[Erasmus]

Rimetto anche la bellissima serie che, senza discontinuità, equivale alla funzione che ho scritto in calce alla figura "Oblate Spheroid Polar Gravyry": funzione analitica tranne in x = 1 che però, scritta nel campo reale, per 0 < x < 1 si esprime tramite un logaritmo e ivece per x > 1 si esprime tramite un'arcotengente. La funzione trovata analiticamente ha una discontinuità eliminabile in x = 1 (dove non è definita, ma tende ad 1 sia da destra che da sinistra). C'è di mezzo la radice quadrata √(x^2 – 1) che per x<1 è immaginaria. Ma la radice c'è anche al denominatore e l'arcotangente è una funzione dispari; sicché si elide l'unità immaginaria tra numeratore e denominatore ... e l'arcotangente diventa una funzione reale esprimibile attraverso la funzione logaritmo
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La funzione analitica y(x) così definita:

Se x = 1 allora y = 1 altrimenti
      se x < 1 allora

                       (x^4)^(1/3)           1             1         1 + √(1 – x^2)
         y(x) = 3· –––––––––– · [––––––––– · ––– ln ––––––––––––––   – 1 ]
                          1 – x^2         √(1–x^2)      2         1 - √(1 – x^2)

           altrimenti (cioè se x > 1)

                            (x^4)^(1/3)                   arctan(√(x^2 – 1)
              y(x) = 3·––––––––––––– · [1  –  ––––––––––––––––– ]
                             x^2 – 1                           √(x^2 – 1)

è esprimibile anche, per ogni x positivo, con la seguente serie (che converge per ogni x reale positivo) :

              (x^4)^(1/3)]                2       ∞          1       (1 – x)^n
y(x) = 3·–––––––––––– · [ 1 + ––––––· ∑   [ –––––– · ––––––––– ]
                (1 + x)^2                1+x     n=0    (2n+3)   (1 + x)^n

Ciao ciao