Discussione: Estrazioni casuali
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Vecchio 20-06-22, 07:44   #3536
aspesi
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

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Questo quiz è più impegnativo del solito!
Ma saprei risolverlo "numericamente" se non fosse che il computer vecchio s'è fottuto del tutto![Non si accende più!]
Là avevo Grapher, qua ho solo una calcolatrice che sa fare solo le operazioni razionali una alla volta!

Sorteggiati due punti casuali A e B dentro il cerchio, tranne il caso a probabilità infinitesima che questi due punti siano allineati col centro O del cerchio, ci sarà pure un diametro parallelo al segmento AB (il quale sta in uno dei due semicerchi individuati da quel diametro).
Consideriamo l'angolo φ = AOB sotto il quale è visto dal centro O il segmento AB. A tale scopo basta considerare le rette AO e BO.
L'opposto al vertice di quest'angolo (fatto dai prolungamenti di AO e BO nell'altro mezzo cerchio) è pure ampio φ ed individua un settore di cerchio. Se il terzo punto casuale C casca in questo settore, allora il centro del cerchio sta dentro al triangolo ABC. Se dunque il segmento AB è visto dal centro O sotto l'angolo φ (radianti), la probabilità che il centro O del cerchio stia in ABC è φ/(2π)

Forse riesco a fare il calcolo per tutti i possibili segmenti AB con opportuna integrazione.
Intanto, chi ha mezzi di calcolo idonei può fare i conti considerando un rettangolo largo 4n e alto 2n (con n molto grande) di vertici D, E, F e G con queste coordinate:
D(2n, 0); E(2n, 2n); F(–2n, 2n); G(–2n, 0)
ed eseguendo poi un programmino col quale individuare tutti i segmenti AB paralleli all'asse delle ascisse con ordinata y dispari tra 1 e 2n –1 e, dette M ed N le intersezioni a sinistra e a destra della circonferenza di centro (0, 0) e raggio 2n con la corda di ordinata y e ascisse x1 di A e x2 di B pure dispari e tali che sia
xM ≤ x1 < x2 ≤ xN.
Per ognuno di questi segmenti sia
a =x2 – x1; b = √(x1^2 +y^2); c = √(x2^2 +y^2);
φ = arcos[(b^2 + c^2 – a^2)/(2bc)]; pr = φ/(2π).
Si sommino i pr di tutti i segmenti e si divida il totale per il numero di segmenti.
Questo rapporto al crescere di n verso +∞ tende alla richiesta probabilità.

Se avrò abbastanza tempo e se ne sarò capace farò il calcolo di questa probabilità con un opportuno integrale triplo.

Intanto qualcuno esperto di "simulazione" faccia il calcolo numerico: con un qualche metodo esaustivo (come ho indicato io) o con metodo tipo Montecarlo.
[Astromauh: se ci sei batti un colpo!]

––––––––
Se ci riesci...
https://math.stackexchange.com/quest...PpT8VR038is9oU

Il problema per quanto mi riguarda si può risolvere (intuitivamente) in modo da essere praticamente certi del risultato, che è 1/4.



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