Re: L'arte di fare le valigie
 

Tutto giusto tranne il 98 che è ancora 99. :)
OK
Tu sei soddisfatto. Il problema (immaginando che sia una entità pensante) si compiace con te perché hai individuato la via giusta, ma soddisfatto non è, perché non ha avuto la risposta ... :)
Non è vero che il numero che viene fuori, anche se giusto, "non dice assolutamente nulla". A parte risolvere il problema accademico, a parte risolvere l'eventuale problema concreto di definire la dimensione minima di un contenitore cubico che possa contenere ad es. 1 milione di pallina, ci dice anche che frazione del volume totale è effettivamente occupato dalle palline. E' ovvio che si può sempre dire: "e chi se ne frega", ma questo vale in qualsiasi circostanza, non solo quando sono le sfere a recarsi reciproco disturbo ... ;)

Re: L'arte di fare le valigie
 

In effetti sì. Proviamo a mettere dei limiti, semplici da trovare, che circoscrivano un intervallo nel quale deve trovarsi il risultato.

Se pensiamo al modo più semplice (anche se inefficiente) di disporre le palline, basta che inscriviamo ogni pallina in un cubetto di tre centimetri di lato, e disponiamo 100x100x100 cubetti (= 1000000 di palline) a riempire il contenitore. Abbiamo così la soluzione di aldozeta. Ma è solo un valore di minimo, perché è evidente che questa disposizione è inefficiente.

Se invece vogliamo cercare un limite massimo (ovviamente impossibile) possiamo pensare che le palline siano deformabili (ma non comprimibili), in maniera da occupare tutti gli spazi vuoti, come se fossero fatte di plastilina. Il numero massimo di palline sarebbe allora uguale al volume del cubo diviso il volume di una singola pallina. Ilvolume del cubo è uguale a 300x300x300 = 27.000.000 di cm^3.
Il volume di una pallina è: 4/3 pigreco erre tre (rima di scolastica memoria), cioè 1.333333 x 3.141593 x 1.5^3 = 14.137167 cm^3.
Se le palline fossero deformabili, il numero massimo che entrerebbe nel contenitore sarebbe allora
27000000/14.137167 = 1909859.

Naturalmente le palline non sono deformabili, ma rigide, e quindi il "vero" numero massimo dovrà essere compreso fra i due limiti trovati. Con il metodo di riempimento dato da Mars4ever (che non è proprio perfettissimo ma si avvicina alla perfezione certamente entro l'1%) e l'uso della geometria si dovrebbe poterci arrivare.

Vorrei sottolineare che "circoscrivere il problema" in termini più semplici è uno strumento che nella pratica è potentissimo in ogni campo, perché consente senza fare troppa fatica di trovare "l'intervallo di ragionevolezza" di una soluzione proposta.
E direi che già il poter escludere che una soluzione possa essere giusta è un buon risultato. :)

Re: L'arte di fare le valigie
 

Uno sciagurato errore di calcolo, non nella procedura di determinazione del volume occupato dalle palline, ma (horresco referens!) nel calcolo del volume di una singola pallina :o, mi ha portato ai valori del post precedente, del tutto sbagliati.

Quelli giusti sono: 1.414.213 palline in una disposizione non troppo sofisticata. 1.489.690 se invece le dispongo in maniera accuratissima secondo la logica piramidale (tetrapack).

Mi consola che il metodo funzioni comunque, al di là di errori da scolaretto.

Ciao
Agrafoi

P.S. Se il problema accettasse una (leggera) deformabilità delle palline, evidentemente cambierebbe tutto, ma non sono certamente in grado di fare questi calcoli.

P.P.S. Per Mars4ever: il mio metodo è probabilistico. Disponendo uno strato di palline (cerchi disegnati in tangenza), faccio comparire casualmente qua e là dei quadrati di lato uguale a quello richiesto dal problema. Conto via via i cerchi compresi (almeno al 51% della loro area) nel perimetro di ogni quadrato, alla fine faccio una media dei valori ottenuti. I risultati convergono proprio verso i numeri da me indicati.

Re: L'arte di fare le valigie
 

Ah, che bei numeri!
A costo di scandalizzare qualcuno, confesso di non aver provato a lanciarmi nei calcoli (beh, a parte quelli di minimo e massimo, ma Mizarino ha bellamente anticipato il mio post, e con somma maestria), e adesso mi crogiolo in attesa delle soluzioni. Ma, ecco, se la matematica non fosse il regno dell'esattezza, se si potesse andare solo ad intuito, se ci si potesse affidare solo all'eleganza e alla bellezza, allora voterei senza dubbio per il primo numero proposto qua sopra da Agrafoi. Sono poco bravo coi calcoli, ma abbastanza familiare coi numeri da riconoscere che 1.414.213 è esattamente "un milione radice di due", e mi chiedo se possa esistere soluzione più bella. Magari più esatta, forse, non lo so, ma più bella?

Piotr

Re: L'arte di fare le valigie
 

Devo dire che avevo sospettato che la prima soluzione di Agrafoi fosse sbagliata solo per un volgare errore di calcolo.
Invece ho qualche dubbio che la sua ultima soluzione (1.489.690) sia giusta, mentre per la gioia di Piotr la soluzione "ideale" corretta dovrebbe proprio essere la prima, cioè 1 milione radice di due.
Purtroppo non ho tempo per le spiegazioni ...

Re: L'arte di fare le valigie
 

Perbacco! Non m'ero accorto che il mio numero fosse un milione per radice di due.
Ci ero arrivato per altra via in cui c'entra un altro numero irrazionale, cioè Pi Greco. I due numeri devono essere in qualche modo misterioso collegati...

Re: L'arte di fare le valigie
 

Ecco, come al solito non ci avevo capito una mazza! ;)

Ero soltanto arrivato a capire che ci stavano 100 palline sulle file dispari e 99 su quelle pari. Ma poi ho sbagliato il calcolo per difetto, come Mizarino mi ha confermato...

In seguito non ho più pensato al problema, perché ho avuto altre cose da fare... Ora mi leggo le risposte che avete dato, e se non capisco, qualcuno avrà la pazienza di spiegarmi...

Re: L'arte di fare le valigie
 

Certo che sono collegati!
Attraverso la trigonometria, ad es.:
sin(Pi/4) = 0.5*radice(2)
;)

Do' qui di seguito un modo abbastanza semplice di arrivare alla soluzione generale.
Cominciamo a disporre un filare di palline lungo un lato del cubo, come aveva suggerito Mars4ever.
Ci entreranno 100 palline, ma chiamiamo pure questo numero N, immaginando di avere un cubo di lato indefinito. Se ora disponiamo un secondo filare in modo che le palline si appoggino negli incavidel primo filare, potremmo metterci 99 palline, ma se il lato del cubo è molto grande, possiamo anche dire che ne potremo mettere sempre N.
Quanto saranno distanti i due filari ?
Saranno distanti quanto l'altezza di un triangolo equilatero i cui vertici siano i centri di tre palline adiacenti. Questa altezza è uguale al diametro di una pallina moltiplicato per radice(3)/2.
Usando sempre lo stesso criterio nel disporre le palline, si potranno quindi disporre nel piano N*2/radice(3) filari di palline, e quindi in tutto N*N*2/radice(3) palline.
Quanti piani di palline potremo sovrapporre ?
Considerando che ogni pallina andrà messa sopra l'incavo lasciato al centro di un triangolo equilatero di tre palline adiacenti, la distanza fra i due piani di palline sarà data dall'altezza del tetraedro costituito dai centri delle quattro palline (le tre di base più quella messa sopra), il cui lato è uguale al diametro di una pallina.
L'altezza di questo tetraedro è uguale al lato (diametro di una pallina) moltiplicato per radice(2) e diviso per radice(3). (A questo ci si arriva con due applicazioni successive del Teorema di Pitagora, che ometto).
Si potranno dunque disporre N*radice(3)/radice(2) piani di palline.
In ogni piano ci sono N*N*2/radice(3) palline, quindi in tutto N*N*N*2/radice(2) palline = N^3 * radice(2).

In realtà questa è la soluzione "ideale", perché nel contenitore di lunghezza finita di 3 m, di palline ne entreranno di meno, ma direi che N^3 * radice(2) è certamente un numero più bello!

Però mi piacerebbe sapere come ci è arrivato Agrafoi! ;)

Re: L'arte di fare le valigie
 

Cerco di spiegare il mio metodo sperimental-teorico, sperando di riuscire a supplire con le parole alla chiarezza che ne deriverebbe da un disegno.

Ho preso delle palline da ping pong (in realtà ho usato la collezione di biglie di vetro di mio nipote) e le ho disposte su un piano. La configurazione più stretta (non ulteriormente comprimibile) che ne risultava era ad esagono con al centro una pallina.
Ora, in ciascuna delle fossette formate da questo strato di palline a contatto si poteva collocare una pallina in posizione di equilibrio statico.

Si potevano formare due configurazioni in questo secondo strato: tre palline a triangolo sormontate da una quarta pallina che formava un terzo strato, oppure sei palline, sempre a triangolo, con una settima pallina ad occupare la fossetta centrale. Nel primo caso, la pallina del terzo strato si trovava in corrispondenza di una del primo; nel secondo caso, la pallina in cima era in corrispondenza di una fossetta del primo strato.
Stimando ad occhio più bassa questa configurazione (e dunque probabilmente più compatta) ho optato per fare i calcoli su questa.
Fin qui la parte sperimentale.

In una prospettiva tridimensionale, indicando con A le palline del primo strato, con B quelle del secondo, ancora con A quella del terzo, l'altezza tra due centri AA (primo e terzo strato) sarà pari a 2*r*radice di 3 nel primo caso e solo 4/3*r*radice di 6 nel secondo caso.

Si nota che, considerando la piramide come incastrabile in altre contigue (condividendo tutte le palline esterne), solo le palline B non interagiscono più con altre piramidi, mentre ciascuna pallina A si troverà circondata da 12 altre palline.

Considerando la base della piramide da centro a centro delle palline A, si vede che essa è un esagono di lato 2*r la cui area sarà 6*radice di 3*r al quadrato.
Il volume di un prisma esagonale con questa area di base e altezza 4/3*r*radice di 6 sarà pari a 24*radice di 2*r al cubo.

Ora, considerando le palline intere e le frazioni di esse, si nota che in questo volume sono contenute esattamente 6 palline, pari ad un volume di 6*4/3*pi greco*r al cubo, ovvero 8*pi greco*r al cubo.

La frazione di volume occupato dalle palline in questa unità prismatica a base esagonale mi darà la densità di palline nell'unità di volume da me scelta e (si spera) in quella di qualsiasi altro volume, anche il cubo di tre metri di lato del problema.

Avremo:

8*pi greco*r al cubo / 24*radice di 2*r al cubo = pi greco/3*radice di 2 = 0,740480489693

Se le palline fossero comprimibili ed occupassero tutto il volume del cubo, esse sarebbero 1.909.859. Poiché possono alla meglio occupare solo lo 0,74 ecc. % dell'intero volume, il loro numero sarà:

1.909.859 * 0,740480489693 = 1.414.213,3275646

che guarda caso è anche un milione per radice di due, ma questo lo ha scoperto Piotr.

Ciao
Agrafoi

P.S. Avevo trovato una soluzione che mi dava il 78% di densità (da cui il secondo numero più alto), ma non riesco più a trovare gli appunti su cui l'avevo scritta.

Re: L'arte di fare le valigie
 

Al di là di tutto è confortante pensare che la natura, senza fare i conti, ci batta sul tempo in modo che ogni nostra "scoperta" non sia altro che una ricostruzione di qualcosa che esiste già... come i reticoli cristallini.
Incuriosito dal tema ho cercato on google "face centered cubic" e... tra i risultati c'era:"How many ping-pong balls would it take to completely fill..."

Ma visto che la natura ha dei modi anche più belli, esteticamente parlando, di impacchettare, e che voi coi numeri ve la cavate bene... aiutatemi a capire perché in un girasole se si contano le spirali formate dai semi in un verso si ottiene un numero della successione di Fibonacci, mentre contando nell'altro verso si ottiene il successivo... Io non saprei neppure da dove cominciare a ragionare
E poi che spirali sono? Magari quelle frattali di loro stesse?
:confused:Ma in fondo sono belli anche i girasoli di Van Gogh...