Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   Rudi Mathematici (http://www.trekportal.it/coelestis/forumdisplay.php?f=11)
-   -   Qualche quiz (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=33691)

Erasmus 24-09-10 23:06

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 404646)
Non ho capito perché X non potrebbe essere 11 (Il numero dei divisori è 2 per tutti i numeri primi, e tutti i numeri primi maggiori di 10 sono dispari)

«Perché X non poteva essere 11?»
Ovvio: perché dimenticavo che anche la somma delle cifre di 20 è 2 come quella delle cifre di 11. :spaf:
------------------
Insomma: ho indovinato SI' o NO il procedimento per risolvere il quiz !?!
Se è SI, (ma allora sono un genio!) ... dimmelo: sarebbe un piacere (per me) farmelo dire (da te)! :p :fis:
:D
Ciao, ciao

nino280 25-09-10 08:15

Re: Qualche quiz
 
Potrebbe essere 64 se B dice che il numero dei divisori è dispari.
Infatti 64 è l'unico con numero di divisori dispari e con somma delle cifre uguale a 10
Ciao
Pardon, c'è anche il 49, ma non cambia nulla, perchè sapendo che è dispari e sapendo che la somma fa 13, ergo . . . . .

aspesi 25-09-10 08:31

Re: Qualche quiz
 
[quote=Erasmus;404652Insomma: ho indovinato SI' o NO il procedimento per risolvere il quiz !?!
Se è SI, (ma allora sono un genio!) ... dimmelo: sarebbe un piacere (per me) farmelo dire (da te)! :fis:
:D
Ciao, ciao[/quote]

Il procedimento è quello che hai indicato (contento?:))

Però, i problemi si risolvono solo se si dà il risultato :p

Allora, se chiamiamo D il numero dei divisori (compreso 1 e il numero stesso), abbiamo:
D= 2 -----> potrebbe essere (11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47-53-59-61-67-71-73-79-83-89-97)
D=3 ------> potrebbe essere (25-49)
D=4 ------> non può essere
D=5 ------> non può essere (quarta potenza di un primo, ce n'è una pari 2^4 e una dispari 3^4)
D=6 ------> non può essere (ci sono numeri pari e numeri dispari, come 45 e 12)
D=7 ------> non può essere (c'è solo 2^6 e allora B saprebbe subito il numero X)
D=8 ------> potrebbe essere (p^3*q e p*q*r, 24-30-40-42-54-56-66-70-78-88)
D=10 -----> potrebbe essere (p^4*q, 48-80)
D=12 -----> potrebbe essere (p^2*q*r, p^3*q^2, p^5*q, 60-72-84-90-96)

Quindi D può essere 2,3,8,10 o 12 e occorre cercare fra i numeri possibili (che ho elencato sopra) quello che sia identificabile attraverso la somma.

L'aiutone te l'ho dato!

Ciao
Nino

aspesi 25-09-10 08:39

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 404693)
Potrebbe essere 64 se B dice che il numero dei divisori è dispari.
Infatti 64 è l'unico con numero di divisori dispari e con somma delle cifre uguale a 10
Ciao

Vero (che 64 è l'unico con numero di divisori dispari); ma in questo caso, la persona B avrebbe indovinato SUBITO il numero X.

Quote:

nino280 (Scrivi 404693)
Pardon, c'è anche il 49, ma non cambia nulla, perchè sapendo che è dispari e sapendo che la somma fa 13, ergo . . . . .

Con 3 divisori c'è il 49, ma anche il 25.

Ciao
:hello:

aspesi 25-09-10 18:55

Re: Qualche quiz
 
Domattina parto e sarò via per qualche giorno.

La soluzione, se nel frattempo nessuno l'avrà postata, al mio ritorno...

:hello:
Nino

Erasmus 27-09-10 02:33

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 404696)
L'aiutone te l'ho dato!

Mica tanto!
Occorre scartare i numeri con la somma delle due cifre non unica.
Per fare ciò "a mano" (senza poter programmare) occorre più pazienza che nel sistemare i numeri negli insiemi di tot divisori.
-----------------------
Quote:

Erasmus (Scrivi 404640)
[...]
... un insieme di più numeri da due cifre tutti dispari oppure (= "exclusive OR") un insieme di più numeri da due cifre tutti pari ma con un solo elemento con somma delle due cifre diversa dalla somma delle cifre di ogni altro elemento.
[...]

L’esame del numero di divisori dei 90 naturali da due cifre (cioè da 10 a 99 inclusi) conduce a questa tabella:
Codice:


 Nr. Div.    Insieme                                                                        Card. Tot.
 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
 2      {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}    21  21
 3      {25, 49}                                                                                2  23
 4      {10, 14, 15, 21, 22, 26, 27, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 74, 77,
          82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95}                                                      29  52
 5      {16, 81}                                                                                2  54
 6      {12, 18, 20, 28, 32, 44, 45, 50, 52, 63, 68, 69, 75, 76, 92, 98, 99}                    17  71
 7      {64}                                                                                    1  72
 8      {24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 88}                                                10  82
 9      {36}                                                                                    1  83
10      {48, 80}                                                                                2  85
11      {}                                                                                      0  85
12      {60, 72, 84, 90, 96}                                                                    5  90

A, in base a quanto gli dice B, scarta gli insiemi di un solo elemento (se no B avrebbe indovinato) e quelli con elementi sia pari che dispari.
Gli restano questi cinque insiemi:
Codice:


  Nr di Div.    Insieme                                                                      Cardinalità
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
a)  2    {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}    21
b)  3    {25, 49}                                                                                2
c)  8    {24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 88}                                                10
d)  10    {48, 80}                                                                                2
e)  12    {60, 72, 84, 90, 96}                                                                    5

A dice a B che ora sa chi è X.
Allora B deve cercare – tra i cinque insiemi qui sopra detti a), b), c), d) ed e) – l'insieme in cui un solo elemento abbia la somma delle sue cifre diversa dalla somma delle cifre di ogni altro elemento.
In altre parole, dopo che A dice di sapere chi è X:
i) Candidati ad essere X sono solo i numeri in corrispondenza biunivoca con la somma delle loro cifre.
Dopo che anche B dice di sapere chi è X:
ii) X non può stare in un insieme (dei cinque sopra elencati) se in esso tali candidati sono più di uno.
Non sappiamo ancora se il numero X che soddisfa i due requisiti i) e ii) esiste; e, se esiste, non sappiamo se è pari o dispari. Perciò:
iii) Teoricamente il quiz potrebbe avere due soluzioni (una pari e l’altra dispari), una sola soluzione (pari o dispari), nessuna soluzione.
Vediamo.
Soddisfano il punto i) solo questi quattro numeri
a) 11, 59, 89
c) 30

Di questi, solo X = 30 soddisfa il punto ii).

Ciao, ciao.

nino280 28-09-10 13:50

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 405176)
Di questi, solo X = 30 soddisfa il punto ii).

Ciao, ciao.

Non mi è molto chiaro il tuo ragionamento.
Dimmi perchè non può essere 12, forse perchè avendo Nino preso 12 come esempio non poteva essere proprio 12?
Ciao

Erasmus 28-09-10 17:01

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 405683)
Quote:

Erasmus
... X=30

Non mi è molto chiaro il tuo ragionamento.

Lo rifaccio.
a) A dice di non poter sapere chi è X
Lui sa la somma delle cifre. Se non può sapere che numero è X vuol dire che ci sono più numeri con la somma delle due cifre uguale a quella che lui sa.
Quando dirà di sapere chi è X vorrà dire i candidati ad essere X sono solo i numeri con somma delle cifre diversa dalla somma di qualsiasi altro numero.
b) B dice: «Neanche io so chi è X, ma so se è pari o dispari»
Lui sa il numero di divisori di X. Se non può sapere che numero è X vuol dire che i numeri con numero di divisori uguale a quello che lui sa sono più di uno.
Rivediamo la tabella degli insiemi di numeri da due cifre al variare dei numero di divisori.
Codice:


 Nr. Div.    Insieme                                                                        Card. Tot.
 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
 2      {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}    21  21
 3      {25, 49}                                                                                2  23
 4      {10, 14, 15, 21, 22, 26, 27, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 74, 77,
          82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95}                                                      29  52
 5      {16, 81}                                                                                2  54
 6      {12, 18, 20, 28, 32, 44, 45, 50, 52, 63, 68, 69, 75, 76, 92, 98, 99}                    17  71
 7      {64}                                                                                    1  72
 8      {24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 88}                                                10  82
 9      {36}                                                                                    1  83
10      {48, 80}                                                                                2  85
11      {}                                                                                      0  85
12      {60, 72, 84, 90, 96}                                                                    5  90

Se, per esempio, B sapesse che il numero di divisori è 9, siccome c'è solo 36 che ha 9 divisori [che sono: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36], B saprebbe chi è X.
Lui sa, però, se X è pari o dispari e dà questa informazione ad A. Così A potrà scartare tutti gli insiemi con numeri non tutti pari o tutti dispari. Ii numero di divisori (che A non conosce) deve individuare un insieme di numeri tutti pari oppure tutti dispari.
c) A risponde a B: «Ah così? Allora ho capito chi è X!».
A, dopo aver scartato gli insiemi di un solo numero [se no B non avrebbe detto "Neanche io so chi è X" ] e quelli con numeri sia pari che dispari [se no B non poteva sapere se X è pari o dispari], può sapere chi è X solo se, tra i numeri rimasti, c'è un unico numero con la somma delle cifre che lui sa.
d) B si mette nei panni di A: e vede che tra i numeri rimasti (unione degli insiemi con numeri tutti pari o tutti dispari) ci sono solo 4 numeri identificabili dalla somma delle due cifre:
11, 59, 89 che stanno nell'insieme di 2 divisori (tutti numeri primi, tutti dispari);
30 che sta nell'insieme di 8 divisori (tutti pari).
Tra tutti gli altri numeri rimasti ci sono sempre almeno due numeri con la stessa somma delle due cifre.
Prova a controllare anche tu, ossia a scartare dalla tabella di quelli rimasti:
Codice:


  Nr di Div.    Insieme                                                                      Cardinalità
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
a)  2    {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}    21
b)  3    {25, 49}                                                                                2
c)  8    {24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 88}                                                10
d)  10    {48, 80}                                                                                2
e)  12    {60, 72, 84, 90, 96}                                                                    5

i numeri che hanno uguale somma delle due cifre.]
[Noi, che ragioniamo sui ragionamenti di A e di B, a questo punto sappiamo che X è uno di quei 4 numeri].
e) B dice ad A «Ah così? Hai capito chi è X? Allora anch'io, adesso che m'hai dato questa informazione, ho capito chi è X!»
B sa fin dall'inizio il numero di divisori di X. Se questo fosse 2, B non potrebbe decidere chi è X tra i tre numeri candidati (11, 59 e 89). Può deciderlo solo se, del gruppo dei numeri con numero di divisori che lui sa, è rimasto un unico candidato. Allora il numero di divisori non può essere che 8 e X non può essere che 30.

Spero di essere stato chiaro.
[E spero anche di non aver sbagliato il controllo dei divisori e di quali numeri hanno una somma di cifre unica, (cioè diversa da quella di ogni altro fra i numeri rimasti ... se no il ragionamento è giusto ma, magari, non è giusto qualcuno degli insiemi di numeri che ho detto].

Ciao, ciao
:hello:

nino280 28-09-10 18:16

Re: Qualche quiz
 
Si ok ora mi sembra più chiaro.
Grazie :hello:

nino280 28-09-10 19:21

Re: Qualche quiz
 
Questo quiz mi ha fatto ricordare quello che si dice la "rotondità" di un numero.
Leggo e scrivo:
un modo per misurare la rotondità di un numero è quello di contare quante volte ogni divisore primo compare nella sua fattorizzazione in primi.
E' poi in realtà quello che abbiamo fatto noi per risolvere il quiz (direi + Erasmus che altri), solo che nella rotondità non si conta la divisione per se stesso.
Continuo a leggere:
1 milione, la cui fattorizzazione è 2^6 * 5^6 ha rotondità di 12 (la somma degli esponenti 6+6 ). I numeri compresi fra 991.991 e 1.000.010 hanno in media 4 divisori primi, quindi 1 milione , che ne ha tre volte tanti , è rotondissimo.
Ciao

Erasmus 29-09-10 02:15

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 403529)
1) Si abbia un poligono regolare di 2002 lati.
Qual è la probabilità che, tirando a sorte 3 dei suoi vertici, si ottenga:
-un triangolo rettangolo
-un triangolo ottusangolo
-un triangolo acutangolo

Beh: queste probabilità le so non appena so quanti sono tutti i possibili triangoli e quanti di questi sono quelli rettangoli, quelli acutangoli e quelli ottusangoli.

O.K., il quiz è già stato discusso abbondantemente e risolto.

Ma adesso vorrei fare un approccio ... il meno "geometrico" possibile, cioè [quasi] tutto puramente algebrico.

Naturalmente, al posto di 2002, considererò numeri n qualsiasi, precisando eventualmente (ossia: se e quando sarà necessario) solamente se n è pari o dispari.

Ho detto: approccio il più possibile "algebrico".

Prima domanda: quante sono le terne distinte T(n) fattibili con n elementi?
Ipotizziamo che T(n) sia un polinomio in n.
Di che grado?
Boh!
Visto che parliamo di terne, proviamo con polinomi di 3° grado. Se non sarà sufficiente, proveremo con grado maggiore.
Posto allora T(n) = A*n^3 + B*n^2 + C*n + D, bisogna trovare quando valgono i coefficienti A, B, C e D.
Ragioniamo così:
Con meno di 3 elementi non si fanno terne; e con 3 elementi se ne fa una sola. In particolare, per n = 0 abbiamo:
A*0^3 + B*0^2 + C*0 + D = 0 => D = 0.
Quindi, per n= 1, n= 2 ed n = 3 abbiamo (rispettivamente):
Codice:

    A +  B +  C = 0        (a)  A +  B + C = 0      [(b) meno (a)]  3A + B = 0  (1)  [(2) meno(1)] A= 1/6
  8A + 4B + 2C = 0  => (b) 4A + 2B + C = 0    [(c) meno (b)]  5A + B =1/3 (2)                      B=– 1/2
27A +  9B + 3C = 1      (c) 9A + 3B + C =1/3          (a)          C = – (A+B)  (3)                      C=  1/3

T(n) = (n^3)/6 – (n^2)/2  + n/3 = [n^3  – 3*n^2 +2n]/6  = [n(n–1)(n–2)]/6.

Per n=4, scartando un elemento alla volta si hanno 4 terne; e per n = 5, scartando 2 elementi in tutti i modi possibili, le terne risultano quante le coppie, cioè 4 + 3 + 2 +1 = 10.
Vediamo se il grado 3 bastava:
T(4) = (4*3*2)/6 = 4; T(5) = (5*4*3)/6 = 10. O.K.: va bene il 3° grado.
[Cioè: se penso T(n) =An^3 + Bn^2+Cn +D + En^4 + Fn^5 + ... trovo D = 0; E = 0; F = 0; ...]

Minimizzando il "fare geometria", se n è pari, il numero di Triangoli rettangoli – diciamolo R(n) – viene:
R(0) = 0;
R(2) = 0;
R(4) = 4;
R(6) = 12.
Ipotizzando che R(n) sia ancora un polinomio di grado al massimo 3 e ragionando come prima, ponendo cioè:
R(n) = An^3 + Bn^2 + Cn + D
troviamo adesso:
A*0^3 + B*0^2 + c*0 + D = 0 => D = 0;
e quindi:
Codice:

  8A +  4B + 2C =0      (a)  4A + 2B + C=0  [(b) meno (a)] 12A + 2B =1  (1)  [(2) meno(1)] A=0
 64A +  16B + 4C=4 => (b) 16A + 4B + C=1  [(c) meno (b)] 20A + 2B =1  (2)                      B =1/2
216A + 36B + 6C=12    (c)  36A + 6B + C=2              (a)      C=– (4A+2B)  (3)                      C=–1

R(n) = 0*n^3 + (n^2)/2  – n = [n^2  – 2n]/2  = [n(n–2)]/2

Cerchiamo ora il numero A(n) di triangoli acutangoli per n pari, ancora ipotizzando A(n) polinomio di 3° grado.
A(0) = 0
A(2) = 0
A(4) = 0
A(6) = 2, (equiangoli, quelli ... della "stella di David").
Ponendo adesso A(n) = An^3 + Bn^2 + Cn + D, abbiamo ancora
A*0^3 + B*0^2 + c*0 + D = 0 => D = 0;
e quindi:
Codice:

  8A + 4B + 2C=0      (a)  4A +  2B + C =0    [(b) meno (a)] 12A+2B = 0    (1)  [(2) meno(1)] A =1/24
 64A +16B + 4C=0 =>(b) 16A + 4B + C =0    [(c) meno (b)] 20A+2B = 1/3 (2)                      B = –1/4
216A+36B + 6C=2      (c)  36A + 6B + C=1/3              (a)    C =–(4A+2B)  (3)                      C = 1/3

A(n) = (n^3)/24 – (n^2)/4  + n/3 = [n^3  – 6n^2 +8n]/2  = [n(n–2)(n–4)]/24.

Si può procedere allo stesso modo per il numero O(n) di triangoli ottusangoli, anche se ora conviene fare:
Codice:

                                        n(n–2)                                        n(n–2)      n–4      n(n–2)(n–4)
O(n) = T(n) – A(n) – R(n) = ––––– *[(n–1)/3 – (n–4)/12 – 1] = ––––– * ––––– = –––––––––– = 3A(n)
                                            2                                                  2          4                8

Per n dispari qualsiasi è sempre R(n) = 0. Ancora T(n) = n(n–1)(n–2)/6; e per il numero A(n) di triangoli acutangoli si ha:
A(1) = 0; A(3) = 1; A(5) = 5
e quindi
Codice:

    A +    B +  C = 0      (a)  3A + 3B + 3C =0  [(b) meno (a)] 24A +6B = 1      (1)                        A =1/24
  27A + 9B + 3C = 1 => (b) 27A + 9B + 3C =1  [(b) meno (c)]  2A +4B +2C=0 (2)  [(2) meno(3)] B =0
125A + 25B+ 5C= 5      (c)  25A + 5B +  C =1              (a)      2A+ 2B +2C=0  (3)                      C =–1/24

A(n) = (n^3)/24 – n/24 = [n(n^2 – 1)] /24 =  [n(n – 1)(n + 1)]/24.

Con ciò, per n dispari si ha:
Codice:

                                n(n – 1)                                    n(n–1)    3n–9      n(n–1)(n–3)
O(n) = T(n) – A(n)  = –––––– *[(n – 2) – (n + 1)/4 ] = ––––– * ––––– = –––––––––––
                                    6                                              6          4                8

Bye, bye
:hello:

aspesi 30-09-10 14:42

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 405842)
Ma adesso vorrei fare un approccio ... il meno "geometrico" possibile, cioè [quasi] tutto puramente algebrico.

[cut]

Bye, bye
:hello:

Ho letto di corsa (sono appena tornato da un'escursione, ho fatto 1500 metri di dislivello, decisamente troppi per la mia età....:o)

Anche se sono stanchissimo, ho afferrato ed apprezzato subito la "genialità" di questo tuo approccio algebrico.

Alla prossima.

Ciao
:hello:

aspesi 30-09-10 15:04

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 405176)
Soddisfano il punto i) solo questi quattro numeri
a) 11, 59, 89
c) 30
Di questi, solo X = 30 soddisfa il punto ii).

Ciao, ciao.

Perfetto!!! (non che dubitassi...;))

Ripeto, anche se è inutile, la tua soluzione.
"Scremati" i 40 numeri "possibili" in base ai divisori, occorre cercare tra questi un numero che sia identificabile attraverso la somma.

-con somma 2 c'è solo 11
-con somma 3 c'è solo 30
-con somma 4 ci sono 13, 31 e 40 (quindi non va bene)
-con somma 5 ci sono 23 e 41 (quindi non va bene)
analogamente si escludono i numeri a somma 6 (24,42,60), a somma 7 (25,43,61,70), a somma 8 (17,53,71,80), a somma 9 (54,72,90), a somma 10 (19,37,73), a somma 11 (29,47,56,83), a somma 12 (48,66,84), a somma 13 (49,67), a somma 15 (78,96) e a somma 16 (79,88,97).
Mentre potrebbero ancora essere:
-con somma 14, X=59
-con somma 17, X=89

Quindi, se X = [11,30,59,89] allora A conosce la risposta.
Poiché di questi quattro, tre sono primi (e quindi hanno due divisori), affinché anche B possa conoscere la risposta il numero può essere solo 30.

:hello:

aspesi 01-10-10 20:40

Re: Qualche quiz
 
Un gioco di carte magico.
I maghi sono il Nino (che sarei io...;)) e mia moglie (la Nina), che intrattengono il pubblico con un gioco che a prima vista parrà diabolico e dall'effetto sorprendente.

C'è un mazzo francese da 52 carte (13 per ciascuno dei quattro semi, cuori, quadri, fiori e picche).
Qualcuno del pubblico (a caso) estrae 5 carte dal mazzo (o le sceglie deliberatamente, fa lo stesso), mentre il Nino non è presente (è in un'altra stanza e non può assolutamente vedere, nè sentire).
Le 5 carte vengono fatte vedere alla Nina, che ne preleverà 4 a sua scelta (mentre la quinta carta verrà trattenuta e nascosta dal rappresentante del pubblico).
A questo punto, entra in sala il Nino, la Nina gli porgerà le 4 carte e ... rullino i tamburi ... il Nino indovinerà senza ombra di dubbio la quinta carta!

Come faranno?
E con una codifica ottimizzata fino a quante carte (o numeri, da 1 a ...) il gioco funzionerà, cioè si potrà indovinare una carta, facendone vedere altre quattro?

:hello:

Erasmus 02-10-10 10:26

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 406669)
[...]
A questo punto, entra in sala il Nino, la Nina gli porgerà le 4 carte e ... rullino i tamburi ... il Nino indovinerà senza ombra di dubbio la quinta carta!

Suppongo che la Nina metta le carte in un preciso ordine.
Si tratta,(mi pare), di trovare il modo di codificare senza equivoci una precisa carta mediante altre quattro carte qualsiasi.

Qualsiasi, ma non con infinite possibilità!
[Per esempio: le carte dello stesso seme hanno necessariamente valori diversi].

L'ordine con cui Nino riceve le 4 carte dalla Nina deve dipendere non solo dalla carta da indovinare ma anche dal tipo di quartetto di carte da vedere.

La carta da indovinare è una delle altre 48.

Suddivise le possibilità delle 4 carte in un preciso numero di distinte tipologie, ad una di queste tipologie corrisponderà la possibilità di mettere le carte in un ordine tale che il seme della carta incognita sia associato alla tipologia e il valore sia deducibile con un calcolo sui valori delle carte (ora distinte per ordine).

Questo tipo di quiz non è certo il mio forte!
Per cui ... lascio volentieri la palla a qualcun altro. :o
--------------------
:hello:

aspesi 02-10-10 10:49

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 406726)
Suppongo che la Nina metta le carte in un preciso ordine.
Si tratta,(mi pare), di trovare il modo di codificare senza equivoci una precisa carta mediante altre quattro carte qualsiasi.

Certo!
Però, apparentemente, la Nina può combinare le 4 carte in 4! cioè solo in 24 modi diversi, mentre le carte potenziali da indovinare sono 48.

Quote:

Erasmus (Scrivi 406726)
L'ordine con cui Nino riceve le 4 carte dalla Nina deve dipendere non solo dalla carta da indovinare ma anche dal tipo di quartetto di carte da vedere.

La carta da indovinare è una delle altre 48.

Giusto!

Quote:

Erasmus (Scrivi 406726)
Questo tipo di quiz non è certo il mio forte!
Per cui ... lascio volentieri la palla a qualcun altro. :o
--------------------
:hello:

Peccato, mi spiace...
C'è una soluzione semplice (che arriva ad indovinare solo fino a 52) ed una più "complicata" (che permette di indovinare fino a 124).
E quest'ultima necessita di considerazioni "matematiche" ;)

Ciao
Nino

aspesi 03-10-10 10:05

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 406736)
C'è una soluzione semplice (che arriva ad indovinare solo fino a 52) ed una più "complicata" (che permette di indovinare fino a 124).
E quest'ultima necessita di considerazioni "matematiche" ;)

Ciao
Nino

Passo alla soluzione "semplice"
(evidentemente, qui, non c'è nessuno che gioca a carte, magari pensa che siano solo giochi da pensionati davanti ad un bicchiere di vino al bar...)

In un insieme di 5 carte, ce ne saranno per forza almeno due dello stesso seme!
Una di queste due (o tre, o quattro o cinque) dello stesso seme dovrà essere indovinata dal Nino e quindi la Nina preleverà (per mostrarle al Nino) le altre quattro carte.

Ma quale carta dovrà essere messa da parte?
Ogni seme, in una scala crescente, va dall'asso al kappa: però, se disponiamo le carte "ad anello", possiamo considerare (fra due o più carte) più "alta" la carta che in senso orario è meno distante dall'altra (al massimo 6 posizioni).

............................ 1 _ 2 _ 3 _ 4 _ 5 _ 6
............................|.............................|
............................K.............................7
.............................\............................/
...............................Q _ J _ 10 _ 9 _ 8

Esempi:
-Fra le 5 carte c'è il kappa e l'asso di cuori: occorre far indovinare l'asso, che è "più alto" del kappa di una posizione.
-Fra le 5 carte c'è il 2 e il 7 dello stesso seme: occorre far indovinare il 7 che è distante 5 posizioni dal 2.
Ecc....

Quindi, la Nina mostra come -prima- l'altra carta dello stesso seme.

A questo punto, c'è solo da codificare un numero da 1 a 6 (che verrà aggiunto al numero della prima carta mostrata).
Questo si può realizzare facilmente mettendo in ordine le tre carte rimanenti secondo la codifica numerica: basso - alto
e, nel caso di parità di numero, cuori - quadri - fiori - picche

Esempio:
Vengono estratti il 5 di fiori, il 7 di quadri, il 2 di cuori, la donna di cuori e il 7 di picche.
La carta da indovinare sarà il 2 di cuori.
La Nina metterà le altre quattro carte in questo ordine:
Q di cuori - 7 di picche - 5 di fiori - 7 di quadri
essendo la codifica:
basso - medio - alto = 1
basso - alto - medio = 2
medio - basso - alto = 3
medio - alto - basso = 4
alto - basso - medio = 5
alto - medio - basso = 6
e dovendo trasmettere al Nino il numero 3.

La codifica più complicata mette in ordine le carte da 1 a N, obbliga a calcolare il modulo(5) come indice della carta da nascondere e permette di indovinare, con cinque carte, un numero fino a 124. (In generale, se si sono scelte N carte, il numero M massimo che si può indovinare è M <= N! + N - 1)
Quest'ultima soluzione non è mia

:hello:

Erasmus 03-10-10 14:12

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 406978)
[...]
In un insieme di 5 carte, ce ne saranno per forza almeno due dello stesso seme!
Una di queste due (o tre, o quattro o cinque) dello stesso seme dovrà essere indovinata dal Nino e quindi la Nina preleverà (per mostrarle al Nino) le altre quattro carte.

Aaahhh ... ma allora c'è un trucco imbroglione, un imbroglio per me nuovo! :mad:
Da quel che avevi scritto nel testo del quiz io – come, penso, chiunque ... ingenuo come me – avevo capito che una carta delle cinque, quella da indovinare, era scelta da persona "non di parte", o almeno "a caso".
Già in questa mossa (di scegliere come carta da indovinare la carta del seme a massima molteplicità) si restringe l'ambito di incertezza della carta da indovinare.
Questa mossa della Nina (di non prendere a caso tra le cinque carte quella da indovinare) ... è una mossa "disonesta"! :mad: :D
------------------
:hello:

aspesi 03-10-10 15:21

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 407047)
Aaahhh ... ma allora c'è un trucco imbroglione, un imbroglio per me nuovo!
Da quel che avevi scritto nel testo del quiz io – come, penso, chiunque ... ingenuo come me – avevo capito che una carta delle cinque, quella da indovinare, era scelta da persona "non di parte", o almeno "a caso".
Già in questa mossa (di scegliere come carta da indovinare la carta del seme a massima molteplicità) si restringe l'ambito di incertezza della carta da indovinare.
Questa mossa della Nina (di non prendere a caso tra le cinque carte quella da indovinare) ... è una mossa "disonesta"! :mad: :D
------------------
:hello:

Eh, no! Nessun trucco :)

Avevo scritto:
"Le 5 carte vengono fatte vedere alla Nina, che ne preleverà 4 a sua scelta (mentre la quinta carta verrà trattenuta e nascosta dal rappresentante del pubblico)."
E' questa quinta carta che dovrà essere indovinata dal Nino!

Inizio la spiegazione della soluzione più complessa, che consente di indovinare un numero facendone vedere altri quattro, con i cinque numeri estratti dal campo 1.2.3.....123.124
a)Sia il Nino che la Nina devono aver codificato in precedenza le 124 carte, in modo che siano identificabili senza incertezza con un numero (da 1 a 124)
Ovviamente, questa parte è superflua se si scelgono ad es. dei bigliettini contrassegnati con i numeri 1...2... 124.
b)Una volta visti i cinque numeri, la Nina ne somma i valori mod(5).
Ad es., con i numeri 36, 47, 59, 81 e 103 il mod(5) è = 1.
Il valore mod(5) è l'indice i della carta da nascondere e far indovinare.
Se i = 0 si nasconde la carta più "piccola" (il numero minore), e così via fino a i = 4 (si nasconde la carta più grande).
Nell'esempio menzionato, il numero da togliere (e far indovinare) è il 47.

Mi fermo qui (per adesso)

Ciao

aspesi 03-10-10 18:07

Re: Qualche quiz
 
In attesa di un "colpo di genio" :rolleyes:, che risolva il problema precedente, ne sottopongo un altro (a mio avviso più "scolastico"), che ho trovato in un vecchio libro e che forse interesserà maggiormente i frequentatori di questo forum.

Il titolo potrebbe essere: Un treno immobile a 90 km/h?
Questa curiosa domanda risponde a un fatto vero, qualora si pensi alla velocità assoluta del treno in moto sulla terra.

Per semplicità, si tenga conto del solo movimento di rotazione della terra, che si suppone si effettui in 24 ore di tempo medio.
E si consideri la terra perfettamente sferica, con la lunghezza di un meridiano di 40.000 km

Dove dovrà muoversi il treno per avere una velocità assoluta nulla?

astromauh 03-10-10 18:55

Re: Qualche quiz
 
Che ne pensate di questi quiz ?

:D:cry:

Erasmus 03-10-10 20:15

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 407113)
Un treno immobile a 90 km/h?
[...]
Dove dovrà muoversi il treno per avere una velocità assoluta nulla?

Molto vicino ad un polo, visto che, nelle dette ipotesi, un punto fermo sulla Terra all'equatore, fa 40.000 km in 24 ore, va cioè alla velocità di oltre 1600 km/h.
Precisamente il treno va da est ad ovest alla latitudine (in gradi):
(180/π)*arcos(90*24/40000) = (180/π)*1,51609... ° ≈ (circa) 85,9°
[Si tenga presente che un polo sta alla latitudine di 90°].

Permettimi però di non trovare molto ... "furbo" questo quiz.
Non tanto perché troppo facile, quanto perché ... di solito si trascurano cose che incidono poco sul risultato ... non certo la velocità della Terra rispetto alle cosiddette stelle fisse (ossia la velocità della Terra attorno al Sole).
Il Sole dista circa 150 Gm (150 milioni di km) dalla Terra che deve farsi circa
2π*150 Gm ≈ circa 942,5 milioni di km all'anno
girando attorno al Sole in circa 365 giorni, cioè in circa (365 d)*24 h/d = 8760 ore, e ci riesce perché va alla rispettabile velocità di oltre 107.000 km/h, pari a quasi 30 km/s.
-------------------
:hello:

aspesi 03-10-10 21:03

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 407150)
Permettimi però di non trovare molto ... "furbo" questo quiz.

Come avevo detto nel messaggio precedente, ho trovato questo quiz su un vecchio libro; e l'ho postato nella speranza di coinvolgere qualcun altro (oltre a te...):)

Quote:

Erasmus (Scrivi 407150)
Molto vicino ad un polo, visto che, nelle dette ipotesi, un punto fermo sulla Terra all'equatore, fa 40.000 km in 24 ore, va cioè alla velocità di oltre 1600 km/h.
Precisamente il treno va da est ad ovest alla latitudine (in gradi):
(180/π)*arcos(90*24/40000) = (180/π)*1,51609... ° ≈ (circa) 85,9°
[Si tenga presente che un polo sta alla latitudine di 90°].
-------------------
:hello:

Allora, non so se, com'è probabile, è una questione di approssimazioni...
ma sul libro c'è un risultato diverso (un grado in più)

Come hai detto, perché si arrivi ad una velocità assoluta nulla per il treno in corsa a 90 km/h, il treno stesso dovrà muoversi anzitutto da oriente a occidente, in senso contrario cioè al movimento di rotazione della terra.
Inoltre, dovrà muoversi su un parallelo terrestre i cui punti abbiano una velocità periferica uguale alla velocità del treno.

Se x è il raggio del parallelo cercato, sarà:
2pigreco*x = 90*24
Da cui x=343,78 km

Indicando R il raggio della terra e L la latitudine del parallelo, si ha:
cos(L) = x/R
e sostituendo 2pigreco*R = 40.000 si trova:
cos(L) = 0,054
da cui L=86°54'16''

Questo è quello che c'è scritto; questi calcoli mi danno tristezza e non ho voglia di verificare...:rolleyes:

Ciao

Erasmus 03-10-10 22:00

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 407163)
... non so se, com'è probabile, è una questione di approssimazioni...
ma sul libro c'è un risultato diverso (un grado in più).

Giusto!
Ho semplicemente sbagliato a scrivere una cifra. Era 86,9°(come ti risulta se esegui le operazioni che ho indicate ...giuste) e invece ho scritto 85,9

Ciao
:hello:

aspesi 05-10-10 12:17

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 407066)
Inizio la spiegazione della soluzione più complessa, che consente di indovinare un numero facendone vedere altri quattro, con i cinque numeri estratti dal campo 1.2.3.....123.124
a)Sia il Nino che la Nina devono aver codificato in precedenza le 124 carte, in modo che siano identificabili senza incertezza con un numero (da 1 a 124)
Ovviamente, questa parte è superflua se si scelgono ad es. dei bigliettini contrassegnati con i numeri 1...2... 124.
b)Una volta visti i cinque numeri, la Nina ne somma i valori mod(5).
Ad es., con i numeri 36, 47, 59, 81 e 103 il mod(5) è = 1.
Il valore mod(5) è l'indice i della carta da nascondere e far indovinare.
Se i = 0 si nasconde la carta più "piccola" (il numero minore), e così via fino a i = 4 (si nasconde la carta più grande).
Nell'esempio menzionato, il numero da togliere (e far indovinare) è il 47.

Mi fermo qui (per adesso)

Ciao

Continuiamo.

Una volta che è stato scelto "quale carta far indovinare fra le 124", la Nina ha 4 carte a disposizione e con queste può costruire una codifica fino a 24 (4!).
Quello che deve trasmettere al Nino è un valore p tale che:
5*p = codice_carta_nascosta + mod(5)_delle_4_carte - i

Nell'esempio precedente, p=10 perché
5*10 = 47 + 4 -1
Per far indovinare p=10, è necessario mettere le 4 carte in questo ordine:
59 - 81 - 103 - 36
in quanto la codifica dà:
p=1 con 36 - 59 - 81 - 103
e
p=24 con 103 - 81 - 59 - 36

Con la permutazione delle quattro carte che vede, il Nino è quindi in grado di scoprire il valore p;
inoltre, calcola mod(5)_delle_4_carte (che nell'esempio è 4).
Deduce quindi che il numero da indovinare va da:
50 - 4 + 0
a
50 - 4 + 4
cioè è 46 o 47 o 48 o 49 o 50.

Però, esaminando le 4 carte che vede e l'intervallo della cinquina possibile, il Nino stabilisce che il valore i era 1 (la carta nascosta, da 46 a 50, è il secondo valore in ordine crescente, dopo il 36 e quindi si colloca dopo il 36 e prima del 59)

A questo punto, basta fare:
5*p - mod(5)_delle_4_carte - i
cioè:
50 - 4 + 1
per scoprire che il codice_carta_nascosta è il 47.

Geniale!

http://courses.csail.mit.edu/6.042/s.../cardTrick.pdf

:hello:

aspesi 05-10-10 19:31

Re: Qualche quiz
 
Uno leggero.

Banconote e monete.

Antonio conta le banconote che ha nel portafoglio (solo biglietti da 20 euro) e tira fuori dalla tasca un pugno di monete da 1 euro.

-Quante monete hai! - gli dice l'amico Pietro.
-Sono veramente un bel numero. Ma se avessi tanti biglietti da 20 euro quante sono le monete da 1 euro e tante monete da 1 euro quanti sono i miei biglietti da 20, avrei il doppio di quello che ho.
-Quanto a me - risponde Pietro - debbo confessare che ho in tasca veramente poco: solo alcune monete da 1 euro. Ma se tu mi dessi tutto quello che hai, ciò equivarrebbe a trasformare in biglietti da 20 tutte le mie modeste monete da 1 euro.

Quanti soldi hanno Antonio e Pietro?

:hello:

Erasmus 06-10-10 02:40

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 407470)
Uno leggero.

Banconote e monete.

Antonio conta le banconote che ha nel portafoglio (solo biglietti da 20 euro) e tira fuori dalla tasca un pugno di monete da 1 euro.

-Quante monete hai! - gli dice l'amico Pietro.
-Sono veramente un bel numero. Ma se avessi tanti biglietti da 20 euro quante sono le monete da 1 euro e tante monete da 1 euro quanti sono i miei biglietti da 20, avrei il doppio di quello che ho.
-Quanto a me - risponde Pietro - debbo confessare che ho in tasca veramente poco: solo alcune monete da 1 euro. Ma se tu mi dessi tutto quello che hai, ciò equivarrebbe a trasformare in biglietti da 20 tutte le mie modeste monete da 1 euro.

Quanti soldi hanno Antonio e Pietro?

:hello:

Diciamo X il numero di banconote (possedute solo da Antonio), Y il numero di monete di Antonio e Z il numero di monete di Pietro (che non ha banconote).

Trovate le incognite X, Y e Z avremo:
20·X + Y la somma in euro posseduta da Antonio
Z la somma in euro posseduta da Pietro.

1. Antonio: « ... se avessi tanti biglietti da 20 euro quante sono le monete da 1 euro e tante monete da 1 euro quanti sono i miei biglietti da 20, avrei il doppio di quello che ho.»
20·Y + X = 2·(20·X +Y) = 40·x + 2·Y <=> 18·Y = 39·X <=> 6·Y = 13·X

Siccome X e Y devono essere numeri interi, perché Y sia intero occorre che X sia divisibile per 6; e perché X sia intero occorre che Y sia divisibile per 13.

Per ora X ed Y hanno infinite soluzioni del tipo:
X = 6·k
Y = 13·k
con k intero arbitrario.

2. Pietro: « ... ho in tasca veramente poco: solo alcune monete da 1 euro. Ma se tu mi dessi tutto quello che hai, ciò equivarrebbe a trasformare in biglietti da 20 tutte le mie modeste monete da 1 euro.»
20·X + Y + Z = 20·Z <=> 19·Z = 20·(6·k) + 13·k <=> 19·Z= = 133·k <=> Z = 7·k.

Teoricamente infinite soluzioni:
X = 6·k
Y = 13·k
Z = 7·k
con k intero arbitrario.

Ma siccome Pietro dice che ha "solo alcune monete, è ragionevole pensare k=1 (o al massimo k=2).

Soluzione più ragionevole:
Antonio possiede 133 € (120 € in 6 banconote da 20 € più 13 monete da 1 €).
Pietro possiede solo 7 € (7 monete da 1 €).


Ma non sta mica male neanche:
Antonio possiede 266 € (240 € in 12 banconote da 20 € più 26 monete da 1 €).
Pietro possiede solo 14 € (14 monete da 1 €).


Controllo:
1. 2·(X·20· + Y) = Y·20 + X.
k=1 ––> 2·133 = 266 ––> 2·(6·20 + 13) = 13·20 + 6 = 266;
k=2 ––> 2·266 = 532 ––> 2·(12·20 + 26) = 26·20 + 12 =532.

2. (X·20+Y) +Z = Z·20.
k=1 ––> 133 + 7 = 140 = 7·20 ;
k=2 ––> 266 + 14 = 280 = 14·20.

---------------
:hello:

aspesi 06-10-10 07:25

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 407533)

Soluzione più ragionevole:
Antonio possiede 133 € (120 € in 6 banconote da 20 € più 13 monete da 1 €).
Pietro possiede solo 7 € (7 monete da 1 €).
---------------
:hello:

:ok:

Ciao

aspesi 06-10-10 08:05

Re: Qualche quiz
 
1) - Pensa un numero qualunque formato da un numero dispari di cifre (a tua scelta)
- Fai la differenza fra il numero scelto e lo stesso numero scritto invertendo le cifre
- Moltiplica questa differenza per un numero qualunque (scelto da te)
- Dimmi il risultato, nel quale hai cancellato una cifra qualunque, sostituendola con un asterisco e io indovinerò il valore della cifra cancellata.

2) - Pensa un numero di quattro cifre della forma XYXY (X e Y sono cifre a tua scelta)
- Moltiplica questo numero per un numero qualsiasi
- Dimmi il risultato, con una cifra sostituita da un asterisco e io indovinerò la cifra cancellata.

Ci riuscite anche voi?

:hello:

Erasmus 06-10-10 13:36

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 407575)
1) - Pensa un numero qualunque formato da un numero dispari di cifre (a tua scelta)
- Fai la differenza fra il numero scelto e lo stesso numero scritto invertendo le cifre
- Moltiplica questa differenza per un numero qualunque (scelto da te)
- Dimmi il risultato, nel quale hai cancellato una cifra qualunque, sostituendola con un asterisco e io indovinerò il valore della cifra cancellata.

2) - Pensa un numero di quattro cifre della forma XYXY (X e Y sono cifre a tua scelta)
- Moltiplica questo numero per un numero qualsiasi
- Dimmi il risultato, con una cifra sostituita da un asterisco e io indovinerò la cifra cancellata.

Ci riuscite anche voi?

:hello:

Se ti dico perché ci riesci nel secondo quiz (quello del numero XYXY), ci credi che allora so pure perché ci riesci anche nel primo quiz (quello del numero con un numero dispari di cifre)? :D

In entrambi i casi, la cifra sostituita con '*' è quella che rende il numero ******************* certo numero intero ... che sai tu (e che io ho capito ... ) :p

Ho sostituito 19 caratteri con 19 asterischi. Indovina che caratteri erano!
---------------------------------
Vorrei anch'io vedere interventi di altri.

Allora ... faccio un po' di fumo (o di "noise", come diceva l'Illustrissimo latitante).
a) x^(2n) – y^(2n) è sempre divisibile sia per (x + y) che per (x – y);
b) Invece x^(2n) + y^(2n) non è divisibile né per (x + y) né per (x – y) ...

Ho fatto solo fumo, oppure nello smog ci sta qualche informazione sul come si risolvono questi due quiz? :mmh:

Ciao, ciao.

Erasmus 06-10-10 13:43

Re: Qualche quiz
 
Nino II,
spara tu un numero con una cifra asterisco esito del processo del quiz 1) ed un altro esito del processo del quiz 2).

Vediamo se indovino io la cifra sostituita con la stelletta ... o se si sveglia qualche "bella addormenta" ...


Bye, bye

aspesi 06-10-10 15:08

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 407649)
Se ti dico perché ci riesci nel secondo quiz (quello del numero XYXY), ci credi che allora so pure perché ci riesci anche nel primo quiz (quello del numero con un numero dispari di cifre)?

In entrambi i casi, la cifra sostituita con '*' è quella che rende il numero ******************* certo numero intero ... che sai tu (e che io ho capito ... ) :p

Ho sostituito 19 caratteri con 19 asterischi. Indovina che caratteri erano!
---------------------------------
Vorrei anch'io vedere interventi di altri.

Purtroppo, non ci arrivo (ad indovinare i caratteri dei tuoi asterischi)...

Ci credo certamente (che tu sai risolvere i due quiz) ed anche per me il meccanismo è simile. Però, io so solo "una regoletta" (nel caso di divisibilità dei numeri) che mi consente di trovare la soluzione.

Quote:

Erasmus (Scrivi 407649)
Allora ... faccio un po' di fumo (o di "noise", come diceva l'Illustrissimo latitante).
a) x^(2n) – y^(2n) è sempre divisibile sia per (x + y) che per (x – y);
b) Invece x^(2n) + y^(2n) non è divisibile né per (x + y) né per (x – y) ...

Ho fatto solo fumo, oppure nello smog ci sta qualche informazione sul come si risolvono questi due quiz? :mmh:

Ciao, ciao.

Io ci vedo fumo e nebbia... però mi spiegherai tutto alla fine...

:hello:

aspesi 06-10-10 15:11

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 407652)
Nino II,
spara tu un numero con una cifra asterisco esito del processo del quiz 1) ed un altro esito del processo del quiz 2).

Vediamo se indovino io la cifra sostituita con la stelletta ... o se si sveglia qualche "bella addormenta" ...


Bye, bye


Quiz n.1 :
1 1 * 4 9 3 3

Quiz n.2 :
2 1 0 * 1 9 4

:hello:

Erasmus 06-10-10 15:35

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 407675)
Quiz n.1 :
1 1 * 4 9 3 3

'*' = 6 ––>1 1 6 4 9 3 3

Quote:

aspesi (Scrivi 407675)
Quiz n.2 :
2 1 0 * 1 9 4

'*' = 0 ––> 2 1 0 0 1 9 4
--------------
:hello:
-----------------------------
P.S.

Nel secondo quiz:
• o sei partito da 3737 e l'hai moltiplicato per 562
• oppure sei partito da 7474 e l'hai moltiplicato per 281

Nel primo quiz ... la differenza tra un numero X e il suo rovescio Y è invariante rispetto all'aumento o al calo dei due termini della stessa quantità:
X – Y = (X+d) – (Y+d) = (X – d) – (Y – d) con d arbitrario.
Più difficile stabilire tutti i possibili numeri di partenza ... Ci rinuncio.

Ciao, ciao

aspesi 06-10-10 16:09

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 407681)
6 ––>1 1 6 4 9 3 3


0 ––> 2 1 0 0 1 9 4
--------------
:hello:
-----------------------------
P.S.

Nel secondo quiz:
• o sei partito da 3737 e l'hai moltiplicato per 562
• oppure sei partito da 7474 e l'hai moltiplicato per 281

Nel primo quiz ... la differenza tra un numero X e il suo rovescio Y è invariante rispetto all'aumento o al calo dei due termini della stessa quantità:
X – Y = (X+d) – (X+d) = (X – d) – (Y – d) con d arbitrario.
Più difficile stabilire tutti i possibili numeri di partenza ... Ci rinuncio.

Ciao, ciao

:ok:
Non solo hai indovinato le cifre..., ma anche il numero XYXY di partenza... (3737) :eek:

Non ho capito però come ci arrivi... Per me, semplicemente, il primo quiz ha a che fare con un numero divisibile per 99...

:hello:

Erasmus 06-10-10 16:52

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 407649)
[...]
a) x^(2n) – y^(2n) è sempre divisibile sia per (x + y) che per (x – y);

Per esempio, per X = 10 e Y = 1,
10^(2n) – 1^(2n)
è divisibile sia per 10 + 1 = 11 che per 10 – 1 = 9.
n = 1 –––> 99 = 9*11
n = 2 –––> 9999 = 9 * 11 * 101
n = 3 –––> 999999 = 9 * 11* (3 * 7 * 13 * 37) .
ecc.

Quote:

Erasmus (Scrivi 407649)
b) Invece x^(2n) + y^(2n) non è divisibile né per (x + y) né per (x – y) ...

Ma se n è dispari x^(2n) + y^(2n) è divisibile per x^2 + y^2 :rolleyes:

Per esempio, per X = 10 e Y = 1, se metto n = 3 ho subito:
X^6 + Y^6 = 10^6 + 1^6 = 1000001;
10^2 +1^2 = 101

(X^6 +Y^6)/(X^2 + Y^2) = X^4 – (x^2)·(Y^2) + Y^4;
(10^6 +1^6)/(10^2 +1^2) = 10^4 – (10^2)·(1^2) + 1^4 = 10000 – 100 + 1 = 9901 (numero primo)
------------------------------
Oh: ho fatto apposta ancora un po' di fumo e di nebbia.
Ma questa volta ... i numeri ci sono! :D

Nella nebbia ... avvicinando le persone una per una ... riconoscerai quelle già note, no?

Ciao, ciao.

Erasmus 06-10-10 17:32

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 407696)
Per me, semplicemente, il primo quiz ha a che fare con un numero divisibile per...

Eeehhh ... ma allora si gioca a carte scoperte!
Ripassati la frase con le 19 stellette di seguito ...
A questo punto "*******************" = "divisibile per quel" ... o no?

Ripeto: «X^(2n) – Y^(2n) è divisibile sia per (X – Y) che per (X + Y)».
Aggiungo: «Ossia per X^2 – Y^2»
E per X = 10 e Y = 1 ? :mmh:

Ripeto: «X^(2n) + Y^(2n) non è divisibile né per (X – Y) Né per (X + Y); ma se n è dispari è divisibile per X^2 + Y^2»
Aggiungo: «1 è il naturale dispari minimo»
E per X = 10 e Y = 1 ? :mmh:
---------------
Vedi che la nebbia non era troppo ... fumosa! :D

Ciao, ciao,
:hello:

aspesi 06-10-10 18:01

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 407718)

Vedi che la nebbia non era troppo ... fumosa! :D

Ciao, ciao,
:hello:

Tutto bellissimo... :)

Questa è la regoletta del 1) quiz.

Si è visto che la differenza fra un numero (composto da un numero dispari di cifre) e il numero scritto invertendo le cifre è sempre divisibile per 99 (9*11).

Caratteristica dei numeri divisibili per 99: occorre e basta che, separato il numero in gruppi di due cifre a partire da destra, la somma dei numeri formati da questi gruppi sia divisibile per 99.

Quindi, per indovinare la cifra indicata con un asterisco, basta fare la somma, a partire da destra, dei gruppi di due cifre e sottrarla dal più piccolo multiplo di 99 superiore ad essa: il risultato darà, come unità o decina, secondo la posizione dell'asterisco nel proprio gruppo, la cifra cercata.

Nell'esempio indicato sopra:
Sia 27.513 il numero cercato. Il numero con le cifre in ordine inverso è 31.572. La differenza è 4.059.
Moltiplichiamo la differenza ad es. per 287 e otteniamo 1.164.933.
Ho presentato questo numero come: 1 1 * 4 9 3 3

La somma dei gruppi di due cifre (nell'ordine a partire da destra) è:
33 + 49 + 1* + 1 = 83 + 1*
99 - 83 = 16
La cifra mancante (l'asterisco) occupa il posto delle unità, quindi è il 6.

Nota: nel caso di un numero iniziale con un numero di cifre PARI, perché la differenza sia divisibile per 99 occorre trasportare a sinistra il primo gruppo di due cifre a destra (e viceversa):
Es.: 472319 - 192347 = 279972

:hello:

Erasmus 06-10-10 23:12

>
 
Quote:

aspesi (Scrivi 407727)
... la differenza fra un numero (composto da un numero dispari di cifre) e il numero scritto invertendo le cifre è sempre divisibile per 99, (9*11).

[Vengo adesso da un concerto. Donattoni (prima parte orribile, la seconda ... un po' meno) e Procofief (la musica del film Alexandr Njèwskji, che ricordavo benino; passabile).
Bravi però suonatori, coro e mezzosoprano.]

1° quiz.
Se le cifre sono, ad esempio, ABCDEFG, la differenza col rovescio è
(A–G)·(10^6–1) +10·(B–F)·(10^4 –1) + 100·(C–E)·(10^2 – 1).
Ogni termine è divisibile per 10^2 – 1 = (10 – 1)·(10 + 1).
E questo vale per qualsiasi base della numerazione, qualunque sia il numero rappresentato da 10.
In base "dieci" la differenza (e quindi il prodotto per qualsiasi intero) è divisibile per "novantanove".
Ma è divisibile per (10 – 1)·(10 + 1) = 100 – 1 in qualsiasi base!
Per esempio, in base "sette", 10 = "sette" e 100 – 1 = "quarantotto".

Occhio!: siccome c'è da indovinare solo una cifra, tranne il caso in cui la somma delle cifre note è divisibile per 9, non occorre cercare quella che rende il numero divisibile per 99.
Tranne il caso evidenziato in grassetto, la cifra che devo mettere può variare al massimo tra 1 e 8. Ce n'è una sola che renderà il numero divisibile per 9. Automaticamente, quando sarà divisibile per 9, sarà anche divisibile per 11.
Solo se la somma delle cifre note è già divisibile per 9, la regola del 9 non è sicura e bisogna controllare se la cifra da indovinare è 0 o 9 controllando che il numero così "tappato" sia anche divisibile per 11.

Altrimenti si fa "la regola del 9" per trovare il resto della divisione per 9. E la cifra cercata è il complemento a 9 di tale resto
Nel caso del tuo esempio, con la "regola del 9" – le eventuali cifre uguali a 9 le posso saltare! – ottengo:

11?4933 ––> 1 +1 + 4 + 3 + 3 = 12 ––> 1 + 2 = 3 ≠ 9 –––> 9 – 3 = 6
Il complemento di 3 a 9 è 6. Ergo: ? = 6 . (Questa è la cifra cercata)

2° quiz.
E' più facile!
XYXY = (10Y+Y)· (10^2 +1) = 101· (XY)
Il numero è sempre divisibile per 101 (che è un numero primo). Allora è divisibile per 101 anche il prodotto per un intero arbitrario.

Vado per tentativi.
Al posto della stelletta, metto successivamente 0, 1, 2 ...e ogni volta divido per 101. Quando mi risulta un numero intero, la cifra che ho messo è OK.
(Nel tuo esempio, al primo tentativo).
Adesso posso scomporre in fattori primi il numero così "tappato". [Un fattore è 101].
Provo a combinare fattori fin che ottengo un numero con 4 cifre del tipo XYXY.

Nel caso del tuo esempio:
2100194 =2*37*101*281,
–mai dimenticando che XYXY = 101*XY – ho due possibilità:
a) (37*101)*(2*281) = 3737*562=2100194
b) [(2*37)*101] =7474*281 = 2100194.

Ciao, ciao
:hello:

aspesi 07-10-10 07:52

Re: >
 
Quote:

Erasmus;407773.

1° quiz.

Ciao, ciao
:hello:

Sei sorprendente!
Il tuo meccanismo di risoluzione del primo quiz è ancora più semplice del mio!

Però anche il secondo quiz si può risolvere senza tentativi (moltiplicazione per 101).
Quando torno dal supermercato metto il mio metodo.

:hello:


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