Discussione: Nino - Nino
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Vecchio 17-08-22, 14:16   #3023
Erasmus
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Predefinito Re: Nino - Nino

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aspesi Visualizza il messaggio
Per queste cose, ormai non ci perdo piω tempo, le faccio risolvere a wolfram
Male!
Che importanza ha che la risposta sia questo o quel numero se non si sa (e non si vuol sapere ) il perchθ?
A prima vista l'equazione di questo quiz sembra un'equazione che non si puς risolvere se non per tentativi ed approssimazioni successive (e quindi non certo a mano!). Ma se si ragiona un tantino ... – questo quiz andrebbe messo proprio in "un po' di calcoli e un po' di logica" – si scopre che θ addirittura facile (a parte il calcolo numerico della soluzione teorica).
Osserviamo anzitutto che
4^x = (2^2)^x = 2^(2x) = (2^x)^2 ≡ (2^x)·(2^x)
e analogamente
9^x = (3^2)^x = 3^(2x) = (3^x)^2 ≡ (3^x)·(3^x);
e che
6^x = (2·3)^x = (2^z)·(3^x).
Inoltre:
Se io avessi un'equazione del tipo y = a^x con a maggiore di 1 e diverso da "e", come faccio a farmi dare il valore numerico di x dalla calcolatrice (che non sa fare i logaritmi in base a)?
Elementare, Watason! Si fa il logaritmo naturale di a cioθ ln(a). Allora:
y = a^x = [e^ln(a)]^x = e^[x·ln(a)] ⇒ xln(a) = ln(y) ⇒ x = ln(y)/ln(a).
Tenendo ciς presente, posto
z = (3^x)/(2^x) ≡ (3/2)^x (*)
si ha;
4^x + 6^x = 9^x ⇔ (2^x)·(3^x) = (3^x)·(3^x) – (2^x)·(2^x).
Divido i due membri di quest'ultima equazione per il primo membro ottenendo:
Codice:
      (3^x)·(3^x)    (2^x)·(2^x)            3^x     2^x
1= ––––––––––  – –––––––––– ⇔ 1 = ––––  – ––––  ⇔ 1 = [(3/2)^x] – [(2/3)^x]   ⇔ 
     (2^x)·(3^x)     (2^x)·(3^x)            2^x     3^x

  ⇔  1 = (3/2)^x – 1/[(3/2)^x] ⇒ 1 = z – 1/z ⇔ z^2 – z – 1 = 0.  (**)
Risolvendo questa equazione (**) in z si trova una soluzione positiva
z = [√(5) + 1]/2
e una negativa
z= – [√(5) – 1]/2.
Tornando al significato (*) di z abbiamo allora
(3/2)^x = z ⇒ x = ln(z)/ln(3/2).
Ricordando che il logaritmo naturale di un numero negativo non θ reale albbiamo la sola soluzione:
Codice:
       ln{[√(5)+1]/2}
x = –––––––––––––.
          ln(3/2)
––––––
__________________
Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 17-08-22 16:24.
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