Molto interessante il tuo meccanismo per disegnare curve.
Ma io sono rimasto fermo ai trifogli e ai quadrifogli
Ho lavorato non poco (dato che ormai ho un rendimento infimo!) a preparare un "paginone" dove ci sta un po' di spiegazione geometrica seguita da 9 figure della stessa famiglia, di cui fa parte anche il "mio" trifoglio e quello (da te postato) di Kiepert (individuo a me ignoto fino all'altro giorno).
Più sotto vedi il link del nuovo "paper" erasmiano.
Come vedi nel foglio di cui metto il link, il trifoglio di Kiepert non è solo girato (di 90 gradi in senso antiorario) rispetto al "mio". Ha anche la forma diversa.
E infatti l'equazione della curva non è di quarto grado (come quella del "mio" quadrifoglio) ma di sesto grado.
E' un po' come l'altra volta, quando ti facevo vedere che la lemniscata di Bernoulli non era della stessa forma del "tuo" fiore, e tuttavia apparteneva alla stessa famiglia.
In pratica, quando hai l'equazione polare che ti da la distanza "rho" dall'origine in funzione dell'anomalia "theta", cioè
ρ =
a·F(θ)
[dove
a è una costante positiva che rappresenta una lunghezza mentre F(θ) è adimensionale]
se F(θ) è una funzione periodica di periodo commensurabile con l'angolo giro, allora la figura ha una simmetria centrale e quindi è una specie di fiore.
F(θ) non può essere negativa perché non può essere negativa la distanza ρ.
Tu puoi allora modificare i petali del fiore semplicemente elevando il rapporto ρ/
a (cioè: sia ρ che
a) alla potenza che che ti piace di più!
Nel nostro caso, F(θ) varia tra 0 e 1.
Se allora elevi ad un esponente n maggiore di 1, i
petali si distorcono e tendono a diventare settori circolari al tendere di n all'infinito. Viceversa, tendono ad essere sottili se n tende a zero.
Nel nostro caso, per n = 1 (cioè: trifoglio disegnato con quel meccanismo delle due lancette) abbiamo
a = 2 – che è il raggio del cerchio circoscritto – e l'equazione polare è:
ρ =
a·|sin(3θ)|
(x^2 + y^2)^2 =
a·y(y^2 – 3x^3).
Siccome adesso (con
a, x ed y che sono lunghezze) il polinomio di destra (che è di 3° grado) rappresenta il cubo di una lunghezza, se al posto di
ρ = √(x^2 + y^2)
metto ρ^n, il parametro
a lo devo elevare alla n – 3 e la parentesi (x^2+y^2) – che è già ρ^2 – devo elevarla alla n/2, ottenendo (in genertale):
(x^2 + y^2)^(n/2) = [a^(n–3)]·y(y^2 – 3x^3).
In particolare, nell'equazione di Kiepert n vale 6:
Kiepert ––> (x^2 + y^2)^3 = (a^3)·y(y^2 – 3x^3).
Il parametro
a serve solo per la scala. La forma dei petali non dipende da
a ma solo dal grado n.
=>
Trifogli a confronto.PNG
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Ciao, ciao