Quote:
Erasmus
Sia x la distanza di un vertice dell'ottagono dal vertice più vicino del quadrato.
L'area dell'ottagono è 1 – 4·(x^2)/2 = 1 – 2·x^2
Il perimetro è (4 – 8·x) + [4·√(2)]x = 4·{1 –[2 – √(2)]x}
Il rapporto (1/4)·(1 – 2·x^2)/{1 –[2 – √(2)]x}.
Al variare di x questo rapporto ha un massimo (per un certo x compreso tra 0 e 1/2) maggiore di 1/4, che vale circa (1,047)·1/4
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Perfetto!
Il massimo è 0,261755... con x=0,1533
Quote:
Erasmus
Ancora meglio se si attacca a ciascun lato obliquo un "lunotto" circolare (tangente a due lati consecutivi) ottenendo un quadrato con gli angoli smussati.
Anche qui, al variare dii x si ottiene un massimo che è circa 1,065 · (1/4)
Ciao ciao
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OK, i rapporti possono migliorare se le smussature sono arrotondate con archi di circonferenza tangenti ai lati del quadrato, di raggio x pari alla distanza tra i vertici del quadrato e i punti di tangenza.
Variando x tra 0 e 0,5 si passa dal quadrato originale al cerchio inscritto (rapporto area/perimetro = 0,25 in entrambi i casi)
Però, io trovo che il massimo è un po' minore rispetto a quello calcolato da te e precisamente:
S/P = 0,265079...
per x=0,2651..
