Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Qualche quiz (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=33691)

Erasmus 25-09-11 00:36

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 519817)
[...]
Fattorizzazione?
Se a sono i fattori tutti diversi (escluso il numero 1), b i fattori co esponente maggiore di 1, c i fattori con esponente maggiore di 2, ...

Modi di suddivisione di un rettangolo = 2^a * 3/2^b * 4/3^c * ....

:mmh:
Quote:

aspesi (Scrivi 519817)
Es.: 36 = 2^2*3^2
= 2^2*3/2^2 = 9 [...]

:mmh:
Quote:

aspesi (Scrivi 519817)
[...]1*36
2*18
3*12
4*9
6*6
9*4
12*3
18*2
36*1

:ok: (9 modi)
Quote:

aspesi (Scrivi 519817)
(Mi accorgo però che tu hai detto di tener conto solo dei rettangoli e qui c'è anche il quadrato 6*6... Boh...)

Occhio: ho detto che il rettangolo da suddividere non è quadrato! Non che devono non essere qudrati i 36 rettangolini della suddivisione. Bisogna e basta che siano uguali tra loro.
Quote:

aspesi (Scrivi 519817)
1155 = 3*5*7*11
Qui dovrebbe essere 2^4 = 16

:ok:

Ma ... non ho capito la storia degli a fattori semplici, dei b fattori doppi, dei c fattori tripli (... perché tu dici «Se a sono i fattori tutti diversi (escluso il numero 1), b i fattori con esponente maggiore di 1, c i fattori con esponente maggiore di 2, ...» ma credo che intenda come ho detto io ... che però non capisco dove vai a parare).

In pratica, se devo suddividere il rettangolo (non quadrato) in N rettangoli uguali, considero gli interi x ed y tali che xy = N; e quindi le rette parallele al lato L1 distanti una dalla vicina la frazione L2/x dell'altro, e le rette parallele al lato L2 distanti una dalla vicina L1/y.
Allora, se considero il ramo di iperbole di equazione xy= N per x ed y entrambi positivi, la risposta al quiz è il numero di punti del ramo con entrambe le coordinate intere.
Per simmetria, siccome scambiando x con y l'equazione xy = N resta la stessa, se c'è la coppia [x, y] =[a, b] con a ≠ b c'è anche la coppia [x, y] =[b, a]. Naturalmente, se N è un quadrato perfetto (= quadrato d'un intero) c'è un punto dove x = y, di coordinate [x, y] = [√(N), √(N)] ... che è simmetrico di se stesso!
Ecco che in 36 = 6^2 c'è la coppia [x, y]=[6, 6].

Ripeto: non ho capito il tuo ragionamento di base.
Dicevo che il quiz è "facile facile" perché ... basta contare i modi distinti in cui si può porre N nella forma x·y con x ed y entrambi interi positivi.

Il mio procedimento è elementare, come segue:
Parto con x = 1, proseguo con x = <divisore di N> fintanto che è x <√(N) (cioè x < y). Il numero di modi fin qua ottenuto va raddoppiato (scambiando x con y). A questo numero pari di modi va eventualmente aggiunta un'unità [il modo in cui x=y] se capita che N è un quadrato perfetto.

Per esempio, con N = 1155 = 3·5·7·11, essendo 33 < √(N) < 34, prendo un sottinsieme di fattori – e considero anche il solo "1" come sottinsieme! – il cui prodotto non superi 33. Cioè:
{1}, {3}, {5}, {7}, {11}, {3·5}, {3·7}, {3·11}
Quindi i divisori di un lato possono essere:
x=1, 3, 5, 7, 11, 15, 21, 33.
I divisori dell'altro lato saranno i numeri del tipo y = N/x:
y= 1155, 385, 231, 165, 105, 77, 55, 35.


Ho 8 casi con x < y. Scambiando x con y ne ho altri 8.
Codice:

(1, 1155);  (1155, 1);
(3, 385);    (385, 3);
(5, 231);    (231, 5):
(7, 165);    (165, 7)
(11, 105);  (105, 11);
(15, 77);    (77, 15);
(21, 55);    (55, 21);
(33, 35);    (35, 33).

Nel caso N = 36, per x < √(36) < y ho i sottinsiemi {1}, {2}, {3}, (2·2} . I divisori di un lato sono:
x = 1, 2, 3, 4
e quelli dell'altro lato sono
y = 36/x = 36, 18, 12, 9.
4 casi con x < y; altri 4 con x >y, più, questa volta, il caso con x = y = 2·3 = 6.
Quindi 9 casi in tutto.

-----------------
Ciao, ciao.

Erasmus 25-09-11 09:08

Re: Qualche quiz
 
@ aspesi
Ho capito che il tuo ragionamento vuole generalizzare il problema.

Ecco la generalizzazione (detta a modo mio).
a) Associamo all'intero N l'insieme S(N) dei suoi fattori (ripetuti se non sono semplici).
Per esempio, se N = 72, l'insieme S(72) = {2a, 2b, 2c, 3a, 3b}
b) Dividiamo S in due parti una complementare dell'altra. Ho tante possibilità quante sono le parti. Si sa che le parti di un insieme di m elementi sono 2^m (compresa la parte vuota, complementare dell'intero S).
Ecco, per esempio, le 2^5 = 32 parti di S(72) che ha 5 elementi
Φ,
{2a} {2b} {2c} {3a} {3b}
{2a, 2b} {2a, 2c} {2a, 3a} {2a, 3b} {2b, 2c} {2b, 3a} {2b, 3b} {2c, 3a} {2c, 3b} {3a, 3b}
{2a, 2b, 2c} {2a, 2b. 3a} {2a, 2b, 3b} {2a, 2c, 3a} {2a, 2c, 3b} {2a, 3a, 3b} {2b, 2c, 3a} {2b, 2c, 3b} {2b. 3a, 3b} {2c, 3a, 3b}
{2a, 2b, 2c, 3a} {2a, 2b, 2c, 3b} {2a, 2b, 3a, 3b} {2a, 2c, 3a, 3b} {2b, 2c, 3a, 3b}
{2a, 2b, 2c, 3a, 3b}
c) Consideriamo i numeri prodotti dei fattori di ciascun insieme-parte.
Ecco i 32 prodotti nel caso di S(72), [NB. Alla parte vuota corrisponde il fattore neutro 1]:
1,
2, 2, 2, 3, 3,
4, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 6, 6, 9,
8, 12, 12, 12, 12, 18, 12, 12, 18, 18,
24, 24, 36, 36, 36,
72
d) Scartiamo i numeri eventualmente ripetuti. I numeri (distinti) rimasti sono i casi del primo fattore x con secondo fattore y = N/x.
e) Il numero di numeri rimasti è ... la risposta al quiz (cioè in quanti modi si può suddividere un rettangolo non quadrato in N rettangoli uguali).

Nel caso di 1155 non ci sono ripetizioni, nel caso di 72 ce ne sono parecchie!
Per S(72), prendendo solo le parti distinte, mi restano 12 numeri:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
e quindi le 12 coppie
[1, 72]; [2, 36]; [3, 24]; [4, 18], [6, 12]; [8, 9]; [9, 8]; [12, 6]; [18, 4]; [24, 3]; [36, 2]; [72, 1].

Nel caso di 1155 = 3·5·7·11 (che ha 4 fattori semplici) ottengo 2^4 = 16 parti diverse ciascuna da ciascun'altra cui corrispondono i 16 divisori distinti di 1155.
Nel caso di 36 = 2·2·3·3 – due fattori entrambi doppi – le 16 parti sono:
Φ
{2a} {2b} { {3a} {3b}
{2a, 2b} {2a, 3a} {2a, 3b} {2b, 3a} {2b, 3b} {3a, 3b}
{2a, 2b. 3a} {2a, 2b, 3b} {2a, 3a, 3b} {2b. 3a, 3b}
{2a, 2b, 3a, 3b}
Ad esse corrispondono i 16 numeri:
1,
2, 2, 3, 3,
4, 6, 6, 6, 6, 9,
12, 12, 18, 18,
36
dei quali quelli distinti sono i 9 numeri x
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
da associare ai 9 numeri y = 36/x
per fare le 9 coppie [x, y], cioè
[1, 36]; [2, 18]; [3, 12]; [4, 9]; [6, 6]; [9; 4]; [12, 3]; [18, 2]; [36, 1].

---------
:hello:

aspesi 25-09-11 12:10

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 519880)
@ aspesi
Ecco la generalizzazione (detta a modo mio).
a) Associamo all'intero N l'insieme S(N) dei suoi fattori (ripetuti se non sono semplici).
Per esempio, se N = 72, l'insieme S(72) = {2a, 2b, 2c, 3a, 3b}
b) Dividiamo S in due parti una complementare dell'altra. Ho tante possibilità quante sono le parti. Si sa che le parti di un insieme di m elementi sono 2^m (compresa la parte vuota, complementare dell'intero S).
Ecco, per esempio, le 2^5 = 32 parti di S(72) che ha 5 elementi
Φ,
{2a} {2b} {2c} {3a} {3b}
{2a, 2b} {2a, 2c} {2a, 3a} {2a, 3b} {2b, 2c} {2b, 3a} {2b, 3b} {2c, 3a} {2c, 3b} {3a, 3b}
{2a, 2b, 2c} {2a, 2b. 3a} {2a, 2b, 3b} {2a, 2c, 3a} {2a, 2c, 3b} {2a, 3a, 3b} {2b, 2c, 3a} {2b, 2c, 3b} {2b. 3a, 3b} {2c, 3a, 3b}
{2a, 2b, 2c, 3a} {2a, 2b, 2c, 3b} {2a, 2b, 3a, 3b} {2a, 2c, 3a, 3b} {2b, 2c, 3a, 3b}
{2a, 2b, 2c, 3a, 3b}
.......
.......
:hello:

Esattamente!;)

E' più o meno lo stesso mio ragionamento.

Ad es. supponiamo che il numero sia 25920
25920 = 2^6 * 3^4 * 5

Applichiamo la formula che ho indicato prima:
Numero coppie = (2/1)^a * (3/2)^b * (4/3)^c * (5/4)^d * (6/5)^e * (7/6)^f

Cioè:
2^3 * (3/2)^2 * (4/3)^2 * (5/4)^2 * 6/5 * 7/6 = 70 coppie (non le ho contate una per una, ma penso che il risultato sia corretto... :fis:)

Ciao
Nino

Erasmus 25-09-11 15:20

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 519907)
E' più o meno lo stesso mio ragionamento.

Infatti ... mi sono "ispirato" ad esso... dopo qualche sforzo per capire (non sempre riuscendoci) le tue ambigue espressioni.

----------
:hello:
P.S.
La connessione con le terne pitagoriche? :mmh:
Dato un numero dispari N, sia esso il prodotto dei due numeri (necessariamente dispari) x ed y ( con x < y)
xy = N dispari.

Allora una terna [a, b, c] pitagorica (ossia a, b e c interi positivi tali che a^2 + b^2 = c^2) è la seguente:
a = N = xy
b = (y^2 – x^2)/2 = [(N/x)^2 – x^2]/2
c = (y^2 + x^2)/2 = [(N/x)^2 + x^2]/2

Qualcosa di analogo succede se N è invece pari.
Dunque, la ricerca delle terne pitagoriche con un cateto di dato valore N è analoga a questo quiz: trovare i divisori distinti (1 compreso) di un dato numero intero.

Bye, bye

nino280 25-09-11 23:10

Re: Qualche quiz
 
Avete anche messo 1x36 ?
Come si fa a dividere un rettangolo in 1x36 ?
Voi direte semplice, se ho un pavimento, diciamo una striscia lunga di un metro x 36 la divido in 36 parti, ma cosi' ottengo 36 quadrati e non 36 rettangoli come chiedeva il quiz, quindi almeno questo caso va escluso:D

Erasmus 26-09-11 06:53

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 520068)
Avete anche messo 1x36 ?

Certamente!
Quote:

nino280 (Scrivi 520068)
Come si fa a dividere un rettangolo in 1x36 ? [...]
... almeno questo caso va escluso :D

:eek:
Non mi dire che sei caduto un'altra volta di nuca sul campo da tennis! :D
Chiaramente se nel dato rettangolo un lato è lungo 36 volte quell'altro, in uno dei due modi si ottengono 36 quadratini ... che sono pure rettangoli. Il quiz, come già detto rispondendo ad una analoga obiezione di aspesi, precisa che non è quadrato il rettangolo da suddividere [se no è indistinguibile il tagliarlo in x parti parallelamente a questo o a quel lato dal tagliarlo in y parti parallelamente a questo o a quel lato]: ma non impone alcuna limitazione alla forma dei rettangolini.
----------
:hello:

Erasmus 26-09-11 08:24

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 519950)
[...]
Qualcosa di analogo succede se N è invece pari.

Precisamente:
Sia N = 2m un numero pari e sia x un suo divisore dispari.
[NB: se N è una potenza di 2, c'è ancora (e unico) il divisore dispari 1].
Allora una terna [a, b, c] pitagorica è senz'altro data da
a = |(N/x)^2 – x^2| = |(2m/x)^2 – x^2|
b = 2N = 4m
c = (N/x)^2 + x^2 = (2m/x)^2 + x^2
[NB. Perché raddoppiare N che è già pari? Perché in ogni terna pitagorica uno dei due cateti è sempre [pari e] divisibile per 4].
Per esempio, per N = 30 (ossia m = 15) i divisori dispari di N sono 4: 1, 3, 5 e 15. Abbiamo allora 4 terne pitagoriche con un cateto (pari) uguale a 2N = 60:
divisore 1 ––>[899, 60, 901];
divisore 3––> [91, 60, 109];
divisore 5 ––> [11, 60, 61];
divisore 15 ––> [221, 60, 229].

Ciao, ciao
--------------
:hello:

Erasmus 26-09-11 09:33

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 520118)
Forse non mi sono ancora ripreso completamente :mad:

E' probabile :D
Ma vedrai che se fai una bella dormita ritornerai nuovo ... come un ragazzino! ;)
Quote:

nino280 (Scrivi 520118)
Il fatto è che se prendo il rettangolo 1x36 lo posso dividere in un modo solo e non in 9.

Mi preoccupi, Nino :o
Nessuno ti ha chiesto che i rettangolini abbiano i lati ancora interi.
[Hai letto anche quello che ho scritto in bianco, anzi in "color= LemonChiffon"?]
1) Puoi farne 36 quadratini 1 x 1, ma anche 36 strisce [rettangolari] lunghe 36 e larghe 1/36.
2) Oppure 36 striscie rettangolari (36/9) x 1/4 = 4 x 1/4.
3) Oppure 36 striscie rettangolari (36/4) x 1/9 = 9 x 1/9.
4) Oppure 36 rettangolini (36/18) x 1/2 = 2 x 1/2.
4) Oppure ...
...
(continua fino a 9 tipi di rettangolini, sempre in numero di 36, sempre uguali tra loro, ogni volta di forma diversa. Nove tipi perché 9 sono i divisori distinti di 36
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 ).
In generale, dato un rettangolo non quadrato di lati lunghi A e B, in quanti modi puoi suddividerlo in N rettangolini tutti uguali tra loro e di forma sempre diversa?
Risposta: In tanti modi quanti sono i divisori distinti di N.
Se, infatti, N = h·k (con h e k interi positivi), puoi sempre pensare di tagliare il rettangolo di lati A e B in N rettangolini di lati A/h e B/k oppure di lati A/k e B/h.
Per ogni h hai due modi, (dividendo A per h e B per k o, viceversa, A per K e B per h) tranne il caso in cui h e k siano uguali (cioè N sia un quadrato perfetto). E' il caso di 36. Vedi che il numero di divisori distinti di 36 è 9 (dispari!): perché se il divisore è 6, il complemento è ancora 6 [e con questo divisore hai un solo tipo di rettangolini invece di due].

Bye bye, figliolo.

aspesi 26-09-11 11:10

Re: Qualche quiz
 
Quadrato con 5 rettangoli

Ho tagliato 5 rettangolini in legno con le misure dei lati uguali a 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (ciascun numero è presente una sola volta come misura di un paio di lati opposti dei rettangoli).
Sto cercando di assemblare i cinque pezzi in modo da formare un quadrato perfetto.

E' possibile?
E se sì, in quanti modi?

:hello:

Erasmus 26-09-11 18:17

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 520158)
Quadrato con 5 rettangoli

Ho tagliato 5 rettangolini in legno con le misure dei lati uguali a 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (ciascun numero è presente una sola volta come misura di un paio di lati opposti dei rettangoli).
Sto cercando di assemblare i cinque pezzi in modo da formare un quadrato perfetto.

E' possibile?
E se sì, in quanti modi?

Boh!?
Vuoi sapere troppo!

Di colpo vedo una condizione necessaria (chissà se anche basterà soddisfarla).
Posso fare 5 coppie ciascuna disgiunta da ciascun'altra in tanti modi (non ho ancora calcolato quanti).
Ogni quintetto di coppie [o ... cinquina di ambi, per far piacere ad aspesi] è una partizione di un insieme di 10 elementi in 5 insiemi di due elementi ciascuno.
Ad ogni coppia faccio corrisponde il prodotto dei termini della coppia.
Per esempio
1 x 2; 3 x 4; 5 x 6; 7 x 8; 9 x 10] –––> 2, 12, 30, 56, 90.
La condizione necessaria è che ci sia un quintetto di coppie disgiunte tali che la somma dei 5 prodotti dei 2 termini di ciascuna coppia dia per totale un quadrato perfetto.
Controlliamo l'esempio:
2 + 12 + 30 + 56 + 90 = 190
No, questi abbinamenti non vanno bene!

Vediamo quanti sono gli abbinamenti possibili, cioè i quintetti di coppie disgiunte.
Se estraggo una coppia da un insieme di 2N elementi mi resta un insieme di 2N–2 elementi disgiunto dalla coppia. Continuo ad estrarre coppie fino all'esaurimento.
Posso estrarre una coppia da un insieme di 2N elementi in C(2N, 2) = 2N·(2N–1)/2 modi.
Posso allora fare gli N abbinamenti dei 2N elementi in
C(2N, 2) · C(2N–2, 2) · ... · C(2, 2) = [(2N)!]/(2^N) modi.
Per N = 5: –––> 45·28·15·6·1 = (10!)/2^5 = 113400 modi.

Occorrerebbe provare ciascuno di questi 113 mila 400 abbinamenti per verificare se (e quante volte) è soddisfatta la condizione necessaria.

L'illustrissiimo (quasi) alieno, se non fosse troppo sobrio, lo potrebbe fare in un battibaleno (con la supervisione del suo gatto Behemoth) con un programmino ad hoc.

La minima area è Amin =1·10 + 2·9 + 3·8 + 4·7 + 5·6 = 110.
La massima area è Amax = 1·2 + 3·4+ 5·6 + 7 8 + 9·10 = 190.
I quadrati intermedi sono: Q1 = 11^2 = 121; Q2 = 12^2 = 144; Q3 = 13^2 = 169.
Provo a modificare scambiando fattori di due prodotti distinti partendo dall'area minima.
Con alcuni scambi ho beccato Q1 = 121. Ecco qua:
1·8 + 2·6 + 3·10 + 4·9 + 5·7 = 121.
{Ho permutato la disposizione dei secondi fattori da [10, 9, 8, 7, 6] in [8, 6, 10, 9, 7]}
Non è ancora detto che si possano unire i 5 rettangoli per fare il quadrato 11 x 11.
Ci penso ... (mumble ... mumble ...).
No: questi 5 rettangoli non vanno bene!
Per fare il lato del quadrato che è 11, avendo un rettangolo con un lato 10, devo per forza avvicinare 10 x 3 a 1 x 8. Ma allora, per fare anche l'altro lato 11, mi servirebbe un secondo rettangolo con un lato 3, che invece non c'è più!

Proviamo quest'altra:
1·6 + 2·3 + 4·8 + 5·7 + 9 ·10 = 169 = 13^2.
No, non va bene neanche questa!
Devo affiancare il 3 x 2 al 10 x 9 per avere il lato 13. Ma allora mi resta un tratto scoperto di lunghezza 7 del 10 x 9 che dovrei completare con un rettangolo con un lato ancora 3 che non ho più.

Temo che, anche provando tutti i quintetti di coppie che dànno prodotti con totale 121 o 144 o 169, non si riesca a coprire mai il rispettivo quadrato 11 x 11 o 12 x 12 o 13 x 13.

Beh: io ho ci ho giocato abbastanza.
Prosegua il gioco qualcun altro.

Oppure, il mago aspesi si riveli del tutto!

Ciao ciao
-----
:hello:


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