Estrazioni casuali

[aspesi]

Questo piacerà senz'altro a Astromauh...

Supponiamo di estrarre dei valori a caso uniformemente distribuiti fra 0 e 1.
Ne estraggo tanti finché la loro somma non supera 1.
Quanti ne serviranno mediamente?
E qual è la probabilità che siano necessari k (2, 3, 4, ...) estrazioni?

[Epoch]

Prima domanda, Parliamo di numeri reali o posso pensare di "Barare" imponendo un limite di precisione?

[aspesi]

Non mi pare di capire cosa vuol dire barare in questo caso.

Comunque, i numeri sono decimali reali, supponiamo con un numero infinito di decimali (ma non incide sul risultato)

[astromauh]

Soluzione:


k(2)=0,5
k(3)=0,3334
k(4)=0,125
k(5)=0,0333
k(6)=0,0069
k(7)=0,0012
k(8)=0,0002

Media=2,718

fine

[aspesi]

astromauh

Soluzione:


k(2)=0,5
k(3)=0,3334
k(4)=0,125
k(5)=0,0333
k(6)=0,0069
k(7)=0,0012
k(8)=0,0002

Media=2,718

fine

Ovviamente, è giusto!
Ma ti sei accorto a cosa corrisponde il valore della media?

E qual è la formula per calcolare la probabilità per un qualsiasi valore k di estrazioni (es. k(10))?

[astromauh]

Soluzione per far sparire le risposte:

Evidenziare la risposta e scegliere un colore qualsiasi tra quelli disponibili.

Sostituire il nome del colore con linen che è il colore dello sfondo.

In questo modo le risposte spariscono completamente.



Se già lo sapevate, come non detto.

PS

Nino, la pizza mi aspetta....

[Erasmus]

astromauh

Soluzione per far sparire le risposte:Sostituire il nome del colore con linen che è il colore dello sfondo.

A me pare un bianco, non il colore dello sfondo. Insomma: colore dello sfondo quando questo è bianco!
Guarda la citazione che fa aspesi del tuo 'post': vedi che il tuo |color=linen| si vede bianco su quello sfondo. Il quale deve essere proprio "pink" perchè, se metto in questo colore una parola di una citazione la parola non si vede più. Guarda qua: ti ricito e metto in colore pink le tue parole "sparire le risposte":

astromauh

Soluzione per far sparire le risposte

Adesso ti ricito senza il tag "QUOTE", così vedi (fingendo un "quota") quel che c'è nella citazione.
Soluzione per far sparire le risposte
Ciao ciao

[Erasmus]

aspesi

Supponiamo di estrarre dei valori a caso uniformemente distribuiti fra 0 e 1.
Ne estraggo tanti finché la loro somma non supera 1.
Quanti ne serviranno mediamente?

Che vuol dire "ne serviranno"?
Se intendi: "Quanti se ne estraggono mediamente ripetendo un enerme numero di volte l'estrazione", la risposta è .... "DUE +" (dal momento che il valor atteso – cioè la media aritmetica a lungo andare dei numeri estratti– è 1/2 e tu vuoi che, fintanto che la somma dei numeri già estratti non supera 1 si continui ad estrarre).

aspesi

E qual è la probabilità che siano necessari k (2, 3, 4, ...) estrazioni?

Non capisco!!!
Siccome ho già visto la risposta di astromauh e il tuo commento «Ovviamente è giusto», sono perplesso!!!

Ma che c***o vuol dire «la probabilità che siano necessari – o necessarie? – " k estrazioni»
Che ci azzecca la necessità?
Intendi forse dire «Qual è la probabilità che la somma di k numeri estratti a caso non superi 1»?

Se intendi questa probabilità (che è una probabilità cumulativa), allora essa vale l'integrale tra 0 e 1 di dx·[x^(k–1)/(k–1)! che vale evidentemente 1/k!
Diciamola P(k). E diciamo F(x, k) la probabilità che la somma dei k numeri estratti a caso non superi x quando x è compreso tra 0 e 1.
Allora P(k) = F(1, k).

Esempio: P(2)?
Densità di probabilità y uniforme di ogni numero estratto a caso tra 0 e 1 ––> y = 1 per 0 ≤x ≤ 1.
F(x, 1) = integrale da 0 e x di 1·dx ––> F(x, 1) = x (per 0 ≤ x ≤1; F(x, 1) = 0 altrove).
Densità di probabilità y(2,x) che la somma di 2 numeri estratti a caso valga x ( con 0 ≤ x ≤ 2):
––> y = x tra 0 e 1; y = 2–x tra 1 e 2.
Integrale F(x, 2) della densità di sopra (definita distintamente nei tratti da 0 a 1 e da 1 a 2):
F(x, 2) = integrale da 0 a x di t dt per 0 ≤ x ≤ 1 ––> F(x, 2) = x^2/2; F(1, 2) = 1/2.
F(x, 2) = integrale da 1 a x di (2–t) dt + F(1, 2) per 1 ≤ x ≤2 ––> F(x, 2) = –(x^2)/2 +2x –1 ––>
––> P(2) = F(1, 2) = 1/2.

In generale, integrando successivamente, nel primo tartto 0 ≤ x ≤ 1 risulta (per ogni k > 0):
F(x, k) = (x^k)/k!

La probabilità che la somma di k numeri estratti (ciascuno con densità di prob. uniforme tra 0 e 1) è dunque: P(k) = F(1,k) = 1/k!

Pertanto:
P(2) = 1/2 =0,5
P(3) = 1/6 = 0,16666...
P(4)= 1/24 = 0,04166...
...
P(k) = 1/k!
...
--------------
Riassumo e mi spiego ... con meno formule (forse!):
• Estraendo 2 numeri fai una somma compresa tra 0 e 2.
La densità di probabilità è un triangolo isoscele con base tra 0 e 2 alto 1: rampa in salita di pendenza 1 tra 0 e 1 e in discesa di pendenza –1 tra 1 e 2.
• Estraendo 3 numeri fai una somma compresa tra 0 e 3.
La densità di probabilità è una "campana" fatta di tre archi di parabola: il primo tratto, tra 0 e 1, ha equazione y = (x^2)/2 .
Il terzo tratto, tra 2 e 3, è il simmetrico del primo, quindi di equazione:
y = [(3–x)^2]/2 = (x^2 – 6x +9)/2.
Il secondo è un arco di parabola voltata in giù che deve raccordarsi con primo e terzo arco. Fatti i conti, è:
y = –x^2 + 3x – 3/2.
[Infatti y(1) = y(2) =1/2; y' = dy/dx = –2x + 3 ––> y'(1) = 1; y'(2) = –1 = – y'(1)].
La densità di probabilità (con due estrazioni) è massima in x = 3/2 dove vale 4/3.
L'integrale tra 0 ed x di questa campana viene una curva monotona crescente (che è la probabilità [cumulativa] di fare non più di x con 3 estrazioni). Ovviamente, per x tra 0 e 1, questa è F(x, 3) = (x^3)/3! .
• La "campana" F(x, k) cambia forma al crescere di k estendendosi tra 0 e k.
E' definita a tratti: tra 0 e 1, tra 1 e 2, ..., tra k–1 e k.
In ogni tratto è un [diverso] polinomio di grado k–1.
In generale la campana si ottiene per convoluzione successiva a partire dalla forma iniziale (rettangolare se si tratta di probabilità uniforme; in particolare quadrata nel nostro caso dove il dominio è tra 0 e 1).
Al tendere di k all'infinito, la "campana" y(x, k) tende alla gaussiana. (Teorema "centrale limite")
[Questo è vero per ogni tipo di distribuzione iniziale. Ma nel caso di distribuzione iniziale uniforme la velocità di approssimazione alla gaussiana è la massima e ... davvero molto elevata]
Nel primo tratto, tra 0 e 1, la "campana" è sempre della forma y(x, k) = [x^(k–1)/(k–1)!
Pertanto la probabilità [cunulativa] di fare non più di x (con x ≤1) con k estrazioni vale:
F(x, k) = (x^k)/k!.
[NB: Per fare la probabilità cumulativa bisogna integrare la "campana" di equazione y(x, k)]
-----------------

La media di questa distribuzione discreta P(k) = F(1, k), per k intero tra 2 e +oo, vale:
[2·(1/2) + 3·1/6 + 4/4! + ... k/k! + ...]/(1/2 + 1/6 + 1/4! + ... 1/k! + ...] =
= (1 + 1/2 + 1/3! +... 1/(k–1)! + ...]/(1/2 + 1/6 + 1/4! + ... + 1/k! + ...] = (e–1)/(e–2) = 2,39221191117...
[dove "e" è il famoso lim (n ––>oo) di (1+1/n)^n = 2,718281828459..., detto "numero di Napier" e base dei "logaritmi naturali"]

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Però, visto che non sono sicuro di quel che vuoi sapere e che, secondo te, astrimauh ha risposto giusto, è molto probabile che io risponda sbagliato. E visto che voi due vi comprendete al volo, evidentemente avete un vostro linguaggio ... che differisce dal mio!
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(Puah!)

[aleph]

Erasmus

Che vuol dire "ne serviranno"?

Non capisco!!!

Ma che c***o vuol dire

Che ci azzecca la necessità?


..... evidentemente avete un vostro linguaggio ... che differisce dal mio!
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(Puah!)

A Erà, ennàmo, dài!!

[aspesi]

Erasmus

Che vuol dire "ne serviranno"?
Se intendi: "Quanti se ne estraggono mediamente ripetendo un enerme numero di volte l'estrazione", la risposta è .... "DUE +" (dal momento che il valor atteso – cioè la media aritmetica a lungo andare dei numeri estratti– è 1/2 e tu vuoi che, fintanto che la somma dei numeri già estratti non supera 1 si continui ad estrarre).

Vuol dire: Quanti valori (meglio, quante estrazioni di un numero reale uniformemente distribuito fra 0 e 1) in media ci vogliono affinché la loro somma diventi superiore a 1

Es. prima estrazione : 0,1517...
seconda estrazione : 0,6385...
terza estrazione : 0,2946...
ALT! Perchè la somma = 1,0848... > 1
Con questa prova ci sono voluti 3 numeri estratti
Ecc...

Il risultato richiesto si può ottenere, come ha fatto Astromauh, con una simulazione, es. di un milione di prove.
E la soluzione, almeno a me, pare interessante e poco intuitiva.

Poi, mi sono tirato fuori la formula che restituisce questo valore e le probabilità singole di ottenere > 1 con due (con 1 estratto non è ovviamente possibile), tre, quattro, ...., estratti.

Per il resto, ti ho seguito e mi sei parso convincente.
Penso però che tu abbia risolto un problema diverso: infatti, io non intendevo "Qual è la probabilità che la somma di k numeri estratti a caso NON superi 1, ma " Qual è la probabilità che la somma di k numeri estratti a caso superi 1".

A me risulta:
p(2) = 1/2
p(3) = 1/3
p(4) = 1/8
p(5) = 1/30
...
e facendo la somma di queste probabilità viene (come dovrebbe venire) 1.
Invece, la somma delle probabilità calcolate da te dà molto meno di 1.

Erasmus

Però, visto che non sono sicuro di quel che vuoi sapere e che, secondo te, astrimauh ha risposto giusto, è molto probabile che io risponda sbagliato. E visto che voi due vi comprendete al volo, evidentemente avete un vostro linguaggio ... che differisce dal mio!
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(Puah!)

(Puah) l'ho detto anch'io più volte leggendoti su questioni assolutamente noiose (per me!)

Ciao
Nino