Discussione: Qualche quiz
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Vecchio 22-09-10, 10:14   #9
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

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aspesi Visualizza il messaggio
Qui non ci siamo (e come sono contento, nel dirtelo.... )
E fai bene!
Infatti, appena uscito da "Coelestis", ho capito d'aver scritto una cavolata!
Foglio e matita alla mano, per n = 4 andava tutto bene: Pr = 1, Pa = Po = 0.
Ma per n = 6, i rettangoli acutangoli mi venivano di meno di quelli ottusangoli.

Cerco di correggere la cavolata!
Riprendo da dove credo che il mio discorso sia ancora corretto.
[NB: Solo con n pari ci sono vertici diametralmente opposti, ossia è maggiore di 0 la probabilità di avere triangoli rettangoli.]

Chiamo Nr, Na, No il numero di triangoli rispettivamente rettangoli, acutangoli, ottusangoli.
Ho già trovato:
Nr = n(n-2)/2;
N = Nr + Na + No = n(n-1)(n-2)/6.

Allora:
Na+No = n(n-1)(n-2)/6 -n(n-2)/2 =n(n-2)/2][(n-1)/3 -1] = n(n-2)(n-4)/6. (*)

Prendo un vertice fisso, considero ma non prenderò mai il diametrale.
Parto dal vertice preso e procedo a sinistra prendendo uno degli (n-2)/2 vertici disponibili da questa parte.
Ad ogni scelta cerco i triangoli acutangoli.
Devo prendere il terzo vertice dall'altra parte (a destra), ma devo evitare che diventi ottuso l'angolo nel primo vertice.
Procedendo a sinistra, se prendo il 1° che incontro, a destra non ho alcun vertice utile da prendere per terzo; se prendo il 2°, a destra di utili ne ho 1, se prendo il 3° di utili ne ho 2 ... se prendo l'[(n-2)/2]-esimo ce n'ho [(n-2)/2]-1 = (n-4)/2.
Trovo così
0 + 1 + 2 + ... +(n-4)/2 =[(n-2)/2]·[(n-4)/2]/2 = (n–2)(n–4)/8
triangoli acutangoli con un vertice fisso.
Posso cambiare il primo vertice in n modi: ma ogni triangolo viene ripetuto 3 volte.
Devo perciò moltiplicare quelli trovati con un vertice fisso per n/3.
I triangoli acutangoli sono dunque:
Na = n(n–2)(n–4)/24 (**)

Quanti sono gli ottusangoli lo trovo per differenza dalla (*).
No = n(n–2)(n–4)/6 – n(n–2)(n–4)/24 = n(n–2)(n–4)/8. (***)

NB: i triangoli ottusangoli mi vengono sempre il triplo di quelli acutangoli.

Le rispettive probabilità sono Nr/N, Na/N, No/N, cioè::
Pr = 3/(n–1); (tr. rettangoli)
Pa = (1/4)·[(n–4)/(n–1)]; (tr. acutangoli)
Po = (3/4)·[(n–4)/(n–1)]. (tr. ottusangoli)

Please: Qualcun altro sostituisca n con 2002 e faccia il calcolo numerico!
Thanks for your attention.

Ciao, ciao.

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P.S. Dom. 26.09.10 h 19.35

Abbiamo visto che ci sono n(n-2)(n-4)/8 triangoli ottusangoli.
Siccome n è pari, posto n = 2m, [m intero maggiore di 1], il numero di ottusangoli viene:
m(m–1)(m–2)
che è il numero D(m, 2) di disposizioni a 2 a 2 di m elementi.
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Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 26-09-10 17:36.
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