Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia (http://www.trekportal.it/coelestis/index.php)
-   Rudi Mathematici (http://www.trekportal.it/coelestis/forumdisplay.php?f=11)
-   -   Qualche quiz (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=33691)

Erasmus 04-02-21 17:43

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 840375)
;)[...] prova questa variante che propongo io:
Supponiamo adesso di avere una sfera (es. di diametro 1) e di minimizzare la somma dei volumi di 3 sferette sistemate come nel disegno precedente.

Io ho trovato:
[...]
Rapporto fra il volume della sfera grande e la somma dei volumi delle 3 sferette = 44,3137085

Giusto!
Ma con quale procedimento ci sei arrivato?
Vedo che i raggi delle sferette sono numeri irrazionali per la presenza della radice quadrata di due. Mi sa che questa volta anche tu ciu seμi arrivato "classicamente" annullando la derivata del rapporto da minimizare con l'ipotesi che siano uguali le due due sferette tra quella concentrica con la grande e la parete interna di questa.
E' tutto abbastanza facikle!
Suppongo che il raggio della sfera grande sia 5 e parto ancora da sferette uguali variandone poi ilraggio in modo da conservare la condizione imposta dal testo e anche che le due dette sferette restino uguali.
Allora metto
1 – ∆
il raggio della sferetta concentrica con la grande di raggio 5 e metto
i + ∆/4
il raggio delle altre due sferette.
Semplificando il rapporto – cioθ dividendo numeratore e denominatore per(4/3)π – mi viene che devo minimizzare la funzione
Codice:

                                                        (1 – ∆)^3 + 2(1 + ∆/4)^3    3 – (3/2)∆ + (27/8)∆^2 – (31/32)∆^3
<rapporto da minimizzare> = f(∆)  =  ---------------------–––––––– = ––––––––––––––––––––––––––––––––.
                                                                        5^3                                          125

Si vede che per ∆ = 0 sil rapporto θ 3/125 e che diminuisce per ∆ positivo piccolo. Il rapporto cessa di diminuire quando appunto la derivata θ nulla. Lμ ci sarΰ il minimo assoluto.
Codice:

                                                                                                  36 – 20√(2)
 31∆^2 – 72∆ + 16 = 0 ––> (unica soluzione accettabile)  –-->∆ = –––––––––––.
                                                                                                    31

Con questo valore di ∆ il rapporto diventa
Codice:

          {5·[4√(2) – 1]}^3 +2{5√(2)·[4√2)–1]}^3      2,820797541755              1
f(∆) = –––––-–––––––––––––––––––––––––––––  ≈ ––––––––––––––– = –––––––––––––––.
                          125·31^3                                              125              44,313708498990...

:hello:

aspesi 04-02-21 19:04

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 840501)
Giusto!
Ma con quale procedimento ci sei arrivato?
Vedo che i raggi delle sferette sono numeri irrazionali per la presenza della radice quadrata di due. Mi sa che questa volta anche tu ciu seμi arrivato "classicamente" annullando la derivata del rapporto da minimizare con l'ipotesi che siano uguali le due due sferette tra quella concentrica con la grande e la parete interna di questa.

:hello:

Erasmus, io normalmente schizzo il procedimento su dei foglietti volanti, che dopo 2 o 3 giorni butto nel cestino dei rifiuti.
I calcoli poi li faccio fare a excel.
Non ricordo piω come ho affrontato quel problema, certamente l'ho risolto "a mano", visto che oltre al
Rapporto fra il volume della sfera grande e la somma dei volumi delle 3 sferette = 44,3137085
dico anche che
Il rapporto fra il raggio delle sferette r2 e r3 e il raggio della sferetta r1 θ RADQ(2)
Quindi per minimizzare i volumi delle 3 sferette deve essere:

r1 = R*(4*RADQ(2) - 1)/31

r2 e r3 = R*(8 - RADQ(2))/31

Inoltre:
Volume sfera grande/Volume sferetta r1 = 97+140*RADQ(2)= 294,9898987
Volume sfera grande/Volume sferette r2,r3 = 29791/(560-194*RADQ(2))= 104,2946789

e anche
per la sfera di raggio=10, le 3 sferette (in modo che la somma dei loro volumi sia minima) hanno raggio:

r1 = 1,5022 (esattamente (40*radq(2)-10)/31)
r2, r3 = 2,1244 (esattamente (80-10radq(2))/31


ma certamente non ho seguito il tuo procedimento, almeno nel modo che hai riportato.

:hello:

nino280 04-02-21 21:59

Re: Qualche quiz
 
Neanche io avevo seguito il procedimento di Erasmus e neanche quello di Aspesi.
Solo che Aspesi ha buttato i foglietti nel cestino, mentre i miei disegni sono ancora lμ in bella mostra.
Il mio ragionamento era stato:
invece di lavorare con delle sfere lavoro con dei cubi che mi viene molto piω facile.
Al posto di una sfera di raggio 10 avevo preso il cubo grande di lato 20 che al cubo mi viene 8000
Ma con il mio disegno (andate pure a riguardarlo) avevo trovato il volume totale delle tre sfere piccole essere 180,53104
Se faccio il rapporto trovo 8000/180,53104 = 44,31370915
Molto ma molto prossimo al vostro valore.
Ciao
P.S. Avevo scritto sfere, naturalmente volevo dire cubi piccoli.
:hello:

aspesi 05-02-21 09:34

Re: Qualche quiz
 
Chi sa trovare i 3 valori di x della seguente equazione?

x + ln(x^2 - 5x + 6) = 0

:hello:


nino280 05-02-21 10:11

Re: Qualche quiz
 
https://i.postimg.cc/bvPnDTTD/Intersezioni.png

Io:



Ciao

nino280 05-02-21 10:19

Re: Qualche quiz
 
https://i.postimg.cc/25CwRmgK/In-Soldoni.png





"In Soldoni"
E' poi il titolo di questo file o grafico che mi risolve il Quiz, l'equazione.
Ciao

aspesi 05-02-21 13:50

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 840513)
E' poi il titolo di questo file o grafico che mi risolve il Quiz, l'equazione.
Ciao

:ok:

e^(-x) =(x-2)(x-3)
:hello:

aspesi 05-02-21 13:53

Re: Qualche quiz
 
Determinare le soluzioni intere positive dell'equazione
X² - 178Y² + Z² = 0.

:hello:

Erasmus 08-02-21 09:59

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 840515)
Determinare le soluzioni intere positive dell'equazione
y^2 = (x^2 + Z^2X² - 178Y² + Z² = 0.

Nello spazio tridimensionale, l'equazione
y = [1/√(178)]· √(x^2 + z^2) (equivalente a quella data)
θ l'equazione cartesiana di una superficie conica col vertice nell'origine, l'asse coincidente con l'asse delle y e le generatrici inclinate sull'asse delle y di
arctan[√(178)] ≈ 85,71°
Infatti, per y = 1 – cioθ nel piano parallelo al piano (x, z) di quota 1 – l'equazione diventa quella di un cerchio di raggio √(178).
Dato che si chiedono le soluzioni intere positive, occorre limitarsi al quadrante X>0 e Z>0.
Siccome
178 = 169 + 9 = 13^2 + 3^2
due soluzioni sono (X, Y, Z) = (13, 1, 3); (X, Y, Z) = (3, 1, 13).
Se ora moltiplico tutto per un arbitrario intero positivo k l'equazione resta verificata.
Quindi tutte le soluzioni sono:
"Per ogni k intero positivo (X, Y, Z) = (13k, k, 3k) oppure (X, Y, Z) = (3k, k, 13k)".
–––
:hello:

aspesi 08-02-21 11:09

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 840570)
Quindi tutte le soluzioni sono:
"Per ogni k intero positivo (X, Y, Z) = (13k, k, 3k) oppure (X, Y, Z) = (3k, k, 13k)".
–––
:hello:

Sapevo che avresti trovato solo queste soluzioni... ;)

Invece, oltre alla primitiva 3,1,13 ce ne sono (infinite?) altre

Es. 51, 5, 43

:hello:

Erasmus 09-02-21 09:01

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 840571)
Sapevo che avresti trovato solo queste soluzioni...

Sempre in virtω del tuo formidabile "intuito" pressochθ infallibile! ;)
Quote:

aspesi (Scrivi 840571)
[...] oltre alla primitiva 3,1,13 ce ne sono (infinite?) altre
Es. 51, 5, 43:

Porco mondo! Hai ragione!
Anticipami qualcosa:
• Hai forse trovato che di terne primitive ce n'θ una infinitΰ?
• C'θ una regola per beccare tutte in un clpo le altre primitive o almeno per beccarle una alla volta ... o bisogna andar ad esplorare gli interi con procedimenti di "forza bruta"?
––––––––––––
Vado a fare un po' di ricerca su questo quiz ... a tastoni per ora.
––––––
:hello:

aspesi 09-02-21 15:06

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 840584)
Porco mondo! Hai ragione!
Anticipami qualcosa:

Vado a fare un po' di ricerca su questo quiz ... a tastoni per ora.
––––––
:hello:

Quote:

x …....…... y …......… z …... x^2+z^2-178y^2

51 ……..... 5 ….....… 43 …..... 0
101 ……... 13 …..… 141 ..…… 0
163 ……... 25 …..… 291 ….... 0
237 …..…. 41 …..… 493 ….... 0
323 …..…. 61 …..… 747 ….... 0
421 ……... 85 …..… 1053 ...… 0
531 ….…. 113 ……. 1411 …... 0
653 ….…. 145 ….… 1821 ….… 0
787 ….…. 181 ….… 2283 ….… 0
933 ….…. 221 ……. 2797 ….… 0
1091 ……. 265 …… 3363 ….… 0
1261 ……. 313 …… 3981 ….… 0
1443 ……. 365 …… 4651 ….… 0
1637 ……. 421 …… 5373 ….… 0
1843 ……. 481 …… 6147 ….… 0
2061 ……. 545 …… 6973 ….… 0
2291 ……. 613 …… 7851 ……. 0
2533 ……. 685 …… 8781 ……. 0
2787 ……. 761 …… 9763 ….… 0
3053 ……. 841 …… 10797 ….. 0

:hello:

Sono in numero infinito.
Non ho capito bene come proseguire da:

x^2 + z^2 = 178y^2 = (3^2+13^2)*[(p^2-q^2)^2 + (2pq)^2]

ponendo y=p^2+q^2

si dovrebbe ottenere con l'identitΰ di Brahmagupta

x = 13p^2 + 6pq - 13q^2

z = 3p^2 - 26pq -3q^2

e assegnando valori interi a p e q si ottengono i vari x y z, ad es.

19, 25, 333
208, 16, 48
76, 100, 1332
102, 74, 982
29, 13, 171
61, 5, 27
52, 4, 12
ecc...

Erasmus 11-02-21 05:25

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 840588)
Quote:

Codice:

x        …....…...        y        …...... z…...    x^2 – 178y^2 + z^2

51        …….....        5        …....  43        ….....        0
101        ……...        13        …..…        141        ..……        0
163        ……...        25        …..…        291        …....        0
...


Sono in numero infinito.
Non ho capito bene come proseguire [...]
[...] l'identitΰ di Brahmagupta [...]

Con y = 5 c'θ anche la primitiva (x, y, z) = (27, 5, 61) oltre alla primitiva (51, 5, 43) e alla non-primitiva (65, 5, 15) = 5·(13, 1, 3).
Invece, con y = 1, 2, 3,4, 6 e 7 tropovo solo (13, 1, 3) e le sue terne derivate
y·(13, 1, 3).
––––––
Non so chi sia quel Brahmagupta che citi (e che suppongo un indiano).
Non ho capito niente di quel che metti citando l'identitΰ di quello sconosciuto!
Ci vedo perς la terna (61, 5, 27) che non hai messo nella tabella di sopra.

aspesi 11-02-21 08:39

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 840628)
––––––
Non so chi sia quel Brahmagupta che citi (e che suppongo un indiano).

https://it.linkfang.org/wiki/Identit...di_Brahmagupta

(anche se probabilmente non ci guarderai :D)

:hello:

aspesi 12-02-21 06:54

Re: Qualche quiz
 




:hello:

aspesi 13-02-21 08:55

Re: Qualche quiz
 
- seno di pigreco fa zero

- coseno di pigreco fa meno uno

;)

:hello:

aspesi 13-02-21 17:15

Re: Qualche quiz
 
In quanti modi diversi il numero 390625 si puς esprimere come somma di due quadrati (di numeri interi positivi)?

(Non conosco la risposta, io ho trovato 4 somme di due quadrati)

:hello:

astromauh 13-02-21 20:13

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 840664)
In quanti modi diversi il numero 390625 si puς esprimere come somma di due quadrati (di numeri interi positivi)?

(Non conosco la risposta, io ho trovato 4 somme di due quadrati)

175^2 + 600^2 = 30625 + 360000 = 390625
220^2 + 585^2 = 48400 + 342225 = 390625
336^2 + 527^2 = 112896 + 277729 = 390625
375^2 + 500^2 = 140625 + 250000 = 390625

Anche con x fino a 10.000 e y fino a 100.000 non ne ho trovati altri,
per cui bisogna accontentarsi di questi. :)

:hello:

aspesi 14-02-21 08:27

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 840670)
175^2 + 600^2 = 30625 + 360000 = 390625
220^2 + 585^2 = 48400 + 342225 = 390625
336^2 + 527^2 = 112896 + 277729 = 390625
375^2 + 500^2 = 140625 + 250000 = 390625

Anche con x fino a 10.000 e y fino a 100.000 non ne ho trovati altri,
per cui bisogna accontentarsi di questi. :)

:hello:

:hello: Perfetto!
Sono quelli che ho trovato anch'io, esaminando le terne pitagoriche,
siccome
390625=5^8,
si puς fare (3^2+4^2)*5^6;
(7^2+24^2)*5^4;
(44^2+117^2)*5^2;
336^2+527^2

:hello:

aspesi 17-02-21 09:45

Re: Qualche quiz
 
Approssimazioni curiose (usando le cifre da 1 a 9)

Pi.greco = 2^(5^0,4)-0,6-(0,3^9/7)^(0,8^0,1)=3,141592654
Gamma = 0,8^(0,2674^9-1/3)-0,5 = 0,577215665 (costante di Eulero - Mascheroni)

Usando solo il 9
numero di Nepero e = ((9+(9^(-9)))/9)^((9^9)*9) = 2,718282317


:):hello:

aspesi 18-02-21 16:49

Re: Qualche quiz
 
Curiositΰ

Fai scrivere a un tuo amico il numero 12.345.679 (nota che manca l’8). Poi digli di scegliere qualsiasi cifra. Supponiamo, per esempio, che scelga il 6. Tu moltiplica mentalmente 6*9 e scrivi sul foglio *54, poi chiedigli quanto fa la moltiplicazione. Tu ci pensi un attimo e poi dici: 12.345.679 * 54 fa... 666.666.666. Qualsiasi cifra avesse scelto, tu l’avresti moltiplicata per 9 e il prodotto di quel numero avrebbe fatto una fila di cifre identiche alla cifra scelta da lui.

Esistono molti altri numeri che hanno la stessa proprietΰ di 12.345.679.
Per esempio, il prodotto di 37 * 3x consiste di una fila di x.
37 * (3*8) = 888.
37 * (3*5) = 555.
15.873 * 7x consiste di una fila di x.
15.873 * (7*4) = 444.444
15.873 * (7*7) = 777.777
8.547 * 13x consiste di una fila di x.
8.547 * (13*2) = 222.222
8.547 * (13*5) = 555.555

Quizzino
Quale numero moltiplicato per 17*x (x θ una cifra fra 1 e 9), dΰ un numero che θ composto interamente da x?

:hello:

nino280 18-02-21 18:24

Re: Qualche quiz
 
6535947712 x 17 x 3 = 3,3333333333333

aspesi 18-02-21 18:46

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 840745)
6535947712 x 17 x 3 = 3,3333333333333

Eh... quasi giusto...
ma 6535947712 x 17 x 3 = 33333333333312

:hello:

nino280 19-02-21 09:23

Re: Qualche quiz
 
https://i.postimg.cc/1XcGBspP/333333.png

Vediamo se vanno bene questi numeri
Ciao

aspesi 19-02-21 10:00

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 840760)
Vediamo se vanno bene questi numeri
Ciao

:ok:
1.111.111.111.111.111/17 = 65.359.477.124.183

:hello:

aspesi 19-02-21 10:33

Re: Qualche quiz
 
Il mio figlio maggiore vuole costruire una cornice quadrata e colorarla con vernice a smalto. In casa ne ha un barattolino che riporta la scritta "copre una superficie di 360cm2" (Vuole ovviamente utilizzarlo tutto).
Mi ha chiesto quali possono essere le misure della cornice (solo valori interi, in cm, dei lati esterno e interno).

:hello:

aspesi 19-02-21 11:48

Re: Qualche quiz
 
Trovare le soluzioni intere (che sono infinite ;)) dell'equazione
X² - 7Y² = 2


:hello:

3, 1
....
....

nino280 19-02-21 15:05

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 840763)
Il mio figlio maggiore vuole costruire una cornice quadrata e colorarla con vernice a smalto. In casa ne ha un barattolino che riporta la scritta "copre una superficie di 360cm2" (Vuole ovviamente utilizzarlo tutto).
Mi ha chiesto quali possono essere le misure della cornice (solo valori interi, in cm, dei lati esterno e interno).

:hello:

Tuo figlio deve essere proprio un bravo ragazzo.
Da incorniciare:D:D
Ciao

nino280 19-02-21 16:57

Re: Qualche quiz
 
https://i.postimg.cc/5t6HPvhn/Figlio-di-Aspesi.png


Per tuo figlio.
Non badare se le cornici (la parte interna l'ho sistemata tutta dalla stessa parte) ma le quote dovrebbero essere quelle.
Mettici dentro Giacomo.
Vado a memoria, dovrebbe essere tuo nipote.
Ciao

aspesi 19-02-21 20:04

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 840767)
Mettici dentro Giacomo.
Vado a memoria, dovrebbe essere tuo nipote.
Ciao

Bravo, soprattutto per Giacomo, che fra 3 giorni fa 3 anni...
Ma era un quiz ;) e hai trovato solo una delle 5 soluzioni...:)

:hello:

nino280 19-02-21 20:51

Re: Qualche quiz
 
Le altre 4 dovrebbero essere 23 - 13 ; 91 - 89 ; 33 - 27 ; 21 - 9

Ciao

aspesi 19-02-21 21:23

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 840770)
Le altre 4 dovrebbero essere 23 - 13 ; 91 - 89 ; 33 - 27 ; 21 - 9

Ciao

OK

(L + l)*(L-l) = 360

Si puς fare la scomposizione di 360 in fattori: 2^3*3^2*5.
I casi possibili per (L+l)(L-l) sono questi 12:
360, 1;
180, 2;
120, 3;
90, 4;
72, 5;
60, 6;
45, 8;
40, 9;
36, 10;
30, 12;
24, 15;
20, 18.
A questo punto per trovare i vari L e l basta mettere a sistema le due equazioni.

Es.
(L+l) = 20
(L-l) = 18

2L = 38
L = 19
l = 20-19 = 1

:hello:

aspesi 19-02-21 21:37

Re: Qualche quiz
 
Non ricordo se l'avevi giΰ fatto.

Qual θ il volume massimo di un cono inscritto in una sfera.

:hello:

nino280 19-02-21 22:03

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 840775)
Non ricordo se l'avevi giΰ fatto.

Qual θ il volume massimo di un cono inscritto in una sfera.

:hello:

https://i.postimg.cc/kGgJ0DY7/Disegni-con-la-C.png


E chi lo sa, ti metto uno scorcio del mio archivio disegni.
Sono in ordine alfabetico e qui ci sono solo quelli che incominciano con Co di cono.
Immagina quanti sono i disegni se andiamo fino alla Z
Se l'ho fatto chissΰ dove θ andato a finire.
E magari l'avevo memorizzato con la S da Sfera - Cono.
Faccio come ho fatto l'altro giorno che invece di andare a cercarlo ho preferito ridisegnarlo.
Ciao

nino280 20-02-21 10:37

Re: Qualche quiz
 
https://i.postimg.cc/hGLvdXX0/Sfera-Cono.png


Senza scomodare il 3D gli faccio fare a GeoGebra un pς di conti e mi ha dato i valori che poi ho riportato in figura.
Rappresenta una sfera del solito raggio 10 ed i valori del cono sono li marcati.
Sulle prime uno direbbe che il volume massimo del cono θ quello del triangolo che si vede li in figura di area massima.
Ma non θ cosμ perchι da ciς che ho visto l'area massima si ha con l'equilatero e questo in figura non θ equilatero.
Metterς se ne ho voglia il corrispondente disegno in 3D se non altro per una maggiore coreografia.
Ciao

nino280 20-02-21 10:54

Re: Qualche quiz
 
https://i.postimg.cc/sxQR5LnR/Cono-Sfera.png


Ciao

aspesi 20-02-21 12:43

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 840783)
Senza scomodare il 3D gli faccio fare a GeoGebra un pς di conti e mi ha dato i valori che poi ho riportato in figura.
Rappresenta una sfera del solito raggio 10 ed i valori del cono sono li marcati.

Ciao

:ok:
E' perfetto!!!:ok:

Il volume massimo del cono inscritto in una sfera di raggio R vale

(32/81) *pi.greco*R^3

magari Erasmus spiegherΰ come si arriva a questo risultato

che con R=10 θ
V = 1241,123024
esattamente come hai scritto.

Come si puς notare, il coseno dell'angolo al centro (da 0 a pi.greco costruisce il cono) ha per il volume max, il valore 1/3 e il rapporto con il volume della sfera θ 8/27.

:hello:

aspesi 20-02-21 13:27

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 840783)
Sulle prime uno direbbe che il volume massimo del cono θ quello del triangolo che si vede li in figura di area massima.
Ma non θ cosμ perchι da ciς che ho visto l'area massima si ha con l'equilatero e questo in figura non θ equilatero.

Ciao

Non si capisce.
L'area massima di un triangolo inscritto in un cerchio si ha quando il triangolo, come dici, θ equilatero.
Cosa sarebbe quello che hai disegnato nella tua figura?

-------
Il massimo dell'area θ per x=π/3, cioθ quando il triangolo θ equilatero.
Il valore dell'area massima θ S = 3/4 * sqrt(3) * r^2 -----> r=1 ; S=1,299038106 circa 0,413496672 dell'area del cerchio circoscritto.

:hello:

nino280 20-02-21 14:01

Re: Qualche quiz
 
Ma come non si capisce?
Quel triangolo rappresenta il nostro cono, diciamo in vista frontale, o se vogliamo θ una sezione del cono che θ poi la stessa cosa.
E se nς, come ne avrei calcolato il volume.
Eppure l'ho anche scritto che sul disegno sono marcati i valori del cono, vale a dire raggio di base che ho chiamato r piccolo ed altezza che ho chiamato h
Io piω chiaro di cosμ non ci riesco ad esprimermi.
Ciao

aspesi 20-02-21 14:15

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 840792)
Ma come non si capisce?

Ciao

Non θ chiaro
Sulle prime uno direbbe che il volume massimo del cono θ quello del triangolo che si vede li in figura di area massima.

Cioθ quello in figura rappresenta il cono massimo, ma non θ il triangolo a area massima, che invece θ equilatero. E avrebbe precisamente l'area che ho scritto nel mio messaggio precedente.

:hello:


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