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Vecchio 31-07-22, 12:02   #2286
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

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aspesi Visualizza il messaggio
Non so calcolarlo, ma è giusto
(3+RADQ(5))/2
Fatto 2 il diametro del cerchio, il lato L del triangolo grigio (grande) viene
L = 2·[√(3)/2] = √(3)
e allora la sua altezza H viene
H = L·√(3)/2 = 3/2.
I lati del triangolo verde sono lunghi L/2 = √(3)/2 e quindi l'altezza h vale
h = H/2 = 3/4. (*)
L'area V del triangolo verde è dunque:
V = {[√(3)/2]·(3/4)}/2 = [3√(3)]/16. (**)
Dalla (*) viene che il centro del cerchio dista 1/4 dalla retta t (secante del cerchio).
Perciò la lunghezza di metà della corda (intersezione di t col cerchio) risulta:
<mezza corda> =√(1 – 1/16) = √(15)/4.
Detta allora x la lunghezza del lato minore del triangolo rosso, abbiamo l'uguaglianza:
<mezza corda> + x = <3 metà del lato del triangolo verde> <==>
<==> √(15)/4 + x = 3·[√(3)/4] <==> x = √(3)·[3 – √(5)]/4.
Siccome la retta t è inclinata di 60° sulla tangente orizzontale r, l'altezza del triangolo rosso rispetto al suo lato orizzontale [che è pure lungo √(3)/2] viene
[√(3)/2]·x = [3 – √(5)]·3/8.
L'area R del triangolo rosso è dunque
R = [√(3)/2]·[3 – √(5)]·3/8]/2 = {[3√(3)]/16}·[3 – √(5)]/2. (***)
Ricordando la (**) il richiesto rapporto è dunque
V/R = 2/[3 – √(5) = 2 [3 + √(5)]/4 = [3 + √(5)]/2 ≈ 2,618033988749895
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