Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Qualche quiz (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=33691)

Erasmus 30-07-11 01:52

C'è qualcuno?
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 499495)
E' dato un quadrilatero articolato di lati che, in senso ciclico, sono lunghi a, b, c, e d con a+c = b+d (e quindi tale da ammettere sempre un cerchio inscritto).
1) Mostrare che l'area del quadrilatero nel caso in cui esso ammette pure un cerchio circoscritto vale (abcd);
2) Mostrare, senza l'uso di calcolo differenziale, che tale area (abcd) è la massima area possibile per il quadrilatero articolato con i lati di quella data lunghezza.
]

=> Teorema 1.png
=> Teorema 2.gif
Bye, bye

nino280 01-08-11 20:52

Re: Qualche quiz
 

Voglio verificare il teorema 1( Dal paper di sopra di Erasmus):
cioè voglio verificare che se un quadrilatero è inscritto è anche circoscritto:
prendiamo il già citato quadrilatero articolato o snodato di lati 30 ; 40 ; 50 ; 60
Per mia comodità disegno il quadrilatero in un sistema di assi cartesiani.
Il lato di 30 ha coordinate x=0 ; y=30
chiamo alfa l'angolo fra i lati 30 e 40
dalla formula 5 di Erasmus ricavo:
sen alfa = 2S/ab+cd = 3.794,733/4200 = 0,9035079 = 64,623066° =115,37693° (angolo supplementare)
traccio ora dall'estremità del primo lato (y=30) un segmento a 115,37 . .° lungo 40.
Da questa ultima estremità di coordinate X=36,14 y= 47,143 traccio un cerchio di raggio 60
Dall'estremità in basso del lato di 30 di coordinate x=0 ; y=0 traccio un cechio di r = 50
L'intersezione di questi due cerchi è un punto di coordinate X=48,65; y=-11,538
Congiungo estremità 30 ed estremità 40 con due rette fino a detta itersezione e voilà il nostro quadrilatero snodato di 30 , 40, 50, 60.
Verifico col comando "tritangenza" se il cerchio inscritto è tangente ai 4 lati. Clicco su tre lati, è OK perchè anche il 4° lato è tangente di coseguenza. Bene, per finire la verifica che mi promettevo di fare:
clicco tre estremi del quadrangolo (sempre con lo stesso comando tritangenza) ed anche questa volta il cerchio circoscritto passa essattamente per i quattro vertici della figura.
Erasmus:ok: Il teorema è giusto:D:hello:
P.S. L'aver disegnato il quadrilatero in un sistema cartesiano può essere utile se qualcuno ne avesse voglia di verificare il tutto con la geometria analitica, io non ne ho voglia e non mi ricordo le formule, ma sono sicuro che si può fare, anzi a proposito segnalo le coodinate dei due cerchi inscritto e circoscritto:
cerchio circoscritto R = 32,873 (coordinate del centro x=29,251 Y=15
Cerchio inscritto r = 21,082 (coordinate del centro x=21,082 y =16,667
Ciao

Erasmus 02-08-11 13:35

Quasi come Erone.
 
Bravo Nino, sei forte. ;)

Ma cosa faresti senza il tuo CAD?
Addio cliccare "tritangenza", addio verifiche geometriche :D
------------------------------------------------------------------
Ho generalizzato i discorsi relativi al quadrilatero articolato.
Senza imporre che ammetta il cerchio inscritto (cioè: senza imporre che la somma di due lati opposti sia uguale alla somma degli altri due), l'area massima si ha in ogni caso quando il quadrilatero ammette il cerchio circoscritto.

Se a, b, c e d sono le lunghezze dei lati del quadrilatero, quest'area vale:
Smax = (1/4)·√[(–a+b+c+d)(a–b+c+d)(a+b–c+d)(a+b+c–d)].

Non penso certo di aver trovato qualcosa di originale: tuttavia penso che l'Illustrissimo non lo sapeva; e nemmeno Piotr. :p
Che io sappia, questa nozione (che mi pare notevole) non si insegna in alcuna scuola della Repubblica!

Vediamo se l'Illustrissimo e/o Piotr mi confermano o mi smentiscono.
--------------------
Se diciamo p il semiperimetro (a+b+c+d)/2 , la "mia" formula diventa:

Smax= √[(p–a)(p–b)(p–c)(p–d)]


Si sa – dai tempi di Erone (1° secolo a.C. o 1° secolo d. C.?)– che se a, b e c sono le lunghezze dei lati di un triangolo e p è il semiperimetro (a+b+c)/2, l'area del triangolo vale:

Str = √[p(p–a)(p–b)(p–c)]

La "mia" formula comprende anche questa di Erone come caso limite al tendere a zero della lunghezza di un lato del quadrilatero, [al tendere a zero di d per come sono scritte le formule].

Naturalmente, se a+c = b+d (cioè il quadrilatero ammette anche il cerchio inscitto), si ritrova la formula
Smax = √(abcd).

Bye, bye
------------------
P.S.
Domani vado via di nuovo.
Ciao a tutti,

ANDREAtom 16-08-11 06:16

Re: Qualche quiz
 
Io senza l'uso della calcolatrice non mi ricordo più come si estrae la radice quadrata :o

nino280 16-08-11 15:09

Re: Qualche quiz
 
Io senza l'uso della calcolatrice non mi ricordo più come si estrae la radice quadrata :o

Vediamo, devi fare la radice di 2209; fai finta di fare una divisione normale. Partendo da destra dividi il numero a due a due.
Ottieni 22.09; devi trovare un numero (il massimo) che moltiplicato per se stesso sta nel 22 ed è 4
4x4 = 16 che scrivi sotto il 22 e sottrai.
Ottieni 6 e poi abbassi lo 09
Otieni 609 (porca miseria è più facile a farla che spiegarla):D
Ora raddoppia il 4 e diventa 8
ora trovare un numero x che messo a fianco dell' 8 e motiplicato sempre per x , stia nel 609 , che è 7 cioè 87*7 = 609 giusti e li finisce. Quindi alla fine è 47:hello:

Erasmus 21-08-11 17:36

Re: Quasi come Erone.
 
Ero convinto di aver "postato" in questo thread martedì 16 agosto (di passaggio da casa, per ritornarmene subito fuori).
Ma siccome non mi vedo, vorrà dire che, come altre volte, ho fabbricato il "post", ne ho fatto l'anteprima ... tutto OK, salvo poi dimenticare di inviare effettivamente. :o

Metto allora adesso il "paper" datato 16 agosto che credevo d'aver messo allora.
Contiene ... una dimostrazione della mia ultima affermazione.

Coviene che mi citi (a scanso di equivoci o incomprensioni):
Quote:

Erasmus (Scrivi 503737)
[...]
Ho generalizzato i discorsi relativi al quadrilatero articolato.
Senza imporre che ammetta il cerchio inscritto (cioè: senza imporre che la somma di due lati opposti sia uguale alla somma degli altri due), l'area massima si ha in ogni caso quando il quadrilatero ammette il cerchio circoscritto.

Se a, b, c e d sono le lunghezze dei lati del quadrilatero, quest'area vale:
Smax = (1/4)·√[(–a+b+c+d)(a–b+c+d)(a+b–c+d)(a+b+c–d)].

Non penso certo di aver trovato qualcosa di originale: tuttavia penso che l'Illustrissimo non lo sapeva; e nemmeno Piotr. :p
Che io sappia, questa nozione (che mi pare notevole) non si insegna in alcuna scuola della Repubblica!

Vediamo se l'Illustrissimo e/o Piotr mi confermano o mi smentiscono.
--------------------
Se diciamo p il semiperimetro (a+b+c+d)/2 , la "mia" formula diventa:

Smax= √[(p–a)(p–b)(p–c)(p–d)]
[...]

=> Area del Quadrilatero Circoscrivibile - PNG

Ciao a tutti
:hello:

nino280 22-08-11 08:51

Re: Qualche quiz
 
Da Erasmus e per Erasmus
=> Area del Quadrilatero Circoscrivibile - PNG

Un suggerimento.
Dal momento che ritengo questi tuoi paper molto ma molto interessanti ti suggerisco e prego di scorporarli e metterli in nuova apposita discussione (anche solo copiandoli col nome "quadrilateri circoscrivibili" o simile. Il motivo semplice è come tu sai, che a volte ci e mi capita di voler ritornare sull'argomento anche dopo anni, ora cercare questo argomento in questo thread che ha ormai migliaia di pagine sarebbe un'impresa.
Grazie Ciao.
Se non lo fai tu lo faccio io tanto non dovrebbe essere una cosa lunga.:hello:

Erasmus 22-08-11 20:49

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 509045)
[...] dal momento che ritengo questi tuoi paper molto interessanti ti suggerisco di scorporarli e metterli in nuova apposita discussione (anche solo copiandoli col nome "quadrilateri circoscrivibili" o simile. Il motivo semplice è come tu sai, che a volte ci e mi capita di voler ritornare sull'argomento anche dopo anni, ora cercare questo argomento in questo thread che ha ormai migliaia di pagine sarebbe un'impresa. [...]

Beh: potresti sempre "scaricare" e "conservare" il paper che ritieni interessante.

Comunque, stavolta ti accontento.
Apro un nuovo thread col titolo "Quadrilateri circoscrivibili" e metto anche là quest'ultimo "paper".
....
Fatto!

V. => Quadrilateri circoscrivibili, (by Erasmus, lun 21.08.11)

Ciao, ciao
:hello:

aspesi 25-08-11 17:15

Re: Qualche quiz
 
Un triangolo dentro un altro triangolo

Dato il triangolo ABC con:
AB=4
BC=5
AC=6
si segnano i punti D, E, F
rispettivamente su AC, AB, BC
tali che il triangolo DEF abbia i lati
DE=2
EF=3
FD=4

Quanto vale AD ?

:hello:

Erasmus 30-08-11 12:34

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 510120)
Un triangolo dentro un altro triangolo

Dato il triangolo ABC con:
AB=4
BC=5
AC=6
si segnano i punti D, E, F
rispettivamente su AC, AB, BC
tali che il triangolo DEF abbia i lati
DE=2
EF=3
FD=4

Quanto vale AD ?

NB. Sono rientrato ieri sera (lun. 29.08.11), ma volevo ugualmente dedicarmi al tuo problemino.
Eh, eh! Il problemino è ... simpatico!
Ma mica tanto sbrigativo. :o

Ieri sera credevo di aver trovato una via sbrigativa ... ma poi ho fatto cilecca! :lipssealed:

Si può impostare direttamente nelle incognite:
x = AD; y = BE; z = CF (*)
[con cui sarà poi: CD = 6–x; BE = AE = 4 – y; BF = 5 – z (**) ].
L'impostazione è facile ... ma il manipolare le equazioni è arduo!
[Tre equazioni algebriche di 2° grado: una in x e y, una in y e z e una in z e x].

Ecco qui l’impostazione.
Si possono trovare i coseni degli angoli nei vertici A, B e C dal triangolo ABC ed uguagliarli ai coseni degli stessi angoli pensati angoli rispettivamente dei triangolini ADE, BEF e CFD.

Dal triangolone ABC si trova
(***)
cos(BAC) = (4^2+6^2 – 5^2)/(2*4*6) = 9/16
cos(ABC) = (4^2+5^2 – 6^2)/(2*4*5) = 1/8
cos(ACB) = (6^2+5^2 – 4^2)/(2*6*5) = 3/4
Dai triangolini ADE, BEF e CFD abbiano dunque:
(****)
cos(BAC) = cos(DAE)=> [x^2 + (4–y)^2 – 2^2][2*x*(4–y)= 9/16
cos(ABC) = cos(EBF) = [y^2 + (5–z)^2 – 3^2][2*y*(5–z)= 1/8
cos(ACB) = cos(DCF) = [z^2 + (6–x)^2 – 4^2][2*z*(6–x)= 3/4
Eliminando z dalla 2ª e dalla 3ª di (****) si trova una equazione in y e x da cui si può ricavare y in funzione di x, diciamo y = F(x). Sostituendo nella 1ª y con questa F(x) si ottiene una equazione in x = AD.
Con la mia calcolatrice grafica non sarebbe neanche una cosa molto mostruosa.

Ma ieri sera credevo di aver trovato una via più praticabile (ed elegante) prendendo per incognite non i segmenti ma gli angoli.

Avendo 2 triangoli con i lati noti possiamo trovare gli angoli ai loro vertici (col teorema di Carnot).
Siano dunque:
α = BAC; β = ABC ; γ = ACB
e
δ = EDF ; ε = DEF; η = DFE.
Si ricordi anche che α+ β+ γ = δ+ ε+ η = π (=180°). (I)
Poniamo ora come incognite gli angoli:
x = ADE
y = BEF
z = CFD.

Nino II: ti consiglio di segnare gli angoli sulla figura, se no fai fatica a vedere quel che sto per dire!
Ecco la figura:
Triangolo_nel_triangolo.PNG

Risulta subito – tramite le (I) –
x + δ = γ + z => z – x = δ – γ;
z + η= β + y => y – z = η– β;
y + ε= α + x => x – y = ε– α.

Purtroppo, però, questo sistema non è determinato ... :o

[La terza equazione viene anche sommando le prime due, cambiando di segno e ricordando le (I)].

Ci penserò ancora ...
Nel frattempo cercherò di trovare graficamente la soluzione (ovviamente approssimata, per tentativi con approssimazioni successive).

Ciao ciao
--------------------
:hello:


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