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Vecchio 23-04-12, 17:08   #702
Erasmus
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Predefinito Ancora le sequenze linearmente dipendenti ...

Propongo un nuovo quiz

{X(n)} e {y(n) sono due sequenze di numeri interi.
{X(n)}: ..., X(r1), X(r), X(r+1), ...
{Y(n)}: ..., y(r1), y(r), y(r+1), ...

{X(n)} e {y(n) verificano la medesima legge di ricorrenza:
Per qualunque n intero (relativo)
[X(n + 1) + X(n1)]/2 = kX(n);
[Y(n + 1) + Y(n1)]/2 = kY(n);
con k costante maggiore di 1.

Per un certo indice m
X(m) = 12 192;
Y(m) = 32 257.


Il guaio che ... non si conosce m e non si conosce k ...

Ma con un po' di calcoli ed un po' di logica almeno una coppia di sequenze che soddisfino i requisiti si riesce a trovarla.

Ogni termine di una sequenza ha sia il successore che il predecessore. Perci non importante la numerazione assoluta ma solo quella relativa, ossia l'ordine con cui si susseguono i termini.
Se per la sequenza {Z(n)} vale la legge ∀n intero Z(n+1) = 2kZ(n) Z(n1), la sequenza completamente conoscibile dalla conoscenza della costante k e di due termini consecutivi; oppure dalla conoscenza di tre termini consecutivi (dai quali tranne il caso disgraziato in cui fosse nullo il termine centrale dei tre si ricava k).


Ripeto i requisiti che le due sequenze devono soddisfare:
Sia Z(n) una o l'altra delle due.
Sono di numeri interi: ∀r ∈ Z Z(r) ∈ Z.
Esiste una costante k moltiplicando per la quale un qualunque termine di una delle due sequenze, si ottiene la media aritmetica dei termini a lui adiacenti (predecessore e successore):
∃k ∈ R, k > 1 | ∀r ∈ N kZ(r) = [X(r1) + X(r + 1)]/2
Un elemento di una sequenza vale 12192; e un elemento dell'altra sequenza vale 32257.


[NB1 (nota ...postuma): L'insieme N dei naturali incluso nell'isieme Z degli interi, il quale incluso nell'insieme dei reali R. Ma se vogliamo che tutti i termini siano interi, occorre k ∈ Z.
Se poi dev'essere k > 1, allora necessariamente k ∈ N.]

--------------------------
Determinare la coppia [X(m1), Y(m1)] e la costante k.
Oppure, equivalentemente, le due coppie [X(m2), y(m 2)]; [X(m1), Y(m1)]


[NB2 (domanda ...postuma): La soluzione unica?]
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 23-04-12 19:14.
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