Discussione: Qualche quiz
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Vecchio 22-09-10, 13:11   #11
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

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[NB: Solo con n pari ci sono vertici diametralmente opposti, ossia è maggiore di 0 la probabilità di avere triangoli rettangoli.]

Chiamo Nr, Na, No il numero di triangoli rispettivamente rettangoli, acutangoli, ottusangoli.
Ho già trovato:
Nr = n(n-2)/2;
N = Nr + Na + No = n(n-1)(n-2)/6.
Allora:
Na+No = n(n-1)(n-2)/6 -n(n-2)/2 =n(n-2)/2][(n-1)/3 -1] = n(n-2)(n-4)/6. (*)

Prendo un vertice fisso, considero ma non prenderò mai il diametrale.
Parto dal vertice preso e procedo a sinistra prendendo uno degli (n-2)/2 vertici disponibili da questa parte.
Ad ogni scelta cerco i triangoli acutangoli.
Devo prendere il terzo vertice dall'altra parte (a destra), ma devo evitare che diventi ottuso l'angolo nel primo vertice.
Procedendo a sinistra, se prendo il 1° che incontro, a destra non ho alcun vertice utile da prendere per terzo; se prendo il 2°, a destra di utili ne ho 1, se prendo il 3° di utili ne ho 2 ... se prendo l'[(n-2)/2]-esimo ce n'ho [(n-2)/2]-1 = (n-4)/2.
Trovo così
0 + 1 + 2 + ... +(n-4)/2 =[(n-2)/2]·[(n-4)/2] = (n–2)(n–4)/4
triangoli acutangoli con un vertice fisso.
Posso cambiare il primo vertice in n modi: ma ogni triangolo viene ripetuto 3! = 6 volte.
Devo perciò moltiplicare quelli trovati con un vertice fisso per n/6.
I triangoli acutangoli sono dunque:
Na = n(n–2)(n–4)/24 (**)

Quanti sono gli ottusangoli lo trovo per differenza dalla (*).
No = n(n–2)(n–4)/6 – n(n–2)(n–4)/24 = n(n–2)(n–4)/8. (***)

NB: i triangoli ottusangoli mi vengono sempre il triplo di quelli acutangoli.

Le rispettive probabilità sono Nr/N, Na/N, No/N, cioè::
Pr = 3/(n–1); (tr. rettangoli)
Pa = (1/4)·[(n–4)/(n–1)]; (tr. acutangoli)
Po = (3/4)·[(n–4)/(n–1)]. (tr. ottusangoli)

Please: Qualcun altro sostituisca n con 2002 e faccia il calcolo numerico!
Thanks for your attention.

Ciao, ciao.
Grazie a te!!!!
(Pa = 0,249625 triangoli acutangoli
cioè (667-1)/(667*4) = 1665/6670 utilizzando i tuoi calcoli del messaggio precedente

Po = 0,748875 triangoli ottusangoli = (667-1)*3/(667*4) = 1998/2668)

Il numero dei triangoli acutangoli (in funzione dei lati dei poligoni regolari con un numero pari di lati, iniziando dal quadrato) è indicato dalla seguente sequenza:
http://www.research.att.com/~njas/se...ian& go=cerca

quello dei triangoli ottusangoli da:
http://www.research.att.com/~njas/se... lian&go=cerca

Per finire:
Per i poligoni con un numero dispari di lati, si ha:
numero_triangoli_acuti = n*(n-1)*(n+1)/24
numero_triangoli_ottusi = n*(n-1)*(n-3)/8



(Se hai tempo e voglia, ci sono anche gli altri quiz...)
Nino
aspesi non in linea   Rispondi citando