Discussione: Qualche quiz
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Vecchio 23-09-21, 06:40   #4694
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

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aspesi Visualizza il messaggio

Sì è 169,5
Aspettiamo se vuole la soluzione di Erasmus
Sì, la risposta giusta è 169,5.
Tu, aspesi, hai detto a nino280 che non importa come uno ci arriva, che tu fai i complimenti a chi trova il risultato giusto. Discorso ... ambiguo!
Se per "arrivarci" o "trovare" intendi raggiungere il risultato giusto autonomamente sono d'accordo. Ma se intendi dare il risultato giusto magari andando a prendere quello trovato da un altro allora non sono d'accordo!
Vedi che nino280 riconosce di non aver fatto altro che il disegno e che la risposta gliela dà Geogebra.
Ho sempre detto e ripeto che la risposta giusta ad un quiz va spiegata perché solo offrendo al lettore il percorso con cui si è raggiunto il risultato la risposta è "istruttiva".

Tu, aspesi, come hai risolto questo quiz?
Mi interessa saperlo!
Io l'ho trovato "difficile". Dapprima ho cercato l'angolo al vertice ... ma devo aver fatto qualche "errore di sbaglio" perché poi l'angolo trovato non andava bene!
Stanotte ho invece cercato l'altezza – diciamolla h – rispetto al lato obliquo..
Questa lunghezza h è FONDAMENTALE per la risposta perchè i due triangoli che compongono l'area richiesta sono rettangoli ed i cateti di uno sono 7 e h –7 e i cateti dell'altro sono 16 e h – 16.
L'equazione che mi dà h l'ho presa uguagliando il lato destro al lato sinistro del triangolone grosso. Si parte dunque con una equazione lunghissima ed incasinata. Se non si sbagliano i passaggi, l'equazione meravigliosamente si sbroglia restando alla fine così
h^3 – 30·h^2 + 32·49 = 0
Delle tre soluzioni, quella che va bene per il problema è 28
L'area richiesta è dunque
Codice:
   (28 – 7)·7      (28 – 16)·16       147 + 192      339
   ––––––––  +  ––––––––––  =   –––––––––  = ––– = 169,5
         2                    2                        2             2
    Triangolo        Triangolo
     in basso         a sinistra
––––––

Spiego meglio quel che ho fatto.
Sul lato di destra ci sono quattro segmenti che, andando dall'alto al basso, ho chiamato r, q, p ed s.
Occchio: q è il lato del quadrato più grande e p il lato di quello più piccolo.
Il lato di destra è dunque lungo r + q +p + s
il lato di sinistra è lungo √(r^2 + q^2) + √[q^2 + (h – q)^2]
Inizialmente ho dunque l'uguaglianza:
√(r^2 + q^2) + √[q^2 + (h – q)^2] = r + q + p + s. (*)
Elimino r ed s sfruttando proporzioni in triangoli simili, Cioè:
1) r : q = q : (h – q) –––> r = (q^2)/(h – q)
2) s : p = p : (h – p) –––> s = (p^2)/(h – p).
Metto le espressioni di r ed s nella (*) ed ho una equazione ... incasinata nell'incognita h con parametri p e q dei quali solo dopo tutte le possibili semplificazioni metterò i valori (che sono p=7 e q = 16).
Con le dette sostituzioni [di r ed s] l'equazione (*) diventa quest'altra:
√{[(q^2)/(h–q)]^2 + q^2} + √[q^2 + (h – q)^2] = (q^2)/(h–q) + q + p + (p^2)/(h–p). (**)
Beh: adesso se qualcuno ce n'ha voglia può farsi lui le semplificazioni. Meravigliosamente si semplifica moltissimo arrivando appunto all'equazione
h^3 – (p +2p)·h^2 + 2q·p^2 = 0. (**)
Per q = 16 e p = 7 si ha
h^3 – 30·h^2 + 32·49 = 0.
La soluzione h = 28 si trova facilmente anche per tentativi andando ... a sentimento.
Per comodità chiamo P(h) il trinomio. Si parte da h = 0 con P(0) = 32·49 positivo.
Per h = 16 viene P(16) = (16^2)·(16 –30) + 16·14·7 = 14·16·(–16 + 7) che è negativo.
Dunque tra 0 e 16 c'è una soluzione che non ci va bene perché è minore di 16.
Se si prova h = 27 si trova P(27) = –3·27^2 +32·49 che è ancora negativo.
Con h = 28 si annulla! Con h = 30 si ha P(0) = P(0), ... e poi crescendo h cresce pure P(h).
Dividendo il trinomio per per h – 28 resta l'equazione h^2 – 2h –56 = 0
[che è risolta da h = 1 + √(57) ≈ 8,55 e 1 – √(57) ≈ – 6,55].
Dunque va bene solo h = 28 perché delle tre solo 28 è maggiore di 16.
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 23-09-21 11:20.
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