Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   L'arte di fare le valigie (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=9819)

Mizarino 14-10-06 09:13

L'arte di fare le valigie
 
Sembrerà strano, ma il "fare le valigie", o "packing", ovvero il riempire dei contenitori utilizzando al meglio lo spazio disponibile, è una vera e propria scienza, nella quale, detto fra noi, io sono negato (basta vedere cosa succede quando devo caricare il bagagliaio della macchina ... :)).
Ma se gli oggetti da caricare sono tutti uguali e, insieme al contenitore sono di forma regolare, ci riesco anche io. Ecco un caso:

Se una pallina da ping-pong ha un diametro di 3 cm, quante palline da ping-pong possiamo al massimo mettere in un contenitore cubico di 3 metri di lato ?

P.S. Non occorre il numero "esatto". Diciamo che per me che ragiono sempre a spanne basta una approssimazione dell' 1%.
Magari poi il numero "esatto" ce lo facciamo dire da Piotr che di numeri se ne intende ... ;)

aldozeta 14-10-06 12:24

Re: L'arte di fare le valigie
 
Premetto che non ho molta dimestichezza con questi giochi matematici ( sto ancora cercando l'euro mancante dal costo della cena e relativa mancia dei tre commensali:o :o ).
Ma a spanne direi un milione, sempre che non venga considerato lo spazio tra una pallina e l'altra, altrimenti, trovato il volume del cubo si divide per il volume della pallina , avendo così una maggiore precisione del calcolo.
Io l'ho detto prima! ci capisco poco
Saluti
Aldo

Mizarino 14-10-06 13:45

Re: L'arte di fare le valigie
 
Quote:

aldozeta
sto ancora cercando l'euro mancante dal costo della cena e relativa mancia dei tre commensali

Abile il cameriere!...
Quote:

Ma a spanne direi un milione, sempre che non venga considerato lo spazio tra una pallina e l'altra ...
Beh, è già qualcosa ... l'ordine di grandezza è giusto. Con questo dovresti già collocarti nel 10% più alto della popolazione! :ok:
Ma purtroppo la risposta non è così semplice ... ;)
Faccio anche notare che, per definizione del problema, lo spazio fra una pallina e l'altra non può essere sufficiente a contenere una pallina (altrimenti non avremmo messo il numero massimo possibile di palline ...).

devilman23 16-10-06 09:26

Re: L'arte di fare le valigie
 
Però se fossero state palline "cubiche" invece che sferiche, la risposta sarebbe stata esatta, no? ;)

Io, facendo il "conto della serva", penso di esserci arrivato, però mi sarebbe piaciuto fare come Gauss... :(

Mizarino 16-10-06 09:32

Re: L'arte di fare le valigie
 
Quote:

devilman23
Però se fossero state palline "cubiche" invece che sferiche, la risposta sarebbe stata esatta, no? ;)

Sì, ma sarebbe difficile giocarci a ping-pong ... ;)

Piotr 22-10-06 21:28

Re: L'arte di fare le valigie
 
E' abbastanza curioso come il puro senso di "sfida" sia assai più motivante di interrogativi oggettivamenti più interessanti.

Insomma ragazzi, via... potrei cominciare ad insultarvi tutti, a parlare male delle vostre famiglie, a mettere in discussione la vostra virilità (per i maschietti) o la vostra buona condotta sessuale (per le fanciulle), e poi concludere con una domanda qualsiasi, dicendo che tanto non ce la farete mai a trovare la risposta. E sembra proprio che la cosa potrebbe funzionare, che potrei davvero ottenere così la vostra più oculata attenzione...

Fermatevi solo un istante, solo un attimo, a pensare per quale cribbio di motivo dovrei "sfidarvi", parlar male di voi, insultarvi, se non proprio per ottenere la vostra irritazione e - di conseguenza - avere un vasto pubblico che si affretta a risolvere i mie indovinelli (tra l'altro, non ci sperate neppure per un secondo che quelli sui quali vi state scervellando siano realmente inventati dall'italico provocatore...).

Ma insomma, se io vi dicessi "Siete tutti una banda di puzzolenti dromedari che non siete neppure in grado di trovare il nome di battesimo di mio padre, il che dimostra che per tutta la vita avete vegetato e non avete neppure un paio di sinapsi attive", vi sentireste davvero istigati a trovare il nome del mio augusto genitore, per quanto una tale ricerca si del tutto - e palesemente - inutile? Solo per la provocazione?

Il quesito che ha proposto Mizarino sull'impacchettamento delle palline, invece, non è per niente provocatorio. In compenso è interessante e per molte ragioni:

a) Un problema del tutto analogo, sul modo di impilare le palle di cannone, ha tenuto in scacco molte menti matematiche pe molto tempo, quindi ha un interesse storico.

b) Può essere affrontato - almeno all'inizio - su due sole dimensioni, facendo anche delle prove con delle monete, mostrando che ci sono applicazioni fisiche. Pensateci: le monete non provereste mai a considerarle "approssimazioni di quadrati", perchè avrete visto mille volte che le monete su un piano non si sistemano "naturalmente" come se fossero su una griglia quadrata, ma bensì...

c) I problemi di inscatolamento sono importanti per molte aziende: trovate la maniera di inscatolare i rotoli di carta igienica in maniera efficiente, e la Scottex (o le sue concorrenti) vi faranno diventare straricchi. Non sto scherzando: per aziende del genere, i costi di trasporto (che trattano grandi volumi ma poco peso, e di oggetti che non possono rendere certo molto, per ogni tonnellata) sono i costi più alti di tutto il cilo produttivo.

Però fate voi... se volete comunque inseguire un provocatore in cerca di pubblicità, solo perchè vi ha trattato male all'inizio proprio per incatenare molte delle vostre ore/cervello sui suoi giochi - o magari addirittura per scoprire quale sia il nome di mio padre - beh, fate pure, che posso dirvi?

sumer 23-10-06 12:04

Re: L'arte di fare le valigie
 
A me verrebbe da dire 1.917.679 palline.
Il condizionale è dettato dal fatto che i conticini (che... palline!) li ho fatti una volta sola e mi sono fidato ciecamente del risultato....
So che questa affermazione farà inorridire i puristi del calcolo, ma durante la pausa pranzo proprio non mi andava di rimettermi a controllare. Magari questa sera, se proprio non riesco a prender sonno...

Nomoi_Agrafoi 23-10-06 13:08

Re: L'arte di fare le valigie
 
La mia soluzione, trattandosi di un impacchettamento in un contenitore cubico, mi dà il numero di 2.828.427 palline.

Facendo una sistemazione più accurata, magari sistemando le palline una ad una in forme piramidali, sia dritte che rovesciate (tipo i vecchi contenitori tetrapack, per intenderci), credo si possa fare di meglio, ma in ogni caso non si potrebbero infilare nel contenitore più di 2.979.380 palline.

Ciao
Agrafoi

Mars4ever 23-10-06 16:03

Re: L'arte di fare le valigie
 
Ma se il senso di questo problema è capire come ottimizzare lo spazio, a me basta sapere soltanto il *metodo* per mettere il massimo numero di palline nel cubo, ma del numero che salta fuori non me ne frega nulla.
In pratica io in questo cubo posiziono in basso accanto a uno scpigolo la prima fila da 100, poi affianco la seconda da 99 in modo che siano sfasate e si incastrino bene, poi procedo con la terza fila di nuovo da 100 palline e così via. Quando ho finito il primo piano inizio il secondo e metto la prima fila in modo che le palline si incastrino con quelle delle prime 2 file sottostanti (dovrebbero venire 98) e vado avanti. Quando arrivo al terzo piano so che sarà uguale al primo e così via finché non ho riempito il cubo. A questo punto io sono soddisfatto perché ho raggiunto il mio scopo, e allora a cosa mi serve sapere quante ne ho messe effettivamente??:mmh:Perché devo rompermi le balle (mie) a fare un calcolo complicato e inutile? Mi viene fuori un numero che non dice assolutamente nulla, e nemmeno da esso posso capire se per caso ho sbagliato il metodo del riempimento, quindi...

sumer 23-10-06 16:19

Re: L'arte di fare le valigie
 
Quote:

Mars4ever
...ma se il senso di questo problema è capire come ottimizzare lo spazio, a me basta sapere soltanto il *metodo* per mettere il massimo numero di palline nel cubo, ma del numero che salta fuori non me ne frega nulla...

Non sono d'accordo. Per come la vedo io, Mizarino non chiedeva *come* disporre le palline, ma *quante* se ne potevano mettere. Dunque alla fine un numero deve saltar fuori. Anche per dare un senso concreto alle osservazioni di Piotr (e alle tue)...
Tornando ai numeri, visto che Mizarino chiedeva una approx dell' 1%, è evidente che o io o Nomoi abbiamo toppato nel dare le nostre risposte.
O - chissà - forse abbiamo toppato entrambi :cry: :cry: :cry: ....

Mizarino 23-10-06 16:43

Re: L'arte di fare le valigie
 
Quote:

Mars4ever
In pratica io in questo cubo posiziono in basso accanto a uno scpigolo la prima fila da 100, poi affianco la seconda da 99 in modo che siano sfasate e si incastrino bene, poi procedo con la terza fila di nuovo da 100 palline e così via. Quando ho finito il primo piano inizio il secondo e metto la prima fila in modo che le palline si incastrino con quelle delle prime 2 file sottostanti (dovrebbero venire 98)

Tutto giusto tranne il 98 che è ancora 99. :)
Quote:

e vado avanti. Quando arrivo al terzo piano so che sarà uguale al primo e così via finché non ho riempito il cubo.
OK
Quote:

A questo punto io sono soddisfatto perché ho raggiunto il mio scopo, e allora a cosa mi serve sapere quante ne ho messe effettivamente??:mmh:Perché devo rompermi le balle (mie) a fare un calcolo complicato e inutile? Mi viene fuori un numero che non dice assolutamente nulla, e nemmeno da esso posso capire se per caso ho sbagliato il metodo del riempimento, quindi...
Tu sei soddisfatto. Il problema (immaginando che sia una entità pensante) si compiace con te perché hai individuato la via giusta, ma soddisfatto non è, perché non ha avuto la risposta ... :)
Non è vero che il numero che viene fuori, anche se giusto, "non dice assolutamente nulla". A parte risolvere il problema accademico, a parte risolvere l'eventuale problema concreto di definire la dimensione minima di un contenitore cubico che possa contenere ad es. 1 milione di pallina, ci dice anche che frazione del volume totale è effettivamente occupato dalle palline. E' ovvio che si può sempre dire: "e chi se ne frega", ma questo vale in qualsiasi circostanza, non solo quando sono le sfere a recarsi reciproco disturbo ... ;)

Mizarino 23-10-06 18:08

Re: L'arte di fare le valigie
 
Quote:

sumer
visto che Mizarino chiedeva una approx dell' 1%, è evidente che o io o Nomoi abbiamo toppato nel dare le nostre risposte.
O - chissà - forse abbiamo toppato entrambi ....

In effetti sì. Proviamo a mettere dei limiti, semplici da trovare, che circoscrivano un intervallo nel quale deve trovarsi il risultato.

Se pensiamo al modo più semplice (anche se inefficiente) di disporre le palline, basta che inscriviamo ogni pallina in un cubetto di tre centimetri di lato, e disponiamo 100x100x100 cubetti (= 1000000 di palline) a riempire il contenitore. Abbiamo così la soluzione di aldozeta. Ma è solo un valore di minimo, perché è evidente che questa disposizione è inefficiente.

Se invece vogliamo cercare un limite massimo (ovviamente impossibile) possiamo pensare che le palline siano deformabili (ma non comprimibili), in maniera da occupare tutti gli spazi vuoti, come se fossero fatte di plastilina. Il numero massimo di palline sarebbe allora uguale al volume del cubo diviso il volume di una singola pallina. Ilvolume del cubo è uguale a 300x300x300 = 27.000.000 di cm^3.
Il volume di una pallina è: 4/3 pigreco erre tre (rima di scolastica memoria), cioè 1.333333 x 3.141593 x 1.5^3 = 14.137167 cm^3.
Se le palline fossero deformabili, il numero massimo che entrerebbe nel contenitore sarebbe allora
27000000/14.137167 = 1909859.

Naturalmente le palline non sono deformabili, ma rigide, e quindi il "vero" numero massimo dovrà essere compreso fra i due limiti trovati. Con il metodo di riempimento dato da Mars4ever (che non è proprio perfettissimo ma si avvicina alla perfezione certamente entro l'1%) e l'uso della geometria si dovrebbe poterci arrivare.

Vorrei sottolineare che "circoscrivere il problema" in termini più semplici è uno strumento che nella pratica è potentissimo in ogni campo, perché consente senza fare troppa fatica di trovare "l'intervallo di ragionevolezza" di una soluzione proposta.
E direi che già il poter escludere che una soluzione possa essere giusta è un buon risultato. :)

Nomoi_Agrafoi 24-10-06 13:02

Re: L'arte di fare le valigie
 
Uno sciagurato errore di calcolo, non nella procedura di determinazione del volume occupato dalle palline, ma (horresco referens!) nel calcolo del volume di una singola pallina :o, mi ha portato ai valori del post precedente, del tutto sbagliati.

Quelli giusti sono: 1.414.213 palline in una disposizione non troppo sofisticata. 1.489.690 se invece le dispongo in maniera accuratissima secondo la logica piramidale (tetrapack).

Mi consola che il metodo funzioni comunque, al di là di errori da scolaretto.

Ciao
Agrafoi

P.S. Se il problema accettasse una (leggera) deformabilità delle palline, evidentemente cambierebbe tutto, ma non sono certamente in grado di fare questi calcoli.

P.P.S. Per Mars4ever: il mio metodo è probabilistico. Disponendo uno strato di palline (cerchi disegnati in tangenza), faccio comparire casualmente qua e là dei quadrati di lato uguale a quello richiesto dal problema. Conto via via i cerchi compresi (almeno al 51% della loro area) nel perimetro di ogni quadrato, alla fine faccio una media dei valori ottenuti. I risultati convergono proprio verso i numeri da me indicati.

Piotr 24-10-06 14:00

Re: L'arte di fare le valigie
 
Quote:

Nomoi_Agrafoi
Quelli giusti sono: 1.414.213 palline in una disposizione non troppo sofisticata. 1.489.690 se invece le dispongo in maniera accuratissima secondo la logica piramidale (tetrapack).

Ah, che bei numeri!
A costo di scandalizzare qualcuno, confesso di non aver provato a lanciarmi nei calcoli (beh, a parte quelli di minimo e massimo, ma Mizarino ha bellamente anticipato il mio post, e con somma maestria), e adesso mi crogiolo in attesa delle soluzioni. Ma, ecco, se la matematica non fosse il regno dell'esattezza, se si potesse andare solo ad intuito, se ci si potesse affidare solo all'eleganza e alla bellezza, allora voterei senza dubbio per il primo numero proposto qua sopra da Agrafoi. Sono poco bravo coi calcoli, ma abbastanza familiare coi numeri da riconoscere che 1.414.213 è esattamente "un milione radice di due", e mi chiedo se possa esistere soluzione più bella. Magari più esatta, forse, non lo so, ma più bella?

Piotr

Mizarino 24-10-06 14:13

Re: L'arte di fare le valigie
 
Quote:

Piotr
Sono poco bravo coi calcoli, ma abbastanza familiare coi numeri da riconoscere che 1.414.213 è esattamente "un milione radice di due", e mi chiedo se possa esistere soluzione più bella. Magari più esatta, forse, non lo so, ma più bella?

Devo dire che avevo sospettato che la prima soluzione di Agrafoi fosse sbagliata solo per un volgare errore di calcolo.
Invece ho qualche dubbio che la sua ultima soluzione (1.489.690) sia giusta, mentre per la gioia di Piotr la soluzione "ideale" corretta dovrebbe proprio essere la prima, cioè 1 milione radice di due.
Purtroppo non ho tempo per le spiegazioni ...

Nomoi_Agrafoi 24-10-06 15:05

Re: L'arte di fare le valigie
 
Perbacco! Non m'ero accorto che il mio numero fosse un milione per radice di due.
Ci ero arrivato per altra via in cui c'entra un altro numero irrazionale, cioè Pi Greco. I due numeri devono essere in qualche modo misterioso collegati...

devilman23 24-10-06 16:00

Re: L'arte di fare le valigie
 
Ecco, come al solito non ci avevo capito una mazza! ;)

Ero soltanto arrivato a capire che ci stavano 100 palline sulle file dispari e 99 su quelle pari. Ma poi ho sbagliato il calcolo per difetto, come Mizarino mi ha confermato...

In seguito non ho più pensato al problema, perché ho avuto altre cose da fare... Ora mi leggo le risposte che avete dato, e se non capisco, qualcuno avrà la pazienza di spiegarmi...

Mizarino 25-10-06 15:18

Re: L'arte di fare le valigie
 
Quote:

Nomoi_Agrafoi
Ci ero arrivato per altra via in cui c'entra un altro numero irrazionale, cioè Pi Greco. I due numeri devono essere in qualche modo misterioso collegati...

Certo che sono collegati!
Attraverso la trigonometria, ad es.:
sin(Pi/4) = 0.5*radice(2)
;)

Do' qui di seguito un modo abbastanza semplice di arrivare alla soluzione generale.
Cominciamo a disporre un filare di palline lungo un lato del cubo, come aveva suggerito Mars4ever.
Ci entreranno 100 palline, ma chiamiamo pure questo numero N, immaginando di avere un cubo di lato indefinito. Se ora disponiamo un secondo filare in modo che le palline si appoggino negli incavidel primo filare, potremmo metterci 99 palline, ma se il lato del cubo è molto grande, possiamo anche dire che ne potremo mettere sempre N.
Quanto saranno distanti i due filari ?
Saranno distanti quanto l'altezza di un triangolo equilatero i cui vertici siano i centri di tre palline adiacenti. Questa altezza è uguale al diametro di una pallina moltiplicato per radice(3)/2.
Usando sempre lo stesso criterio nel disporre le palline, si potranno quindi disporre nel piano N*2/radice(3) filari di palline, e quindi in tutto N*N*2/radice(3) palline.
Quanti piani di palline potremo sovrapporre ?
Considerando che ogni pallina andrà messa sopra l'incavo lasciato al centro di un triangolo equilatero di tre palline adiacenti, la distanza fra i due piani di palline sarà data dall'altezza del tetraedro costituito dai centri delle quattro palline (le tre di base più quella messa sopra), il cui lato è uguale al diametro di una pallina.
L'altezza di questo tetraedro è uguale al lato (diametro di una pallina) moltiplicato per radice(2) e diviso per radice(3). (A questo ci si arriva con due applicazioni successive del Teorema di Pitagora, che ometto).
Si potranno dunque disporre N*radice(3)/radice(2) piani di palline.
In ogni piano ci sono N*N*2/radice(3) palline, quindi in tutto N*N*N*2/radice(2) palline = N^3 * radice(2).

In realtà questa è la soluzione "ideale", perché nel contenitore di lunghezza finita di 3 m, di palline ne entreranno di meno, ma direi che N^3 * radice(2) è certamente un numero più bello!

Però mi piacerebbe sapere come ci è arrivato Agrafoi! ;)

Nomoi_Agrafoi 26-10-06 16:14

Re: L'arte di fare le valigie
 
Cerco di spiegare il mio metodo sperimental-teorico, sperando di riuscire a supplire con le parole alla chiarezza che ne deriverebbe da un disegno.

Ho preso delle palline da ping pong (in realtà ho usato la collezione di biglie di vetro di mio nipote) e le ho disposte su un piano. La configurazione più stretta (non ulteriormente comprimibile) che ne risultava era ad esagono con al centro una pallina.
Ora, in ciascuna delle fossette formate da questo strato di palline a contatto si poteva collocare una pallina in posizione di equilibrio statico.

Si potevano formare due configurazioni in questo secondo strato: tre palline a triangolo sormontate da una quarta pallina che formava un terzo strato, oppure sei palline, sempre a triangolo, con una settima pallina ad occupare la fossetta centrale. Nel primo caso, la pallina del terzo strato si trovava in corrispondenza di una del primo; nel secondo caso, la pallina in cima era in corrispondenza di una fossetta del primo strato.
Stimando ad occhio più bassa questa configurazione (e dunque probabilmente più compatta) ho optato per fare i calcoli su questa.
Fin qui la parte sperimentale.

In una prospettiva tridimensionale, indicando con A le palline del primo strato, con B quelle del secondo, ancora con A quella del terzo, l'altezza tra due centri AA (primo e terzo strato) sarà pari a 2*r*radice di 3 nel primo caso e solo 4/3*r*radice di 6 nel secondo caso.

Si nota che, considerando la piramide come incastrabile in altre contigue (condividendo tutte le palline esterne), solo le palline B non interagiscono più con altre piramidi, mentre ciascuna pallina A si troverà circondata da 12 altre palline.

Considerando la base della piramide da centro a centro delle palline A, si vede che essa è un esagono di lato 2*r la cui area sarà 6*radice di 3*r al quadrato.
Il volume di un prisma esagonale con questa area di base e altezza 4/3*r*radice di 6 sarà pari a 24*radice di 2*r al cubo.

Ora, considerando le palline intere e le frazioni di esse, si nota che in questo volume sono contenute esattamente 6 palline, pari ad un volume di 6*4/3*pi greco*r al cubo, ovvero 8*pi greco*r al cubo.

La frazione di volume occupato dalle palline in questa unità prismatica a base esagonale mi darà la densità di palline nell'unità di volume da me scelta e (si spera) in quella di qualsiasi altro volume, anche il cubo di tre metri di lato del problema.

Avremo:

8*pi greco*r al cubo / 24*radice di 2*r al cubo = pi greco/3*radice di 2 = 0,740480489693

Se le palline fossero comprimibili ed occupassero tutto il volume del cubo, esse sarebbero 1.909.859. Poiché possono alla meglio occupare solo lo 0,74 ecc. % dell'intero volume, il loro numero sarà:

1.909.859 * 0,740480489693 = 1.414.213,3275646

che guarda caso è anche un milione per radice di due, ma questo lo ha scoperto Piotr.

Ciao
Agrafoi

P.S. Avevo trovato una soluzione che mi dava il 78% di densità (da cui il secondo numero più alto), ma non riesco più a trovare gli appunti su cui l'avevo scritta.

Andrea_Al 27-10-06 22:13

Re: L'arte di fare le valigie
 
Al di là di tutto è confortante pensare che la natura, senza fare i conti, ci batta sul tempo in modo che ogni nostra "scoperta" non sia altro che una ricostruzione di qualcosa che esiste già... come i reticoli cristallini.
Incuriosito dal tema ho cercato on google "face centered cubic" e... tra i risultati c'era:"How many ping-pong balls would it take to completely fill..."

Ma visto che la natura ha dei modi anche più belli, esteticamente parlando, di impacchettare, e che voi coi numeri ve la cavate bene... aiutatemi a capire perché in un girasole se si contano le spirali formate dai semi in un verso si ottiene un numero della successione di Fibonacci, mentre contando nell'altro verso si ottiene il successivo... Io non saprei neppure da dove cominciare a ragionare
E poi che spirali sono? Magari quelle frattali di loro stesse?
:confused:Ma in fondo sono belli anche i girasoli di Van Gogh...

Mizarino 29-10-06 10:28

Re: L'arte di fare le valigie
 
Quote:

Andrea_Al
Al di là di tutto è confortante pensare che la natura, senza fare i conti, ci batta sul tempo in modo che ogni nostra "scoperta" non sia altro che una ricostruzione di qualcosa che esiste già... come i reticoli cristallini.
Incuriosito dal tema ho cercato on google "face centered cubic" e... tra i risultati c'era:"How many ping-pong balls would it take to completely fill..."

In realtà la Natura i conti li fa, e come se li fa!
Non vorrei sembrare un Pitagorico, ma la natura "è", fra le altre cose, un ottimo calcolatore analogico.
Nel caso specifico, quando si forma un cristallo, "scuote" le palline fin quando l'energia potenziale non è minimizzata. Ogni tanto non riesce a fare il conto abbastanza in fretta, e così compaiono i "difetti reticolari" ... ;)
Per quanto riguarda i girasoli, non ne ho la più pallida idea, chissà se Piotr ne sa qualcosa ... ;)

Andrea_Al 29-10-06 16:06

Re: L'arte di fare le valigie
 
Beh, dei difetti reticolari non mi lamento, dopo tutto anche loro "danno colore al mondo"... ;)
Recentemente a Frascati, alla notte bianca dei ricercatiori, quando hanno aperto le strutture al pubblico, c'erano esposti degli studi sui laser a centri di colore molto interessanti... non sfiguravano anche se quello a elettroni in costruzione era davvero affascinante!

Mizarino 29-10-06 19:57

Re: L'arte di fare le valigie
 
Bello!
Andrea ha tirato fuori il reticolo cubico a facce centrate, mentre Agrafoi, se ho capito bene la sua descrizione, ha riscoperto il reticolo esagonale compatto (e forse anche il cubico a facce centrate del quale poi ha perso gli appunti)
Per inciso entrambi riempiono lo spazio con la medesima efficienza.
:ok:

Piotr 30-10-06 08:19

Re: L'arte di fare le valigie
 
Quote:

Mizarino
Per quanto riguarda i girasoli, non ne ho la più pallida idea, chissà se Piotr ne sa qualcosa ... ;)

Beh, Piotr si ricorda un vecchio articolo di Martin Gardner - certamente reperibile in qualcuno dei libri che raccolgono i suoi articoli per "Scientific American" - in cui si parlava proprio della serie di Fibonacci e delle sue curiose "applicazioni" in natura. C'era proprio l'esempio delle spirali dei semi di girasole, ma non solo quello... si partiva come sempre dai famosi "conigli", visto che è stato l'esempio che lo stesso Fibonacci usò a suo tempo per raccontare le proprietà della sua serie; poi si passava - credo - a parlare della serie di Fibonacci generalizzata (cioè quella che inizia non con 1 e 1 come primi numeri, ma con un N e M qualsiasi), e così via.

Del resto, sulla "natura scritta con caratteri matematici" di galieleiana memoria, si sono versati i proverbiali fiumi di inchiostro... La mia personalissima sensazione in merito è che - più ancora che la natura stessa - è il nostro modo di leggerla ad essere naturalmente matematico: ad esempio, il numero "e", base dei logaritmi naturali, viene introdotto in matematica dopo lunga e complessa evoluzione, quando si è ormai pronti a comprendere bene cosa siano i numeri reali, gli irrazionali, i trascendenti; devono essere ben chiare le potenze, in modo tale che l'espressione "e alla meno x" sia perfettamete chiara a chi la scrive. Solo dopo, ci si accorge che tale espressione è quella del "decadimento naturale radioattivo". Ma in realtà, togliendo il fascino della cosa (ed è un vero peccato "toglierlo", e non vorrei proprio farlo, se non per ragioni didattiche) quando un gruppo di cose (persone, animali, atomi, conigli) cresce in maniera naturale (o decresce), lo fa in modo esponenziale che noi si sappia o meno riconoscere il senso di "e elevato a t" o "e elevato a meno t".
Poi, quando lo riconosciamo, pensiamo che la natura sia matematica, e probabilmente questo è verissimo. Ma potrebbe essere anche vero - un po' kantianamente - che sia la nostra mente ad usare la matematica come "appercezione trascendentale" per leggere la natura e rendersela comprensibile.

Mizarino 30-10-06 09:00

Re: L'arte di fare le valigie
 
Quote:

Piotr
... La mia personalissima sensazione in merito è che - più ancora che la natura stessa - è il nostro modo di leggerla ad essere naturalmente matematico: ad esempio, il numero "e", base dei logaritmi naturali, viene introdotto in matematica dopo lunga e complessa evoluzione, quando si è ormai pronti a comprendere bene cosa siano i numeri reali, gli irrazionali, i trascendenti ...

D'accordo per quanto riguarda l'esponenziale, il decadimento radioattivo e la crescita dei conigli ...
Non so se tu ti riferisca anche alla mia affermazione circa il fatto che la Natura è un perfetto calcolatore analogico. Qui c'è una bellissima analogia fra ciò che la Natura "fa" e ciò che noi "calcoliamo" con la "nostra" matematica.
Nella ricerca dello stato di minima energia potenziale, la Natura si muove lungo il gradiente dell'Energia, fin quando questa non diminuisce più. Questo la Natura lo "fa". Nel processo, comunissimo nelle applicazioni fisiche della Matematica, di ricercare il minimo di una funzione, uno dei metodi di calcolo è proprio quello di "scendere" lungo il gradiente fino a raggiungere il punto di minimo.
Ma mi fermo qui. Posso arrivare ai "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", ma ai "Philosophiae Mathematicae Principia Naturalia" non ci arrivo! (Perdona se ho sbagliato le declinazioni ...) :D

Piotr 30-10-06 10:20

Re: L'arte di fare le valigie
 
Quote:

Mizarino
...Nella ricerca dello stato di minima energia potenziale, la Natura si muove lungo il gradiente dell'Energia, fin quando questa non diminuisce più. Questo la Natura lo "fa". Nel processo, comunissimo nelle applicazioni fisiche della Matematica, di ricercare il minimo di una funzione, uno dei metodi di calcolo è proprio quello di "scendere" lungo il gradiente fino a raggiungere il punto di minimo.

Ma mi fermo qui. Posso arrivare ai "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", ma ai "Philosophiae Mathematicae Principia Naturalia" non ci arrivo! (Perdona se ho sbagliato le declinazioni ...) :D

Le declinazioni mi sembrano perfette (almeno per quanto riescono a giudicare i miei ormai remoti studi classici) e in realtà mi sembra proprio che l'idea di fondo sia la stessa. A prescindere da quale sia la ragione per la quale la natura segua il principio di minima azione, fatto sta che lo fa. Come diceva scherzando Einstein, "Dio non si preoccupa delle difficoltà matematiche, perchè integra empiricamente"; noi invece, riconosciamo come "compreso" un meccanismo solo quando siamo in grado di descriverlo, magari ripeterlo, magari addirittura prevederlo. Ebbene, non mi risulta che questo tipo di "comprensione" possa mai essere qualcosa di diverso dalla "comprensione matematica". Ci saranno dei mistici o anche solo degli intuzionisti che non saranno d'accordo, ma a me sembra che la conoscenza piena, quella che discende da "dimostrazione-convinzione" e non solo da "esperienza-ripetizione" sia per forza di questa natura.

Se così fosse, allora delle due l'una: o è la natura in sè ad essere matematica, e quindi conoscibile solo attraverso di essa, o è la mente umana a "comprendere solo matematizzando", e in questo caso altre menti potrebbero usare altri mezzi conoscitivi.

Visti i molti "teoremi di limitazione" che sono arrivati nel Novecento a smontare la fiducia nel "tutto è conoscibile matematicamente", a me non dispiacerebbe fosse vera la seconda ipotesi: in questo caso le limitazioni riguarderebbero solo noi, e non tutta la Natura.

Ma non volevo fare un discorso troppo filosofico, mi dispiace se è venuto fuori così... in fondo, cercavo solo di spiegare per quali ragioni ritrovare la serie di Fibonacci nei semi di girasole sia - al tempo stesso - stupefacente e naturalissimo.

Se invece mi è venuto fuori un pippone da vecchio trombone, esorto tutto il forum a prendermi (virtualmente) a martellate sul cranio;) .

Piotr

Andrea_Al 30-10-06 20:13

Re: L'arte di fare le valigie
 
Grazie Piotr, cercherò di documentarmi... per fortuna qui a Roma, vicinissimo all'università (e a due fermate di metro da Ingegneria), c'è la biblioteca nazionale centrale, i cui cataloghi sono anche online.
Lì ho recuperato alcuni articoli proprio da Le Scienze del 1980...
Tranquillo, non è un pippone... eh eh eh Anche se non sono un tipo da edifici filosofici, ammetto che ogni tanto è impossibile non porsi almeno la domanda: ho i mezzi per comprendere? Senza rispolverare il mito platonico (grazie lele... ogni tanto mi dimentico perfino come mi chiamo...!) della caverna, alle volte sono turbato dalla possibilità che la natura sia intrinsecamente inconoscibile da noi che ci nuotiamo dentro!!!:cry:
E tutto sommato, anche se pare che la matematica sia l'unico modo per indagare, mi piace sperare che un giorno troveremo anche un "modoaprovadigodel" o "godelimmune"... (quindi anche io propendo per la seconda ipotesi, non l'ho detto io che "la natura si pensa tramite l'uomo"... la natura non può sapere di essere matematica)

Ah tornando ai reticoli... se uno li fa a fette l'esagonale compatto e il cubico a facce centrate sono identici, ci si accorge solo alla terza fetta che una è l'opposto dell'altra... Quando l'ho studiato al corso di materiali ci ho messo un po' a visualizzare l'esagono che si creava obliquo nei cubi e viceversa... alla fine mi sono fatto un modellino con gli stuzzicadenti!!!
Curiosamente però l'organizzazione cubica crea delle simmetrie che non compaiono in quella esagonale, cosicché alcuni scorrimenti sono impediti e le strutture esagonali compatte rendono il materiale molto più fragile di quelle cubiche, anche se la compattezza è la stessa...
Ma adesso lo sto facendo io il pippone...:D:D:D

leleastro 31-10-06 06:00

Re: L'arte di fare le valigie
 
Il mito della caverna non è di Platone?

Planezio 31-10-06 09:39

Re: L'arte di fare le valigie
 
caspita, questa mi era sfuggita!
Piotr, l'articolo citato ce l'ho, è raccolto in un "quaderno" che ho letto con assoluta estasi, e che naturalmente adesso non trovo. Mi rileggo con calma il tutto e poi mi mescolo!

Piotr 31-10-06 10:08

Re: L'arte di fare le valigie
 
Quote:

Planezio
caspita, questa mi era sfuggita!
Piotr, l'articolo citato ce l'ho, è raccolto in un "quaderno" che ho letto con assoluta estasi, e che naturalmente adesso non trovo. Mi rileggo con calma il tutto e poi mi mescolo!

Ah, Pietro, vedi?
Sei quello che nei campi di calcio chiamano "una sicurezza". Grazie.

Lele, hai ragione, il mito della caverna è platonico. Ma tanto sai com'è... Socrate era il maestro di Platone, il maestro non ha lasciato nulla di scritto e il discepolo ha lasciato decine di dialoghi: tutto quello che sappiamo di Socrate viene da Platone e insomma, mescolare i due è peccato venialissimo, forse neppure peccato del tutto :) .

Planezio 01-11-06 21:54

Re: L'arte di fare le valigie
 
e se fosse che la natura si esprime in una lingua, che noi non cnosciamo, ma che attraverso generazioni di decrittatori cerchiamo di capire? Poco per volta, con alcuni colpi di fortuna tipo la Stele di Rosetta, cerchiamo di capire la lingua con cui la natura parli. E lentamente, una regola per volta, compiliamo una grammatica che ci permetta di leggerecome si esprima la natura. E questo testo linguistico, che in se stesso nonsignifica nulla ma che ci permette di leggere quel che la natura scrive, lo chiamiamo in qualche modo, tanto per dargli un nome:
io propongo "Matematica".
Qualcuno puo suggerire un nome migliore?
Cioè. Non la natura che si esprima nel NOSTRO linguaggio matematico, ma nel SUO. Cioè la matematica sia la lingua SUA, che noi cerchianmo solo di decifrare?
Ed eccoci di nuovo alla vexata quaestio.
Io dico che la matematica la scopriamo, non la inventiamo.......

Andrea_Al 02-11-06 09:21

Re: L'arte di fare le valigie
 
Correzione effettuata... chiedo venia!:p Mi scuso anche con Platone, anche se in questo periodo bisognerebbe piuttosto chiedere scusa a Plutone...:rolleyes:
Saltando poi di palo in frasca... qualcuno sa chi si occupa di aggiornare la pagina delle soluzioni dei rudi mathematici pubblicati su Coelum? Siamo fermi a quella estiva e io sono curioso di vedere di quanto ho sbagliato...:spaf: con incartamenti e gomitoli!

Piotr 02-11-06 11:02

Re: L'arte di fare le valigie
 
Quote:

Andrea_Al
qualcuno sa chi si occupa di aggiornare la pagina delle soluzioni dei rudi mathematici pubblicati su Coelum? Siamo fermi a quella estiva e io sono curioso di vedere di quanto ho sbagliato...:spaf: con incartamenti e gomitoli!

Diamine, certo che lo sappiamo! Il tocco finale elettronico tocca al sommo webmaster di questo sito, ma Egli può agire (e lo fa di solito in maniera efficientissima e rapidissima) solo dopo che qualche pigraccio di RM gli abbia inviato il contenuto da "webmasterizzare".

Tale contenuto, però, deve arrivare prima a normale "consunzione cartacea": detto in altri termini, perchè un gioco sia del tutto presente sul sito, deve prima essere stato "archiviato" dalla rivista di carta. Quando a pagina 82 di Coelum compare il riquadro con il nome del vincitore, a quel punto si può cominciare ad attendere che la soluzione "estesa" sia pubblicata sul sito (insomma, da quel momento comincia il vero ritardo di RM, se ritardo c'è...).

Questa volta, a dire il vero, non siamo ancora in ritardo, perchè l'aver anticipato l'usicita della rivista ci ha costretto (con somma gioia, a dire il vero) a dare più tempo alle soluzioni per arrivare (prima, ce ne erano sempre alcune che arrivavano "fuori tempo massimo").

In conclusione, anche se questo sconvolgerà le attese di Andrea_Al, la soluzione del gomitolo sarà annunciata su Coelum 101 e indi pubblicata estesamente su sito. Questo significa un altro mese di attesa (ma nel frattempo potrete risolvere i quesiti su Coelum 100!), ma almeno siamo sicuri che tutti avreanno il tempo di trovare la rivista e risolvere con calma i problemi...

Piotr 02-11-06 11:10

Re: L'arte di fare le valigie
 
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Planezio
e se fosse che la natura si esprime in una lingua, che noi non cnosciamo, ma che attraverso generazioni di decrittatori cerchiamo di capire? Poco per volta, con alcuni colpi di fortuna tipo la Stele di Rosetta, cerchiamo di capire la lingua con cui la natura parli.
(...)
Non la natura che si esprima nel NOSTRO linguaggio matematico, ma nel SUO. Cioè la matematica sia la lingua SUA, che noi cerchianmo solo di decifrare?
Ed eccoci di nuovo alla vexata quaestio.
Io dico che la matematica la scopriamo, non la inventiamo.......

Eh, Pietro mio, è davvero quaextio vexatissima, questa.
Mi piace molto l'immagine della natura che parli la "sua" lingua, la sua matematica, in maniera del tutto indipendente dal "nostro" linguaggio matematico... anche perchè questo non implica affatto che i linguaggio siano davvero distinti: potrebbe essere che il nostro linguaggio sia quello dei bambini piccoli, che stanno ancora imparando e balbettano, ma balbettano tentando di riprodurre i suoni ben formati e sintatticamente precisi della mamma. Sì, è un'immagine molto bella, spiegherebbe anche perchè l anatura stessa della matematica cambia ed evolve coi secoli, arricchendosi e inglobando cose che inizialmente non sembravano affatto essere matematica.

E poi, se così fosse, se la metafora valesse davvero, si risolverebbe perfino la vexata quaestio, no? Il bambino certo "scopre" e non "inventa" il linguaggio materno: ogni giorno nuove parole, fino a ieri insospettate, nuovi verbi, aggettivi, significati... ma, una volta adulto, potrà davvero agire in maniera creativa sul linguaggio, "inventando" lui stesso - con i suoi simili - nuove parole, nuovi verbi, nuovi significati...

Andrea_Al 02-11-06 17:38

Re: L'arte di fare le valigie
 
Altro che sconvolto: sono contento! :D Infatti anche nella mia zona Coelum arriva con mooolta calma... quindi se il prezzo per avere qualche chance è un po' più di trepidazione, ben venga!
E poi chissà, una volta o l'altra potrei trovare il mio nome nel cartaceo...:)
Ma ehi, insomma sto parlando con uno dei rudi (:o me ne sono accorto presto...) allora d'ora in poi mi asterrò da qualsiasi commento sulla competizione...:fis:; intanto mi leggerò la soluzione della Terra impacchettata col cellophane.
Ciao!!!

Planezio 05-11-06 21:12

Re: L'arte di fare le valigie
 
Quote:

Piotr
Eh, Pietro mio, è davvero quaextio vexatissima, questa.
Mi piace molto l'immagine della natura che parli la "sua" lingua, la sua matematica, in maniera del tutto indipendente dal "nostro" linguaggio matematico... anche perchè questo non implica affatto che i linguaggio siano davvero distinti: potrebbe essere che il nostro linguaggio sia quello dei bambini piccoli, che stanno ancora imparando e balbettano, ma balbettano tentando di riprodurre i suoni ben formati e sintatticamente precisi della mamma. Sì, è un'immagine molto bella, spiegherebbe anche perchè l anatura stessa della matematica cambia ed evolve coi secoli, arricchendosi e inglobando cose che inizialmente non sembravano affatto essere matematica.

E poi, se così fosse, se la metafora valesse davvero, si risolverebbe perfino la vexata quaestio, no? Il bambino certo "scopre" e non "inventa" il linguaggio materno: ogni giorno nuove parole, fino a ieri insospettate, nuovi verbi, aggettivi, significati... ma, una volta adulto, potrà davvero agire in maniera creativa sul linguaggio, "inventando" lui stesso - con i suoi simili - nuove parole, nuovi verbi, nuovi significati...

nuove parole, nuovi verbi... ma per rappresentare, sempre, fatti reali o relaizzabili...
Cioè: a noi, adulti, sarà permesso di creare nuove parole e forme verbali, che ci seviranno per rappresentare cose o sensazioni esistenti o semplicemente immaginabili. E l'unico vincolo, ovviamente, sarà che "rappresentino cose realizzabili": in pratica, che seguano le regole della logica, che è probabilmente la lingua in cui parla la natura....
eheheheh. ci devo studiare un po, ma l'accostamento mi stuzzica...

Nomoi_Agrafoi 06-11-06 13:24

Re: L'arte di fare le valigie
 
Eh... caro Planezio, vorrei sottolineare che proprio il linguaggio umano rappresenta il paradigma della costruzione convenzionale (tant'è che ne esistono almeno 1500 diversi!) nel descrivere la realtà. O almeno come essa “ci appare”.
E quanto siano sdrucciolevoli le definizioni di “realtà” o di “realizzare” (in passato si usava il più ingenuo ed ottimistico “inverare”). Non dimentichiamo che tutto, ma proprio tutto ciò di cui facciamo esperienza non è altro che il risultato dell'incessante interazione tra fotoni ed elettroni, mentre la “sostanza” delle cose si compone di particelle dotate di massa di cui non abbiamo alcuna esperienza diretta con i nostri sensi.
Quanto alla logica, poi, essa si basa su quella labile definizione di “senso comune” che non fa ammenda di due particolari caratteristiche proprie della nostra percezione: che gli eventi seguano una successione temporale (per giunta asimmetrica) e che si incasellino in un apparente concatenazione di “causa ed effetto”.
Fino a che punto tutto ciò sia parte della Natura o solo il risultato della nostra percezione di essa non lo sapremo mai...

Ciao
Agrafoi

Mizarino 06-11-06 13:53

Re: L'arte di fare le valigie
 
Quote:

Nomoi_Agrafoi
Quanto alla logica, poi, essa si basa su quella labile definizione di “senso comune” che non fa ammenda di due particolari caratteristiche proprie della nostra percezione: che gli eventi seguano una successione temporale (per giunta asimmetrica) e che si incasellino in un apparente concatenazione di “causa ed effetto”.
Fino a che punto tutto ciò sia parte della Natura o solo il risultato della nostra percezione di essa non lo sapremo mai...

Beh, il mio forse becero materialismo mi impedisce di ritenere che la successione temporale degli eventi e la concatenazione di causa ed effetto siano solo "apparenti" e quindi il frutto della nostra percezione della natura e non inerenti ad essa.
Mi conforta in questo osservare che il mio gatto, che per molti aspetti mi supera per prontezza di intuito, sembra avere percezioni molto simili alle mie circa la successione temporale degli eventi e la concatenazione di causa ed effetto.
Direi che una Natura la quale, pur essendo priva di queste proprietà inerenti, costringesse delle sue creature ad "assumere" queste proprietà per poter esistere, sarebbe davvero sconclusionata!
;)

Nomoi_Agrafoi 06-11-06 14:40

Re: L'arte di fare le valigie
 
Ecco, vedi? La Natura sarebbe “sconclusionata” se non si assogettasse docilmente alle rozze percezioni di una (anzi due, col gatto) delle centinaia di migliaia di specie viventi che le sono parte...

Mizarino 06-11-06 15:38

Re: L'arte di fare le valigie
 
Quote:

Nomoi_Agrafoi
Ecco, vedi? La Natura sarebbe “sconclusionata” se non si assogettasse docilmente alle rozze percezioni di una (anzi due, col gatto) delle centinaia di migliaia di specie viventi che le sono parte...

Non esattamente ...
Non "se non si assoggettasse docilmente a ...", bensì se producesse esseri con percezioni che nulla hanno a che vedere con le sue inerenti proprietà.
Non dimentichiamo che è la Natura che produce il modo di funzionamento dei propri componenti. ;)


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