Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia (http://www.trekportal.it/coelestis/index.php)
-   Rudi Mathematici (http://www.trekportal.it/coelestis/forumdisplay.php?f=11)
-   -   Qualche quiz (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=33691)

aspesi 04-12-22 14:56

Re: Qualche quiz
 
:ok:


Quote:

astromauh (Scrivi 853984)
Molto difficile!

:hello:

Per gli altri, probabilmente sì :)

:hello:

aspesi 05-12-22 17:43

Re: Qualche quiz
 
A una maratona si sono iscritte 150 persone, di cui: 98 uomini, 105 italiani, 119 biondi e 129 allenati.

Qual è il minimo numero di uomini italiani, biondi e allenati?

:hello:

astromauh 05-12-22 18:15

Re: Qualche quiz
 
Transessuali ce ne sono? :D

:hello:

aspesi 07-12-22 09:38

Re: Qualche quiz
 


x = ?

:hello:

nino280 07-12-22 11:25

Re: Qualche quiz
 


Quei gradi e il 15° sono indipendenti dal quadrato.
Ciao

aspesi 07-12-22 12:14

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 854052)

Quei gradi e il 15° sono indipendenti dal quadrato.
Ciao

:ok:

:hello:

aspesi 08-12-22 09:09

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 854028)
A una maratona si sono iscritte 150 persone, di cui: 98 uomini, 105 italiani, 119 biondi e 129 allenati.

Qual è il minimo numero di uomini italiani, biondi e allenati?

:hello:

150 - 98 = 52 sono donne e transessuali

Minimo:

105 - 52 = 53 uomini italiani

150 - 119 = 31 castani, rossi, neri e pelai

53 - 31 = 22 uomini italiani biondi

150 - 129 = 21 non allenati

22 - 21 = 1 uomini italiani biondi allenati

:hello:

astromauh 08-12-22 14:06

Re: Qualche quiz
 

Risolto con questo programma:

<%
Dim a, b, c, x as double
Dim i, i2, i3 as double
Dim a2 as double
Dim toradians as double= pi/180
a= 10 ''lato del quadrato

for x= 0 to 16
i= a / sin(2*x*toradians)
b= cos(2*x*toradians)* i - a
response.write("x= " & x &" b= " & b &"&nbsp;")

i2 = b /sin((60-2*x)*toradians)
c= cos((60-2*x)*toradians) * i2 - a
response.write(" c= " & c &"&nbsp;")

i3= c / sin(x*toradians)
a2= cos(x*toradians)*i3
response.write(" a2= " & a2 &"<br>")
next
%>

Che produce questo output:

x= 0 b= +Infinito c= +Infinito a2= +Infinito
x= 1 b= 276,362532829156 c= 162,690476780975 a2= 9320,53117247201
x= 2 b= 133,006662567119 c= 79,7141266983087 a2= 2282,71392235919
x= 3 b= 85,1436445422258 c= 51,8604787492986 a2= 989,556883706391
x= 4 b= 61,1536972238421 c= 37,7785046487316 a2= 540,25778665915
x= 5 b= 46,7128181961771 c= 29,1967085196635 a2= 333,719905448232
x= 6 b= 37,0463010947845 c= 23,3566393320195 a2= 222,223579030663
x= 7 b= 30,1078093353584 c= 19,0747735091873 a2= 155,351563493974
x= 8 b= 24,8741444384091 c= 15,7579305955777 a2= 112,123502247205
x= 9 b= 20,7768353717525 c= 13,0750133824142 a2= 82,5523855476142
x= 10 b= 17,4747741945462 c= 10,8256249261231 a2= 61,395169829522
x= 11 b= 14,750868534163 c= 8,88025074788207 a2= 45,6849296478401
x= 12 b= 12,4603677390422 c= 7,1502248784399 a2= 33,6391632526503
x= 13 b= 10,503038415793 c= 5,57139480604453 a2= 24,1323621884939
x= 14 b= 8,80726465346332 c= 4,09456973134011 a2= 16,4224222094919
x= 15 b= 7,32050807568878 c= 2,67949192431124 a2= 10
x= 16 b= 6,0033452904105 c= 1,2906503682873 a2= 4,50103273631371

Con x= 15 a2= a

:hello:

aspesi 09-12-22 09:12

Re: Qualche quiz
 
Uno facilissimo.

Un contenitore a forma di parallelepipedo ha una capacità di 270 litri.
Un altro contenitore con la stessa forma ha i lati lunghi i 2/3 del primo.

Qual è la capacità del secondo contenitore?

:hello:

astromauh 09-12-22 10:05

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 854102)
Uno facilissimo.
Qual è la capacità del secondo contenitore?

80 litri

Ho dovuto riesumare le nozioni apprese tanto tempo fa,
spero di non essermi sbagliato.

Supponiamo che il primo contenitore misuri 30cm, 90cm, 100cm il suo volume sarà
V= 270.000 cm^3 che corrispondono a 270 litri.
Il volume del secondo contenitore sarà 30*(2/3) * 90*(2/3)* 100*(2/3) = 80.000 cm^3
che corrispondono a 80 litri.
Oppure più semplicemente i litri contenuti nel secondo contenitore saranno
270 * (2/3)^3= 80


Non hai specificato che si tratta di un parallelepipedo rettangolo, come di solito sono i contenitori, comunque il risultato non cambia, perché se le dimensioni del secondo sono i 2/3 del primo, anche l'altezza sarà i 2/3 dell'altezza del primo.

PS
Forse non era necessario attribuire delle lunghezze fittizie al contenitore come
ho fatto nella spiegazione nascosta, ma questo è servito per rinfrescarmi un po' le idee.


:hello:

aspesi 09-12-22 10:24

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 854105)
80 litri


:hello:

:ok:

:hello:

aspesi 09-12-22 21:25

Re: Qualche quiz
 
Bellissimo!

host foto gratis

Trovare i valori delle aree definite a b c

:hello:

astromauh 10-12-22 06:51

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 854127)
Trovare i valori delle aree definite a b c

Soluzione: Link

:hello:

aspesi 10-12-22 08:06

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 854131)
Soluzione: Link

:hello:

:ok:E' giusto, anche se i calcoli non sono chiarissimi.
La mia soluzione è completamente diversa.
Aspetto a metterla stasera.

:hello:

astromauh 10-12-22 10:12

Re: Qualche quiz
 
Questo quiz mi ha fatto un po' penare.
Ho cercato inutilmente una soluzione ieri sera/notte,
poi stamattina mi sono svegliato alle 5:30 e mi è venuta in mente
un'idea risolutiva.


L'angolo in basso del triangolo rettangolo che ho colorato in verde è di 60°
Questo perché la sua ipotenusa è il doppio di un cateto.
Quindi possiamo calcolare facilmente la sua area che è:

200*sin(60)*cos(60)

L'area gialla è un settore circolare di 30°, e quindi la sua area è 1/12 dell'intero cerchio:

400*pi/12

Se da metà del quadrato sottraiamo queste due aree otteniamo l'area che ho chiamato red che moltiplicata per 2 ci da l'area di un zona a.

red= 200 - 200*sin(60)*cos(60) - 400*pi/12

a= red*2

Una volta trovato il valore di a è molto facile calcolare anche quello di b e di c.

b= 400 - 100*pi - 2*a

Questo perché se all'area del quadrato, 400 sottraiamo l'area di un quarto di cerchio, 100*pi, otteniamo b + 2*a


Mentre c è ciò che resta dall'area del quadrato se da esso sottraiamo 4 figure a e 4 figure b.

c= 400 -4*a -4*b

Semplicissimo. :)


Ciao

aspesi 10-12-22 11:10

Re: Qualche quiz
 
Questa è la mia soluzione.

L'area di un settore circolare (1/4 di cerchio) è 2a + 3b + c = (400/4)*pigreco
La raddoppio: 4a + 6b + 2c = 200*pigreco ------> 1)
L'area di tutto il quadrato è: 4a + 4b + c = 400 ------> 2)
Sottraggo 1) - 2) e ottengo:
2b + c = 200*pigreco - 400 ------> 3) questa è l'area di una "lente"

Calcolo adesso l'area di a + 2b + c che è formata da un settore circolare di 60° + la differenza fra lo stesso settore circolare e il triangolo equilatero di lato = 20:
Quindi:
a + 2b + c = 2*(400/6)*pigreco - (20*20*RADQ3)/2)/2 = (400/3)*pigreco - 100*RADQ(3) ------> 4)
Sottraendo 4) - 3) si ottiene a:
a + 2b - c -(2b + c) = a
a = (400/3)*pigreco - 100*RADQ(3) - (200*pigreco - 400) = 400 - (200/3)*pigreco - 100*RADQ(3) ------> 5)

A questo punto calcolo 2a + b che è uguale all'area del quadrato meno il quarto di cerchio:
2a + b = 400 - 100*pigreco
e quindi, sostituendo il valore di a trovato prima in 5):
b = 400 - 100*pigreco - 2*(400 - (200/3)*pigreco - 100*RADQ(3)) = (100/3)*pigreco - 400 + 200*RADQ(3) ------> 6)

e infine dalla 3) si calcola c:
c = 200*pigreco - 400 - 2*((100/3)*pigreco - 400 + 200*RADQ(3)) = (400/3)*pigreco + 400 - 400*RADQ(3) = 400*(pigreco/3 + 1 + RADQ(3)) ------> 7)

Nota finale:
Posta l'area del quadrato = 1, si ha:
a = 1 - pigreco/6 - RADQ(3)/4 = 0,043388523
b = pigreco/12 + RADQ(3)/2 - 1 = 0,127824792
c = pigreco/3 + 1 - RADQ(3) = 0,315146744

:hello:

aspesi 11-12-22 09:43

Re: Qualche quiz
 


:hello:

nino280 11-12-22 15:49

Re: Qualche quiz
 


Per rimanere nell' attualità
Ciao

aspesi 11-12-22 17:25

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 854164)

Per rimanere nell' attualità
Ciao

:ok:

d1 = 12 ; P1 = 70 ; S1 = 210
d2 = 10 ; P2 = 60 ; S2 = 150
d3 = 16 ; P3 = 90 ; S3 = 360

:hello:

aspesi 12-12-22 07:58

Re: Qualche quiz
 


:hello:

nino280 12-12-22 11:17

Re: Qualche quiz
 

Disegno senza tante pretese.
Adoperato solo il mouse, e senza tante cifre dopo la virgola.
Ciao

astromauh 12-12-22 11:37

Re: Qualche quiz
 


rapporto= sqrt( (1+1/sqrt(2))^2 + (1 - 1/sqrt(2))^2 )
rapporto= 1,73205080756888
raggio = 1/rapporto
raggio= 0,577350269189626
Area= r^2*pi/2
Area= 0,523598775598299

Per prima cosa ho cercato di calcolare il rapporto tra il raggio del semicerchio
più grande e quello più piccolo.

La cosa mi è risultata facile assumendo inizialmente che sia il raggio del cerchio piccolo a valere 1 e non quello del cerchio grande.

Trovato il valore del rapporto il raggio del cerchio
piccolo è 1/rapporto.

In modo più sintetico possiamo scrivere:

Area= 1 / ((1+1/sqrt(2))^2 + (1 - 1/sqrt(2))^2) * pi/2
Area= 0,523598775598299


PS
Curiosità
Il numero che ho chiamato rapporto, era già venuto fuori in una vecchia discussione,
in quel caso era la misura del segmento DA.

:hello:

aspesi 12-12-22 15:42

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 854182)
Il numero che ho chiamato rapporto, era già venuto fuori in una vecchia discussione,
in quel caso era la misura del segmento DA.

:hello:

E la tangente di 60° ------> RADQ(3)

Infatti r = 1*tan(30°)

:ok: anche nino280



Area = pigreco/6

:hello:

aspesi 13-12-22 17:58

Re: Qualche quiz
 


:hello:

nino280 13-12-22 18:50

Re: Qualche quiz
 


Ho preso una semi di raggio grande da 5
Ciao

aspesi 13-12-22 19:38

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 854237)

Ho preso una semi di raggio grande da 5
Ciao

:ok: Mi ero accorto anch'io che R = a+b, ma non vedo come dimostrarlo.

:hello:

Risolto: ;)



Inserisco i valori di a e b e sotto R viene il valore del raggio, che è sempre = a + b

astromauh 13-12-22 20:48

Re: Qualche quiz
 



Il programma

<%
Dim a, b, MN, MQ, alfa, beta, QP, NP, R as double
Dim toradians as double= pi/180

a= 8.6
b= 12.78

MN= a + b + sqrt((a+b)^2-b^2)
MQ= sqrt(MN^2 + b^2)
alfa= asin(b/MQ) / toradians
beta= 90 -alfa
QP= sin(alfa*toradians) * MQ/sin(beta*toradians)
NP= sqrt(QP^2 -b^2)
R= (MN + NP) /2


response.write("a= " & a &"<br>")
response.write("b= " & b &"<br>")
response.write("a+b= " & a+b &"<br><br>")

response.write("MN= " & MN &"<br>")
response.write("MQ= " & MQ &"<br>")
response.write("alfa= " & alfa &"&deg;<br>")
response.write("beta= " & beta &"&deg;<br>")
response.write("QP= " & QP &"<br>")
response.write("NP= " & NP &"<br><br>")
response.write("<font color=red><b>R= " & R &"</b></font><br>")
%>


L'output

a= 8,6
b= 12,78
a+b= 21,38

MN= 38,5198949821754
MQ= 40,5846117320077
alfa= 18,3546368252105°
beta= 71,6453631747895°
QP= 13,4650247145032
NP= 4,24010501782465

R= 21,38

Ho provato diversi valori di a e di b e il raggio viene
sempre R= a + b

:hello:

aspesi 13-12-22 20:53

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 854242)
Ho provato diversi valori di a e di b e il raggio viene
sempre R= a + b

:hello:

:ok:

L'ho fatto anch'io, è abbastanza semplice.
R è sempre = a+b

:hello:

astromauh 13-12-22 21:08

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 854243)

L'ho fatto anch'io, è abbastanza semplice.
R è sempre = a+b

:ok:

Ma non so se le nostre sono delle vere dimostrazioni.

Forse dovrei sviluppare meglio l'algoritmo.

:hello:

aspesi 13-12-22 21:12

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 854244)
:ok:

Ma non so se le nostre sono delle vere dimostrazioni.

Forse dovrei sviluppare meglio l'algoritmo.

:hello:

Assolutamente sì.
Abbiamo iniziato allo stesso modo, poi tu hai fatto un giro lungo inutile.
Quando hai trovato la lunghezza di AC (che è il tuo MQ), praticamente hai finito, basta con una proporzione calcolare CB (il tuo QP) e poi con Pitagora il diametro AB

:hello:

aspesi 14-12-22 08:05

Re: Qualche quiz
 
Difficilissimo! :(

E' vero e si può dimostrare che tutti i numeri primi della forma p = 4k + 1 sono l'ipotenusa di un triangolo rettangolo a lati interi?

Esempi:
5^2 = 3^2 + 4^2
13^2=5^2 + 12^2
17^2 = 8^2 + 15^2
29^2 = 20^2 + 21^2
37^2 = 12^2 + 35^2
..............

:hello:

aspesi 14-12-22 12:21

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 854251)
Difficilissimo! :(

E' vero e si può dimostrare che tutti i numeri primi della forma p = 4k + 1 sono l'ipotenusa di un triangolo rettangolo a lati interi?

Esempi:
5^2 = 3^2 + 4^2
13^2=5^2 + 12^2
17^2 = 8^2 + 15^2
29^2 = 20^2 + 21^2
37^2 = 12^2 + 35^2
..............

:hello:

Ho trovato questo meccanismo (senz'altro già conosciuto):
Il numero primo 4k+1 (ipotenusa) è sempre la somma di due quadrati a^2 + b^2

Es. 13 = 2^2 + 3^2
41 = 4^2 + 5^2
ecc...

Faccio il quadrato di 4k+1 = a^2 + b^2
(a^2 + b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 ----->che deve essere la somma di due quadrati
Quali?
I due termini (quadrati dei cateti) sono:
b^2-a^2 e 2ab

Infatti: (b^2 - a^2)^2 + (2ab)^2 = b^4+a^4-2a^2b^2+4a^2b^2 = (a^2+b^2)^2

Facciamo la prova:
13 = 2^2 + 3^2
(13)^2 = (3^2 - 2^2)^2 + (2*2*3)^2 = 5^2 + 12^2

41 = 4^2 + 5^2
(41)^2 = (5^2 - 4^2)^2 + (2*4*5)^2 = 9^2 + 40^2

Erasmus, lo sapevi già?
:hello:

In questo modo, se i lati sono interi, conoscendo ad es. l'ipotenusa di un triangolo rettangolo rappresentata da un numero primo 4k+1, si possono trovare i cateti:

Es. k=363
4k+1 = 1453
1453 = 3^2 + 38^2

Il triangolo rettangolo con ipotenusa 1453 ha:
cateto a = 38^2 - 3^2 = 1435
cateto b = 2*3*38 = 228

Infatti 1453^2 = 1435^2 + 228^2 = 2.111.209 ;)

aspesi 15-12-22 16:35

Re: Qualche quiz
 


:hello:

astromauh 16-12-22 11:55

Re: Qualche quiz
 

Area= 593,41526 (circa)

:hello:

aspesi 16-12-22 17:36

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 854284)

Area= 593,41526 (circa)

:hello:

Circa...
588

Dovrebbe essere AB=28 e BD =21
(ma ci vogliono i superpoteri o tanta trigonometria, che io non ho)

:hello:

nino280 16-12-22 18:39

Re: Qualche quiz
 


Confermo.
AB = 28
BC = 21
Ciao

Erasmus 16-12-22 18:50

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 854251)
Difficilissimo! :(
E' vero e si può dimostrare che tutti i numeri primi della forma p = 4k + 1 sono l'ipotenusa di un triangolo rettangolo a lati interi?

Circa 35 anni fa mi ero occupato di terne pitagorixche primitive ... e la Mathesis nazionale aveva pubblicato un mio articolo su quel tema. In quell'articolo, tra l'aitro si ricordava che ogni terna pitagprica primitiva (z, y, z) è del tipo:
x= p·q;
y = (p^2– q^2)/2;
z = (p^2 + q^2)/2;

dove p e q sono interi dispari primi tra loro, in particolare entrambi primi.
[Ma q porebbe anche essere 1 e quindi il cateto dispari x = p essere un numero primo].
Quando è q =1 e quindi è x = p risulta sempre
z + y = p^2

[In ogni terna pitagorica primitiva: ipotenusa più cateto pari = quadrato perfetto.
E se il cateto dispari è un numero primo, senz'altro la somma del cateto pari con l'ipotenusa è il suo quadrato]
Nelle terne pitagoriche primitive sempre l'ipotenusa z è del tipo 4k + 1, ma non sempre è un numero primo e non tutti i numri del tipo 4k+1 sono ipotenuse di terne pitagoriche. [Per esempio, per k = 2 viene 4k + 1 = 9 che non è ipotenusa di alcuna terna pitagorica].
Quello che non so ancora se è verop o falso è che:
«Se 4k+1 è un primo allora è la somma di due quadrati di interi». (*)

Ma se questo si dà per vero, allora la dimostrazione di cui parla il quiz è banale.
Infatti:
1) Siccome 4k+1 è dispari, i due quadrati di cui è somma sono uno pari e quadrato di un pari e l'altro dispari e quadrato di un dispari.
2) Posto allora 4k + 1 = m^2 + n^2, il numero 2mn è divisibile per 4 e risulta
• 4k+1 + 2mn = m^2 + n^2 + 2mn= (m +n)^2 [Ossia: 4k+1 può essere ipotenusa in una terna pitagorica primitiva col cateto pari che vale 2mn]
•• (4k+1)^2 – (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2 – 4(mn)^2 = m^4 + n^4 – 2[(m^2)·(n^2)] =
= (m^2 – n^2)^2 = [(m + n)·(m – n)]^2.
Ossia:
Se il numero primo 4k+1 vale m^2 + n^2 con m ed n interi ed m > n allora è ipotenusa della terna pitagorica
(x,y, z) = [(m^2 – n^2), 2mn, (m^2 + n^2)].

––––
Questo che ho scritto ora è pressapoco quello di cui tu, aspesi, hai già mostrato la verifica.
Altro esempio:
z = 109 . Numero primo del tipo 4·k+1 per k = 27.
• 109 = 100 + 9 = m^2 + n^2 per m = 10 ed n = 3.
• y = 2mn = 2·10·3 = 60:
• x = m^2 – n^2 = 91.
• x^2 + y^2 = 91^2 + 60^2 = 8281 + 3600 = 11881 = 109^2.
(x, y, z) = (91, 60, 109) è una terna pitagorica primitiva!
–––––––––––
Per dimostrae che la tesi di cui parla il quiz non è vera basterebbe portare un esempio di numrero primo del tipo 4k+1 che non è somma di due quadrati.
Ma la teesi che un primo della forma 4k + 1 è somma di 2 quadrati di interi, nota nella storia ella matematica come "Teorema di Fermat dei due quadrati" è stata dimostrata [per la prima volta] da Eulero (circa un secolo dopo) per una via piuttosto complicata e successivamente per altra via meno complicata da Dedekind.
Di ciò si può trovare notizia in rete, per esempio qua:
––>Fermat's theorem on sums of two squares (Wikipedia.en)
–––
:hello:

astromauh 16-12-22 19:46

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 854290)

Confermo.
AB = 28
BC = 21
Ciao

Ma gli angoli che ho chiamato red e blu quanto verrebbero?

Scrivili con tutte le cifre decimali che puoi e senza figura,
in tempi di crisi dobbiamo risparmiare.

Ciao

aspesi 16-12-22 20:17

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 854291)
Ma se questo si dà per vero, allora la dimostrazione di cui parla il quiz è banale.

–––
:hello:

Volevo ben vedere che non fosse banale.
Questo quiz l'ho "inventato" io... :D

:hello:

nino280 16-12-22 21:08

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 854292)
Ma gli angoli che ho chiamato red e blu quanto verrebbero?

Scrivili con tutte le cifre decimali che puoi e senza figura,
in tempi di crisi dobbiamo risparmiare.

Ciao

Non ho lavorato per Gradi°
I gradi vengono fuori alla fine da soli.
Anzi è poi alla fine che vado a vedere quanti gradi sono, ma solo per curiosità
Vuoi i valori di quei gradi?
Non ho voglia di scrivere numeri lunghi.
Cercateli: sono la tangente di 0,75 o se preferisci la tangente di 3/4 vabbè dai l'arcotangente.
Ciao


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