Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   Rudi Mathematici (http://www.trekportal.it/coelestis/forumdisplay.php?f=11)
-   -   Qualche quiz (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=33691)

aspesi 03-01-22 18:24

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 847318)
Ciao

Mi fido ;)
(Non conosco la soluzione)

:hello:

Erasmus 04-01-22 22:23

Re: Qualche quiz
 
Si legge male, ma il quiz consiste nel calcolare l'area rossa [parte dell'area del quadrato grande di lato 10 cm^2].
Provvisoriamente faccio 1 il lato (e quindi anche l'area) del quadrato grande. Il quadrato piccilo θ 1/4 e quindi il resto θ pensabile come l'unione di 4 trapezi ciascuno di area
(1/4)·3/4 = 3/16 [dell'area del quadratone].
Un quarto di area rossa θ complemento dell'area gialla in un trapezio di area 3/16.
Il raggio di un semicerchio giallo θ
(1/2)·1/√(2) = 1/√(8),
quindi l'area di un semicerchio giallo θ
(1/2)·π/8 = π/16.
La parte gialla che in ciascuno dei quattro trapezi θ complemento della parte rossa θ composta da un quarto di semicerchio e da mezzo quadrato di lato pari al raggio del semicerchio, ossia di area
(1/4)·π/16 + (1/2)·(1/8) = (π + 4)/64
Un quarto di area rossa θ pertanto
3/16 – (π + 4)/64) = (8 – π)/64 [dell'area del quadratone]
Area Rossa θ dunque (8 – π)/16 dell'area del quadratone; ossia in cm^2:
(100/16)·(8 – π) cm^2 = 50 – (100·π)/16 cm^2 =30,36504591506379 ... cm^2.
––––––––––
:hello:

aspesi 05-01-22 07:28

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 847348)
Si legge male, ma il quiz consiste nel calcolare l'area rossa [parte dell'area del quadrato gtande di lato 10 cm^2].
Provvisoriamente faccio 1 il lato (e quindi anche l'area) del quadrato grande. Il quadrato piccilo θ 1/4 e quindi il rest0nθ pensabile come l'unione di 4 trapezi ciascuno di area
(1/4)·3/4 = 3/16 [dell'area del quadratone].
Un quarto di area rossa θ complemento dell'area gialla in un trapezio di area 3/16.
Il raggio di un semicerchio giallo θ
(1/2)·1/√(2) = 1/√(8),
quindi l'area di un semicerchio giallo θ
(1/2)·π/8 = π/16.
La parte gialla che in ciascuno dei quattro trapezi θ complemento della parte rossa θ composta da un quarto di semicerchio e da mezzo quadrato di lato pari al raggio del semicerchio, ossia di area
(1/4)·π/16 + (1/2)·(1/8) = (π + 4)/64
Un quarto di area rossa θ pertanto
3/16 – (π + 4)/64) = (8 – π)/64 [dell'area del quadratone]
Area Rossa θ dunque (8 – π)/16 dell'area del quadratone; ossia in cm^2:
(100/16)·(8 – π) cm^2 = 50 – (100·π)/16 cm^2 =30,36504591506379 ... cm^2.
––––––––––
:hello:

Ottimo ragionamento!
Non mi era venuto in mente...

:hello:

Erasmus 05-01-22 09:08

Re: Qualche quiz
 
Memento: Area Rossa = 50 – (100·π)/16 cm^2 =30,36504591506379 ... cm^2.
E quant'θ invece l'area azzurra? :mmh:

La calcolo in due modi
1) Direttamente.
Nei quadrato piccolo [di area 1/4 del'area del quadratoc grande], l'area azzurra θ il complemento di quattro quarti di semicerchio giallo [che θ di area π/16 dell'area del quadrtato grande]
Quindi, detta C l'area azzurra (= celeste), si trova:
C =(1/4 – π/16) dell'area del quadrato grande; ossia, in cm^2:
C = 100·(1/4 – π/16) cm^2 = [25 – (100·π)/16] cm^2 = 5,36504591506379 ... cm^2.

2) Sfruttando il precedente risultato
L'insieme di area rossa e di area azzurra θ, nel quadratone, il complemento dell'area gialla che θ pari a 4 quarti di cerchio giallo piω qauattro mezzi quadrati di lato uguale al raggio del cerchio [cioθ 1/√(8) del lato del quadrato grande].
Insomma: l'area gialla θ [π/8 + 2/8] dell'area del quadrato grande e quindi (detta R l'area rossa):
R + C = {1 – [π/8 + 1/4]} = (6 – π)/8 dell'area del quadrato grande.
Ricordando che θ R = (8 – π)/16 dell'area del quadrtato grande:
C = (6 – π)/8 – (8 – π)/16 = [(12 – 2π) – (8 – π)]/16 = (4 – π)/16 [di quadratoneˆ.
In cm^2:
AreaAzzurra = 100·[(4 – π)/16) cm^2 = [25 – (100·π)/16] cm^2 = R – 25 cm^2 =
= 5,36504591506379 ... cm^2.
––––––––––––
Di notevole c'θ che la differenza tra Ara Rossa e Area Azzurra θ un quarto esatto di quadrato grande, ossia pari all'area del quadrato piccolo.

––––––––––
:hello:

Erasmus 05-01-22 13:24

Re: Qualche quiz
 
Replico!
Domanda: Quanto valgono l'area rossa e l'area azzurra? :mmh:
Molto piω facile di quanto si creda a prima vista!
Metodo somma e differenza
Detta Q l'area del quadratone, siano R l'area rossa e C l'area azzurra.
1) Dentro al quadratone, ogni quarto di area gialla puς pensarsi composto da un quarto di cerchio e mezzo quadrato di lato pari al raggio del cerchio, cioθ 1/4 di diagonale del quadratone, ossia 1/√(8) del lato del quadratone.
Quindi l'area gialla dentro al quadratone – diciamola G – θ:
G = {π·[1/√(8)]^2+ 2·[1/√(8)]^2}·Q = [(π + 2)/8]·Q.
La somma dell'area rossa R e dell'area azzurra C ι dunque Q – G, cioθ:
R + C = {1 – [(π + 2)/8]}·Q = [(6 – π)/8]·Q. (*)
2) Immaginiamo di rovesciare le 4 striscvioline azzurre sull'area rossa.
Si nota allora che restano scoperti 4 mezzi quadrati rossi di lato pari ad un quarto di diagonale del quadratone. Abbiamo dunque
R – C = {2·[1/√(8)]^2}·Q = (1/4)·Q. (**)
Sommando (*) con (**) e dividendo per 2 si trova:
R = [(8 – π)/16]·Q = [50 – (100·π)/16] cm^2
Sottraendo (**) a (*) e dividendo per 2 si trova:
C = [(4 – π)/16]·Q = [25 – (100·π)/16] cm^2
:ok: to me!
–––––––
:hello:

aspesi 08-01-22 17:46

Re: Qualche quiz
 
Se consideriamo un semplice cubo 2x2x2, al suo interno possiamo contare:
8 cubetti 1x1x1
12 dicubi 1x1x2 (4 per ogni direzione ortogonale)
6 solidi 1x2x2 (2 per ogni direzione ortogonale)
1 cubo 2x2x2
In totale 27 subsolidi. Allora scrivo: Sub(2*2*2)=27
Risolvi Sub(3*3*3)
Trova una formula generale per Sub(x*y*z).

:hello:

Erasmus 10-01-22 02:07

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 847453)
[...]
Trova una formula generale per Sub(x*y*z).

Occhio! Credo che intendessi scrivere
Sub(n, n, n)
[con n intero positivo qualunque‘bSecosμ ... va a correggere!
––––––––
:hello
–––––––––

P.S. [Off–topic]]
Penso che il tuo Sub sia un insieme di insiemi ciascuno dei quali ha elementi uguali ... se no di insiemi disolidi e ne sonoanche altri(pureinteressanti). Per esempio, un cubo θ componinile 5 tetraedri 4 dei quali. hanno tre faccie che sono mezze faccedelcuboe ilquintoθ regolare con spigolouguale alladiagonale delle facce del cubo,
[Questo modo di pensare un tetredro regolare permette di avere il suo volume in funzione delsuo spigolomoltofacilmente!
Da un cubo di spigolo a/√2) – e quindi di diagonale della facce a e volume
√(2)(a^3)/4 detraiamo 4 tetraedri con tre dei sei spigoli che sono spigoli del cubo e quindi di volume complessivo
4·[√(2)(a^3)/4]/6 = √(2)(a^3)/6
ottenemdo
(1/4 – 1/6)·√(2)(a^3) = [√(2)·a^3]/12.

aspesi 10-01-22 10:56

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 847480)
Occhio! Credo che intendessi scrivere
Sub(n, n, n)

––––––––
:hello
–––––––––

Quindi? (Qual θ il numero di possibili cuboidi (compresi i cubi) che rientrano in un cubo
3*3*3 (e n*n*n)?

:hello:

aspesi 11-01-22 13:18

Re: Qualche quiz
 
Bello!



:hello:

nino280 11-01-22 14:47

Re: Qualche quiz
 


Ciao


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