Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia (http://www.trekportal.it/coelestis/index.php)
-   Rudi Mathematici (http://www.trekportal.it/coelestis/forumdisplay.php?f=11)
-   -   Qualche quiz (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=33691)

nino280 08-04-12 22:41

Re: Qualche quiz
 
Interessante. La scena si ripete e torna al punto di partenza , e potremmo andare avanti all'infinito, proprio come in un anello di Mobius che dopo due giri si ritorna al punto di partenza.
Aspesi nel quiz non ha specificato se si tratta di una "figura" piana, ma credo che ciò sia sottinteso. Chi lo sa magari la pellicola del film era essa stessa un anello di Mobius. :hello:

aspesi 08-04-12 22:48

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 585065)
Aspesi nel quiz non ha specificato se si tratta di una "figura" piana, ma credo che ciò sia sottinteso. :hello:

Certo, si trattava di costruire all'interno del quadrato 1*1 una figura (con le stesse caratteristiche del quadrato) che presentasse un valore del rapporto Area/Perimetro superiore a quello del quadrato originale e del cerchio inscritto.

:hello:

Erasmus 10-04-12 11:35

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 584825)
... rimango dell'avviso che il massimo sia con l'arrotondamento dell'ottagono irregolare (<area>/<perimetro>=0,265079...):
Perimetro = 2*pi.greco*x + 4*(1-2x) = 3,544872...

Ho trovato un'altra forma ... "competiva"!
Ma il record [dello smusso circolare] resiste.

Al posto dello smusso circolare ho messo uno smusso sinusoidale. (*) il "!massimo" capita per un arco più lungo (ossia: si riduce la parte rettilinea del contorno)
Il rapporto <area>/<perimetro> è solo 2 per mille minore di quello con lo smusso circolare.

(*) NB: Il rapporto tra la lunghezza L dell'arco della sinusoide in mezzo periodo ed il semiperiodo stesso vale circa 1.216008.
Guarda qua:
=> Smussi sinusoidali PNG
:hello:

Erasmus 10-04-12 15:05

Re: Qualche quiz
 
Si vede un'immagine o un link costituito da un indirizzo URL ... abbreviato (nel senso che contiene puntini "...")? :mmh:

---------
:hello:

nino280 10-04-12 15:48

Re: Qualche quiz
 
Se non disturbo thiè:D

nino280 10-04-12 15:57

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 585416)


Si vede un'immagine o un link costituito da un indirizzo URL ... abbreviato (nel senso che contiene puntini "...")? :mmh:

---------
:hello:

Qui non si vede un bel niente. Invece l'immagine l'ho aperta da :


Smussi sinusoidali PNG
:hello:

aspesi 10-04-12 16:25

Re: Qualche quiz
 


Così io la vedo.
Come pure andando su:
http://postimage.org/image/7i63k4hjh/
Altrimenti, vedo come Nino280 un quadratino con una x rossa al centro...:D

:hello:

Epoch 11-04-12 08:33

Re: Qualche quiz
 
Siamo alle solite con PostImage?
l'inclusione diretta delle immagini funziona solo per chi le inseriscie.

astromauh 11-04-12 17:18

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Epoch (Scrivi 585611)
Siamo alle solite con PostImage?
l'inclusione diretta delle immagini funziona solo per chi le inseriscie.

@Erasmus, ma perché non metti le tue immagini da qualche altra parte?

Di siti che offrono questo servizio ce ne sono diversi.



:hello:

Erasmus 11-04-12 19:10

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Epoch (Scrivi 585611)
...l'inclusione diretta delle immagini funziona solo per chi le inseriscie.

D'accordo.
Ma ... nessun commento sulla ricerca della soluzione del quiz non ancora risolto?

Torniamo all'ultimo quiz di Nino II:
Quote:

aspesi (Scrivi 584157)
Quale regione all'interno di un quadrato di lato 1 possiede il maggior rapporto area / perimetro ?

Se il quiz consistesse in una gara a chi trova una figura contenuta nel quadrato di lato 1 con rapporto
r = <area>/<perimetro>
più grande, il quiz resterebbe aperto potendo qualcuno battere il record provvisorio (trovato da me), consistente in un quadrato ad angoli smussati con profilo circolare.
Ricapitolando, abbiamo visto che:
• Per ogni poligono regolare di 4n lati il rapporto è sempre 1/4. E' 1/4 anche per il cerchio (come si ottiene per n tendente all'infinito e anche direttamente essendo il raggio 1/2 e quindi l'area π/4 e la circonferenza π, per cui <area>/<circonferenza> = (π/a)/π = 1/4)
• Si può superare questo rapporto pensando ad un ottagono irregolare [con 4 lati alterni centrati nei 4 lati del quadrato] al quale aggiungere 4 ..."lunotti" (uno per ciascuno degli altri 4 lati) che dànno complessivamente alla figura l'aspetto di un quadrato con gli angoli smussati.

In generale, se x è il cateto di ciascuno dei 4 triangoli rettangoli isosceli asportati dal quadrato, dato un lunotto di asegnata forma, questo avrà un'area proporzionale ad x^2 ed una lunghezza dell'arco che lo delimita proporzionale ad x.
Data la forma del lunotto, chiamiamo k un fattore di forma che misura il rapporto tra la lunghezza dell'arco che lo delimita e quella della base [che nel nostro caso è x·√(2)]. Possiamo caratterizzare anche l'area con un altro fattore di forma (diciamolo h) che dà il rapporto tra l'area del lunotto quadrato della lunghezza della sua base [sempre ricordando che nel nostro caso la base è lunga x √(2)].

Pertanto, l'area è della figura è:
– l'area del quadrato , che è 1
– meno l'area dei 4 triangoli rattangoli isosceli di cateto x, che è 4·[(x^2)/2] = 2·x^2
– più l'area dei 4 lunotti, ciascuno di area h·[(x·√(2)]^2 = 2·h·x^2, e in tutto 8·h·x^2.

Complessivamente:
<area> = 1 – 2·x^2 + 8· h·x^2 = 1 –2·(1 – 4·h)·x^2.

Il perimetro è costituito dai 4 lati dell'ottagono centrati sui lati del quadrato, ciascuno di lunghezza 1–2·x, più i 4 archi dei lunotti, ciascuno lungo k·[x·√(2)].
Complessivamente:
<perimetro> = 4·[1 – 2·x + k·√(2)·x] = 4·{1 – [2 – k·√(2)]·x}.

Il rapporto da massimizzare è dunque (in generale):
Codice:

                                      1        1 –2·(1 – 4·h)·x^2
<area>/<perimetro> = ––– · –––––––––––——––––.
                                      4        1 – [2 – k·√(2)] x

La funzione
F(x) = 4·<area>/<perimetro>
è dunque molto espressiva, dato che è sempre
F(0) = 1
(ciò significando che la figura va a coincidere col quadrato al tendere a zero dell'ampiezza dello smusso angolare).

Una volta assunta una certa forma, c'è un massimo per certo x compreso tra 0 e 1/2.
Sia x il valore di x dove c'è il massimo. Questo vale F(x)
Per esempio, con lunotto circolare abbiamo
h = (π–2)/8 = 0,142699 ...; 2(1 – 4·h) = 0,8584073464 ...
k = [π·√(2)]/4 = 1,11072073454 ...
Il massimo si ha per x = 0,2650794521343 .. e vale 4/[2+√(π)] = 1,060317808537...

Ho provato con altre forme di lunotto.
In particolare con lunotto sinusoidale e parabolico.
Ci si avvicina al valore ottenuto con lunotti circolari, ma per ora il record resiste!

---------------

Credo d'aver trovato il metodo per determinare la forma con il massimo assuluto.

Supponiamo di conoscere quel profilo.
Assomiglierà ad un segmento di parabola e avrà gli angoli delle "punte" di 45 gradi.
La parabola "normalizzata" con base lunga 2 e angoli di 45° è alta 1/2, ha equazione cartesiana y = (1 – x^2)/2 ed i fattori di forma sono
h = (2/3)/4 = 1/6 = 0,1666666... quello per l'area:
k = [ln[1+√(2)] + √(2)]/2 = 1,11479357... quello dell'arco.

La sinusoide "normalizzata" con base lunga π e angoli di 45° è alta 1, ha equazione cartesiana y = cos(x) ed i fattori di forma sono
h = 2/(π^2) = 0,202642367 ... quello per l'area:
k = √(2)·E[π, √(2)/2] = 1,216008 ... quello dell'arco

Il profilo che massimizza il rapporto assomiglierà anche ad una sinusoide.

Sia con smussi sinusoidali che parabolici si trova il massimo di F(x) maggiore di 1,059.

Se conoscessimo la funzione del profilo massimizzante il rapporto potremmo svilupparla in serie di potenza del tipo
A + B·x^2 + C·x^4 + ...
Oppure potremmo svilupparla in serie di Fourier.

Non conoscendola, potremmo cercare i coefficienti delle componenti tali da ottenere il profilo ottimo.

Io ho provato a mettere una terza armonica in aggiunta al profilo sinusoidale.
Imponendo le condizioni giuste ho trovato un rapporto che sfiora (e forse supera) 1,06
[Il record da battere è 1,0603. Io ho trovato ≈1,0600]
Ho anche provato ad aggiungere alla parabola una componente di 4° grado.
Anche qua si arriva a toccare 1,06.
Resta dunque il dubbio che quei lunotti circolari costituiscano il massimo assoluto.
Io non ne sono affatto convinto.

Penso invece che il massimo assoluto si ottenga con una curva con una infinità di componenti (per esempio potenze: A + Bx^2 + Cx^4 + ...)
E anche che alla fine l'ottagono irregolare si riduca ad una losanga, ad un quadrato di diagonale 1; cioè che il massimo assoluto si abbia alla fine per x=1/2, cioè con un tipo di smusso che inizia dolcemente dal centro dei lati del quadrato per arrivare alla massima curvatura sulle diagonali del quadrato

Ma ... senza poter programmare è un po' dura ...

Qui occorrerebbe lavorare numericamente con alta accuratezza: cosa che io non posso fare in certi casi (per esempio nel fare integrali numerici, indispensabili per calcolare la lunghezza del profilo quasi parabolico).

C'è qualche programmatore disposto a tentare un calcoletto del genere? :mmh:
---------
:hello:

Epoch 11-04-12 22:31

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 585810)
D'accordo.
Ma ... nessun commento sulla ricerca della soluzione del quiz non ancora risolto?

Chiedo Scusa, ma questo non sono riuscito a seguirlo bene.. :(

nino280 12-04-12 01:05

Re: Qualche quiz
 
Da Erasmus
Il massimo si ha per x = 0,26579.. e vale 4/[2+√(π)] = 1,06031780...
Mi ricordo di un numero simile, si trattava di far passare un cubo dentro un quadrato di lato più piccolo.
E' noto come Il paradosso del Principe di Rupert, ma forse è meglio che vi rimando a quella discussione:
http://www.trekportal.it/coelestis/s...t=12567&page=4

La discussione era " Ovvi Cubi " di Piotr
Ciao

Erasmus 12-04-12 10:25

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 585911)
Da Erasmus:
[...] 1,06031780...
Mi ricordo di un numero simile, si trattava di .
E' noto come Il paradosso del Principe di Rupert, ma forse è meglio che vi rimando a quella discussione:
http://www.trekportal.it/coelestis/s...t=12567&page=4
La discussione era " Ovvi Cubi " di Piotr
Ciao

No Nino I !
a) Il cubo doveva passare per un buco (="foro passante") di un cubo più piccolo.
E' impossibile «far passare un cubo dentro un quadrato di lato più piccolo» [sottinteso «del suo spigolo»]
In un cubo si può invece fare un tunnel di sezione quadrata di lato maggiore dello spigolo del cubo.
Rimetto la figura che sta nella pagina che tu avevi 'linkato' in quella discussione.
b) I numeri quasi uguali sono diversi!
Il rapporto 4·<area>/<perimetro> di cui stiamo parlando è
4/[2 + √(π)] = 1,060.317.808.537.2 ...
Il "numero di Rupert" (= lunghezza dello spigolo del cubo più grande che può passare in un buco opportuno di un cubo di spigolo 1) è invece:
√(9/8) = (3/4)·√(2) = 1,060.660.171.8 ...
––––––––
:hello:
--------------------------
P.S. (Editando ...)
Riassumo:
C'è un quadrato di lato 1.
Devo cercare una figura (piana) inscritta in questo quadrato con un rapporto <area>/<perimetro> il più grande possibile.
Provo allora ... quanto segue.
Asporto da ciascun angolo del quadrato un quadratino di lato x ricavando una figura fatta "croce", ... cosi: + .
Spacco in quattro un cerchio di raggio x e colloco ciascun quarto di cerchio al posto di ciascun quadratino asportato.
Ottengo un quadrato ad angoli smussati con smusso circolare di raggio x.
Questo ha area
1 – 4x^2 + π·x^2 = 1 – (4 – π)·x^2
e perimetro
4 – 8x + 2·π·x = 4·{1 –1 – [(4 – π)/2]·x}
Il rapporto
4·<area>/<perimetro>
è del tipo
r(x) = (1 – a·x^2)/[1 – (a/2)·x]
dove
a = 4 – π = [2 + √(π)]·[2 – √(π)]
L'andamento di r(x) mostra che r(x) ha un massimo in un certo x tra 0 e 1/2 esclusi.
Annullando la derivata di r(x) si trova che essa si annulla in
x = [2 – √(4 – a)]/a = 1/[2 + √(π)].
E' qui che la funzione r(x) è massima.
Per questo x essa vale
r(x) = [1 – (4 – πx^2]/{[1 – (4 – πx/2] = {1 – [2–√(π)]/[2 + √(π)]}/{1 – [2 – √(π)]/2} = 4/[2 + √(π)].
Resta la domanda se questo record è davvero imbattibile ...
A ri-ciao!

aspesi 12-04-12 11:54

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 585810)
Il massimo si ha per x = 0,26579.. e vale 4/[2+√(π)] = 1,06031780...

Ho provato con altre forme di lunotto.
In particolare con lunotto sinusoidale e parabolico.
Ci si avvicina al valore ottenuto con lunotti circolari, ma per ora il record resiste!
:hello:

Ti è sfuggito uno zero (0,265079452..)

Non riesco a seguire i tuoi lunotti sinusoidali e parabolici, ma, come ho già detto, sarei pronto a scommettere che il massimo dei lunotti cicolari non può essere superato.

:hello:

Erasmus 12-04-12 18:38

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 586027)
Ti è sfuggito uno zero (0,265079452..)

Ho corretto.
Quote:

aspesi (Scrivi 586027)
Non riesco a seguire i tuoi lunotti sinusoidali e parabolici, ...

Visto che hai capito il lunotto circolare, non ti sarà difficile capire anche il resto.
Siamo già d'accordo sull'ottagono irregolare con 4 lati paralleli alla diagonale del quadrato e lunghi x·√(2) e gli altri 4 centrati nei lati del quadrato lunghi 1 – 2·x.
Al posto dei "lunotti" circolari (che sono "segmenti di cerchio" di raggio x ed angolo al centro π/2, possiamo mettere "lunotti" di altra forma (sempre però assomigliante ai lunotti circolari.
Indispensabile è che x sia compreso tra 0 e 1/2, che la tangente negli estremi dell'arco sia a 45° sulla "base" [che è la "corda" , è lunga x·√(2) e a coincidere con il lato dell'ottagono parallelo alla diagonale del quadrato].

a) Lunotto parabolico.
La parabola è il luogo dei punti (del piano) equidistanti da un punto F – il "fuoco" – e da una retta d – la "direttrice".
Una parabola qualsiasi è caratterizzata dal solo parametro "apertura" p.
Che cos'è l'apertura di una conica (ellisse, parabola o iperbole)?
Parabola: considera la perpendicolare n all'asse per il fuoco.
Elllisse e iperbole: considera l'asse principale (quello per i fuochi) e la perpendicolare n ad esso per un fuoco
Questa retta n interseca la conica in due punti A e B equidistanti dal fuoco F (allineato con A e B). L'apertura p è metà della distanza tra A e B (cioè la distanza comune di A e/o B dal fuoco allineato su n con A e B).
Nella parabola, l'asse interseca la direttrice d in un punto a distanza dal fuoco F come i punti A e B (per definizione), cioè a distanza p dal fuoco. Allora il vertice V, distando ugualmente dal fuoco e dalla direttrice, dista p/2 dal fuoco.

Considera la parabola di equazione cartesiana
y = (p/2)·[1 – (x/p)^2]
E' immediato rilevare che il fuoco è nell'origine O(0, 0), il vertice ha coordinate (0, p/2) e i punti A e B hanno coordinate (±p, 0).
L'inclinazione di questa curva "parabola" sull'asse y in x = ±p è proprio 45° (come si trova subito derivando).
Diciamo "base" la corda di estremi A e B lunga 2p (che ora è un segmento dell'asse delle ascisse).
Il lunotto "parabolico" è il segmento di parabola delimitato dall'arco di curva e dalla sua corda-base di estremi A e B.
L'area del lunotto è 2/3 del rettangolo in cui è inscritto il lunotto.
Il rettangolo ha i lati lunghi 2p e p/2, quindi è di area p^2 e l'area del lunotto è (2/3)·p^2.
La parabola è uno dei pochi casi in cui (per integrazione) si riesce ad esprimerfe la lunghezza di un suo arco in termini di funzioni già note.
Infatti, per qualsiasi curva y = f(x) , detto ds un pezzettino di arco e y' la derivata di f(x), abbiamo:
ds = √(dx^2 + dy^2) = √(1 + y'^2) dx
Nel caso della nostra parabola
y = (p/2)·[1 – (x/p)^2] = p/2 – (x^2)/(2p) => y' = – x/p => √(1 + y'^2) = √[(1 + (x/p)^2].

La lunghezza dell'arco di parabola tra gli estremi A e B della base del "lunotto è dunque:
Codice:

          p                                  1
L = 2·√[1 + (x/p)^2] dx = 2p √(1 + t^2) dt
        0                                    0

La primitiva di √(1 + t^2) nulla in t = 0 è
F(t) = {ln[t + √(1+t^2)] + t·√(1 + t^2)}/2.
[Si ricava facilmente con la sostituzione t = sinh(z) e anche (un po' meno facilmente!) con la sostituzione t = tan(phi)].
In conclusione, la lunghezza dell'arco del lunotto parabolico di base 2p è:
L = p·{ ln√[1 + √(2)] + √(2)} = 2p·1,1477935746963...
Il rapporto tra la lunghezza dell'arco e quella della corda è dunque:
k = { ln√[1 + √(2)] + √(2)}(2 = 1,1477935746963...
NB: Per il lunotto circolare avevamo k = (π/2)/√(2) = π·√(2)/4 = 1,1107207345396...

La funzione da massimizzare
4·<area>/<perimetro>
è ancora del tipo
r(x) = (1 – a·x^2)/(1 – b·x)
Solo che adesso sono diversi da prima i coefficienti a e b.
-------------------

Analogamente si può fare con la sinusoide osservando che
• Il lunotto sinusoidale y = cos(x) ha la base lunga π, l'altezza 1 e l'area 2.
Quindi il lunotto di base x·√(2) ha area 4/π^2.
• La lunghezza dell'arco di sinusoide y = cos(x) in un semiperiodo (che coinvolge l'integrale ellittico di 2ª specie) è k volte il semiperiodo π, dove:
k = 1,21600803...
Quote:

aspesi (Scrivi 586027)
... sarei pronto a scommettere che il massimo dei lunotti cicolari non può essere superato.

Non scommetto mai. Ma penso che, se disponessi di mezzi di calcolo adeguato, perderesti la scommessa.
E lo penso perché credo che la curva che produce quel rapporto massimo debba essere una curva analitica (senza discontinuità nelle derivate), mentre invece quella che per ora detiene il record ha la curvatura che passa di scatto da zero a 1/x.
Vista la curva rispetto ad assi paralleli alle diagonali dxel quadrato, non ci sono angolosità, è vero, [la derivata prima è continua]. Ma non mi convince la discontinuità nella derivata seconda.

Ciao ciao

aspesi 12-04-12 19:31

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 586221)
Visto che hai capito il lunotto circolare,

Ciao ciao

???
Quella era la mia soluzione :D

#1118
Quote:

aspesi (Scrivi 584471)
OK, i rapporti possono migliorare se le smussature sono arrotondate con archi di circonferenza tangenti ai lati del quadrato, di raggio x pari alla distanza tra i vertici del quadrato e i punti di tangenza.
Variando x tra 0 e 0,5 si passa dal quadrato originale al cerchio inscritto (rapporto area/perimetro = 0,25 in entrambi i casi)

Però, io trovo che il massimo è un po' minore rispetto a quello calcolato da te e precisamente:
S/P = 0,265079...
per x=0,2651..

:hello:

:hello:

Erasmus 12-04-12 20:24

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 586237)
???
Quella era la mia soluzione
#1118
:hello:

:confused:
Ma ... 1117 < 1118; o no? :mmh:
Mi citi il tuo 1118 nel quale, però, tu citi dal mio 1117 :mad:
Gurda qua, al 'post' # 1117:
Quote:

Erasmus (Scrivi 584439)
Ancora meglio se si attacca a ciascun lato obliquo un "lunotto" circolare (tangente a due lati consecutivi) ottenendo un quadrato con gli angoli smussati.
Anche qui, al variare dii x si ottiene un massimo che è circa 1,0603 · (1/4)

Si suppone che chi propone un quiz conosca già la soluzione.
Ma:
• La vera soluzione, ancorché fosse quella dei lunotti circolari, non è ancora provata come tale!
• Comunque, la "tua" soluzione non l'hai esposta prima che la esponesse Erasmus!
-----------
Ciao ciao

aspesi 12-04-12 20:40

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 586254)
• Comunque, la "tua" soluzione non l'hai esposta prima che la esponesse Erasmus!
-----------
Ciao ciao

Vabbeh... la prossima volta, metterò la soluzione (capovolta) in calce al testo del problema...:D

:hello:

nino280 13-04-12 20:52

Re: Qualche quiz
 
Ho acceso il CAD. Ogni tanto lo faccio.
Ho disegnato una figura, ho fatto poi calcolare l'area ed il perimetro ed ho trovato il rapporto fra area e perimetro essere = 0,3854
Se vi interessa ed io ne ho voglia posto poi il disegno.
Ciao
P:S:Non tener conto di quel 0,3854 è sbagliato!

nino280 13-04-12 21:17

Re: Qualche quiz
 
http://img714.imageshack.us/img714/2...ritangenza.jpg

Dall'immagine si vede l'area della figura fatta calcolare alla macchina che è = 0,802 m^2
e si nota anche le lunghezze anch' esse fatte calcolare dal Cad essere :
L'arco = 479,844
il tratto rettilineo = 40,312
sommo = 520,156 moltiplico x 4 = 2080,624
802 : 2080,624 = 0,385461
Ciao
P:S. Non tenere conto di quel 0,385461 perchè ho sbagliato a calcolare il perimetro.

aspesi 13-04-12 21:34

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 586562)
http://img714.imageshack.us/img714/2...ritangenza.jpg

Dall'immagine si vede l'area della figura fatta calcolare alla macchina che è = 802 mm^2
e si nota anche le lunghezze anch' esse fatte calcolare dal Cad essere :
L'arco = 479,844
il tratto rettilineo = 40,312
sommo = 520,156 moltiplico x 4 = 2080,624
802 : 2080,624 = 0,385461
Ciao

???????????????? :D

Il lato del quadrato deve essere lungo 1.

Su questa figura (di area 1 e perimetro 4, vanno fatte le valutazioni relativamente al rapporto di S/P di una figura piana inscritta.

Capisci bene che in tale situazione S/P = 1/4 = 0,25
Basta, come hai fatto tu, cambiare la lunghezza del lato del quadrato e tutto cambia...:D
Infatti, se ad esempio il lato è 2, l'area sarà 4 e il perimetro 8; quindi, S/P in questo caso aumenta e diventa = 0,5

:hello:

(Forse non ho capito quello che hai fatto; magari, il lato del tuo quadrato è giustamente 1, ma allora quant'è il raggio del cerchio? E sei sicuro del calcolo del perimetro della figura?)

nino280 13-04-12 21:44

Re: Qualche quiz
 
Scusa non capisco, se io invece di disegnare un quadrato di 1mm ne disegno uno di 1000mm che sarebbe poi 1 metro va tutto a farsi benedire? Mi dici che non c'è proporzione? Io per il momento non ci arrivo. Fammelo capire. Grazie.
Io ho preso 1000 per comodità di disegno.
Ciao

aspesi 13-04-12 21:50

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 586568)
Scusa non capisco, se io invece di disegnare un quadrato di 1mm ne disegno uno di 1000mm che sarebbe poi 1 metro va tutto a farsi benedire? Mi dici che non c'è proporzione? Io per il momento non ci arrivo. Fammelo capire. Grazie.
Io ho preso 1000 per comodità di disegno.
Ciao

No, no, va benissimo anche se è lungo 1 metro.
Quello che non è chiaro è la lunghezza del raggio del cerchio, che dovrebbe essere 0,5 o circa (meno se interno e più se esterno); e quindi il perimetro non può essere meno di 2*pi.greco*r (circa 3,14)

Forse ho capito: hai indicato il quarto di circonferenza (quello che chiami arco) con la lunghezza del raggio. Invece è molto più lungo di 479 mm e rotti, che probabilmente è il tuo raggio...

aspesi 13-04-12 22:14

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 586573)
Del calcolo del perimetro della figura sono sicurissimo,
Ciao

Mi spiace, non è possibile che il perimetro sia 2080,624 (se l'area è 0,8).
Purtroppo, i miracoli li fa solo Gesù..

:hello:

nino280 13-04-12 22:23

Re: Qualche quiz
 
Chiedo scusa, cancello tutto.
Ho guardato meglio il disegno e effettivamente quel 479,844 è in realtà il raggio.
Se ora rifaccio i conti il rapporto viene =0,252503309 non so se è il record.
Mi ha confuso il fatto che poco prima ho fatto un'altro disegno e non essendo la curva un cerchio se io dicevo "misura" lui mi dava la lunghezza della curva, anche su questo disegno io ho detto Misura ma non mi sono accorto che era un cerchio e lui mi ha dato il il raggio.
Ciao

aspesi 13-04-12 22:40

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 586579)
Chiedo scusa, cancello tutto.
Ho guardato meglio il disegno e effettivamente quel 479,844 è in realtà il raggio.
Se ora rifaccio i conti il rapporto viene =0,252503309 non so se è il record.
Ciao

OK, nessun problema...;)
Il record è 0,265079...

:hello:

Erasmus 14-04-12 12:34

Re: Qualche quiz
 
Sono in ritardo perché sia il computer che il collegamento al server di Coelestis mi hanno dato qualche problema ...
Quel che segue l'ho scritto ieri.
:hello:
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Quote:

aspesi (Scrivi 586257)
Vabbeh... la prossima volta, metterò la soluzione (capovolta) in calce al testo del problema... :D

:mad:
Ma che ... cavolo dici?
Da quando in qua chi propone un quiz propone simultaneamente la soluzione?
Insomma: hai 'postato' un quiz. Io ho risposto, meglio di chi ha risposto prima di me.

Fuori luogo che tu dica "Quella è la mia soluzione!" dal momento che il quiz l'hai postato tu!

Ancor più fuori luogo quest'ultimo commento.
Voglio dire: non c'entrano un tubo! :mad:
--------------------------------------------------

Non sono ancora convinto che sia il massimo assoluto.
Penso però (anche se non sono sicuro) che sia il massimo assoluto del tipo di soluzione (ottagono irregolare con quattro lunotti che lo trasformano in quadrato con angoli smussati).

Perché penso così?

Ho lavorato parecchio su questo problema.
Ho trovato altri tre tipi di "lunotti" che arrinano a superare 0,265.
Ma dai: è molto più espressivo il quadruplo del rapporto, visto che 1/4 è il rapporto per tutti i poligoni regolari con numero di lati divisibile per 4 (e, al limite, per il cerchio).
Il record è 1/(2 + √(π)] = (1/4)·1,0603178085372 ...
[Ma tu lo sapevi che c'entrava la radice di pi-greco?]

Con una certa fatica (visto che non posso più programmare), sfruttando la "calcolatrice grafica, oggi ho quasi raggiunto il record con "lunotti" definiti dalla curva (normalizzata tra –1 e 1):
y = (1 – !x|^k)/k (dove k è una costante maggiore di 1).
[Per k = 2 la curva è una parabola]

Questa funzione si annulla in x = 1 e x = –1.
Nota che la derivata è –(|x|^k)/x e vale 1 in x=–1-

Il massimo si ha per k vicino a 9/4.
Il rapporto tra la lunghezza dell'arco e la base dipende da k.
Ecco alcuni valori (trovati con buona accuratezza mediante sviluppi in serie, dato che non posso programmare):
Codice:

  k    <lunghezza arco>/<lunghezza corda>  4·<area>/<perimetro>
—————————————————————————————————
16/8 = 2    1,1477935746494 (*)  1,059790924
17/8          1,13665967                1,06012 36
18/8=9/4    1,12708079                1,06024036
19/8          1,11875343                1.0602114
20/8=5/2    1,11144797                1.0600920

(*) Per k = 2 [parabola] la lunghezza dell'arco  risulta = {ln[√(2) + 1] + √(2)}/2,
quindi esprimibile immediatamente con accuratezza massima.

Dicevo che ormai penso anch'io che con questo tipo di figura inscritta il massimo sia con i lunotti circolari.
Credo di aver capito perché.
Mi sono avvicinato al record 1,0603178... in tre modi diversi (superando ogni volta 1,06).
a) aggiungendo ad una sinusoide una terza armonica
b) aggiungendo ad una parabola [2° grado] un addendo di 4° grado
c) con una curva ad esponente frazionario.

Ogni volta, se vado a confrontare lla curva con l'arco di cerchio, vedo che quando il rapporto è ... competitivo, la curva coincide quasi con l'arco di cerchio
Guarda qua la curva di tipo c)
y = (8/19)·[1 – |x|^(19/8)] [traccia viola]
confrontata con quella circolare di equazione esplicita
y = √(2–x^2) – 1 [traccia verde].
-------
Ciao ciao

aspesi 14-04-12 13:15

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 586667)
:mad:
Ma che ... cavolo dici?
Da quando in qua chi propone un quiz propone simultaneamente la soluzione?
Ciao ciao

Scusa Erasmus... ma un po' di ironia, no, eh...:D:fis:
Non capisci che stavo scherzando?

:hello:

aspesi 14-04-12 13:27

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 586667)
Ho lavorato parecchio su questo problema.
Ho trovato altri tre tipi di "lunotti" che arrinano a superare 0,265.
Ma dai: è molto più espressivo il quadruplo dsel rapporto, visto che 1/4 è il rapporto di tutti i poligoni regolari con numero di lati divisibile per 4.
Il record è 1/(2 + √(π)] = (1/4)·1,0603178085372 ...
[Ma tu lo sapevi che c'entrava la radice di pi-greco?]

Ciao ciao

:ok:
Ho molto apprezzato il tuo lavoro.
Mi piacciono gli approfondimenti (anche se non ho la preparazione per seguirli fino in fondo):o

No, non avevo nessuna idea che potesse c'entrare la radice di pi.greco... io, al risultato massimo, ero arrivato a furia di tentativi...

:hello:

nino280 15-04-12 13:08

Re: Qualche quiz
 
http://img442.imageshack.us/img442/4471/quadspl.jpg
Ho soltanto 20 minuti di tempo, devo andare a giocare anche se a Torino la manda giù da tre giorni ,ma io gioco al coperto. Mi devo riabilitare. L'ultimo mio intervento su questo caso aveva quasi fatto ridere perchè avevo scambiato un raggio per una lunghezza.
Riprendo la stessa figura precedente, traccio due diagonali al quadrato, metto un punto intermedio tra intersezione vecchio arco e spigolo quadrato, faccio passare una "spline" (l'avevo già preannunciata questa eventualità) ottengo due spline opposte e simmetriche nel quadrato, faccio una cosa analoga negli altri due spigoli, ottengo altre due curve simili ma non uguali, specifico, sono uguali le "curve" opposte diagonalmente (ho fatto ciò per problemi di tangenza) chiudo così le 4 curve, faccio calcolare l'area della superficie interna ottenuta ed anche faccio misurare le lunghezze delle cuve. Sono tre misure che vedete stampigliate nel disegno dopo mia interrogazione al disegno stesso.
Allora:
Area= 0.945
perimetro = 932,653 x 2 + 851,459 x 2 = 3568,224
945 : 3568,224 = 0,264837
Non è il record ma poco ci manca. Mi ricordo di un 0,265 di Erasmus (non ricordo più i rotti) ma se lo confronto al mio sono 17 centomillesimi di differenza niente male se ho fatto in realta solo 2 disegni e alcuni punti li ho presi un po a naso.
Ciao
P.S. Noterete la figura interna al quadrato in grigio, in realtà è l'indicazione che quella è una superficie vera e propria. Ed infatti notavo facendo un veloce confronto con l'ultima immagine postata da Erasmus cliccando su "proprietà" abbiamo che la mia figura è molto più pesante cioè 100.284 byte contro 10.093.
Voglio dire che se faccio una sezione in punto qualsiasi della figura e ribalto, ottengo una retta e non due punti.:hello:

aspesi 06-05-12 16:51

Re: Qualche quiz
 
Qui, la forza bruta aiuta molto...
(Problems of the All-Soviet-Union Mathematical Competitions 1961-1986)

I seguenti triangoli numerici TN di ordine 2 e 3, hanno 2 caratteristiche:
a) Non ci sono numeri ripetuti nello stesso triangolo.
b) Ogni numero, a partire dalla seconda fila, e' la somma dei 2 numeri sottostanti.


........3
......1...2

........9
......3...6
....1...2...4


Il quiz chiede di minimizzare il numero piu' alto (del vertice superiore) per ciascun triangolo di ordine N.
Con questa ottica vediamo subito che il triangolo di ordine 3, puo' essere migliorato in questo modo:
........8
......3...5
....2...1...4


Si può allora scrivere:TN 2=3 e TN 3=8.

Quali sono i risultati migliori per TN 4,5,6,7..... ?

:hello:



Rob77 06-05-12 18:28

Re: Qualche quiz
 
La mia filosofia è questa: buttare più numeri piccoli possibili nel secondo livello.
Caso 4.

Parto così per la base: 4 1 2 x.
Provo con x=5.
Non va bene, ripeto il 5 tra il primo ed il secondo livello.
Allora provo con x=6.
Non va bene, ripeto l'8 tra il secondo ed il terzo livello.
Allora provo con x=7.
Ci sono! 20

aspesi 06-05-12 18:37

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Rob77 (Scrivi 592933)
Ci sono! 20

OK :ok:
TN 4 = 20 (ma questo è facile... :), ci sono tre modi diversi per costruirlo).

Prova a proseguire...

:hello:

Rob77 06-05-12 18:39

Re: Qualche quiz
 
Per il caso generale n diciamo che potrei partire dall'n-1 e aggiustare il lato rimanente in modo da minizzare il tutto.

Rob77 06-05-12 18:42

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 592935)
OK :ok:
TN 4 = 20 (ma questo è facile... :), ci sono tre modi diversi per costruirlo).

Prova a proseguire...

:hello:

Caso 5: 43?

aspesi 06-05-12 18:48

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Rob77 (Scrivi 592937)
Caso 5: 43?

:ok: Anche questo è giusto!
(Ma attento alla regola che pensi di aver scoperto...)

:hello:

Rob77 06-05-12 18:50

Re: Qualche quiz
 
A parte che non saprei dimostrartela. Come si suol dire: ad intuito o naso :)

Rob77 06-05-12 19:11

Re: Qualche quiz
 
Per il caso 6 il primo disponibile da piazzare è 11.
Lo provo subito a lato del 6 e mi va bene: 108.

:)

Erasmus 06-05-12 19:14

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 592908)
[...]
Quali sono i risultati migliori per TN 4,5,6,7..... ?

Non ci sono tante strategie da elucubrare!
Credo che l'unica sia questa.
Siccome nelle varie righe tranne quella più bassa, i numeri della riga sottostante si sommano due volte tranne gli estremi che si sommano una volta sola, partire dal centro della riga più bassa con 1 e mettere i numeri [naturali in ordine naturale crescente] alternativamente a destra e a sinistra, in modo da essere sicuri che i numeri più grossi cadano alle estremità della riga.
-------
:hello:

Rob77 06-05-12 19:16

Re: Qualche quiz
 
Tenendo conto che non ricompaiano da altre parti. È lì il difficile...


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