Discussione: Qualche quiz
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Vecchio 06-04-12, 11:22   #1117
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

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[...]
(In pratica si tratta di costruire una figura all'interno del quadrato che abbia il rapporto maggiore area/perimetro, che, ad esempio, 1/4 per il quadrato)
Per i perimetri regolari il massimo del rapporto si ha per apotema pari ad 1/2.
Allora i lati sono in numero multiplo di 4.
In tal caso, (apotema = 1/2) l'area
<mezzo perimetro per apotema> = (perimetro)/4
Pertanto il rapporto area/perimetro = 1/4 per ogni poligono regolare con numero di lati multiplo di 4 (e il cerchio il caso limite al tendere all'infinito del numero di lati).
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Ho trovato qualche forma che d un rapporto un po' maggiore di 1/4.
Disegnato il quadrato, si traccino 4 segmenti di uguale lunghezza, uno per vertice, inclinati di 45 sui lati e con gli estremi su due lati consecutivi. Si ottiene un ottagono irregolare con quattro lati uguali centrati sui 4 lati del quadrato e altri 4 a 45 su questi.
Sia x la distanza di un vertice dell'ottagono dal vertice pi vicino del quadrato.
L'area dell'ottagono 1 4(x^2)/2 = 1 2x^2
Il perimetro (4 8x) + [4√(2)]x = 4{1 [2 √(2)]x}
Il rapporto (1/4)(1 2x^2)/{1 [2 √(2)]x}.
Al variare di x questo rapporto ha un massimo (per un certo x compreso tra 0 e 1/2) maggiore di 1/4, che vale circa (1,047)1/4

Ancora meglio se si attacca a ciascun lato obliquo un "lunotto" circolare (tangente a due lati consecutivi) ottenendo un quadrato con gli angoli smussati.
Anche qui, al variare dii x si ottiene un massimo che circa 1,0603 (1/4)

Ciao ciao
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Ultima modifica di Erasmus : 12-04-12 12:28.
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