altre procedure predefinite. Mettiamo che debbo scrivere una potenza, o degli apici (o una formula). Devo allora sapere dove finisce la scritta normale e fare le istruzioni per andare al posto giusto a scrivere più piccolo (o nello stile della formula).
Succede adesso che sull'attuale computer il numero di pixel per carattere è cambiato e soprattutto è cambiato il rapporto tra larghezza e altezza del singolo pixel. Perciò, se le scritte erano di testo normale – mediante (l'istruzione con parametri) write(...) – adesso si vedono ancora perfette. Ma se erano alternate da esponenti, pedici o cambio di stile (grassetto o corsivo) non si vedono più collocate al posto giusto (e sempre più avanti del dovuto).

Il programma si auto–presentava con una "Prefazione" di 20 pagine che spiegavano sia le idee-guida (la "filosofia" del programma), sia la strutture-dati, sia il significato di certi "identificatori", sia particolari procedure (specie nei punti dove la comprensione diretta del testo in Pascal poteva essere un tantino difficoltosa).

Avrei voluto allegare questa prefazione (che mi pareva particolarmente didattica e ben riuscita) ... a puntate. Ma ci sono alcune pagine (soprattutto quelle contenenti formule) la cui lettura è problematica proprio nei punti chiave.

Comunque, vosto che il programma gira ancora, dopo vi mostro alcune videate prese oggi (facendo calcolare al programma il massimo che può di cifre esatte di PI greco (che è 5425).

Il programma lavora su dati numerici in base 10.000 e quindi ogni cifra di questi corrisponde a 4 cifre decimali. Il numero massimo possibile di cifre in base 10.000 è 1358, poste in un array del tipo nu[0...1357].
[Per array più lunghi il compilatore mi diceva «Structure too large!»]
Il dato viene presentato in base 10 simulando un floating point, ossia con un numero che ha una sola cifra decimale davanti alla virgola ed è seguito da una potenza di 10.

La struttura è un "record" con tre "campi".
• Un boolean per il segno (diciamolo sign: boolean;);
• Un integer per la "caratteristica", ossia il fattore potenza di 10.000, (diciamolo dim: integer; – dim come "dimensione");
• Un array [0..1357] di integer per la "mantissa", ossia per le 1358 possibili cifre in base 10.000, (diciamolo nu: [0..1357] of integer; – nu come "numero").
Nell'elemento nu[0], se la parte intera è minore di 10 – come nel caso di Pi greco – ci sta scritto solo una cifra decimale x (ossia 000x in base 10.000). Restano allora 4*1357 = 5428 cifre decimali dopo la virgola. Ma, a causa degli errori di troncamento, l'ultima cifra in base 10.000 del PI greco calcolato (rappresentato nel campo nu{mero} del record) non è sicura. Ciò comporta l'incertezza non sull'ultima cifra decimale ma sulle ultime 4. Le cifre sicure dopo la virgola solo dunque 5424 al massimo, cioè 5425 in tutto (contando quella davanti alla virgola).

Ecco alcune immagini prese dal video.
A. => Aspetto iniziale
In alto a sinistra scrive il nome della procedura in corso (e – a volte, se c'è – il nome del parametro tra quelli da cui dipende la procedura).
B. => Avvio del calcolo per trovare le 5425 cifre richieste
C. => Due videate durante il calcolo della progressione

Immagini allegate
Tipo di file: jpg aspetto_iniziale.jpg (61.8 KB, 18 visite)
Tipo di file: jpg avvio_calcolo_5425_cifre.jpg (61.6 KB, 17 visite)
Tipo di file: jpg progressione_semiperiodi.jpg (72.7 KB, 17 visite)
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 06-02-09 18:26.
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Vecchio 02-02-09, 17:39   #4
nino280
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Predefinito Re: Il "mio" PI-greco (con una barca di cifre)

Siccome non mi fido nè del Mac nè delle formule di Erasmus, ho trovato due formule che calcolano l'ennesima cifra di Pi, cosi' che possiate controllare:
Formula BBP (base 16) La formula BBP(Bailey-Borwein-Plouffe) per calcolare π fu scoperta nel 1995 da Simon Plouffe. La formula calcola π in base 16 senza bisogno di calcolare le cifre precedenti ("estrazione di cifre").

Miglioramento di Bellard (base 64) Una formula alternativa per il calcolo di π in base 64 venne derivato da Fabrice Bellard; tale metodo permette di calcolare cifre il 43% più velocemente.

Erasmus, tu sai che io scherzo sempre.
Ciao,Ciao.
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Vecchio 02-02-09, 23:41   #5
Erasmus
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Predefinito Re: Il "mio" PI-greco (con una barca di cifre)

Quote:
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Siccome non mi fido nè del Mac nè delle formule di Erasmus, ho trovato due formule che calcolano l'ennesima cifra di Pi, cosi' che possiate controllare:
Formula BBP (base 16) La formula BBP(Bailey-Borwein-Plouffe) per calcolare ? fu scoperta nel 1995 da Simon Plouffe. La formula calcola ? in base 16 senza bisogno di calcolare le cifre precedenti ("estrazione di cifre").

Miglioramento di Bellard (base 64) Una formula alternativa per il calcolo di ? in base 64 venne derivato da Fabrice Bellard; tale metodo permette di calcolare cifre il 43% più velocemente.

Erasmus, tu sai che io scherzo sempre.
Ciao,Ciao.
Nella prima formula c'è sì qualcosa di esadecadico ... ma col difetto dell'addendo corrente di essere un razionale non intero e di tendere a zero al crescere dell'indice ...

Non ho capito cosa c'entra la seconda formula con la prima. Né cosa c'entrano in questa le cifre esadecadiche ... e nemmeno il doscorso d'una cifra alla volta. [Tantomeno l'assurdo di trovare la prossima cifra senza sapere le precedenti ...]

Comunque:
Ho collaudato la somma della serie della seconda figura.
Diciamola A(0)+A(1)+A(2)+A(3)+ ... [e via per una infinità di addendi A(n) ].
Il primo addendo A(0) va abbastanza bene:
S0) = A(0) = 3,148710....
Poi ... non ci si sposta mica tanto, e nemmeno nel verso giusto.!
S(1) = A(0) + (A1) = 3,148534262847......
S(2)= A(0)+A(1)+A(2) = 3,148534346302...
S(3) = A(0)+A(1)+A(2)+A(3)= 3,1485343465489...

Sicoome ogni termine A(n) – a segno alterno – è dominato da quel fattore 1/2^(10n) e 2^10 = 1024 (duque circa 1000), la serie a lungo andare assume il carattere di una progressione geometrica di ragione -1/1024. Vuol dire che ogni prossimo addendo modificherà la coda del numero, allungando di almeno tre cifre (ogni tanto 4 cifre) la parte di numero le cui cifre non cambieranno più ...
A questo punto ... è initile andare avanti, a meno che non si battezzi "Pi greco" proprio il numero (quele che sia!) cui tende questa somma ...

Ciao, ciao.
[Ma dove le vai a scovare queste cose ? ]
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Ultima modifica di Erasmus : 03-02-09 02:40.
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Vecchio 03-02-09, 09:12   #6
nino280
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Quote:
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...


[Ma dove le vai a scovare queste cose ? ]
Non è che ci vuole poi tanta scienza per scovare queste cose, ho semplicemente digitato su google "calcolo di pi greco" il resto sono delle semplici copiature come puoi vedere.
http://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_di_pi_greco

Ciao.
Dimenticavo. Come puoi vedere dalla seconda formula che ho fatto copia incolla l'autore è un certo Fabrice Bellard. Se digito questo nome ancora su google (ed io ieri ho fatto proprio cosi'), mi ha portato su quell'altro argomento che poi ho aperto nuova discussione "Mac su XP".
Ciao,Ciao.

Ultima modifica (modifica su madifica)

Siccome ogni termine A(n) – a segno alterno – è dominato da quel fattore 1/2^(10n) e 2^10 = 1024 (duque circa 1000), la serie a lungo andare assume il carattere di una progressione geometrica di ragione -1/1024. Vuol dire che ogni prossimo addendo modificherà la coda del numero, allungando di almeno tre cifre (ogni tanto 4 cifre) la parte di numero le cui cifre non cambieranno più ...
A questo punto ... è initile andare avanti, a meno che non si battezzi "Pi greco" proprio il numero (quele che sia!) cui tende questa somma ...
Queste in blu sono parole tue Erasmus.
Se ben ricordo le regole delle potenze 2^10n non è scomponibile in 2^10 come mi sembra che hai fatto tu, e quindi il 1024 non c'entra assolutamente nulla.
Ciao,Ciao,Ciao.
Ultimissima modifica.
Mi sono sbagliato sulle potenze.
Non so per quale strano motivo, avevo inteso e sospettato che tu elevavi 2 alla decima e poi moltiplicavi per n , da cui è venuta fuori la mia sciocca osservazione.
Ciao,Ciao,Ciao,Ciao.

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Ultima modifica di nino280 : 03-02-09 20:39.
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Vecchio 03-02-09, 17:28   #7
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Quote:
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[...]
Se ben ricordo le regole delle potenze ...
Ti anticipo che ... "ricordi male", molto male
Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
[...]
2^10n non è scomponibile in 2^10 come mi sembra che hai fatto tu, e quindi il 1024 non c'entra assolutamente nulla.


Ohibò!

(a^m)^n = (a^n)^m = a^(mn)=a^(nm)

O no ?!?

Per esempio, sia m=2 e n = 5.
Allora:
(a^2)^5 = (aa)*(aa)*(aa)*(aa)*(aa) = aaaaaaaaaa = a^10.
(a^5)^2 = (aaaaa)*(aaaaa) = aaaaaaaaaa = a^10.

O no?!?

================
La potenza con esponente intero è un particolare prodotto: quello di fattori tutti uguali tra loro.
Il prodotto di un numero intero per un fattore qualsiasi è una particolare somma: quella di addendi tutti uguali tra loro.

Regola che non si discute:
«L'esponente conta i fattori rappresentati dalla base della potenza allo stesso modo che il coefficiente (="moltiplicatore") conta gli addendi rappresentati dal fattore (="moltiplicando") del prodotto».
(a^3 = a*a*a) <=> (3a = a+a+a).

Voglio dire: c'è una perfetta analogia tra la relazione che intercorre tra la somma di addendi uguali (di qualsiasi natura essi siano) e il prodotto di un "numero puro" (coefficiente, un vero ... conteggio di oggetti uguali "addendi", i.e. da sommare tra loro) per un fattore-oggetto (di qualsiasi natura) e la relazione che intercorre tra il prodotto di fattori uguali (di qualsiasi natura) e l'elevazione ad un numero puro (esponente, un vero ... conteggio di oggetti uguali "fattori", i.e. da moltiplicare tra loro) di una base-oggetto (di qualsiasi natura).

5a = a+a+a+a+a
2a= a+a.
5*(2a) = (a+a)+(a+a)+(a+a)+(a+a)+(a+a) =a+a+a+a+a+a+a+a+a+a = 10a.
O no!?!

a^5 = a*a*a*a*a
a^2= a*a.
(a^2)^5 = (a*a)*(a*a)*(a*a)*(a*a)*(a*a) = a*a*a*a*a*a*a*a*a*a=a^10.

O no!?!
============================


Ciao, ciao.
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Anche io ho il "mio" Pi-greco, si chiama "Pinino" L'avevo persin dimenticato, del resto è una cosa del 2007 e risale appunto a quando io comiciavo a fare matematica insieme a voi.L'ho riesumato per riderci magari un pochino sopra.
http://www.trekportal.it/coelestis/s...t=12899&page=2
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Quote:
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Ti anticipo che ... "ricordi male", molto male



Ohibò!

(a^m)^n = (a^n)^m = a^(mn)=a^(nm)

O no ?!?

Per esempio, sia m=2 e n = 5.
Allora:
(a^2)^5 = (aa)*(aa)*(aa)*(aa)*(aa) = aaaaaaaaaa = a^10.
(a^5)^2 = (aaaaa)*(aaaaa) = aaaaaaaaaa = a^10.

O no?!?

================
La potenza con esponente intero è un particolare prodotto: quello di fattori tutti uguali tra loro.
Il prodotto di un numero intero per un fattore qualsiasi è una particolare somma: quella di addendi tutti uguali tra loro.

Regola che non si discute:
«L'esponente conta i fattori rappresentati dalla base della potenza allo stesso modo che il coefficiente (="moltiplicatore") conta gli addendi rappresentati dal fattore (="moltiplicando") del prodotto».
(a^3 = a*a*a) <=> (3a = a+a+a).

Voglio dire: c'è una perfetta analogia tra la relazione che intercorre tra la somma di addendi uguali (di qualsiasi natura essi siano) e il prodotto di un "numero puro" (coefficiente, un vero ... conteggio di oggetti uguali "addendi", i.e. da sommare tra loro) per un fattore-oggetto (di qualsiasi natura) e la relazione che intercorre tra il prodotto di fattori uguali (di qualsiasi natura) e l'elevazione ad un numero puro (esponente, un vero ... conteggio di oggetti uguali "fattori", i.e. da moltiplicare tra loro) di una base-oggetto (di qualsiasi natura).

5a = a+a+a+a+a
2a= a+a.
5*(2a) = (a+a)+(a+a)+(a+a)+(a+a)+(a+a) =a+a+a+a+a+a+a+a+a+a = 10a.
O no!?!

a^5 = a*a*a*a*a
a^2= a*a.
(a^2)^5 = (a*a)*(a*a)*(a*a)*(a*a)*(a*a) = a*a*a*a*a*a*a*a*a*a=a^10.

O no!?!
============================


Ciao, ciao.
Heilà! Quanta veemenza! Ho semplicemente fatto un errore di sbaglio
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Vecchio 04-02-09, 16:28   #10
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Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Nella prima formula c'è sì qualcosa di esadecadico ... ma col difetto dell'addendo corrente di essere un razionale non intero e di tendere a zero al crescere dell'indice ...

Non ho capito cosa c'entra la seconda formula con la prima. Né cosa c'entrano in questa le cifre esadecadiche ... e nemmeno il doscorso d'una cifra alla volta. [Tantomeno l'assurdo di trovare la prossima cifra senza sapere le precedenti ...]

Comunque:
Ho collaudato la somma della serie della seconda figura.
Diciamola A(0)+A(1)+A(2)+A(3)+ ... [e via per una infinità di addendi A(n) ].
Il primo addendo A(0) va abbastanza bene:
S0) = A(0) = 3,148710....
Poi ... non ci si sposta mica tanto, e nemmeno nel verso giusto.!
S(1) = A(0) + (A1) = 3,148534262847......
S(2)= A(0)+A(1)+A(2) = 3,148534346302...
S(3) = A(0)+A(1)+A(2)+A(3)= 3,1485343465489...

Sicoome ogni termine A(n) – a segno alterno – è dominato da quel fattore 1/2^(10n) e 2^10 = 1024 (duque circa 1000), la serie a lungo andare assume il carattere di una progressione geometrica di ragione -1/1024. Vuol dire che ogni prossimo addendo modificherà la coda del numero, allungando di almeno tre cifre (ogni tanto 4 cifre) la parte di numero le cui cifre non cambieranno più ...
A questo punto ... è initile andare avanti, a meno che non si battezzi "Pi greco" proprio il numero (quele che sia!) cui tende questa somma ...

Ciao, ciao.
[Ma dove le vai a scovare queste cose ? ]
Però io Erasmus non sono pienamente convinto delle tue verifiche, perchè ho trovato queste formule su due fonti diverse.
Una su Wiki, e ti ho messo il link, l'altra sul MdGM.Ora che tutti e due dicano delle stramberie mi sembra improbabile.
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