Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia (http://www.trekportal.it/coelestis/index.php)
-   Rudi Mathematici (http://www.trekportal.it/coelestis/forumdisplay.php?f=11)
-   -   Qualche quiz (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=33691)

aspesi 06-05-12 19:55

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Rob77 (Scrivi 592941)
Per il caso 6 il primo disponibile da piazzare è 11.
Lo provo subito a lato del 6 e mi va bene: 108.

:)


Eh.. eh... è proprio questo, che intendevo, parlando di regola...

108 non va bene per TN 6
(ma neppure 103, che si otterrebbe spostandosi a sinistra...)

:hello:

aspesi 06-05-12 20:00

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 592942)
Nom ci sono tante strategie da elucubrare!
Credo che l'unica sia questa.
Siccome nelle varie righe tranne quella più bassa, i numeri della riga sottostante si sommano due volte tranne gli estremi che si sommano una volta sola, partire dal centro della riga più bassa con 1 e mettere i numeri [naturali in ordine naturale crescente] alternativamente a destra e a sinistra, in modo da essere sicuri che i numeri più grossi cadano alle estremità della riga.
-------
:hello:

Giusto!:D

Quote:

Rob77 (Scrivi 592943)
Tenendo conto che non ricompaiano da altre parti. È lì il difficile...


Anche questo è giusto...:D
(Per questo, parlavo di forza bruta...)

:hello:

Erasmus 06-05-12 20:13

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Rob77 (Scrivi 592943)
Tenendo conto che non ricompaiano da altre parti....

Già. :)
Stavo appunto per modificare, accortomi dell'errore (ma ... sono andato prima a cena).
Penso allora ... che va bene fare dapprima come ho detto e poi fare (anche più di una volta) il back-tracking per saltare i naturali consecutivi che causano ripetizioni.
Per esempio (scrivo il triangolo capovolto)
2 1 3
3 4
7
Non va bene il 3 che si ripete. Allora
2 1 4
3 5
8
Adesso va bene.

Provo il T4
3 1 2 4
4 3 6
7 9
16
Non va bene, si ripetono il 3 ed il 4. Scarto il 3 dalla riga iniziale (la più lunga)
4 1 2 5
5 3 7
8 10
18
Mi si ripete il 5. Scarto anche il 5
4 1 2 6
5 3 8
8 11
17
Non va bene. Si ripete l'8. Scarto anche il 6.
4 1 2 7
5 3 9
8 12
20

Oppure
4 2 1 7
6 3 8
9 11
20

Toh: due distinti T4 entrambi con vertice in 20, con somma uguale in ogni riga, ma con numeri diversi nelle righe intermedie ...
[Nel primo ci stanno 5 e 12 e nell'altro no. Nell'altro ci stanno 7 e 11 e nel primo no.]

Di meglio non so fare! :o

--------
:hello:

Rob77 06-05-12 20:20

Re: Qualche quiz
 
Backtracking ci sta.
Mi guardo la Juve e provo

aspesi 06-05-12 20:26

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 592957)
4 1 2 7
5 3 9
8 12
20

Oppure
4 2 1 7
6 3 8
9 11
20

Toh: due distinti T4 entrambi con vertice in 20, con somma uguale in ogni riga, ma con numeri diversi nelle righe intermedie ...
[Nel primo ci stanno 5 e 12 e nell'altro no. Nell'altro ci stanno 7 e 11 e nel primo no.]

--------
:hello:

OK. :ok:

C'è anche
2 3 1 6
5 4 7
9 11
20

:hello:

Erasmus 06-05-12 21:13

Re: Qualche quiz
 
Forse ho capito come fare senza back-traking ... o meglio, con bak-treking in tempo reale!
Lo dico con un esempio-
Cerco il T4
Comincio con 1, 2, ... e salto subito il 3 perché 1 e 2 stanno affiancati e 1+2 = 3.
Preoseguo, 4, ... salto subito il 5 perché 4 mi viene affiancato a 1 e 1 + 4 = 5.
Completo il triangolo T3
4 1 2
5 3
8
Torno sulla prima riga. Ero arrivato a 5 (scartandolo).
Proseguo: 6 ... no perché mi va affiancato a 2 e 2 + 6 = 8 che ci sarà ancora (come appena visto. Proseguo: 7 ...
Provo il T4
4 1 2 7
5 3 9
8 12
20

Provo a completare il T4 per avere T5. Proseguo
8, no perché ci sarà dopo; 9 no perché ci sarà dopo, 10 ?
10 4 1 2 7
14 5 3 9
19 8 12
27 20
47
Provo con l'altro T4
7 1 2 4
8 3 6
11 9
20
E se provassi con 5 a fianco del 7?
_5 7 _1 2 4
12 8 _3 6
20 11 9 ... No perché si ripete il 20.

Forse ho imbroccato la strategia.
a) scartare i numeri che causano ripetizioni ... anche future!
Quindi, invece che completare la riga, completare con T(n+1) il triangolo T(n)
Provo a cercare un T6 partendo da T5.
10 4 1 2 7
14 5 3 9
19 8 12
27 20
47
Ero arrivato a contare fino a 10 compreso. 11?
10 4 1 2 7 11
14 5 3 9 18
19 8 12 27
27 ... no perché il 27 si ripete.
12? No perché c'è già. 13? Accanto al 7 no perché 23 + 7 = 20 e 20 c'è già. Accando al 10?
13 10 4 1 2 7
13 14 5 3 9
27 ... No, 13 no, perché fa ripetere il 27. 14? No perché c'è già. 15?
10 4 1 2 7 15
14 5 3 9 22
19 8 12 31
27 20 43
47 63
110
15 accanto al 10? Magari funziona: ma avendo i pesi sbilanciati darà un vertice più alto di 110. Vediamo:
15 10 4 1 2 7
25 14 5 3 9
39 19 8 12
58 27 20
85 47
135
Infatti è così!
-------------
Mah: certamente, a provale tutte al computer, si fa prima con la "forza bruta" che tentando di seguire una precisa strategia ...

Aspesi! Sputa la giusta strategia, ché mi sono già "stufìto" (come dicono a Milano)
------
:hello:

aspesi 06-05-12 21:43

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 592977)
Aspesi! Sputa la giusta strategia, ché mi sono già "stufìto" (come dicono a Milano)
------
:hello:

Qui ci sono i problemi (questo è il 401)
http://olympiads.win.tue.nl/imo/soviet/RusMath.html

ma senza le soluzioni...:D

(la strategia che ho trovato io, e forse anche Rob77, non dà i risultati migliori da TN 6 in su...; per questo, dicevo che ci vuole la forza bruta. Però, cercando in Internet, quando si tratta di successioni o sequenze, si trova quasi tutto...;))

:hello:

aspesi 07-05-12 09:19

Re: Qualche quiz
 
Questo potrebbe essere un algoritmo valido:
Codice:

            \
            / \
          /102\
          / \  \
        / 43\ 59\
        /  / \  \
      / 23/ 20\ 39\
      /  / \  \  \
    / 15/ 8 \ 12\ 27\
    /  /  / \  \  \
  / 10/ 5 / 3 \ 9 \ 18\
  /  /  / \  \  \  \
 / 6 / 4 / 1 \ 2 \ 7 \ 11\
/___/___/_____\___\___\___\



TN 1=1 e' il piu' piccolo ed e' baricentrico.
Il triangolo insieme di tutti i triangoli numerici cresce una volta a destra, una volta a sinistra.
Il numero nuovo da aggiungere alla base va 'ricercato' incominciando dal piu' basso lasciato libero dell'insieme precedente.
In pratica ciascun triangolo contiene tutti quelli di ordine inferiore:
TN 1=1 <- TN 2=3 <- TN 3=8 <- TN 4=20 <- TN 5=43 <- TN 6=102 <-

Però, da TN 6, questo modo di procedere non dà le soluzioni migliori.

Infatti:

TN 6=98 (metto solo i numeri della "base")
8 6 1 3 2 10

e

TN 7=212
11 7 2 1 4 6 13

A questo punto, per trovare i valori successivi, cerco su internet:
Trovo:

ID Number: A028307
Sequence: 1,3,8,20,43,98,212,465,1000,2144,4497,9504
Name: Form a triangle with n numbers in top row; all other numbers are the sum of their parents.
E.g.: 4 1 2 7; 5 3 9; 8 12; 20.

The numbers must be positive and distinct and the final number is to be minimized.
Links: Problem 401 here suggested this sequence
Example: Solutions for n=1,2,... are 1; 1 2; 2 1 4; 4 1 2 7;...
Keywords: nonn
Offset: 1
Author(s): Mauro Fiorentini Milano Italy


aspesi 09-05-12 18:45

Re: Qualche quiz
 
Ho due scatole a forma di parallelepipedi.
Le ho misurate accuratamente (precisione al millimetro, i 6 lati devono essere espressi in numeri interi) .

Con mia grande sorpresa ho verificato questa singolare proprieta':
Superficie A = Superficie B = Volume A = Volume B.

Chiedo a lor signori, le misure delle due scatole, di cui informo che la dimensione dello spigolo più lungo è inferiore a 40 cm.

(Ovviamente, A e B sono differenti).:D

:hello:

astromauh 10-05-12 15:26

Re: Qualche quiz
 
3 7 42 V= 882 S= 882
3 8 24 V= 576 S= 576
3 9 18 V= 486 S= 486
3 10 15 V= 450 S= 450
3 12 12 V= 432 S= 432
4 5 20 V= 400 S= 400
4 6 12 V= 288 S= 288
4 8 8 V= 256 S= 256
5 5 10 V= 250 S= 250
6 6 6 V= 216 S= 216

Ho trovato questi parallelepipedi che hanno la Superficie uguale al Volume, il problema è che non ce ne sono due che abbiano la stessa Superficie-Volume ma con spigoli diversi.

Quote:

aspesi (Scrivi 593979)
(Ovviamente, A e B sono differenti).:D

E questo non mi sembra quindi possibile!

Se ti accontenti potrei darti due scatole uguali.

:confused:

aspesi 10-05-12 15:31

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 594186)
3 7 42 V= 882 S= 882
3 8 24 V= 576 S= 576
3 9 18 V= 486 S= 486
3 10 15 V= 450 S= 450
3 12 12 V= 432 S= 432
4 5 20 V= 400 S= 400
4 6 12 V= 288 S= 288
4 8 8 V= 256 S= 256
5 5 10 V= 250 S= 250
6 6 6 V= 216 S= 216
:confused:

Giusto!

Mi sono espresso male...:o
Ho detto:
I 6 lati sono espressi in numeri interi (precisione al millimetro)

In realtà, intendevo che, esprimendo le lunghezze in cm, alcuni lati possono avere un decimale (ossia essere precisi al millimetro) .
Es. 14 - 35 - 2,5 e 5 - 70 - 3,5 cm potrebbe essere accettato, se un lato non fosse maggiore di 40 cm...

Trovare l'altra sestupla che ha i requisiti richiesti (quindi, con 4 interi e due decimali)

:hello:

Mi scuso :o

astromauh 10-05-12 15:46

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 594195)
Giusto!

Mi sono espresso male...:o
Ho detto:
I 6 lati sono espressi in numeri interi (precisione al millimetro)

In realtà, intendevo che, esprimendo le lunghezze in cm, alcuni lati possono avere un decimale (ossia essere precisi al millimetro) .
Es. 14 - 35 - 2,5 e 5 - 70 - 3,5 cm potrebbe essere accettato, se un lato non fosse maggiore di 40 cm...

Trovare l'altra sestupla che ha i requisiti richiesti (quindi, con 4 interi e due decimali)

:hello:

Mi scuso :o

Continuo a non capire...

Guarda che i numeri che ho riportato sono tutti in millimetri.
Ho verificato tutte le possibili combinazioni di tre spigoli da 1 a 400 millimetri, eliminando soltanto i doppioni.

Ad esempio, ho scritto solo 3, 7, 42 evitando di scrivere 7, 3, 42 o 42, 3, 7.

aspesi 10-05-12 15:53

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 594198)
Continuo a non capire...

Fai il conto con l'esempio che ti avevo riportato nel messaggio precedente (misure in cm):
14 - 35 - 2,5
e
5 - 70 - 3,5

Volume e superficie totale è per entrambe le scatole 1225 (cm^3 e cm^2)

Esiste solo un altro caso in cui il volume e la superficie siano espressi dallo stesso numero per 2 scatole diverse (con i lati <40 cm ed espressi al massimo con un decimale)

:hello:

astromauh 10-05-12 16:38

Re: Qualche quiz
 
Se trasformo i tuoi dati in millimetri, non ottengo più l'equivalenza tra superficie e volume.

Ma non dovrebbe essere lo stesso a prescindere dall'unità di misura adottata?

La scatola quella è, e quella rimane, sia che definisci i suoi spigoli in millimetri che in centimetri, o magari in piedi, o in miglia.

O no?

Devo dire che confrontare superfici e volumi, non mi sembra una operazione molto corretta.

:confused::confused::confused:

Rob77 10-05-12 16:47

Re: Qualche quiz
 
Dire che è ovvio che non torni passando da centrimetri a millimetri.

Spigoli (in centimetri):
a
b
c

Area e volume (in centimetri):
A=2*(a*b+a*c+b*c)
V=a*b*c

Area e volumi (in millimetri):
A1=2*(100*a*b+100*a*c+100*b*c)
V1=1000*a*b*c

V1=1000V
A1=100A

Ciao

astromauh 10-05-12 17:12

Re: Qualche quiz
 
6 6 6 V= 216 S= 216
6,5 6,5 5,2 V= 219,7 S= 219,7
6,6 6 5,5 V= 217,8 S= 217,8
7 5,6 5,6 V= 219,5 S= 219,5
7,2 7,2 4,5 V= 233,3 S= 233,3
7,5 6 5 V= 225 S= 225
7,7 7 4,4 V= 237,2 S= 237,2
8 6 4,8 V= 230,4 S= 230,4
8 8 4 V= 256 S= 256
8,4 6,3 4,5 V= 238,1 S= 238,1
8,4 7 4,2 V= 247 S= 247
9 6 4,5 V= 243 S= 243
9 7,2 4 V= 259,2 S= 259,2
9 9 3,6 V= 291,6 S= 291,6
9,5 7,6 3,8 V= 274,4 S= 274,4
10 5 5 V= 250 S= 250
10,4 6,5 4 V= 270,4 S= 270,4
10,5 6 4,2 V= 264,6 S= 264,6
10,5 8,4 3,5 V= 308,7 S= 308,7
10,8 5,4 4,5 V= 262,4 S= 262,4
11 5,5 4,4 V= 266,2 S= 266,2
11,2 8 3,5 V= 313,6 S= 313,6
11,7 5,2 4,5 V= 273,8 S= 273,8
12 4,8 4,8 V= 276,5 S= 276,5
12 5,6 4,2 V= 282,2 S= 282,2
12 6 4 V= 288 S= 288
12 7,2 3,6 V= 311 S= 311
12 8,8 3,3 V= 348,5 S= 348,5
12 9,6 3,2 V= 368,6 S= 368,6
12 12 3 V= 432 S= 432
12,6 7 3,6 V= 317,5 S= 317,5
13 6 3,9 V= 304,2 S= 304,2
13,2 11 3 V= 435,6 S= 435,6
13,5 10,8 3 V= 437,4 S= 437,4
14 5,6 4 V= 313,6 S= 313,6
14 7 3,5 V= 343 S= 343
14 10,5 3 V= 441 S= 441
14 14 2,8 V= 548,8 S= 548,8
14,4 4,8 4,5 V= 311 S= 311
14,5 11,6 2,9 V= 487,8 S= 487,8
15 10 3 V= 450 S= 450
16 8 3,2 V= 409,6 S= 409,6
16 9,6 3 V= 460,8 S= 460,8
16,8 12 2,8 V= 564,5 S= 564,5
17 6,8 3,4 V= 393 S= 393
17 11,9 2,8 V= 566,4 S= 566,4
18 4,5 4,5 V= 364,5 S= 364,5
18 6 3,6 V= 388,8 S= 388,8
18 6,3 3,5 V= 396,9 S= 396,9
18 9 3 V= 486 S= 486
18 13,5 2,7 V= 656,1 S= 656,1
19,5 5,2 3,9 V= 395,5 S= 395,5
19,5 15,6 2,6 V= 790,9 S= 790,9
19,8 4,5 4,4 V= 392 S= 392
20 5 4 V= 400 S= 400
20 20 2,5 V= 1000 S= 1000
20,4 8,5 3 V= 520,2 S= 520,2
21 6 3,5 V= 441 S= 441
21 8,4 3 V= 529,2 S= 529,2
21 10,5 2,8 V= 617,4 S= 617,4
21,6 12 2,7 V= 699,8 S= 699,8
22 4,4 4,4 V= 425,9 S= 425,9
22 6,6 3,3 V= 479,2 S= 479,2
22 14,3 2,6 V= 818 S= 818
22,4 7 3,2 V= 501,8 S= 501,8
22,5 18 2,5 V= 1012,5 S= 1012,5
24 4,8 4 V= 460,8 S= 460,8
24 8 3 V= 576 S= 576
24 24 2,4 V= 1382,4 S= 1382,4
24,5 9,8 2,8 V= 672,3 S= 672,3
25,2 4,5 4,2 V= 476,3 S= 476,3
25,5 6 3,4 V= 520,2 S= 520,2
26 7,8 3 V= 608,4 S= 608,4
26 13 2,6 V= 878,8 S= 878,8
26,4 22 2,4 V= 1393,9 S= 1393,9
26,6 9,5 2,8 V= 707,6 S= 707,6
27 5,4 3,6 V= 524,9 S= 524,9
27 10,8 2,7 V= 787,3 S= 787,3
27 21,6 2,4 V= 1399,7 S= 1399,7
28 5,6 3,5 V= 548,8 S= 548,8
28 21 2,4 V= 1411,2 S= 1411,2
28,5 7,6 3 V= 649,8 S= 649,8
30 7,5 3 V= 675 S= 675
30 15 2,5 V= 1125 S= 1125
30 20 2,4 V= 1440 S= 1440
30,8 5,5 3,5 V= 592,9 S= 592,9
31,2 12 2,6 V= 973,4 S= 973,4
31,2 19,5 2,4 V= 1460,2 S= 1460,2
31,5 9 2,8 V= 793,8 S= 793,8
32 6,4 3,2 V= 655,4 S= 655,4
32 19,2 2,4 V= 1474,6 S= 1474,6
33 6 3,3 V= 653,4 S= 653,4
34,5 18,4 2,4 V= 1523,5 S= 1523,5
34,5 27,6 2,3 V= 2190,1 S= 2190,1
35 14 2,5 V= 1225 S= 1225
36 4,5 4 V= 648 S= 648
36 7,2 3 V= 777,6 S= 777,6
36 18 2,4 V= 1555,2 S= 1555,2


Tra questi numeri, ci sono due Volumi (o Superfici) uguali?

Io non posso cercarmeli da solo, perché altrimenti mi si incrociano gli occhi.

:hello:

aspesi 10-05-12 18:09

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 594218)
14 7 3,5 V= 343 S= 343
14 10,5 3 V= 441 S= 441
14 14 2,8 V= 548,8 S= 548,8

20,4 8,5 3 V= 520,2 S= 520,2
21 6 3,5 V= 441 S= 441
21 8,4 3 V= 529,2 S= 529,2

Tra questi numeri, ci sono due Volumi (o Superfici) uguali?

:hello:

:ok:

:hello:

Erasmus 10-05-12 18:54

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 594213)
Ma non dovrebbe essere lo stesso a prescindere dall'unità di misura adottata?

:eek:
Proviamo.
«Un cubetto di spigoli lunghi 1 cm ha tutte le 6 facce ampie 1 cm^2 e il volume di 1 cm^3», d'accordo?
Cambiamo ora le unità di misura da cm a mm.
«Un cubetto di spigoli lunghi 10 mm ha tutte le 6 facce ampie 100 mm^2 e il volume di 1000 mm^3» ;)

Ma la tua maestra non ti diceva quel che mi diceva la mia? Questa rpeteva che:
«Nel Sistema Metrico Decimale, le misure di lunghezza vanno di 10 in 10, quelle di area di 100 in 100 e quelle di volume di 1000 in 1000» :rolleyes:
--------------
:hello:
--------
P.S. (editando ...)
Oops!
Vedo [solo] ora che Rob77 mi ha preceduto ...

Erasmus 10-05-12 18:58

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 593979)
Ho due scatole a forma di parallelepipedi.

Ahh .. così?
Tu hai due scatole a forma di parallelepipedo ...
Sapessi che scatole ho io di questi quiz ... :fis:
----------
:cool:

Rob77 10-05-12 19:12

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 594248)
Ahh .. così?
Tu hai due scatole a forma di parallelepipedo ...
Sapessi che scatole ho io di questi quiz ... :fis:
----------
:cool:

ahhahahahahahahahahahahahahahahahahaha

aspesi 10-05-12 19:32

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 594248)
Ahh .. così?
Tu hai due scatole a forma di parallelepipedo ...
Sapessi che scatole ho io di questi quiz ... :fis:
----------
:cool:

Di forma senz'altro strana, immagino...:D
:rolleyes:

astromauh 10-05-12 22:37

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 594246)
Ma la tua maestra non ti diceva quel che mi diceva la mia? Questa rpeteva che:
«Nel Sistema Metrico Decimale, le misure di lunghezza vanno di 10 in 10, quelle di area di 100 in 100 e quelle di volume di 1000 in 1000» :rolleyes:

Non mi ricordo della maestra delle elementari, il ricordo più lontano che ho, è quello della supplente di disegno delle medie. :D

aspesi 11-05-12 18:34

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 593979)
Ho due scatole a forma di parallelepipedi.
Le ho misurate accuratamente (precisione al millimetro, i 6 lati devono essere espressi 4 in numeri interi e 2 con un solo decimale) .

Con mia grande sorpresa ho verificato questa singolare proprieta':
Superficie A = Superficie B = Volume A = Volume B.

Chiedo a lor signori, le misure delle due scatole, di cui informo che la dimensione dello spigolo più lungo è inferiore a 40 cm.

(Ovviamente, A e B sono differenti).:D

:hello:

Se (a,b,c) sono le dimensioni degli spigoli della prima scatola, la condizione superficie=volume diventa:
2*a*b+2*a*c+2*b*c=a*b*c
e, dividendo tutto per (2*a*b*c):
1/a+1/b+1/c=1/2


Esistono diverse terne (anche intere, come aveva trovato Astromauh) che risolvono l'equazione, per esempio
(6,6,6) oppure (8,8,4)
Considero la prima scatola 8*8*4 (superficie=volume=256):
la seconda scatola, per mantenere lo stesso volume, dovra' avere gli spigoli
8*x, 8*y, 4/(x*y)
e, per mantenere la stessa superficie, deve essere:
1/(8*x)+1/(8*y)+(x*y)/4=1/2
che, moltiplicando tutto per 8, puo' scriversi:
1/x+1/y+2*x*y=4

Quindi, assegnato un valore di x a piacere (entro certi limiti) si può trovare il valore di y che risolve il problema.

Però, nella generalità dei casi, y sarà irrazionale o con un numero enorme di decimali.

Meglio:
(1) 1/a + 1/b + 1/c = 1/2 per la prima scatola e
(2) 1/d + 1/e + 1/f = 1/2 per la seconda
(3) abc = def per l'uguaglianza dei volumi



si possono assegnare valori arbitrari ad a e b
(purche' 1/a + 1/b < 1/2) e calcolare c
c = 1 / (1/2 - 1/a - 1/b) e quindi V = abc
poi si puòassegnare un valore arbitrario a d.
La (3) impone f = V / de
percio' la (2) diventa

1/d + 1/e + de / V = 1/2
equazione dalla quale si può ricavare e


Provando in un ciclo tutti i valori interi di a, b, d fino a 1000,
e imponendo che anche e sia intero, sorprendentemente si trovano solo tre sestuple
con uno o due spigoli rappresentati da numeri decimali:
a; b; c - d; e; f
--------------------------------
3; 14; 10,5 - 6; 21; 3,5
3; 7; 42 - 12; 28; 2,625
5; 70; 3,5 - 14; 35; 2,5

:hello:

aspesi 05-06-12 12:22

Re: Qualche quiz
 
A,B,C,D sono 4 interi positivi differenti tali che sommati 3 alla volta risulti sempre un quadrato.

Cercare la soluzione piu' piccola.

(Conosco un risultato di 4 numeri, non so se sono i più piccoli possibili e come si può arrivare a trovarli)

:hello:

Erasmus 05-06-12 17:11

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 599213)
A, B, C, D sono 4 interi positivi differenti tali che sommati 3 alla volta risulti sempre un quadrato.
Cercare la soluzione piu' piccola.

Quiz nel quiz:
«Può esserci una soluzione con ognuno di A, B, C e D quadrato di intero?» :mmh:
Mi aspetto che mi risponda Nino I (dopo aver consultato il suo MdGM).
-------------------------------------------
Quiz buono per astromauh. ;)
Rob77 potrebbe anticiparlo! :cool:
Codice:

Program ASPESI_1188;
const max = 715827882;
var j, k, m, n, p, q, r, s: longint;
    found, stop: boolean;
Function OK(a, b, c, d: longint; var u, v, x, y: longint): boolean;
var z: longint;
    bo: boolean
  begin
    u:=a+b+c;  z:= trunc(sqrt(u));
    bo:= (z*z = u); if not bo then u:=0;
    if bo then
      begin
        v:=a+b+d;  z:=trunc(sqrt(v));
        bo:= (z*z = v); if not bo then v:=0
      end;
    if bo then
      begin
        x:=a+c+d;  z:=trunc(sqrt(x));
        bo:= (z*z = x); if not bo then x:=0
      end;
    if bo then
      begin
        y:=b+c+d;  z:=trunc(sqrt(y));
        bo:= (z*z = y); if not bo then y:=0
      end;
    OK:=bo
  end;
Procedure AZZERA;
  begin
    p:=0; q:=0; r:=0; s:=0
  end
begin {main}
  AZZERA; j:=0;
  while j < max-3 do
    begin
      j:=j+1; k:=j;
      while k < max-2 do
          begin
          k:=k+1; m:=k;
          while m < max–1 do
            begin
                m:=m+1; n:= m;
                while n < max do
                    begin
                        n:=n+1;
                        found=OK(j, k, m, n, p, q, r, s);
                        if found then
                          begin
                            writeln(chr(12),j,'; ',k,'; ',m,'; ',n,'.',chr(13));
                            write('p = ',j,' + ',k,' + ',m);
                            writeln(' = ',p,'; √(',p,') = ',trunc(sqrt(p))';');
                            write('q = ',j,' + ',k,' + ',n);
                            writeln(' = ',q,'; √(',q,') = ',trunc(sqrt(q))';');
                            write('r = ',j,' + ',m,' + ',n);
                            writeln(' = ',r,'; √(',r,') = ',trunc(sqrt(r))';');
                            write('s = ',k,' + ',m,' + ',n);
                            writeln(' = ',s,'; √(',s,') = ',trunc(sqrt(s))';');
                            n:=max; m:=max-1; k:=max-2;  j:=max-3
                          end
                      else AZZERA;
                      stop:= (n= max) and (m=max-1) and (k=max-2) and (j=max-3);
                      if stop then
                        begin
                            if not found then writeln(chr(12), 'SOLUZIONE NON TROVATA!');
                            writeln(chr(13), chr(13),'Premi un tasto per uscire =>');
                            while not keypressed do
                        end
                    end
            end
        end
    end
end.

------------
:hello:

Rob77 05-06-12 17:59

Re: Qualche quiz
 
In realtà, Erasmus, sto cercando di risolverlo senza codice.
Appena cedo copio il tuo pezzo :cool:

aspesi 06-06-12 15:34

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Rob77 (Scrivi 599325)
In realtà, Erasmus, sto cercando di risolverlo senza codice.

Io ho ricavato un procedimento semiempirico.

Chiamiamo A, B, C, D i 4 interi positivi (in ordine decrescente), tali che sommati tre alla volta risulti sempre un quadrato:

A + B + C = X^2
A + B + D = Y^2
A + C + D = Z^2
B + C + D = K^2

K deve essere > 2

Si può fare questa considerazione:
se la somma di una terna qualsiasi di numeri è un quadrato, il quarto numero dovrebbe essere tale che, sostituito a ciascuno degli altri tre, aumenta o diminuisce la somma di un valore pari a quello della differenza di due quadrati.

C - D = X^2 - Y^2
B - D = X^2 - Z^2
A - D = X^2 - K^2

A questo punto, per procedere ho fatto un'assunzione per limitare la ricerca.

:hello:

Rob77 06-06-12 15:59

Re: Qualche quiz
 
Io invece ho risolto il sistema (con Kramer) in a, b, c, d.
Adesso fermato un attimo e poi continuo nelle considerazioni.

aspesi 06-06-12 16:05

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Rob77 (Scrivi 599560)
Io invece ho risolto il sistema (con Kramer) in a, b, c, d.
Adesso fermato un attimo e poi continuo nelle considerazioni.

Ma hai trovato qualche soluzione? (con la mia assunzione, se ne trovano tantissime)

Rob77 06-06-12 16:49

Re: Qualche quiz
 
Su carta mi son fermato qui (potrei procedere via codice eventualmente per effettuare la ricerca).

Chiamo a, b, c, d i numeri che sommo 3 alla volta.
Chiamo n^2, m^2, k^2, t^2 i quadrati.

Ho risolto il sistema:

|a+b+c=n^2
|a+c+d=m^2
|a+b+d=k^2
|b+c+d=t^2

Le soluzioni sono:

a=(n^2+m^2+k^2-2t^2)/3
b=(n^2+k^2+t^2-2m^2)/3
c=(n^2+m^2+t^2-2k^2)/3
d=(m^2+k^2+t^2-2n^2)/3

...to be continued

Erasmus 06-06-12 17:05

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 599553)
Chiamiamo A, B, C, D i 4 interi positivi (in ordine decrescente), tali che sommati tre alla volta risulti sempre un quadrato:
A + B + C = X^2
A + B + D = Y^2
A + C + D = Z^2
B + C + D = K^2
[...]
Si può fare questa considerazione:
se la somma di una terna qualsiasi di numeri è un quadrato, il quarto numero dovrebbe essere tale che, sostituito a ciascuno degli altri tre, aumenta o diminuisce la somma di un valore pari a quello della differenza di due quadrati.
C - D = X^2 - Y^2
B - D = X^2 - Z^2
A - D = X^2 - K^2

:ok:
[Aggiungi anche A – B = Z^2 – K^2]

Ma pensa: la stessa identica cosa (persino con gli stessi simboli, tranne K che io avrei posto U – o V o W, essendo consuetudine indicare le incognite con le ultime lettere dell'alfabeto) avrei fatto anch'io.
Ma avevo altro da fare (oltre che a rispondere a Miza ... e sai quanto impiego io a confezionare un 'post', ... specie in risposta a quello là! :mad:)

Non so cosa "hai assunto". :mmh:
Io proverei anche a sommare tutto, ottenendo
3A + 3B + 3C + 3D = X^2 + Y^2 + Z^2 + K^2.
Oh: non credere che abbia già la soluzione!
Anzi: non ho proprio tempo per pensarci.
Butto là perché, forse, una qualche informazione potrebbe venire in mente da qua ... forse ...

-----------
:hello:

Rob77 06-06-12 18:15

Re: Qualche quiz
 
...to be continued.

Ho provato con quadrati consecutivi inserendo i risultati nelle soluzione trovate di a, b, c, d (nel mio post precedente) e verificando fossero interi.

La prima soluzione che trovo è:
n=8
m=9
k=10
t=11

da cui:
a=1
b=41
c=22
d=58

Ovviamente non so se sia la più piccola perchè non ho provato le altre combinazioni (solo consecutivi).

Rob77 06-06-12 18:20

Re: Qualche quiz
 
Per inciso, ne ho trovate anche altre consecutive che portano a numeri interi ma negativi .
Esempio: n=2, m=3, k=4, t=5.

:hello:

aspesi 06-06-12 19:04

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Rob77 (Scrivi 599590)
...to be continued.

Ho provato con quadrati consecutivi inserendo i risultati nelle soluzione trovate di a, b, c, d (nel mio post precedente) e verificando fossero interi.

La prima soluzione che trovo è:
n=8
m=9
k=10
t=11

da cui:
a=1
b=41
c=22
d=58

Ovviamente non so se sia la più piccola perchè non ho provato le altre combinazioni (solo consecutivi).

:ok:
E' quello che ho trovato anch'io :)

Infatti, per procedere (dal mio precedente messaggio) ho supposto di limitare la ricerca a quadrati consecutivi.
Cioè:
X = K + 3
Y = K +2
Z = K + 1

X^2 - Y^2 = (K + 3)^2 - (K + 2)^2 = 2K + 5 ----> = C - D
X^2 - Z^2 = (K + 3)^2 - (K + 1)^2 = 4K + 8 ----> = B - D
X^2 - K^2 = (K + 3)^2 - K^2 = 6K + 9 -----> A - D

Quindi:
C = 2K + D + 5
B = 4K + D + 8
A = 6K + D + 9

A + B + C = X^2 = 12K + 3D + 22 = K^2 + 6K + 9
K^2 - 6K -3D -13 = 0

K = 3 +- RADQ(9 + 3D + 13) = 3 +- RADQ(3D + 22)

Si vede subito che per D=1, K=8 (oppure K=-2, che si esclude)
Ne consegue:
D = 1
C = 2*8 + 1 + 5 = 22
B = 4*8 + 1 + 8 = 41
A = 6*8 + 1 + 9 = 58
e
K^2 = 64
Z^2 = 81
Y^2 = 100
X^2 = 121

Non so dimostrare se questa è la soluzione più piccola possibile.

Altre concordanze (per K intero) si hanno con:
D = 9 (K = 10)
D = 14 (K =11)
D = 26 (K = 13)
D = 33 (k = 14)
....

:hello:

Rob77 06-06-12 19:16

Re: Qualche quiz
 
Almeno ho ripassato Kramer :cool:

http://postimage.org/image/r2ec2mlr9/

Erasmus 06-06-12 23:20

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Rob77 (Scrivi 599590)
.[...]La prima soluzione che trovo è:
n=8
m=9
k=10
t=11

da cui:
a=1
b=41
c=22
d=58

:mmh:
a + b + c = 1 + 41 + 22 = 64 ^ 8^2 OK
a + b + d = 1 + 41 + 58 = 100 = 10^2 OK
a + c + d = 1 + 22 + 58 = 81 = 9^2 OK
b + c + d = 41 + 22+58 = 121 = 11^2 OK
-------
:ok:

aspesi 07-06-12 08:24

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 599609)
:ok:
D = 1
C = 2*8 + 1 + 5 = 22
B = 4*8 + 1 + 8 = 41
A = 6*8 + 1 + 9 = 58
e
K^2 = 64
Z^2 = 81
Y^2 = 100
X^2 = 121

Non so dimostrare se questa è la soluzione più piccola possibile.

Altre concordanze (per K intero) si hanno con:
D = 9 (K = 10) ; C = 34 ; B = 57 ; A = 78
D = 14 (K =11) ; C = 41 ; B = 66 ; A = 89
D = 26 (K = 13) ; C = 57 ; B = 86 ; A = 113
D = 33 (k = 14) ; C = 66 ; B = 97 ; A = 126....

:hello:

Se si prendono i quadrati alternati:
X = K + 6
Y = K + 4
Z = K + 2

risolvendo si ottiene:
K = 6 +- RADQ(3D + 88)

e le soluzioni per K e D interi positivi sono:
D = 4 (K = 16) ; C = 88 ; B = 164 ; A = 232
D = 11 (K =17) ; C = 99 ; B = 179; A = 251
D = 27 (K = 19) ; C = 123 ; B = 211 ; A = 291
D = 36 (k = 20) ; C = 136 ; B = 228 ; A = 312....

:hello:

Rob77 07-06-12 11:13

Re: Qualche quiz
 
Prossimo?

Erasmus 07-06-12 11:30

Re: Qualche quiz
 
@ aspesi
In questo quiz, dopo aver ragionato tutto il ragionabile, occorre procedere ancora per tentativi.
[Dopo ... i ragionamenti li farò!]
Chiaramente, se ancora non si disponesse di sistemi di calcolo automatico, occorrerebbe sfruttare i ragionamenti per ridurre al massimo il numero di tentativi e calcoli annessi.
Ma dato che i tentativi non ce li toglie nessuno, tanto vale (con i moderni sistemi di calcolo) minimizzare i ragionamenti! Cioè: ridurre il ragionamenti a qanto basta per implementare un programma di calcolo "bovino" ma sicuro (a "forza bruta", per dirla alla astromauh!).
E' quello che ho proposto scrivendo quel programmino in TurboPascal che sta sopra.
Siccome il Pascal è comprensibile anche a chi non lo conosce, la conversione di quel programmino in altro linguaggio è facilissima.
Astromauh, 'ndo sei?
Sotto con la "FORZA BRUTA"!


@ Rob77
Visto che disponi ancora del Pascal, fammelo quel favore: prova a fare un "copia/incolla" del programmino che ho scritto sopra e a farlo girare.
Occhio, però, all'istruzione (quasi in fondo):
while not keypressed do
Mi pare che la "function" di tipo boolean keypressed sia quella TurboPascal per Mac. [Per il TurboPascal sotto MS-DOS dovrebbe essere keypress, ma non sono sicuro].
Comunque ... il signiicato di quell'istruzione è chiaro: «Fino a che non viene premuto un tasto non fare niente!»
Quindi ... sostituiscila come sai tu! ;)
-------------------------

I ragionamenti li metto su un "paper" ... che non ho ancora scritto.:o
Vado a scriverlo.

Poi edito per allegarlo.

Ciao ciao
------------
Gio. 07.06.12 h18.02
Eccomi tornato.
Ragionamenti e soluzione stanno qua:
=> Quiz_1188.png

A ri-ciao!

Rob77 07-06-12 11:33

Re: Qualche quiz
 
Finisco colazione e lo metto ;)


Tutti gli orari sono GMT. Attualmente sono le 00:06.

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