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#1 |
Utente Super
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Data di registrazione: Nov 2009
Ubicazione: Terra dei Walser
Messaggi: 9,700
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![]() Questo piacerà senz'altro a Astromauh...
![]() Supponiamo di estrarre dei valori a caso uniformemente distribuiti fra 0 e 1. Ne estraggo tanti finché la loro somma non supera 1. Quanti ne serviranno mediamente? E qual è la probabilità che siano necessari k (2, 3, 4, ...) estrazioni? ![]() |
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#2 |
Utente
![]() ![]() Data di registrazione: Feb 2011
Ubicazione: Valle di Susa
Messaggi: 689
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![]() Prima domanda, Parliamo di numeri reali o posso pensare di "Barare" imponendo un limite di precisione?
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Sul libro delle facce - www.astrofilisusa.it Stumentazione: 114/900 Celestron, cercatore 8x50 - Binocolo Konus 20x80 - webcam TouCam Pro con fw SPC900NC ...Bisogna andare in alto per capire il trucco, che la terra non è piatta non è al centro di tutto, salire, ancor più in alto per vedere che il mondo, sta in una goccia del mare più profondo...
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#3 |
Utente Super
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Data di registrazione: Nov 2009
Ubicazione: Terra dei Walser
Messaggi: 9,700
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![]() Non mi pare di capire cosa vuol dire barare in questo caso.
Comunque, i numeri sono decimali reali, supponiamo con un numero infinito di decimali (ma non incide sul risultato) |
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#4 |
Utente Super
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Data di registrazione: Sep 2007
Messaggi: 5,767
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![]() Soluzione:
k(2)=0,5 k(3)=0,3334 k(4)=0,125 k(5)=0,0333 k(6)=0,0069 k(7)=0,0012 k(8)=0,0002 Media=2,718 fine ![]() |
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#5 | |
Utente Super
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Data di registrazione: Nov 2009
Ubicazione: Terra dei Walser
Messaggi: 9,700
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![]() Quote:
![]() Ma ti sei accorto a cosa corrisponde il valore della media? E qual è la formula per calcolare la probabilità per un qualsiasi valore k di estrazioni (es. k(10))? ![]() |
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#6 |
Utente Super
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Data di registrazione: Sep 2007
Messaggi: 5,767
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![]() Soluzione per far sparire le risposte:
Evidenziare la risposta e scegliere un colore qualsiasi tra quelli disponibili. Sostituire il nome del colore con linen che è il colore dello sfondo. In questo modo le risposte spariscono completamente. ![]() Se già lo sapevate, come non detto. PS Nino, la pizza mi aspetta.... ![]() |
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#7 | |
Utente Super
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 7,607
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![]() Quote:
![]() Guarda la citazione che fa aspesi del tuo 'post': vedi che il tuo |color=linen| si vede bianco su quello sfondo. Il quale deve essere proprio "pink" perchè, se metto in questo colore una parola di una citazione la parola non si vede più. Guarda qua: ti ricito e metto in colore pink le tue parole "sparire le risposte": Adesso ti ricito senza il tag "QUOTE", così vedi (fingendo un "quota") quel che c'è nella citazione. Soluzione per far sparire le risposte Ciao ciao
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Erasmus «NO a nuovi trattati intergovernativi!» «SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!» |
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#8 | |
Utente Super
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 7,607
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![]() Quote:
![]() Che vuol dire "ne serviranno"? Se intendi: "Quanti se ne estraggono mediamente ripetendo un enerme numero di volte l'estrazione", la risposta è .... "DUE +" (dal momento che il valor atteso – cioè la media aritmetica a lungo andare dei numeri estratti– è 1/2 e tu vuoi che, fintanto che la somma dei numeri già estratti non supera 1 si continui ad estrarre). Non capisco!!! Siccome ho già visto la risposta di astromauh e il tuo commento «Ovviamente è giusto», sono perplesso!!! Ma che c***o vuol dire «la probabilità che siano necessari – o necessarie? – " k estrazioni» ![]() Che ci azzecca la necessità? Intendi forse dire «Qual è la probabilità che la somma di k numeri estratti a caso non superi 1»? Se intendi questa probabilità (che è una probabilità cumulativa), allora essa vale l'integrale tra 0 e 1 di dx·[x^(k–1)/(k–1)! che vale evidentemente 1/k! Diciamola P(k). E diciamo F(x, k) la probabilità che la somma dei k numeri estratti a caso non superi x quando x è compreso tra 0 e 1. Allora P(k) = F(1, k). Esempio: P(2)? Densità di probabilità y uniforme di ogni numero estratto a caso tra 0 e 1 ––> y = 1 per 0 ≤x ≤ 1. F(x, 1) = integrale da 0 e x di 1·dx ––> F(x, 1) = x (per 0 ≤ x ≤1; F(x, 1) = 0 altrove). Densità di probabilità y(2,x) che la somma di 2 numeri estratti a caso valga x ( con 0 ≤ x ≤ 2): ––> y = x tra 0 e 1; y = 2–x tra 1 e 2. Integrale F(x, 2) della densità di sopra (definita distintamente nei tratti da 0 a 1 e da 1 a 2): F(x, 2) = integrale da 0 a x di t dt per 0 ≤ x ≤ 1 ––> F(x, 2) = x^2/2; F(1, 2) = 1/2. F(x, 2) = integrale da 1 a x di (2–t) dt + F(1, 2) per 1 ≤ x ≤2 ––> F(x, 2) = –(x^2)/2 +2x –1 ––> ––> P(2) = F(1, 2) = 1/2. In generale, integrando successivamente, nel primo tartto 0 ≤ x ≤ 1 risulta (per ogni k > 0): F(x, k) = (x^k)/k! La probabilità che la somma di k numeri estratti (ciascuno con densità di prob. uniforme tra 0 e 1) è dunque: P(k) = F(1,k) = 1/k! Pertanto: P(2) = 1/2 =0,5 P(3) = 1/6 = 0,16666... P(4)= 1/24 = 0,04166... ... P(k) = 1/k! ... -------------- Riassumo e mi spiego ... con meno formule (forse!): • Estraendo 2 numeri fai una somma compresa tra 0 e 2. La densità di probabilità è un triangolo isoscele con base tra 0 e 2 alto 1: rampa in salita di pendenza 1 tra 0 e 1 e in discesa di pendenza –1 tra 1 e 2. • Estraendo 3 numeri fai una somma compresa tra 0 e 3. La densità di probabilità è una "campana" fatta di tre archi di parabola: il primo tratto, tra 0 e 1, ha equazione y = (x^2)/2 . Il terzo tratto, tra 2 e 3, è il simmetrico del primo, quindi di equazione: y = [(3–x)^2]/2 = (x^2 – 6x +9)/2. Il secondo è un arco di parabola voltata in giù che deve raccordarsi con primo e terzo arco. Fatti i conti, è: y = –x^2 + 3x – 3/2. [Infatti y(1) = y(2) =1/2; y' = dy/dx = –2x + 3 ––> y'(1) = 1; y'(2) = –1 = – y'(1)]. La densità di probabilità (con due estrazioni) è massima in x = 3/2 dove vale 4/3. L'integrale tra 0 ed x di questa campana viene una curva monotona crescente (che è la probabilità [cumulativa] di fare non più di x con 3 estrazioni). Ovviamente, per x tra 0 e 1, questa è F(x, 3) = (x^3)/3! . • La "campana" F(x, k) cambia forma al crescere di k estendendosi tra 0 e k. E' definita a tratti: tra 0 e 1, tra 1 e 2, ..., tra k–1 e k. In ogni tratto è un [diverso] polinomio di grado k–1. In generale la campana si ottiene per convoluzione successiva a partire dalla forma iniziale (rettangolare se si tratta di probabilità uniforme; in particolare quadrata nel nostro caso dove il dominio è tra 0 e 1). Al tendere di k all'infinito, la "campana" y(x, k) tende alla gaussiana. (Teorema "centrale limite") [Questo è vero per ogni tipo di distribuzione iniziale. Ma nel caso di distribuzione iniziale uniforme la velocità di approssimazione alla gaussiana è la massima e ... davvero molto elevata] Nel primo tratto, tra 0 e 1, la "campana" è sempre della forma y(x, k) = [x^(k–1)/(k–1)! Pertanto la probabilità [cunulativa] di fare non più di x (con x ≤1) con k estrazioni vale: F(x, k) = (x^k)/k!. [NB: Per fare la probabilità cumulativa bisogna integrare la "campana" di equazione y(x, k)] ----------------- La media di questa distribuzione discreta P(k) = F(1, k), per k intero tra 2 e +oo, vale: [2·(1/2) + 3·1/6 + 4/4! + ... k/k! + ...]/(1/2 + 1/6 + 1/4! + ... 1/k! + ...] = = (1 + 1/2 + 1/3! +... 1/(k–1)! + ...]/(1/2 + 1/6 + 1/4! + ... + 1/k! + ...] = (e–1)/(e–2) = 2,39221191117... [dove "e" è il famoso lim (n ––>oo) di (1+1/n)^n = 2,718281828459..., detto "numero di Napier" e base dei "logaritmi naturali"] -------------- Però, visto che non sono sicuro di quel che vuoi sapere e che, secondo te, astrimauh ha risposto giusto, è molto probabile che io risponda sbagliato. E visto che voi due vi comprendete al volo, evidentemente avete un vostro linguaggio ... che differisce dal mio! ![]() -------- ![]()
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Erasmus «NO a nuovi trattati intergovernativi!» «SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!» Ultima modifica di Erasmus : 30-09-11 10:31. |
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#9 |
Utente Esperto
![]() ![]() ![]() ![]() Data di registrazione: Jul 2005
Ubicazione: Roma
Messaggi: 2,140
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#10 | ||
Utente Super
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Data di registrazione: Nov 2009
Ubicazione: Terra dei Walser
Messaggi: 9,700
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![]() Quote:
Es. prima estrazione : 0,1517... seconda estrazione : 0,6385... terza estrazione : 0,2946... ALT! Perchè la somma = 1,0848... > 1 Con questa prova ci sono voluti 3 numeri estratti Ecc... Il risultato richiesto si può ottenere, come ha fatto Astromauh, con una simulazione, es. di un milione di prove. E la soluzione, almeno a me, pare interessante e poco intuitiva. Poi, mi sono tirato fuori la formula che restituisce questo valore e le probabilità singole di ottenere > 1 con due (con 1 estratto non è ovviamente possibile), tre, quattro, ...., estratti. Per il resto, ti ho seguito e mi sei parso convincente. Penso però che tu abbia risolto un problema diverso: infatti, io non intendevo "Qual è la probabilità che la somma di k numeri estratti a caso NON superi 1, ma " Qual è la probabilità che la somma di k numeri estratti a caso superi 1". A me risulta: p(2) = 1/2 p(3) = 1/3 p(4) = 1/8 p(5) = 1/30 ... e facendo la somma di queste probabilità viene (come dovrebbe venire) 1. Invece, la somma delle probabilità calcolate da te dà molto meno di 1. Quote:
![]() Ciao Nino Ultima modifica di aspesi : 30-09-11 11:39. |
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