Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   Rudi Mathematici (http://www.trekportal.it/coelestis/forumdisplay.php?f=11)
-   -   Qualche quiz (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=33691)

aspesi 16-10-10 11:43

Re: Qualche quiz
 
Qualche curiosit sui numeri

a)Trovare un numero di due cifre che moltiplicato per la somma delle sue cifre d un prodotto uguale alla somma dei cubi di tali cifre

b)Scomporre il numero 100 in quattro numeri
A + B + C + D = 100
tali che:
A + X = K
B - X = K
C * X = K
D : X = K

c)Ottenere 100 usando cinque volte la stessa cifra (per tutte le cifre significativa da 1 a 9). Sono ammesse operazioni, potenze, radici quadrate, fattoriali, ecc...

:hello:

Erasmus 16-10-10 20:53

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 410484)
a)Trovare un numero di due cifre che moltiplicato per la somma delle sue cifre d un prodotto uguale alla somma dei cubi di tali cifre.

b)Scomporre il numero 100 in quattro numeri
A + B + C + D = 100
tali che:
A + X = K
B - X = K
C * X = K
D : X = K

c)Ottenere 100 usando cinque volte la stessa cifra (per tutte le cifre significativa da 1 a 9). Sono ammesse operazioni, potenze, radici quadrate, fattoriali, ecc...

a)
Prima cifra x, seconda cifra n.
x^2 xn +n^2 =10x + n > x = f(n) = {(n+10) √[(n+10)^2 + 4(nn^2)]}/2.
Oppure: prima cifra n, seconda cifra x
x^2 xn +n^2 =10n + x > x = g(n) = {(n+1) √[(n+1)^2 + 4(10nn^2)]}/2.
Perch n invece di y come incognita?
Perch la mia calcolatrice grafica mi calcola una espressione con n come se n fosse un numero costante che si pu impostare spostando col mouse una specie di cursore di una specie di player.
Allora ... vedo di colpo per quali (eventuali) n interi anche l'espressione in n intera.
Trovo 2 soluzioni ... ma non le dico (per ora). :p

b)
(K/X) (X+1)^2 = ...
Due soluzioni.
(In una C = D; nell'altra A/C =0,6 :fis:

c) Questo ... non mi piace, non il mio tipo ...:D
-----------------
:hello:

aspesi 16-10-10 22:42

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 410651)
a)
Prima cifra x, seconda cifra n.
x^2 xn +n^2 =10x + n > x = f(n) = {(n+10) √[(n+10)^2 + 4(nn^2)]}/2.
Oppure: prima cifra n, seconda cifra x
x^2 xn +n^2 =10n + x > x = g(n) = {(n+1) √[(n+1)^2 + 4(10nn^2)]}/2.
Perch n invece di y come incognita?
Perch la mia calcolatrice grafica mi calcola una espressione con n come se n fosse un numero costante che si pu impostare spostando col mouse una specie di cursore di una specie di player.
Allora ... vedo di colpo per quali (eventuali) n interi anche l'espressione in n intera.
Trovo 2 soluzioni ... ma non le dico (per ora). :p

Io ho una sola soluzione...:mmh:e pensavo che di 2 cifre ci fosse solo un numero con queste caratteristiche...

Quote:

Erasmus (Scrivi 410651)
b)
(K/X) (X+1)^2 = ...
Due soluzioni.
(In una C = D; nell'altra A/C =0,6 :fis:

La prima soluzione banale (X=1)
La seconda non torna con la mia...(A/C=3)

Quote:

Erasmus (Scrivi 410651)
c) Questo ... non mi piace, non il mio tipo ...
-----------------
:hello:

Metto io i pi semplici:
111 - 11
3*33 + 3/3
5*5*5 - 5*5
o anche:
(5+5+5+5)*5

Per le altre cifre, possibile che non ci prova nessun altro?

Ciao

Erasmus 17-10-10 00:48

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 410661)
Io ho una sola soluzione...:mmh:e pensavo che di 2 cifre ci fosse solo un numero con queste caratteristiche...

Stiamo parlando di a).
1)
37*(3+7) = 370;
3^3 + 7^3 = 27 + 343 = 370
2)
48*(4+8) = 48*12 = (12^2)*4 = 144*4 = 576
4^3 + 8^3 = 4^3 + (24)^3 = 4^3(1 + 2^3) = 64*9 = 576

Si arriva ... all'equazione di una bella ellisse perch x^3 + y^3 divisibile per x+y (e il quoziente x^2 xy + y^2).
x^2 + y^2 xy 10 x y = 0;
Esplicito rispetto ad x o y. Ottengo (con la solita formula dell'equzione di 2 grado) un radicale che deve essere un numero intero.
Esplicito rispetto ad x. Allora:
x = {(y+10) √[(y+10)^2 4(y^2 y)]}/2 = [(y+10) √(100+24y 3y^2)]/2.
Devo trovare qualche y intero compreso tra 0 e 9 inclusi per il quale 100+24y 3y^2 sia quadrato di un intero.
Per y = 7 ho
100 + 247 37^2 = 121 = 11^2
Ergo x = (7 + 10 11)/2 = 14 oppure 3. [14 > 9 da scartare; 3 OK]
Quindi una soluzione 37.
Per y = 8 ho
100 +24*8 3*8^2 = 100 + 3*8*8 3*8*8 = 100 = 10^2.
Ergo x = (8 + 10 10)/2 = 14 oppure 4. [14 > 9 da scartare; 4 OK]
Quindi un'altra soluzione 48.

Quote:

aspesi (Scrivi 410661)
La prima soluzione banale (X=1) La seconda non torna con la mia...(A/C=3)

Ho sbagliato a scrivere. Era A/B che valeva 0,6.
E' la stessa tua soluzione, va bene A/C = 3

Prova, infatti, X = 4 e Y = 16. Trovi:

A + X = K > A = 16 4 = 12;
B X = K > B = 16 + 4 = 20;
C*X = K > C = 16/4 = 4;
D : X = K > D = 16*4 = 64;
A+ B + C + D = 12 + 20 + 4 + 64 = 32 + 68 = 100

Portando a destra X si trova
100 = A + B + C + D = (K X) + (K + X) + K/X + K*X = K(2+ 1/X + X) =(K/X)(X+1)^2.
Ora 100 = 4*5^2 = 1*10^2 = 25 * 2^2
Quindi X+1 = 5 oppure X+1 = 10 oppure X+1 = 2
Per X+1 = 5 ho X = 4 e K = 4X = 16. (A=12; B=20; C=4; D=64).
Per X+1 = 2 ho X = 1 e K = 25. (A = 24; B = 26; C = 25; D = 25).
Ora vedo un'altra soluzione
Per X+1 = 10 X = 9 e K = 9. (A = 0; B = 18; C = 1; D = 81).
Quote:

aspesi (Scrivi 410661)
Metto io i pi semplici:
111 - 11
3*33 + 3/3
5*5*5 - 5*5
o anche:
(5+5+5+5)*5

Per le altre cifre, possibile che non ci prova nessun altro?

Ciao

Ma ... non si potrebbe lasciar perdere il valore 100 e cerare una uguaglianza vera con quelle 5 cifre tutte uguali?
Per esempio:
11/11 = 1
Ma anche:
Log11(11) = 1 [Il logaritmo di 11 in base 11 1 ;)]

Ciao, ciao

aspesi 17-10-10 10:22

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 410667)
Stiamo parlando di a).
1)
37*(3+7) = 370;
3^3 + 7^3 = 27 + 343 = 370
2)
48*(4+8) = 48*12 = (12^2)*4 = 144*4 = 576
4^3 + 8^3 = 4^3 + (24)^3 = 4^3(1 + 2^3) = 64*9 = 576

Si arriva ... all'equazione di una bella ellisse perch x^3 + y^3 divisibile per x+y (e il quoziente x^2 xy + y^2).
x^2 + y^2 xy 10 x y = 0;
Esplicito rispetto ad x o y. Ottengo (con la solita formula dell'equzione di 2 grado) un radicale che deve essere un numero intero.
Esplicito rispetto ad x. Allora:
x = {(y+10) √[(y+10)^2 4(y^2 y)]}/2 = [(y+10) √(100+24y 3y^2)]/2.
Devo trovare qualche y intero compreso tra 0 e 9 inclusi per il quale 100+24y 3y^2 sia quadrato di un intero.
Per y = 7 ho
100 + 247 37^2 = 121 = 11^2
Ergo x = (7 + 10 11)/2 = 14 oppure 3. [14 > 9 da scartare; 3 OK]
Quindi una soluzione 37.
Per y = 8 ho
100 +24*8 3*8^2 = 100 + 3*8*8 3*8*8 = 100 = 10^2.
Ergo x = (8 + 10 10)/2 = 14 oppure 4. [14 > 9 da scartare; 4 OK]
Quindi un'altra soluzione 48.

Vero...
Io avevo trovato solo 37.

Dalla progressione:
3 - 6 - 9 - 12 - 15 - 18 - ... - 27
se si moltiplicano i termini per 37, si ottiene:
111 - 222 - 333 - 444 - ... - 999
Questi prodotti sono costituiti da tre cifre uguali e tali chwe la loro somma uguale al moltiplicatore da cui derivano
Infatti:
37*3 =111
Ad es. 37*15 = 37*3*5 = 111*5 ecc...

37 = 3^2 + 7^7 - 3*7
37*(3+7) = 3^3 + 7^3

:hello:

aspesi 17-10-10 10:29

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 410667)
Stiamo parlando di b).

Ho sbagliato a scrivere. Era A/B che valeva 0,6.
E' la stessa tua soluzione, va bene A/C = 3

Prova, infatti, X = 4 e Y = 16. Trovi:

A + X = K > A = 16 4 = 12;
B X = K > B = 16 + 4 = 20;
C*X = K > C = 16/4 = 4;
D : X = K > D = 16*4 = 64;
A+ B + C + D = 12 + 20 + 4 + 64 = 32 + 68 = 100

Portando a destra X si trova
100 = A + B + C + D = (K X) + (K + X) + K/X + K*X = K(2+ 1/X + X) =(K/X)(X+1)^2.
Ora 100 = 4*5^2 = 1*10^2 = 25 * 2^2
Quindi X+1 = 5 oppure X+1 = 10 oppure X+1 = 2
Per X+1 = 5 ho X = 4 e K = 4X = 16. (A=12; B=20; C=4; D=64).
Per X+1 = 2 ho X = 1 e K = 25. (A = 24; B = 26; C = 25; D = 25).
Ora vedo un'altra soluzione
Per X+1 = 10 X = 9 e K = 9. (A = 0; B = 18; C = 1; D = 81).

Ciao, ciao

E anche quest'ultima tua soluzione io non l'avevo trovata...

:hello:

aspesi 17-10-10 11:42

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 410667)
Ma ... non si potrebbe lasciar perdere il valore 100 e cerare una uguaglianza vera con quelle 5 cifre tutte uguali?
Per esempio:
11/11 = 1
Ma anche:
Log11(11) = 1 [Il logaritmo di 11 in base 11 1 ;)]

Ciao, ciao

Secondo me, sono pi quiz (di intuito) ad es., questi:

((22-2)/2)^2
9^(9-9) + 99
4! + 4! + 4! + 4! + 4
6!/6 - 6!/(6*6)
7*7 + 7*7 + int(radq(7))
88 + 8 + radq(8+8)

Ma forse, visto che gliene frega niente a nessuno, una mia deformazione... :mmh:

:hello:

Erasmus 17-10-10 17:44

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 410741)
Secondo me, sono pi quiz (di intuito) ...

.
Sono sempre stato pi analitico che intuitivo. :)
Quote:

aspesi (Scrivi 410741)
[...]
4! + 4! + 4! + 4! + 4
[...]
7*7 + 7*7 + int(radq(7))

Bellissimo quello con i cinque "4"
4! + 4! + 4! + 4! + 4
=> http://www.spazioforum.net/forum/pub...smiley-027.gif

Bruttino (stiracchiato) quello con i "7".
[Tirar fuori 2 da 7 in questo modo... non elegante
------------------------------------
Ciao, ciao.
:hello:

Erasmus 17-10-10 18:21

Re: Qualche quiz
 
=> (Cento con) cinque_nove.jpg ;)
Ovverossia:
Codice:


ln(9^99) +ln(9)

ln(9)

:hello:

aspesi 17-10-10 20:54

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 410908)
=> (Cento con) cinque_nove.jpg ;)
Ovverossia:
Codice:

ln(9^99) +ln(9)


ln(9)

:hello:


Bello!

:hello:

aspesi 20-10-10 15:48

Re: Qualche quiz
 
a)Supponiamo di avere scritto tutti i numeri interi da 1 a N, uno di seguito agli altri nel loro ordine naturale.
Come trovare una cifra di posizione determinata, per esempio che cifra la 552715ma?

b)Quante cifre vi sono nella serie dei numeri da 1 a N inclusivamente?

:hello:

Erasmus 21-10-10 01:07

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 411984)
a)Supponiamo di avere scritto tutti i numeri interi da 1 a N, uno di seguito agli altri nel loro ordine naturale.
Come trovare una cifra di posizione determinata, per esempio che cifra la 552715ma?

Ho ragionato cos
Codice:

Tra          1 e            9  ho          1*9                  9 cifre | Totale parziale          9
Tra        10 e          99  ho        2*90 =          180 cifre | Totale parziale        189
Tra      100 e        999  ho        3*900 =        2700 cifre | Totale parziale      2889
Tra    1000 e      9999  ho      4*9000 =      36000 cifre | Totale parziale    38889
Tra  10000 e    99999  ho      5*90000 =    450000 cifre | Totale parziale  488889
Tra 100000 e  999999    ho    6*900000 =  5400000 cifre | Totale parziale 5888889
....

La 488889-ma cifra dunque l'ultima del numero 99999.

552715
488889=
------------
063826

Ora so che la 552715-ma cifra una di un numero X di 6 cifre, quindi maggiore di 99999
Mi restano 63825 cifre da consumare con numeri di 6 cifre

63826 : 6 = 10637
resto 4

63822 = 6*10637 cifre sono consumate dai 10637 numeri successivi a 99999...e si arriva a 110636.

Siccome il resto 4, trattasi della 4 cifra nel numero successivo X = 110637.


La cifra richiesta la 4 cifra di 110637 , cio 6.
:hello:

aspesi 21-10-10 07:33

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 412123)
Ho ragionato cos[code]

.......

La cifra richiesta la 4 cifra di 110637 , cio 6.
:hello:

:ok:

Adesso, la formuletta per calcolare il numero di cifre X fra 1 e N...

:hello:

Erasmus 21-10-10 11:57

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 412164)
:ok:

Adesso, la formuletta per calcolare il numero di cifre X fra 1 e N...

:hello:

Risolvere la prima parte a) vuol dire capire come fare anche nella seconda parte b)

Se il numero N di (n +1) cifre, considero i primi 10^n 1 numeri scritti, l'ultimo dei quali proprio 10^n 1 ed fatto da n "nove".
Gli altri N (10^n 1) numeri sono tutti di (n+1) cifre e daranno
C2 = (n+1)(N 10^n + 1) cifre.

Le cifre dei numeri da 1 a 10^n 1 sono date da
9 numeri da una cifra
90 numeri da due cifre
900 numeri da tre cifre
...
910^(n1) numeri da n cifre.

Dnno allora un numero di cifre complessivo:
C1 = 9 + 290 + 3900 + ... + n910^(n1) =
= (10 1)[1 + 210 + 310^2 + ... n10^(n1] =
= [1 + 210 + 310^2 + ... n10^(n1] + 10[1 + 210 + 310^2 + ... n10^(n1]; da cui:
Codice:

C1 = 1  210  3100  41000  ...  (n1) 10^(n2)      n10^(n 1) +
                + 10  +2100 + 31000  ...  + (n2)10^(n2) +(n1)10^(n1)  + n10^n =

        1    10  100      1000  ....              10^(n2)            10^(n1)  + n10^n.

C1= n10^n [1 + 10^1 + ... +10^(n1)] = n10^n (10^n 1)/9.

Il numero totale di cifre dunque:
C(N) = C1 + C2 = n10^n (10^n 1)/9 + (n+1)(N 10^n + 1).

Si noti che 2^n 1 fatto da n cifre tutte uguali a 9 e quindi (10^n 1)/9 fatto da n cifre tutte uguali a 1.
----------------
In verit, per calcolare la parte C1 di C(N), io ho derivato l'uguaglianza:
1 + x + x^2 + ... + x^n = [x^(n+1)1]/(x1)
ricavando:
1 + 2x + 3x^2+ ... + nx^(n1) = [(n+1)x^n]/(x 1) [x^(n+1) 1]/(x 1)^2.
Poi ho moltiplicato i membri di questa per (x1) ottenendo:
(x 1)[1 + 2x + 3x^2+ ... + nx^(n1)] = nx^n (x^n 1)/(x 1).

Quest'ultima, per x= 10 ed (n+1) pari al numero di cifre di N, d il numero di cifre C1 della prima parte della lista (degli N numeri da 1 a N), quella da 1 a 2^n 1.
-------------
Proviamo un esempio: N = 3762.
Allora n = 3.
Abbiamo:
1 cifra per i 9 numeri da 1 a 9 > 9 cifre
2 cifre per i 90 numeri da 10 a 99 > 180 cifre
3 cifre per i 900 numeri da 100 a 999 > 2700 cifre
4 cifre per i restanti 3762 999 = 2763 numeri da 1000 a 3672 > 11052 cifre

In tutto
9*(1+20 + 300) + 11052 = 2889 +11052 =13941 cifre.

Ora 2889 = 3.10^3 111, dove 111 appunto il numero fatto da 3 cifre uguali ad 1, ossia (10^31)/(10 1).

Con la formula generale
C(N) = n10^n (10^n 1)/9 + (n+1)(N 10^n + 1)
per N = 3762 e n = 3 si trova:
3*10^3 (10^3 1)/9 + 4*(3762 10^3 + 1) = 3000 111 + 4*2763 = 13941

Ciao, ciao
:hello:

aspesi 21-10-10 14:22

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 412235)
Proviamo un esempio: N = 3762.
Allora n = 3.
Abbiamo:
1 cifra per i 9 numeri da 1 a 9 > 9 cifre
2 cifre per i 90 numeri da 10 a 99 > 180 cifre
3 cifre per i 900 numeri da 100 a 999 > 2700 cifre
4 cifre per i restanti 3762 999 = 2763 numeri da 1000 a 3672 > 11052 cifre

In tutto
9*(1+20 + 300) + 11052 = 2889 +11052 =13941 cifre.

Ora 2889 = 3.10^3 111, dove 111 appunto il numero fatto da3 cifre uguali ad 1, ossia (10^31)/(100 1).

Con la formula generale
C(N) = n10^n (10^n 1)/9 + (n+1)(N 10^n + 1)
per N = 3762 e n = 3 si trova:
3*10^3 (10^3 1)/9 + 4*(3762 10^3 + 1) = 3000 111 + 4*2763 = 13941

Ciao, ciao
:hello:

Ok Ok

Guarda questa soluzione:
Immaginiamo che i numeri siano scritti uno sotto l'altro (da 1 a N); quest'ultimo (N), lo supponiamo di m cifre e supponiamo ancora di aver completato ciascun numero con gli zeri necessari alla sinistra in modo da avere un quadro di numeri composti di un ugual numero di cifre. Completiamo infine con una prima fila di tutti zeri.

Il numero X di cifre da cercare si ottiene calcolando quanti sono i caratteri contenuti in tutto il quadro (cio m*(N+1)) e sottraendone poi tutti gli zeri aggiunti.
Quanti sono gli zeri aggiunti?
Da 10^(m-1) a N non ne sono stati aggiunti.
Sopra 10^(m-1), nella prima colonna di sinistra si sono aggiunti 10^(m-1) zeri; nella seconda colonna, se ne sono aggiunti 10^(m-2); ecc.... ; sopra 10, nella seconda colonna a destra ne sono stati aggiunti 10; sopra di 1, nella prima colonna a destra ne stato aggiunto 1.
Quindi, in tutto, sono stati aggiunti:
10^(m-1) + 10^(m-2) + ... + 10 + 1 ............... zeri
cio:
(10^m - 1) / 9
e la formula per trovare X diventa:
X = m*(N + 1) - (10^m - 1) / 9

Nel tuo esempio (N=3762):
X = 4*3763 - (10^4 - 1) / 9 = 15052 - 1111 = 13941

:hello:

Erasmus 21-10-10 17:01

Re: Qualche quiz
 
Noi diciamo "diciotto" che vorrebbe dire 10 +8.
In latino 18 si dice "duodeviginti", che significa proprio duo-de-viginti, "due da venti" e vorrebbe dire 20 2.
Insomma, i latini pensavano 18 non come 8 unit dopo il 10 ma come 2 unit prima del 20.

Questa cosa mi viene in mente ... per analogia.

Io ho considerato il risultato come una somma di un numero in difetto col suo complemento.
Tu il risultato lo vedi come differenza tra un numero in eccesso ed il complemento del risultato a lui.

NB: Per non equivocare, mi uniformo ai tuoi simboli, con m numero di cifre di N e X numero totale di cifre.

Io ho preso come riferimento il numero:
Er =10^(m1) 1 ≤ N.

Tu prendi un analogo riferimento, ma quello successivo al mio, pi grande, cio:
As = 10^m 1 ≥ N.

[NB: As = 10 Er + 9]

La verifica della equivalenza delle due formule eccola qua:
Formula tua:
X = m(N + 1) (10^m 1)/ 9
La mia formula diventa:
X = (m1)10^(m1) [10^(m1) 1]/9 + m[N 10^(m1) + 1].
La trasformo un po' ...
X = (m1)10^(m1) [10^(m1) 1]/9 + m[N 10^(m1) + 1] =
= [(m1) m] 10^(m1) [10^(m1) 1]/9 + m(N+1) =
= m(N+1) 10^(m1) [10^(m1) 1]/9 =
= m(N+1) [(9 + 1)10^(m1) 1]/9
= m(N+1) [10^m 1]/9 = formula tua.
--------------
:hello:

nino280 22-10-10 13:17

Re: Qualche quiz
 
Cento con tutte le cifre:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + (8*9) = 100
anche
123 - 45 - 67 + 89 = 100
somma dei primi 4 cubi
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 100
Ma perch parliamo del 100 cosa ha di particolare il 100 andiamo avanti allora:
101 ; il pi piccolo numero palindromo primo.
102^7 = 12^7 + 35^7 + 53^7 + 58^7 + 64^7 +83^7+ 85^7 + 90^7 ; la settima potenza di 102 la pi piccola ad essere la somma di soltanto 8 potenze.
103 ; il pi piccolo numero primo che hail reciproco con periodo decimale pari ad un terzo della lunghezza massima
104 ; un semiperfetto perch la somma di alcuni dei suoi fattori:
52 + 26 + 13 + 8 + 4 + 1 = 104 ed un numero perfetto irriducibile, in quanto nessun fattore di 104 esso stesso semiperfetto.
105 ; se si sottrae da 105 una qualsiasi potenza di 2 , compresa tra 2 e 64 si ottiene un numero primo.
E cosi' via per tutti i secoli dei secoli Amen.:D
Ciao

aspesi 23-10-10 14:51

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 412562)
Cento con tutte le cifre:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + (8*9) = 100
anche
123 - 45 - 67 + 89 = 100
Ciao

100 = 74 + 25 + 3/6 + 9/18
100 = 98 + 1 + 3/6 + 27/54
100 = 95 + 4 + 38/76 + 1/2
100 = 91 + 7524/836
100 = 91 + 5742/638
100 = 91 + 5823/647
100 = 94 + 1578/263
100 = 96 + 1428/357
100 = 96 + 2148/537
100 = 96 + 1752/438
..........................2_.....3__
100 = 15 + 78 + \/ 9 + \/ 64

E, se vuoi usare anche lo zero:
50 + 49 + 1/2 + 38/76

:hello:

nino280 23-10-10 20:49

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 412871)
100 = 74 + 25 + 3/6 + 9/18
100 = 98 + 1 + 3/6 + 27/54
100 = 95 + 4 + 38/76 + 1/2
100 = 91 + 7524/836
100 = 91 + 5742/638
100 = 91 + 5823/647
100 = 94 + 1578/263
100 = 96 + 1428/357
100 = 96 + 2148/537
100 = 96 + 1752/438
..........................2_.....3__
100 = 15 + 78 + \/ 9 + \/ 64

E, se vuoi usare anche lo zero:
50 + 49 + 1/2 + 38/76

:hello:

Belli, veramente belli.
Ciao

aspesi 25-10-10 11:04

Re: Qualche quiz
 
Indovina il numero

(Teorema cinese dei resti del matematico cinese Sun Tzu del III secolo)

Un mago ti chiede di pensare un numero intero da 1 a 105.
Dividi poi il tuo numero per 3 e gli dici il resto.
Dividi il tuo numero per 5 e gli dici il resto.
Fai infine lo stesso per 7 e gli dici anche qui il resto.

Come fa il mago (senza ovviamente guardare la tabellina
dei resti) ad indovinare il tuo numero?

:hello:

Erasmus 27-10-10 03:03

Re: Qualche quiz
 
Cambio argomento. :)

La figura qui sotto vorrebbe rappresentare un "circuito a ponte" composto di cinque resistori di rispettive resistenze R1, R2, R3, R4 ed R5 alimentato da batteria di tensione E.

I valori delle resistenze R1, R2, R3, R4 ed R5 e quello della tensione applicata E sono dati nella stessa figura.
Codice:


          ______________              ______________
  ______|              |______B_____|              |______
  |I1 > |______________|      |I3  |______________|I2 > |
  |            R1            __|__          R2            |
  |                        |    |                        |
  |                        |    | R3                    |
  |                        |    |                        |
  |                        |    |                        |
  |      ______________    |_____|    ______________      |
  |_____|              |_______|______|              |_____|
  |I4 >|______________|      C      |______________|I5 >|
 I|          R4                            R5              |
  |                                                        |
A o < V o D


R1 = 3 kΩ
R2 = 6 kΩ
R3 = 5 kΩ
R4 = 6 kΩ
R5 = 3 kΩ

E = 27 V


Determinare:
a) La corrente I
3 nel resistore di resistenza R3.
b) La resistenza d'ingresso R
in della rete dei cinque resistori, ossia quella tra i morsetti A e D, cio il rapporto Rin = V/I.
;)
--------------
:hello:

aspesi 27-10-10 12:05

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 413870)
Determinare:
a) La corrente I3 nel resistore di resistenza R3.
b) La resistenza d'ingresso Rin della rete dei cinque resistori, ossia quella tra i morsetti A e D, cio il rapporto Rin = V/I. ;)
--------------
:hello:

Con tutti gli studentelli che senz'altro ci sono anche su questo forum, dovrei risponderti io che da 50 anni non sento pi nodi e maglie di Kirchhoff, che non le ho mai sapute bene e che non ho mai avuto l'opportunit di utilizzarle in vita mia? :D

Sparo (anche solo per incentivare qualcun altro a correggermi....):
a) I3 = 1,125 mA
b) Rin = 4,8 kΩ

--------------------

C' ancora questo:
#140

:hello:

Erasmus 27-10-10 18:20

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 413955)
[...]
a) I3 = 1,125 mA
b) Rin = 4,8 kΩ

Che strano: entrambi i numeri sono sbagliati. Ma entrambi delle stessa percentuale.
:mmh:

Quote:

aspesi (Scrivi 413955)
C' ancora questo:
#140

Lo so: ma del dio Fanto m'ero stufato. :D
Ho appunto scritto "Cambio argomento".
Come fa di preciso quel mago ... lo sa lui (e lo sai anche tu).
Per ... anch'io sono mago! Dammi i tre resti ed anch'io indovino il numero. ;)

Alla prossima, dunque.
------------------------------------
Torno al "circuito a ponte".
C' qualcosa di elegantissimo da usare.
Non credo che si insegni all'Ist. Tercn. per Periti Chimici.
Ma forse ... ai tuoi tempi questi manco esistevano e c'erano solo i "periti industriali"
Comunque: si sinsegna certamente negli istituti tecnici ad indirizzo elettrotecnico o elettronico.
Mi riferisco allo studio specifico dei sistemi lineari nell'ambito dei quali compare il "principio di sovrapposizione degli effetti" e la trasformazione di parte d'un sistema in un altro equivalente (pi semplice oppure ... che fa scansare qualche scoglio).

Nel circuito di figura ci sono 5 correnti incognite. Con opportune applicazioni dei Principi di Kirchhoff e della Legge di Ohm si scrive facilmente un sistema lineare determinato in queste 5 incognite.
Oggid, con l'informatica, banale trovare la soluzione di un tale sistema.
Una volta, operando a mano, bisognava metterci tempo e pazienza.

Proprio per snellire il procedere nel calcolo si usavano (e si usano) dei metodi derivati dai Principi di Kirchhoff e dalla Legge di Ohm (che sono leggi espresse da equazioni lineari). I metodi privilegiati sono
a) "Generatore equivalente" (di Thevenin e\o di Norton);
b) "Trasformazione stella<> triangolo".

Io trovo particolarmente elegante (direi addirittura "affascinante") l'impiego del "generatore equivalente".

Ho messo apposta la domanda di trovare la corrente I3 prima della domanda di trovare la resistenza equivalente per indurre il lettore che conosce la materia a procedere col metodo del "generatore equivalente".

Con questo si risponde poi anche alla seconda domanda. L'uso della trasformazione stella<>triangpolo pu allora esser fatto per verifica del risultato ottenuto col metodo del "generatore equivalente".

Ma ... veniamo al sodo.
Facciamo, come introduzione alla soluzione, alcuni utili richiami.

a) Generatore equivalente
Evidenziati due morsetti di una rete lineare qualsiasi, per un eventuale ulteriore carico (anche non lineare) collegato alla rete in quei due morsetti la rete equivale ad un generatore-serie semplicissimo: un generatore ideale di tensione pari alla tensione tra i moretti lasciati scollegati tensione "a vuoto" Vo ed una "impedenza di uscita" Zu pari a quella vista dal carico quando si annullassero tutti i generatori presenti nella rete lineare.
[Qui, nell'esempio in corso, abbiamo solo resistori: e la "impedenza di uscita" sar una resistenza di uscita Ru].
NB: Un generatore di tensione si annulla facendo "zero" la tensione da lui impressa tra i suoi morsetti, ossia sostituendolo con un corto-circuito. Un generatore di corrente si annulla facendo "zero" la corrente da lui impressa nel suo ramo, ossia togliendolo e lasciando aperto il suo ramo.

Applicazione
Nella figura, togliamo il resistore trasversale di resistenza R3. Quel che resta, visto dai morsetti B e C una rete lineare che, appunto, posso sostituire con un generatore equivalente-serie (detto "di Thevenin").
La tensione "a vuoto" Vo quella tra B e C una volta tolta R3.
Allora abbiamo:
Vo = VB VC = E[R2/(R3 + R2) R5/(R4 + R5)] = E(6/(3 + 6) 3/(6 + 3)] = E/3 = 9 V
Annullando la tensione impressa E, i resistori di resistenza R1 ed R2 finiscono in parallelo; e cos pure i resistori R4 ed R5. Abbiamo perci:

Ru = R1R2/(R1 + R2) + R4R5/(R4 + R5) = 3*6/(3+6) + 6*3/(6+3) kΩ = 4 kΩ.

Ora rimettiamo R3 al suo posto. E' come se, invece di essere collegata in B e C alla data rete, si trovasse in serie al generatore di tensione Vo = E/3 e ad un resistore di resistenza Ru = 4 kΩ. La corrente I3 che percorre R3 dunque:

I3 = Vo/(Ru + R3) = ((9 V)/[(4 + 5) kΩ] = 1 mA.

Per calcolare la resistenza equivalente Rin della rete vista dai morsetti A e D, vado in cerca della corrente I che entra da A ed esce da D. Dopo di che avr Rin = E/I.

Calcolo allora I1 ed I2 col "principio di sovrapposizione degli effetti" (valido per ogni sistema lineare) che dice:
In un sistema lineare, l'effetto globale di pi cause concomitanti la somma degli effetti che le caue produrrebbero agendo una alla volta.
Vito che da B esce la corrente I3 che poi entra in C, sostituisco R3 con un generatore di corrente che succhia I3 da B e la inietta in C.

Se fosse I3 = 0 sarebbe
I1' = E/(R1 + R2) = 27/(3 + 6) mA = 3 mA
Se fosse E = 0, l3 si spartirebbe in R1 ed R2 dando:
I1" = I3R2/(R1 + R2) = 1(6/9) mA = (2/3) mA.

La corrente effettiva in R1 dunque:
I1 =E/(R1 + R2) + I3R2/(R1 + R2) = I1' + I1" = (3 + 2/3) mA = 11/3 mA.

Analogamente:
I4 = E/(R4 + R5) I3R5/(R4 + R5) = [27/(6 + 3) 13/(6+3)] mA = (3 1/3) mA = (8/3) mA.

La corrente che entra in A ed esce da D dunque:
I = (8/3 + 11/3) mA = 19/3 mA.

La resistenza equivalente vista tra i morsetti A e D dunque:
Rin = E/I = 273/19 kΩ = 81/19 kΩ.
-----------------------
In questo particolare caso, essendo R1i = R5 ed R2 = R4, sono uguali le tensioni su R1 ed R5 (e quelle su R4 ed R2).
Siccome conosciamo I3, la tensione su R3 V3 = I3R3 = (1 mA)(5 kΩ) = 5 V.
Allora 2V1 + V3 = E => V1 = (E V3)/2 = (27 5)/2 V = 11 V.
I1 = V1/R1 = (11 V)/(3 kΩ) = 11/3 mA.

Analogamente 2V4 V3 = E => V4 = (E + V3)/2 = (27 + 5)/2 V = 16 V.
I4 = V4/R4 = (16 V)/(6 kΩ) = 8/3 mA

Come prima: I = I1 + I4 = 19/3 mA; Rin = E/I = (273/19) kΩ = 81/19 kΩ
-----------------------
b) Trasformazione stella<>triangolo
Ricordiamo che due o pi bipoli sono "in parallelo" quando sono sottoposti alla medesima tensione. Sono "in serie" quando sono percorsi dalla medesima corrente.
Se in una rete ogni componente in serie o in parallelo a qualche altro facile trovare il bipolo equivalente alla rete vista da particolari due morsetti. Ma se ci non vero ... spesso conviene ricorrere a qualche trucco!
Un trucco celeberrimo quello di sostituire un triangolo (ossia: una maglia di tre rami) con una "stella" (a tre punte ... come quella della Mercedes) equivalente. [O viceversa: sostituire una stella (a tre punte) con un triangolo]
Schematizziamo.
Consideriamo un triangolo (per semplicit equilatero) di vertici A, B e C; e si dicano 1, 2 e 3 i lati rispettivamente opposti ai vertici A, B e C. Sostituiamo i lati con resistori di resistenze rispettive R1, R2 ed R3. Abbiamo ottenuto un "triangolo di resitenze".
Conideriamo ora un quarto punto O (per semplicit centro del triangolo) e congiungiamolo con i vertici A B e C con rispettivi segmneti. Cancelliamo ora i lati e sostituiamo i segmenti OA, OB ed OC con altrettanti resistori di resistenza rispettiva Ra, Rb ed Rc.
Supponiamo ora che siano accessibili i morsetti "vertici" A, B e C ma non il morsetto "centro-stella" O.
Otteniamo cos una "stella di resistenze".
Ora, una porzione di rete identificabile con un "triangolo di resistenze" si pu sostituire, (senza che cambino correnti e tensioni in ogni altra parte della rete), con una "stella di resistenze".
Queste valgono (con lo schema dato sopra):
Ra = R2R3/(R1 + R2 + R3);
Rb = R3R1/(R1 + R2 + R3);
Rc = R1R2/(R1 + R2 + R3).

Non necessario fare lo schema detto sopra se si ricorda di operare come segue.
Considerato un vertice, l concorrono due resistori del triangolo. Facciamo il prodotto delle loro resistenze e dividiamolo per la somma delle tre resistenze del triangolo. Otteniamo la resistenza del resistore (della stella che stiamo cercando) che termina in quel vertice.

Torniamo al caso particolare rappresentato nella figura cui ci stiamo riferendo.
Trasformando in stella il triangolo ABC della figura (di resistenze R2, R3 ed R4) abbiamo:
Un resistore tra A ed il nodo O di resistenza:
Ra = R1R4/(R1 + R3 + R4) = 36/(3 + 5 +6) kΩ = 9/7 kΩ;
Un resistore tra il nodo O e il punto B (e quindi in serie ad R2) di resistenza:
Rb = R1R3/R1 + R3 + R4) = 35/(3 + 5 + 6) kΩ = 15/14 kΩ;
Un resistore tra il nodo O e il punto C(e quindi in serie ad R5) di resistenza:
Rc = R3R4/R1 + R3 + R4) = 56/(3 + 5 + 6) kΩ = 15/7 kΩ.

La resistenza equivalente (cercata) della rete dunque:
Rin = Ra in serie a [(Rb in serie ad R2) in parallelo a (Rc in serie ad R5)].

La serie di Rb e R2 vale
Rb_2 = (15/14 + 6) kΩ = 99/14 kΩ;
La serie di Rc e R5 vale
Rc_5 = (1/7 + 3) kΩ = 36/7 kΩ.


Rin = Ra + 1/(1/Rb_2 + 1/Rc _5)] = 9/7 + 1/(14/99 + 7/36) kΩ =
= 9/7 + (9/7)1/(2/11 + 1/4) kΩ = (9/7)[1 + 1/(2/11 + 1/4)] kΩ =
= (9/7)(1 + 44/19) kΩ = (9/7)(63/19) kΩ = (927)/19 kΩ = 81/19 kΩ.

La corrente E/Rin = 2719/81 mA = 19/3 mA si ripartisce in
I2 = IRc_5/(Rb_2 + Rc_5) = (19/3)(36/7)/(36/7 + 99/14) mA = 8/3 mA
e
I5 = IRb_2/(Rb_2 + Rc_5) = (19/3)(99/14)/(36/7 + 99/14) mA =11/3 mA.
Pertanto abbiamo:
VB= I2R2 = (8/3)6 V = 16 V;
VC= I5R5 = (11/3)3 V = 11 V;
I3 = (VB VC)/R3 = (16 11)/5 mA = 1 mA.

-------------------------
:hello:

aspesi 27-10-10 19:58

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 414082)
Che strano: entrambi i numeri sono sbagliati. Ma entrambi delle stessa percentuale.
:mmh:

Alt!
Non strano.... :fis:

Quote:

Erasmus (Scrivi 414082)
Annullando la tensione impressa E, i resistori di resistenza R1 ed R2 finiscono in parallelo; e cos pure i resistori R4 ed R5. Abbiamo perci:

Ru = R1R2/(R1 + R2) + R4R5/(R4 + R5) = 3*6/(3+6) + 6*3/(6+3) kΩ = 4 kΩ.

:hello:

Ecco qua!!!
Mi fermo qui. Se avr voglia legger il resto (ma come sei logorroico...:D)

Io avevo fatto (come se il circuito fosse aperto senza R3):
1/Ru = 1/(R1+R2) + 1/(R4+R5) = 1/9 + 1/9 = 2/9
Ru = 4,5 kΩ

Quindi, i miei risultati sono diversi di (affetti da un errore percentuale in eccesso pari a):
(1 - 4/4,5)*100 = 11,11111....%

E, correggendo, diventano:
I3 = 1,125 * 4/4,5 = 1 mA
Rin = 4,8 * 4/4,5 = 4,26... kΩ

Ciao

Erasmus 27-10-10 21:09

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 414105)
Alt!
Non strano....

E' strano s, invece!
Quote:

aspesi (Scrivi 414105)
Io avevo fatto (come se il circuito fosse aperto senza R3):
1/Ru = 1/(R1+R2) + 1/(R4+R5) = 1/9 + 1/9 = 2/9
Ru = 4,5 kΩ

Quindi, i miei risultati sono diversi di (affetti da un errore percentuale in eccesso pari a):
(1 - 4/4,5)*100 = 11,11111....%

E, correggendo, diventano:
I3 = 1,125 * 4/4,5 = 1 mA
Rin = 4,8 * 4/4,5 = 4,26... kΩ

Ciao

L'errore in eccesso dsu un numero casualmente quasi uguale a quello sull'altro, ma non si tratta delle conseguenze d'un unico errore.
a) Avevi considerato la Resistenza Rin togliendo la R3 , come se la R3 non contasse nulla ... Questo vero solo se il ponte in eqiilibrio, ossia quando, togliendo R3, non c' tensione tra B e C, cosa che succede solo se R1*R5 = R2*R4.
b) Se fosse lecito togliere R3, vorrebbe dire che R3 non percorsa da corrente: I3 = 0.
Ma tu me l'hai sparata invece con un errore in eccesso pari (quasi) a quello su Rin. :mmh:
Da dove l'avevii tirato fuori quell'1,125 mA ?

Comunque: aggiustando la corrente (come hai fatto) ed usando lo stesso fattore per correggere Rin (come hai fatto), vedi che ti viene:
Rin = 64/15 kΩ.
Ma il valore giusto invece
Rin = 81/19 kΩ
La strano che 81/19 molto prossimo a 64/15.
64/15 = 4 + 4/15 = 4+ 5/18,75 = 426666666...
81/19 = 4 + 5/19 = 4 + 4/15,2 = 4,26315789 ...
------------
:hello:

Erasmus 27-10-10 23:29

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 414105)
... (ma come sei logorroico...:D)

:o

:mad:
Codice:


                _______    B    ______
          ||_______|||______|| 
          |        R1      _|_      R2      |
          |                | |              |
    A o|                | |R3            |o D
          |                | |              |
          |                ---              |
          |    _______    |    ______    |
          ||_______|||______||
                    R4      C      R5

                        ____  B    ______
                  ||____||______|| 
            ____  |    Rb          R2    |
    A o|____||O                        |o D
            Ra    |    ____  C    ______  |
                  ||____||______||
                        Rc            R5
                       
Ra = R1R4/(R1 + R3 + R4);
Rb = R1R3/(R1 + R3 + R4);
Rc = R3R4/(R1 + R3 + R4).

Rin = Ra + 1/[1/(Rb + R2) + 1/(Rc + R5)];
I3 = (VC VB)/R3.

Va meglio cos?
--------------
Scherzi a parte. Il quiz voleva essere solo un'occasione per rivisitare un argomento che io ho sempre considerato ... elegante (proprio in senso estetico!).
Mi pare quindi che stesse bene il non risparmiare troppo nei richiami di spiegazione.
Che sia la deformazione professionale (dell'essere stato insegnante per troppi anni)?

Ciao ciao.

aspesi 28-10-10 11:52

Re: Qualche quiz
 
Non capisco nulla di elettrotecnica e non penso di aver mai visto i tuoi modi "eleganti" di soluzione; per sono certo di aver risolto a scuola problemini pi complessi di questo tuo, utilizzando i teoremi dei nodi e delle maglie di Kirchhoff.
Fra l'altro, conosco perfettamente il ponte di Weston (Wheatstone), almeno per quanto concerne la sua utilizzazione nei conduttivimetri (40 anni fa facevo decine di determinazioni al giorno di conducibilit specifica su campioni acquosi)

Dai valori delle R e dalla loro disposizione, si ha:
I1 = I5
I2 = I4

E poi:
I = I1 + I2

Quindi, per la soluzione, basta il sistema con 3 equazioni in 3 incognite (I1 - I2 - I3):
I1 = I2 + I3
E = R1I1 + R2I2
0 = R4I2 - R3I3 - R1I1

Risolvendo:
I2 = E*(R3+R1)/(R1*(R2+R4) + R3*(R1+R2)) = 27*8/(3*12+5*9) = 8/3 mA = I4
I1 = (E - R2I2)/R1 = (27-6*8/3)/3 = 11/3 mA = I5
I3 = I1 - I2 = 11/3 - 8/3 = 1 mA
I = I1 + I2 = 11/3 + 8/3 = 19/3 mA
Rin = E/I = 27/(19/3) = 81/19 kΩ

(Prima avevo invertito il segno delle correnti, facendo I3 = I2 - I1 anzich I3 = I1 - I2)

:hello:

Erasmus 28-10-10 16:25

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 414257)
Non capisco nulla di elettrotecnica e non penso di aver mai visto i tuoi modi "eleganti" di soluzione; per sono certo di aver risolto a scuola problemini pi complessi di questo tuo, utilizzando i teoremi dei nodi e delle maglie di Kirchhoff.
Fra l'altro, conosco perfettamente il ponte di Weston (Wheatstone), almeno per quanto concerne la sua utilizzazione nei conduttivimetri (40 anni fa facevo decine di determinazioni al giorno di conducibilit specifica su campioni acquosi)


I1 = I5
I2 = I4
I = I1 + I2


I1 = I2 + I3
E = R1I1 + R2I2
0 = R4I2 - R3I3 - R1I1

Risolvendo:
I2 = E*(R3+R1)/(R1*(R2+R4) + R3*(R1+R2)) = 27*8/(3*12+5*9) = 8/3 mA = I4
I1 = (E - R2I2)/R1 = (27-6*8/3)/3 = 11/3 mA = I5
I3 = I1 - I2 = 11/3 - 8/3 = 1 mA
I = I1 + I2 = 11/3 + 8/3 = 19/3 mA
Rin = E/I = 27/(19/3) = 81/19 kΩ

:ok:

Complimenti!
Non vero che non capisci di elettrotecnica dal momento che ricordi molto bene come applicare le leggi basilari che sono i due Principi di Kirchhoff e la legge di Ohm.

C' da dire che ho messo per semplicit R1 = R5 e R2 = R4. E questo ti porta subito a ridurre le incognite da 5 a 3.

Ma il metodo del "generatore equivalente" e della trasformazione stella/triangolo hanno ... un livello di difficolt indipendente dal numero delle incognite della rete.

Mi hai dato del logorroico. Prendo e porto a casa!
Se per c' da spiegare (e per chi non ha precedentemente conosciuto c' da imparare), ammetterai che non conviene eccessiva stringatezza.

Adesso ti invito ... ad "imparare" il metodo del "generatore equivalente".
Se propriio non hai voglia di ... subire questa "lezione", puoi sempre ometterne la lettura. :rolleyes:

Parto...
a) Un "generatore ideale di tensione" un bipolo che impone ai suoi capi una tensione indipendente dalla corrente che lo attraversa.
E' il modello dei generatori molto stabili al variare della corrente che erogano. Nella tecnica pratica, i generatori elettrici effettivi lavorano in condizioni tali che il modello del generatore ideale soddisfacente in prima approssimazione.
b) Un "generatore ideale di corrente" un bipolo che impone nel ramo in cui inserito una corrente indipendente dalla tensione cui sottoposto.
In elettrotecnica, per motivi pratici, non ci sono generatori schematizzabili con questo modello.
Tuttavia ... supponi di mettere in serie ad un generatore ideale di tensione elevata una resistenza enorme e poi di utilizzare questa serie per alimentare dei carichi a bassa resistenza. Se Ru la resistenza grande (parassita) e R quella di carico, la corrente che la percorre E/(Ru + R), e quindi varia molto poco al variare di R purch R resti comunque piccola rispetto ad Ru.
In elettronica, mediante l'impiego della "controreazione" (feedback, tipica negli "amplificatori operazionali), si producono dispositivi che, entro una certa fascia di valori, sono in pratica veri generatori ideali di corrente.
c) "Generatore equivalente di Thevenin"
In una rete elettrica arbitraria, le "variabili di stato" sono le tensioni tra i nodi e le correnti nei rami.
In un modello ideale della rete, tensioni e correnti sono effetti causati dalla presenza di generatori ideali.
Un "sistema" "lineare" se tutte le relazioni che esprimono la interdipendenza delle variabili di stato e la loro dipendenza dalle cause sono lineari.
In una rete elettrica, l equazioni di interdipendenza delle variabili di stato sono senz'altro i due Principi di Kirchhoff(espressi da equazioni lineari).
Una rete elettrica nella quale ci fossero solo resistori per i quali valesse la legge di Ohm (che lineare) ed eventuali generatori ideali (di tensione e\o corrente) senz'altro lineare.
Consideriamo una rete elettrica costituita da un numero arbitrario di e generatori ideali (di tensione e\o corrente) e di resistori arbitrariamente collegati: ed evidenziamo in essa due nodi A e B (che chiameremo "morsetti"). La rete, fista da quei due morsetti, un "bipolo". Supponiamo che la tensione A sia positivo rispetto a B e che la tensione tra A e B (misurata ... senza consumo di corrente, cio come si dice "a vuoto") sia Vo. Supponiamo anche che, applicando un carico variabile ai due morsetti A e B, la rete eroghi corrente sul carico. Siccome la rete lineare, se estraggo da A una corrente variabile I e la inietto in B, la tensione V tra A e B varia linearmente con I al cambiare di questa. Al limite, se collego A con B con un filo a resistenza nulla, la corrente che lo percorre (detta allora "corrente di corto circuito") Icc quella che, estratta da A ed iniettata in B, fa si che la tensione tra A e B sia nulla. Posso, sperimentalmente, disegnare la cosiddetta "retta di carico", ossia il diagramma cartesiano V = f(I) che d la tensione V tra A e B al variare di I. Questo ovviamente un segmento di retta. Per I=0 abbiamo V = Vo; e per I = Icc abbiamo V = 0. Due soli punti distinti individuano una retta. Se so che la rete lineare, mi basta conoscere Vo e Icc per sapere quale tensione ci sar su un carico tale da assorbire (o forzare) una corrente I.
L'equazione della "retta di carico" naturalmente: V = Vo (Vo/Icc)I.
Infatti questa d V = Vo per I = 0: e d V = 0 per I = Icc.
La rete, allora, si comporta come un generatore semplicissimo: un bipolo costituito dalla serie di un generatore ideale di tensione Vo e di un resistore di valore Ru = Vo/Icc.
E' questo il "generatore equivalente di Thevenin".
d) "Generatore equivalente di Norton".
Consideriamo ora un altro bipolo semplicissimo costituito dal parallelo di un generatore ideale di corrente Icc e di un resistore ancora di valore Ru = Vo/Icc. Questo il "generatore equivalente di Norton". Esso pure un sistema lineare come quello di Thevenin; ed equivalente a questo (e quindi alla rete vista dai morsetti A e B). Infatti se nessun altro carico collegato ai suoi morsetti, la corrente Icc va tutta a percorrere il resistore Ru = (Vo/Icc) dando su di esso la tensione Vo; se invece si collegano i suoi morsetti con un filo privo di resistenza (ossia si impone tensione nulla ai capi de generatore, nel resistore Ru non passa corrente (perch non sottoposto a tensione) e perci il filo che cortocircuita il generatore percorso da tutta la corrente Icc
e) Resistenza di uscita Ru
Se conosco la struttura della rete ed i suoi parametri (generatori e resistori), evidentemente posso calcolare Ru senza misurare effettivamente la Icc. Supponiamo di annullare tutti i generatori ideali presenti nella rete. Annullare significa far s che ogni generatore ideale di tensione imponga ai suoi capi tensione nulla (e quindi basta sostituirlo con un cortocircuito) ed ogni generatore ideale di corrente imponga corrente nulla nel ramo in cui inserito (e quindi basta toglierlo e lasciare aperto il ramo in cui era inserito). Annullati i generatori, immagino di iniettrae in A una corrente I estratta da B (ossia di inserire tra A e B un generatore ideale di corrente). Con ci, essendo ora la rete puramente resistiva, otterr una tensione V tra A e B. Allora sar Ru = V/I.
Ovviamente, se il circuito visto da A e B semplice e risolubile con catene di serie e\o paralleli, Ru la calcolo quardando come fatta la rete.
Se allora riesco a calcolare la tensione a vuoto tra due morsetti e la resistenza di uscita, posso sostituire la rete, per un carico ulteriore cxollegato a quei die morsetti, con il suo circuito equivalente di Thevenin.
Analogamente, se riesco a calcolare la corrente I in un ramo collegato ai nodi A e B e la resistenza R della rete vista tra A e B dal dipolo X che costituisce quel ramo, posso sostituire per X la rete con un generatore equivalente di Norton che generi la corrente di cortocircuito I e la tensione a vuoto RI.

Torniamo al quiz e alla relativa figura.
La prima domanda era: determinare la corrente I3.
A tale scopo:
1) Tolgo R3 e calcolo VB e VC.
Trovo:
VB = ER2/(R1+R2) =E6/(3+6)= (2/3)E;
VC = ER5/(R4+R5) =E3/(6+3)= (1/3)E.
Vo = VB VC = (2/3 1/3)E = E/3.
2) Guardo la rete dai morsetti B e C (dopo aver tolto R3) e annullo il generatore di tensione E (ossia: cortocircuito A e D).
Allora R1 finisce in parallelo ad R2 , R4 finisce in parallelo ad R5 e i due paralleli finiscono in serie.
La resistenza vista dai morsetti B e C, una volta tolto R3, dunque:
Ru = R1R2/(R1 + R2) + R4R5/(R4 + R5) = (18/9 + 18/9) kΩ = 4 kΩ.
3) Il generatore equivalente di Thevenin allora di tensione Vo = E/3 e resistenza d'uscita Ru = 4 kΩ. Caricato sul resistore R3 eroga su di lui la corrente:
I3 = Vo/(Ru + R3) = (27/3 V)/[4 + 5) kΩ] = 89 V)/(9 kΩ) = 1 mA.
-----------------
:hello:

aspesi 28-10-10 19:15

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 414340)
:ok:
Adesso ti invito ... ad "imparare" il metodo del "generatore equivalente".
Se propriio non hai voglia di ... subire questa "lezione", puoi sempre ometterne la lettura. :rolleyes:

Parto...

:hello:

Ho letto.
Fino in fondo.

Scusa.... io penso di essere normodotato per le cose che non conosco.... vabbeh, forse sono un po' pi duro di comprendonio rispetto alla media:p

Tu ce l'hai messa tutta... ma forse il tuo parlare si muove verso gli iniziati.
A me piacciono le cose che chiunque pu arrivare a risolvere (o ad avvicinarsi), una volta che abbia dimenticato tutto quello che gli sia stato insegnato.

Non devi prendertela... forse solo perch per quello che non mi piace non ci metto molta volont e sforzi di apprendere...
ma sinceramente, pochissimo ho afferrato e mi rimasto di quanto hai scritto.

Per, mi piacerebbe capire se sono solo io e dipende da me... e quindi sentire anche qualcun altro, che magari legge, ma rimane sempre zitto, non so perch...
Qui ci sono pi di 8000 "astronomi" (e qualche astrologo...); possibile che nessuno si soffermi su questa sezione del forum e voglia dire come la pensa?

Ciao
Nino

aspesi 28-10-10 19:20

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 413369)
Indovina il numero

(Teorema cinese dei resti del matematico cinese Sun Tzu del III secolo)

Un mago ti chiede di pensare un numero intero da 1 a 105.
Dividi poi il tuo numero per 3 e gli dici il resto.
Dividi il tuo numero per 5 e gli dici il resto.
Fai infine lo stesso per 7 e gli dici anche qui il resto.

Come fa il mago (senza ovviamente guardare la tabellina
dei resti) ad indovinare il tuo numero?

:hello:

Lascio la parola a Fibonacci.

"Moltiplica per 70 il resto della divisione per 3, per 21 il resto della divisione per 5 e per 15 il resto della divisione per 7.
Se la somma supera 105, togli tante volte 105 al totale.
Quello che resta il numero cercato."

:hello:

Erasmus 29-10-10 22:01

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 414400)
Lascio la parola a Fibonacci.

"Moltiplica per 70 il resto della divisione per 3, per 21 il resto della divisione per 5 e per 15 il resto della divisione per 7.
Se la somma supera 105, togli tante volte 105 al totale.
Quello che resta il numero cercato."

Eh gi: il mago prende il resto della divisione della detta somma per 105.
-------------------------------
Fibonacci ??? :eek:
Come faceva Fibonacci a conoscere il teorema cinese dei resti? :mmh:
Oltre ad essere stato in Nord-Africa (Algeria) e a Costantinopoli ... ha per caso preceduto Marco Polo nel Catai? :D
---------------------------------
Diciamo Q3, Q5, e Q7 i quozienti del numero incognito X diviso rispettivamente per 3, per 5 e per 7; e diciamo R3, R5 ed R7 i rispettivi resti.

Il mago, prima calcola
N = 70*R3 + 21*R5 + 15*R7.
Quindi il resto della divisione N : 105.

Spiegazione:
X = 3Q3 + R3 > R3 = X 3*Q3 > 70*R3 = 70*X 210*Q3;
X = 5Q5 + R5 > R5 = X 5*Q5 > 21*R5 = 21*X 105*Q5;
X = 7Q5 + R7 > R7 = X 7*Q7 > 15*R7 = 15*X 105*Q7.

Sommando membro a membro si ottiene:
70*R3 + 21*R5 + 15*R7 = 106*X + 105*(2Q3 + Q5 +Q7) >
> 70*R3 + 21*R5 + 15*R7 = X + 105*(X + 2*Q3 + Q5 + Q7).
Ossia: il resto della divisione di (70*R3 + 21*R5 + 15*R7) per 105 proprio il numero X.

------------------
Ma io ... conosco un'altra versione di questo giochino.
Quote:

Sun-Tzu Cataiense
Un mago ti chiede di pensare un numero intero tra 1 a 209 inclusi e di dirgli i resti R5, R6 ed R7 delle divisioni del numero che hai pensato per 5, per 6 e per 7.

Come fa il mago ad indovinare il tuo numero?

;)
Ciao, ciao

aspesi 30-10-10 10:47

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 414728)
Ma io ... conosco un'altra versione di questo giochino.

Sun-Tzu Cataiense
Un mago ti chiede di pensare un numero intero tra 1 a 209 inclusi e di dirgli i resti R5, R6 ed R7 delle divisioni del numero che hai pensato per 5, per 6 e per 7.

Come fa il mago ad indovinare il tuo numero?

;)
Ciao, ciao

.........|.........|.........|.........|
.........|....5....|....6... |....7....|
.--------|---------|---------|---------|
...N5....|...R5....|....0....|....0....|
---------|---------|---------|---------|
...N6....|....0....|...R6....|....0....|
.--------|---------|---------|---------|
...N7....|....0....|....0....|...R7....|
---------|---------|---------|---------|
.N5+N6+N7|...R5....|...R6....|...R7....|
.........|.........|.........|.........|

N5 ha resto 0 se diviso per 6 e 7 e resto R5 se diviso per 5
N6 ha resto 0 se diviso per 5 e 7 e resto R6 se diviso per 6
N7 ha resto 0 se diviso per 5 e 6 e resto R7 se diviso per 7
Quindi, la somma N5+N6+N7 ha resto sia R5, che R6, che R7.

Il problema si pu dividere in tre parti:
a)Trovare un numero N5 che diviso per 5 d per resto R5 e nello stesso tempo sia multiplo sia di 6 che di 7 (42k)
b)Trovare un numero N6 che diviso per 6 d per resto R6 e nello stesso tempo sia multiplo sia di 5 che di 7 (35k1)
c)Trovare un numero N7 che diviso per 7 d per resto R7 e nello stesso tempo sia multiplo sia di 5 che di 6 (30k2)
d)Ora si addizionano i tre numeri N5+N6+N7 ottenendo cos il numero N che risolve il problema (MOD 210)

Il problema ha soluzioni infinite che si trovano aggiungendo o sottraendo 210 al numero N

Esempio 1:
Sia R5=3; R6=4; R7=2
a)N5=168 (=42*4 =3(MOD 5)
b)N6=70 (=35*2 =4(MOD 6)
c)N7=30 (=30*1 =2(MOD 7)
d)N= N5+N6+N7= 268 >210 = 58

Esempio 2:
Sia R5=1; R6=1 ; R7=4
a)N5=126
b)N6=175
c)N7=60
d)N= 126+175+60 = 361 >210 = 151

In quest'ultimo caso, se applico:
21R5 + 70R6 + 15R7 = 21+70+60 = 151
ottengo il numero N
mentre se faccio la stessa operazione con l'esempio 1, ho:
21R5 + 70R6 + 15R7 = 63+280+30 = 373 >210 = 163 e per avere il giusto N devo ancora sottrarre 105...
???

:hello:

Erasmus 30-10-10 13:52

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 414823)
???

:hello:

:p
--------------
Spiegazione:
X = 5Q5 + R5 > R5 = X 5*Q5 > 84*R5 = 84*X 420*Q5;
X = 6Q6 + R6 > R6 = X 6*Q6 > 35*R5 = 35*X 210*Q6;
X = 7Q7 + R7 > R7 = X 7*Q7 > 90*R7 = 80*X 630*Q7.

Sommando membro a membro:
84*R5 + 35*R6 + 90*R7 = 209*X 210*(2*Q5 + Q6 + 3 Q7) =
= X + 210*(X + 2*Q5 + Q6*+ 3*Q7) = (210X) + 210*[(X1) + 2Q5 + Q6 + 3Q7].

Il mago moltiplica R5 per 84, R6 per 35 ed R7 per 90 e fa la somma dei tre prodotti.
Divide poi questa somma per 210 ottenendo un resto.
Il numero X allora il complemento di questo resto a 210.

In generale, se P1, P2 e P3 sono interi "coprimi" (cio senza fattori comuni), si possono trovare tre interi A1, A2 e A3 tali che la divisione:
[A1(P2*P3)*R1 + A2(P3*P1)*R2 + A3(P1*P2)*R3] : (PI*P2*P3)
dia per resto X (sia cio congrua X modulo PI*P2*P3).
Ma anche tre interi B1, B2, B3 tale che la divisione:
[B1(P2*P3)*R1 + B2(P3*P1)*R2 + B3(P1*P2)*R3] : (PI*P2*P3)
dia per resto P1*P2*P3 X (sia cio congrua X modulo PI*P2*P3).

Naturalmente si pu aumentare a piacere il numero di numeri coprimi.
Ma ... anche il mago si incasina se deve manipolare troppi resti!

Con PI = 5, P2 = 6 e P3 = 7, ho scelto di far uscire come resto della divisione per 210 il complemento di X a 210 perch mi venivano i fattori B1 = 2, B2 = 1 e B3 = 3, (piccolini), mentre mi venivano numeri pi grossi (che ho anche smesso di cercare) per far uscire X.

-----
:hello:

aspesi 30-10-10 14:29

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 414870)
:p

Con PI = 5, P2 = 6 e P3 = 7, ho scelto di far uscire come resto della divisione per 210 il complemento di X a 210 perch mi venivano i fattori B1 = 2, B2 = 1 e B3 = 3, (piccolini), mentre mi venivano numeri pi grossi (che ho anche smesso di cercare) per far uscire X.

-----
:hello:

Per, io li ho trovati!!!!!!!;)

N = 120R7 + 175R6 + 126R5 - 210k

Partiamo da:
30 (per R7); 35 (per R6); 42 (perR5)
e vediamo i resti:
-30/7 il resto 2; per avere resto=1 fra i multipli di 30, il moltiplicatore di R7 120
-35/6 il resto 5; per avere resto=1 fra i multipli di 35, il moltiplicatore di R6 175
-42/5 il resto 2; per avere resto=1 fra i multipli di 42, il moltiplicatore di R5 126

:hello:

aspesi 29-11-10 10:46

Re: Qualche quiz
 
Contare quanti triangoli ci sono in questa figura (tutti, anche capovolti;)) :

................................/\
.............................../__\
............................../\../\
............................./__\/__\
............................/\../\../\
.........................../__\/__\/__\
........................../\../\../\../\
........................./__\/__\/__\/__\

Se troppo facile... trovare la formula in funzione di n
Tr_(1) = 1 :D

Tr_(n) = ?

:hello:

colorblind993 29-11-10 18:20

Re: Qualche quiz
 
24
?

aspesi 29-11-10 20:00

Re: Qualche quiz
 
Quote:

colorblind993 (Scrivi 424148)
24?

Mi spiace, no... ne hai perso qualcuno:)

:hello:

Erasmus 29-11-10 22:15

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 424032)
Contare quanti triangoli ci sono in questa figura (tutti, anche capovolti) :

................................/\
.............................../__\
............................../\../\
............................./__\/__\
............................/\../\../\
.........................../__\/__\/__\
........................../\../\../\../\
........................./__\/__\/__\/__\

Se troppo facile... trovare la formula in funzione di n
Tr_(1) = 1

Tr_(n) = ?

...mumble ... mumble ...
Pensavo di cavarmela con una formula polinomiale ... ma non cos.
O la formula contiene qualche addendo con fattore (1)^n (ossia: che dipende dal fatto che n sia pari o dispari) oppure ... non c' una vera formula ma un algoritmo che, dato n, conteggia i triangoli.

Contandoli con pazienza per n = 1, 2, 3, 4 e 5 trovo:
Tr_(0) = 0;
Tr_(1) = 1;
Tr_(2) = 4+1 = 5:
Tr_(3) = 9 + 3*1 +1 = 13
Tr_(4) = 16 + 3*2 + 1 + 1 = 24
Tr_(5) = 25 + 3*3 + 3 + 1 = 38
...
Tr_(n) = n^2 + 3*(n2) + ??? + 1

Quelli piccoli (da lato 1) sono n^2
Quelli di lato 2, 3, ... n1 non capovolti sono 3*(n2) e ci sono solo se n>2
Quelli capovolti di lato maggiore di 1 ... ??? non ho ancora capito quanti in generale!
[Ce n' uno per n = 4 e ce ne sono 3 per n = 5].

Infine (se n > 1) ce n' uno di lato n.

-----------------------------

Quote:

aspesi (Scrivi 424188)
Quote:

colorblind993 (Scrivi 424148)
24
?

Mi spiace, no... ne hai perso qualcuno :)

:hello:

:eek:
Anch'io ne ho contati 24:
4^2 = 16 elementari (di lato 1: 10 dritti e 6 capovolti).
Per ogni vertice 1 di lato 2 + un altro di lato 3: due per vertice, 6 in tutto;
Uno (come sempre) di lato 4.
Un ultimo di lato 2 capovolto.
Ecco perch ho scritto 4^2 + 3*3 + 1 + 1 = 24

Dove starebbe quello che avrei perso? :mmh:

aspesi 29-11-10 22:50

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 424222)
...mumble ... mumble ...

:eek:
Anch'io ne ho contati 24:
4^2 = 16 elementari (di lato 1: 10 dritti e 6 capovolti).
Per ogni vertice 1 di lato 2 + un altro di lato 3: due per vertice, 6 in tutto;
Uno (come sempre) di lato 4.
Un ultimo di lato 2 capovolto.
Ecco perch ho scritto 4^2 + 3*3 + 1 + 1 = 24

Dove starebbe quello che avrei perso? :mmh:

Mi sa che ne hai (avete) perso (persi) pi di uno :fis:

Aiutino: esamina riga per riga...
riga 1 ..... un triangolo
riga 2 ..... tre triangoli piccoli + 1 grosso (+ quello della prima riga)
riga 3 ..... cinque triangolini + 2 medi + 1 grosso (+ quelli della seconda riga e della prima riga)
riga 4 ..... ?

Con i numeri giusti ... la formula abbastanza semplice... ;)

Ciao
Nino

aspesi 30-11-10 09:05

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 424222)
...mumble ... mumble ...

:eek:
Anch'io ne ho contati 24:
4^2 = 16 elementari (di lato 1: 10 dritti e 6 capovolti).
Per ogni vertice 1 di lato 2 + un altro di lato 3: due per vertice, 6 in tutto;*
Uno (come sempre) di lato 4.
Un ultimo di lato 2 capovolto.
Ecco perch ho scritto 4^2 + 3*3 + 1 + 1 = 24

Dove starebbe quello che avrei perso? :mmh:

* A cui vanno aggiunti .... quelli delle righe precedenti.
Quindi...:mmh:

:hello:


Tutti gli orari sono GMT. Attualmente sono le 02:23.

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