[Erasmus]

Erasmus

3)
[h(h+1)/2 + k(k+1)/2]/2 = p(p+1)/2;
h(h+1)/2 – k(k+1)/2 =5· q^2 .

Questa preliminare discussione non è necessaria : ma serve a ridurre il numero di tentativi e la grandezza dei numeri da cercare (cosa di peso irrilevante in un programmino per computer, ma non in una ricerca manuale).

i numeri interi del tipo P(m) = m(m+1)/2 per m = 1, 1, 2. 3, ... sono i cosiddetti "numeri perfetti":

P(m)–>0, 1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, ... 
  m  –>0, 1, 2, 3,  4,  5,  6,   7,  8,   9,   10, 11, 12, 13, 14,   15,    16,   17,  18,   19,   20,   21,   22,  23,   24, ...

definibili ricorrentemente come segue:
P(0) = 0; per ogni m naturale P(m+1)= P(m) + (m+1).
[...]

Completo la discussione che facilita la ricerca manuale della soluzione.

I numeri perfetti P(m), come si vede nella tabella sotto "Codice", si susseguono a coppie di numeri pari e di numeri dispari.
Dalla prima delle 3) viene che occorre cercare un P(h) ed un P(k) che diano per somma il doppio d'un numero perfetto. Allora P(h) e P(k) devono essere o entrambi pari o entrambi dispari. Rifacciamo allora la tabella separando i numeri perfetti pari da quelli dispari:

Numeri perfetti pari
P(m) ––> 0, 6, 10, 28, 36, 66, 78, 120, 136, 190, 210, 276, 300, 378 ... 
  m   ––> 0, 3,  4,   7,   8,  11, 12,  15,  16,   19,  20,    23,   24,  27  ...

Numeri perfetti dispari
P(m) ––> 1, 3, 15, 21, 45, 55, 91, 105, 153, 171, 231, 253, 325, 351  ... 
  m   ––> 1, 2,   5,  6,   9, 10, 13,   14,   17,  18,   21,   22,   25,  26   ...

Le 3) chiedono due numeri perfetti entrambi pari o entrambi dispari la cui somma sia il doppio d'un perfetto e la cui differenza sia divisibile per 5 con quoziente quadrato perfetto. Controlliamo se ce ne sono tra i pari e se ne troviamo registriamone gli indici. Se non ne troviamo tra i pari, cercheremo analogamente tra i dispari.

Per m crescente dal primo fino al penultimo  fa: 
   {inizio_1 }
      metti k:= m;  prendi P(k); 
      per h dal'm successivo di k  fino all'ultimo fa:
        {inizio_2 } 
            prendi P(h);
             se P(h) – P(k) è divisibile per 5 allora
                se [P(h) – P(k)]/5 è un quadrato perfetto allora
                    se  P(h) + P(k) è il doppio d'un perfetto allora
                          registra h e k
        {fine_2}
    {fine_1}

Nell'esame dei perfetti pari le coppie con differenza divisibile per 5 risultano:
[P(4), P(0)]; [P(15), P(0)]; [P(19), P(0)]; [P(20), P(0)]; [P(24), P(0)]; ...
[P(8), P(3)]; P(11), P(3)]; P(23), P(3]; ...
[P(15), P(4)]; [P(19), P(4)]; [P(20), P(4)]; [P(24), P(14)]; ...
[P(12), P(7)]; [P(27), P(7)]; ...
[P(11), P(8)]; [P(16), P(8)]; [P(23), P(8)]; ...
[P(16), P(11)]; [P(23), P(11)]; ...
P(27), P(12)]; ...
[P(19), P(15)]; P(20), P(15)]; [[P(24), P(15)]; ...
[P(23), P(16)]; ...
[P(20), P(19)]; [P(24), P(19)]; ...
[P(24), P(20)]; ...
...
Ma solo [P(24) – P(15)]]/5 = (300 – 120)/5 = 180/5 = 36 è un quadrato perfetto.

Vediamo se questa coppia verifica anche l'ultima condizione:
P(24) + P(15) = 300 + 120 = 420 = 2·210 = 2P(20).
Si: la condizione è verificata!
Inutile allora processare anche i numeri perfetti dispari

Allora:
h = 24; k = 15; p = 20; q = √(300 – 120)/5] = √(180/5) = √(36) = 6;
u = (2p+1)/(2q) = (2·20 + 1)/(2·6) = 41/12 => u^2 = 1681/144 [numero quadrato con cui Leonardo ha risposto a Giovanni]
v = (2h+1)/(2q) = (2·24 + 1)/(2·6) = 49/12 => v^2 = 2401/144
w = (2k+1)/(2q) = (2·15 +1)/(2·6) = 31/12 => w^2 = 961/144 .

Verifica

u^2 + 5 = (1681 + 5*144)/144 = (1681 + 720)/144 = 2401/144 = v^2    (OK!)
u^2 – 5 = (1681 – 5*144)/144  = (1681 – 720)/144 =   961/144 = v^2    (OK!)

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