Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   Rudi Mathematici (http://www.trekportal.it/coelestis/forumdisplay.php?f=11)
-   -   Qualche quiz (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=33691)

Erasmus 30-11-10 11:57

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 424228)
Mi sa che ne hai (avete) perso (persi) pi di uno :fis:

Di sicuro:
Tr_(1) = 1
Tr_(2) = 5
Tr_(3) = 13

Sarebbe bello che fosse Tr_(4) = 25 (invece di 24) e Tr_(5) = 41 (invece di 38).
Allora andrebbe bene
Tr_(n) = 1 + 2n(n1) [legge intensiva];
ossia:
Tr_(1) = 1;
Tr(n) = Tr_(n1) + 4(n1) [legge di ricorrenza].
-----------------
L'ipotesi della formula polinomiale porta a:
Tr_(n) = A + Bn + C n^2.

Allora, sapendo Tr_(1)= 1, Tr_(2) = 5 e Tr_(3) = 13:
A + B + C = 1
A+2B+4C = 5
A+3B+9C = 13
Sottraendo memnbroo a membro la 1 alla 2 e la 2 alla terza:
B + 3C = 4
B + 5C = 8
sottraendo quella di sopra a quella di sotto:
2C = 4; C = 2
Allora, da B+3C = 4 viene:
B + 3*2 = 4; B = 2
e da A +B+ C = 1 per B = -2 e C = 2 viene:
A 2 + 2 = 1; A = 1
In definitiva viene A = 1; B = 2; C = 2 ossia:
Tr_(n) = 1 2n + 2n^2 = 1 + 2n(n_1) [Legge intensiva]

Tr_(n) Tr_(n1) = (1+2n^2 2n) [1 + 2(n1)^2 2(n1)] =
= (1 + 2n^2 2n) (1 + 2n^2 4n + 2 2n + 2) = 4 + 4n = 4(n1) [c. d. d. ;)]

Ciao ciao.
:hello:

aspesi 30-11-10 12:15

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 424339)
Di sicuro:
Tr_(1) = 1
Tr_(2) = 5
Tr_(3) = 13

Sarebbe bello che fosse Tr_(4) = 25 (invece di 24) e Tr_(5) = 41 (invece di 38).
........

Ciao ciao.
:hello:

Sarebbe bello ... , ma non cos .... :D

Tr_(4) = 27

Adesso, Tr_(5) puoi trovarlo tu ... e anche la formula ... ;)

Ciao
:hello:

Erasmus 01-12-10 02:45

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 424349)
[...]
Tr_(4) = 27
[...]

:eek:
:mmh:
Ma no!
Li ho contati mille volte ...
Ci riprovo ...
... ... ...
Porco mondo, hai ragione!
Codice:


0 A
1 B C
2 D E F
3 G H I J
4 K L M N O
5 P Q R S T U
6 V W X Y Z 1 2
7 3 4 5 6 7 8 9 π

Parto dando per certo che Tr_(3) = 13
Aggiungo triangoli nuovi per conteggiare Tr_(4).
+ 7 triangoli piccoli (di lato lungo 1: KGL, GLH, LHM, HMI, MIN, INJ, NJO)
+ 3 di lato lungo 2 con base in riga 4 (KDM, LEN, MFO]
+ 1 di lato lungo 2 con vertice in riga 4 (capovolto: DFM)
+ 2 di lato lungo 3 (KBN, LCO)
+ 1 di lato lungo 4 (KAO)
---------------------------
+ 14 < Tr_(4) = Tr_(3) + 14 = 13 + 14 = 27

La formula precedente ha il difetto che non va bene per n = 0.
Provo a distinguere i triangoli dritti da quelli capovolti per vedere se si "induce" meglio come dovrebbe essere la formula.
Codice:


n    Diritti            Capovolti    Totale
    da 1, 2, 3, 4,  da 1, 2, 3,

0      0                0              0
1      1                0              1
2      3+1              1              5
3      6+3+1            3            13
4      10+6 + 3+1        6+1          27
5      15+10+ 6+3+1      10+3          48
6      21+15+10+6+3+1    15+6+1        78
...    ...              ...          ...

Se ho contato giusto il Tr_(5) = 48, sembra di poter estrapolare questa legge:
Al passo n-esimo, il numero di triangoli diritti la somma dei primi n numeri perfetti; e il numero di triangoli capovolti la somma dei numeri perfetti alterni (scendendo dal pi grande che viene saltato).
Siccome i numeri perfetti sono del tipo k(k+1)/2, cio di secondo grado, la loro somma di terzo grado.
Se la formula polinomiale, dovrebbe essere del tipo:
Tr_(n) = An + Bn^2 + Cn^3.
Proviamo!
1 A + B + C = 1
2 2A + 4B + 8 C = 5
3 3A + 9B + 27C = 13

(2 meno doppio della 1) per 2
0 + 4B + 12C = 6 (*)
(3 meno triplo della 1) diviso 2
0 +3B + 12C = 5 (**)

(*) meno (**)
B = 1
Dalla (*) per B = 1:
41 + 12 C = 6 > 12C = 2 > C = 1/6
Aalla 1 per B = 1 e C = 1/6:
A + 1 + 1/6 =1 > A = 1/6

Tr_(n) = (1/6)n + 1n^2 + (1/6)n^3) = n^2 +(n-1)n(n+1)/6

Occorre ora controllare che questi A, B e C vadano bene anche per n=4 ... e se Tr_(5) = 48 giusto anche per n = 5.
Tr_(0) = 0
Tr_(1) = 1^2 + (11)1(1+1)/6 = 1+0 = 1 > OK
Tr_(2) = 2^2 + (21)2(2+1)/6 = 4 + 123/6 = 4 +1 = 5 > OK
Tr_(3) = 3^2 + (31)3(3+ 1)/6 = 9 + 234/6 = 9 + 4 = 13 OK
Tr_(4) = 4^2 + (41)4(4+1)/6 = 16 + 345/6 = 16 + 10 = 26 Not OK !!!
Tr_(5) = 5^2 + (51)5(5+1)/6 = 25 + 456/6 = 25 + 20= 45 Not OK !!!

La formula non polinomiale !!! :cry:
Quote:

Erasmus (Scrivi 424222)
.. la formula contiene qualche addendo con fattore (1)^n (ossia: che dipende dal fatto che n sia pari o dispari) ...

:spaf:
Infatti!
Comunque, si tratta di una seguenza linearmente dipendente (di cui avevo parlato tempo fa in thread apposito).
a) Ho decomposto la sequenza nella somma di due sequenze: quella dei triangoli diritti e quella dei triangoli capovolti.
b) La prima (quella dei triangoli diritti) la somma dei numeri perfetti; e vale semplicemente:
A(n) = n(n+1)(n+2)/6 = (1/6)n^3 + (1/2)n^2 + (1/3)n
La sua equazione caratteristica (x1)^4 = 0, [un solo zero che vale 1 con molteplicit 4].
La sequenza cio una di quelle per le quali
Y(n+4) 4Y(n+3) +6Y(n+2) 4Y(n+1) + Y(n) = 0
La sua legge di ricorrenza
A(0) = 0; per ogni n intero maggiore di 0 A(n)= A(n1) + n(n+1)/2.
[Ossia: "Aggiungi il prossimonumero perfetto!"]

c) La seconda (quella dei triangoli capovolti) ha questa legge di ricorrenza:
B(0) = 0; B(1) = 0; per ogni n intero maggiore di 1 B(n) = B(n-2) + n(n1)/2
La sua legge intensiva viene:
B(n) = (1/12)n^3 + (1/8)n^2 (1/12)n (1/16) + (1/16)(1)^n .
La sua equazione caratteristica di 5 grado:
(x+1)(x1)^4 =0 >x^5 3x^4 + 2x^3 +2x^2 3x + 1 = 0.
E' cio una di quelle per le quali
Y(n+5) 3Y(n+4) +2Y(n+3) +2Y(n+2) 3Y(n+1) + Y(n) = 0

d) Sommando le due sequenze A(n) e B(n) si ha
A(n) + B(n) = Tr_(n):
Tr_(n) = (1/4)n^3 + (5/8)n^2 + (1/4)n 1/16 + (1/16)(1)^n

Ciao, ciao.
-------------------------------
P:S.
Mer. 01.12.10 h 14:40
Editato per correggere la formula.
L'ultimo termine era scritto (1/6)(1)^n. Invece (1/16)(1)^n.
Ho evidenziato la cosa mettendo in grassetto quell'1 che prima mi era saltato.

aspesi 01-12-10 08:54

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 424569)
......

d) Sommando le due sequenze A(n) e B(n) si ha
A(n) + B(n) = Tr_(n):
Tr_(n) = (1/4)n^3 + (5/8)n^2 + (1/4)n 1/16 + (1/6)(1)^n

Ciao, ciao.

Ho cercato di seguirti...e ho fatto i conti con la tua formula finale....
che per, salvo miei errori, non d i risultati corretti :mmh:

Forse, questo suggerimento potrebbe portarti ad una formula pi semplice.;)
Se ci calcoliamo un po' di valori a mano o con un programma, otteniamo la sequenza:
1, 5, 13, 27, 48, 78, 118, 170, 235, 315, ...

Calcoliamo le successive differenze:
1 ..... 5 ..... 13 ..... 27 ..... 48 ..... 78 ..... 118 .....170 .....
... 4 ..... 8 ...... 14 ..... 21 ...... 30 .... 40 ....... 52 ......
....... 4 ....... 6 ....... 7 ....... 9 ..... 10 ....... 12 .......
............ 2 ....... 1 ....... 2 ....... 1 ....... 2 ........

Le differenze terze sono alternativamente 1 e 2, quindi ci sono due formule di terzo grado distinte per i dispari ed i pari.

Tu che conosci il metodo delle differenze finite (io, no ... :(), riscrivendo le tabelle con i soli dispari o pari puoi ricavare facilmente i coefficienti dei polinomi che generano le sequenze.

:hello:

Erasmus 01-12-10 13:08

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 424623)
Ho cercato di seguirti...e ho fatto i conti con la tua formula finale....
che per, salvo miei errori, non d i risultati corretti. :mmh:

E' tutto OK ... tranne un piccolo "errore di sbaglio" di scrittura; manca una cifra in un numero: al posto di 16 ho scritto 6.
L'ultimo addendo non (1/6)(1)^n, ma (1/16)(1)^n
La formula corretta :
Tr_(n) = (1/4)n^3 + (5/8)n^2 + (1/4)n 1/16 + (1/16)(1)^n
[NB: Ho messo in grassetto la correzione ... ortografica: un "1" in pi (16 al posto di 6)].

Prova anche tu a fare la somma di A(n) e di B(n) come ho detto.
Quote:

Erasmus (Scrivi 424569)
[...]
A(n) = n(n+1)(n+2)/6 = (1/6)n^3 + (1/2)n^2 + (1/3)n
[...]
B(n) = (1/12)n^3 + (1/8)n^2 (1/12)n (1/16) + (1/16)(1)^n
[...]
A(n) + B(n) = Tr_(n)
[...]

Vedi che allora escono esatti i tuoi numeri.

Quote:

aspesi (Scrivi 424623)
...ci sono due formule di terzo grado distinte per i dispari ed i pari]

Giusto :ok:
E' proprio quello che succede con il termine di grado zero [per modo di dire, dato che dipende pure da n] che
(1/16)[(1)^n 1]
Questo vale 0 per n pari e vale 1/8 per n dispari.
In effetti, ci sono due soli autovalori: X1 = 1 e X2 = 1.
Ma il primo di molteplicit 4 e quindi genera la formula polinomiale di 3 grado (che ha 4 gradi di libert: Y(n) = A + Bn +Cn^2 + Dn^3).
Il secondo sempice e genera la sequenza del tipo K(1)^n.
Ecco la formula corretta:
Tr_(n) = (1/4)n^3 + (5/8)n^2 + (1/4)n 1/16 + (1/16)(1)^n
Ho messo in grassetto l'1 in pi (16 al posto di 6).

Prova questa, vedrai che va bene!
Con la mia "calcolatrice grafica" trovo:
Codice:

      n  >  0, 1, 2,  3,  4,  5,  6,    7,    8,    9,  10,    11,  12,  13,  14,  15,    16,    17,  18,    19,    20,  ...
Tr_(n)  >  0, 1, 5, 13, 27, 48, 78, 118, 170, 235, 315, 411, 525, 658, 812, 988, 1188, 1413, 1665, 1945, 2255, ...

Ciao ciao

aspesi 01-12-10 14:58

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 424684)
Ecco la formula corretta:
Tr_(n) = (1/4)n^3 + (5/8)n^2 + (1/4)n 1/16 + (1/16)(1)^n
Ho messo in grassetto l'1 in pi (16 al posto di 6).

Prova questa, vedrai che va bene!
Con la mia "calcolatrice grafica" trovo:
Codice:

      n  >  0, 1, 2,  3,  4,  5,  6,    7,    8,    9,  10,    11,  12,  13,  14,  15,    16,    17,  18,    19,    20,  ...
Tr_(n)  >  0, 1, 5, 13, 27, 48, 78, 118, 170, 235, 315, 411, 525, 658, 812, 988, 1188, 1413, 1665, 1945, 2255, ...

Ciao ciao

:ok::ok:

Io ho queste:

-Per n pari:
Tr_(n) = n * (n+2) * (2n+1) / 8

-Per n dispari:
Tr_(n) = (n+1) * (2n^2+3n-1) / 8

e, con una sola formula:

Tr_(n) = Int(n*(n+2)*(2n+1)/8)

Ved. A002717 Enciclopedia delle sequenze:
http://oeis.org/search?q=0%2C1%2C5%2...uage=e nglish

:):hello:

aspesi 01-12-10 16:07

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 424032)
Contare quanti triangoli ci sono in questa figura (tutti, anche capovolti;)) :

................................/\
.............................../__\
............................../\../\
............................./__\/__\
............................/\../\../\
.........................../__\/__\/__\
........................../\../\../\../\
........................./__\/__\/__\/__\

Se troppo facile... trovare la formula in funzione di n
Tr_(1) = 1 :D

Tr_(n) = ?

:hello:

E quanti parallelogrammi si vedono nella stessa figura?

:hello:

Erasmus 01-12-10 17:47

Re: Qualche quiz
 
Scusa, aspesi, se ti chiedo un po' di attenzione tutta speciale. Vedrai che la cosa lo merita. ;)

Premessa
Dico "sequenza numerica" una sfillza di numeri illimitata sia a destra che a sinistra. [Dico successione la sfilza illimitata solo a destra. La successione una funzione di n intero naturale, quindi incomincia e non finisce mai . La sequenza funzione di n intero positivo o negativo, quindi non ha inizio, c' ... ab aeterno !]
Sequenza {Y(n} significa: Y(n) "funzione di n" per n intero qualsiasi (anche negativo).

Chiamo "sequenza linearmente dipendente di ordine m " una sequenza {Y(n)} se esistono m + 1 costanti
a0, a1, a2, ..., am
(almeno la prima e l'ultima diverse da 0) con le quali succede:
Per ogni n intero
a0Y(n)+a1Y(n+1)+a2Y(n+2)+ ... +amY(n+m) = 0.
(*)
Allora ogni termine lo posso ottenere per ricorrenza dagli m1 precedenti (o seguenti). Devo conoscere m termini in fila della sequenza per poter sapere qualsiasi suo termine.
[Il bello sar riuscire a dare Y(n) come funzione diretta (esplicita) di n. Diciamo pure la "formula" in funzione di n].

Polinomio caratteristico (associato a queste sequenze) quello che si ottiene sostituendo nella (*) Y(n+k) con x^k, (k = 0, 1, 2, ..., m), ossia:
Pm(x) = a0+a1x+a2x^2+ ... +amx^m.
Equazione (caratteristica) associata alla (*) l'uguagliare a zero il polinomio caratteristico:
Pm(x) = 0. (**)
Le soluzioni dell'equazione associata si dicono "zeri" del polinomio caratteristico.

La (*) una equazione con incognita un tipo di sequenza {Y(n)}.
La soluzione generale la somma di m sequenze dipendenti dalle soluzioni dell'equazione associata (**) (cio dagli m "zeri" del polinomio caratteristico).
Se il polinomio ccontiene il fattore xa, allora a senz'altro uno "zero" del polinomio caratteristico, cio:
Pm(a) =0.
Se a uno "zero semplice" del polinimio, (cio il gardo del fattore (x a) 1 allora un addendo di {Y(n)} del tipo
Ya, 1(n) = A(a^n) (con A costante per ora arbitraria).

Se invece a uno zero doppio, cio il grado del fattore (xa) 2 allora ad esso corrisponde la sequenza (somma di 2 sequenze):
Ya, 2(n) = [A + Bn](a^n) (con A e B costanti per ora arbitrarie).

In generale, se a uno zero di molteplicit r, ad esso corrisponde la sequenza prodotto di a^n per un polinomio arbitrario di grado r1, (ossia con r gradi di libert, cio r costanti arbitrarie):
Ya, r(n) = [A0 + A1x + A2x^2 + ... + Ar1x^(r1)](a^n).
Allora, se lo zero del polinomio caratteristico uno solo e vale 1 ma ha molteplicit r, siccome 1^n = 1 per ogni n, la sequenza un polinomio di grado r1.
(fine della Premessa)

Per capire bene quel che ho fatto sul tuo quiz devi tener ben presente questa premessa. ;)
La quale ... mi pare contenere nozioni degne di essere sapute!

Ciao, ciao
e ... leggi subito quel che segue nel messaggio successivo.
:hello:

Erasmus 01-12-10 17:48

Re: Qualche quiz
 
Chiedo scusa (a te, ma specialmente ad aleph), se nel seguito riuscir barboso e logorroico. Ci tengo a dire le cose in modo chiaro e completo, per cui sembrer s anche pedante (e poco sbrigativo). :o
----------------
Torniamo al tuo quiz (che come direbbe il Berlusca davvero molto, ma moolto, ma mooolto :D interessante).

Richiamo la tabella dove ho specificato quanti triangoli diritti, quanti capovolti (e anche quanti di lato lungo 1, 2, 3, ...). Questa fino a n=5 viene da mio effettivo conteggio dei triangoli del tuo quiz; ma da 6 in su costruibile cogliendo "per induzione" la legge con cui cresccono in numero ed in valore i vari addendi del numero Tr_(n). Eccola:
Quote:

Erasmus (Scrivi 424569)
Provo a distinguere i triangoli diritti da quelli capovolti per vedere se si "induce" meglio come dovrebbe essere la formula.
Codice:


n    Diritti            Capovolti    Totale
    da 1, 2, 3, 4,  da 1, 2, 3,

0      0                0              0
1      1                0              1
2      3+1              1              5
3      6+3+1            3            13
4      10+6 + 3+1        6+1          27
5      15+10+ 6+3+1      10+3          48
6      21+15+10+6+3+1    15+6+1        78
...    ...              ...          ...


Allora :
a) Vedo che il totale Tr_(n) di triangoli la somma di due addenti: il numero quelli "diritti" che chiamo A(n) ed il numero di quelli "capovolti" che chiamo B(n) .

Osservando A(n), mi accorgo che la somma dei "numeri perfetti" (dallo 0resimo all'n-esimo):
Perf(k) = k(k+1)/2.

Vedo allora di colpo una legge di ricorrenza:
A(n) = n(n+1)/2+ A(n1).

E' essenziale rilevare che questa vale per ogni n.
Allora trovo la legge intensiva cio la funzione diretta A(n) cercando prima il polinomio caratteristico come segue.
A(n) A(n1) = (1/2)n^2 + (1/2)n. Se metto n+1 al posto di n ho:
A(n+1) A(n) = (1/2)(n+1)^2 + (1/2)(n+1) = (1/2)n^2 + (3/2)n + 1.
Adesso faccio la differenza membro a membro: in tal il polinomio di destra cala di grado. Continuer analogamente fino che diventa 0.

A(n+1) 2A(n) + A(n1) = n/2 + 1. Riscrivo la stessa mettendo n+1 al posto di n.
A(n+2) 2A(n+1) + A(n) = (n+1)/2 + 1. Faccio ancora la differenza membro a membro. Ottengo:
A(n+2) 3A(n+1) + 3A(n) A(n1) = 1/2. Riscrivo il risultato mettendo n+1 al posto di n.
A(n+3) 3A(n+2) + 3A(n+1) A(n) = 1/2. Faccio ancora la differenza membro a membro ed ho:
A(n+3) 4A(n+2) + 6A(n+1) 4A(n) + A(n-1) = 0. La riscrivo un'ultima volta con n+1 al posto di n.

A(n+4) 4A(n+3) + 6A(n+2) 4 A(n+1) + A(n) = 0.

Vedo cos che la sequenza dei triangoli diritti linearmente dipendente di ordine 4 con polinomio caratteristico:
P[size]4[/size](x) = x^4 4x^3 + 6x^2 4x + 1 = (x1)^4.

C' un solo "zero" distinto: x = 1. Ma ha molteplicit 4. La sequenza A(n) sar del tipo:
A(n) = (1^n)[A + Bn + Cn + Dn^3]
E siccome 1^n fa sempre 1, la soluzione sar polinomiale.
Le costanti A, B, C e D le trovo sapendo quanto vale A(n) per n = 0, 1, 2 e 3 (rispettivamente 0, 1, 5 e 13). Ossia risolvendo il sistema lineare nelle incognite A, B, C e D:
A + B0 + C0^2 + D0^3 = 0 > A = 0:
A + B1 + C1^2 + D1^3 = 1 > B + C + D = 1;
A + B2 + C2^2 + D2^3 = 5 > 2B + 4C + 8D = 5;
A + B3 + C3^2 + D3^3 = 13 > 3B + 9C + 27D = 13.

Risolvendo si trova:
A = 0; B = 1/3; C = 1/2 ; D = 1/6.
Perci:
A(n) = n/3 + (n^2)/2 + (n^3)/6 = (2n +3n^2 + n^3)/6 = n(n+1)(n+2)/6. (^)

b) Veniamo al numero B(n) di triangoli capovolti.
Osservando la tabella, vedo che i numeri che compaiono come addendi sono numeri perfetti, ma non sono tutti: sono i numeri perfetti "alterni".
Trovo subito anche qua la legge di ricorrenza che risulta controlla, aspesi, che utile per capire il processo! :
B(n) = B(n2) + (n1)n/2.
Da qui, opero come prima fino ad ottenere una combinazione lineare (di termini della sequenza) uguagliata a zero. Comincio col sostituire n con n+2 e con n+3:
B(n+2) B(n) = (n+1)(n+2)/2 = (n^2 + 3n + 2)/2:
B(n+3) B(n+1) = (n+2)(n+3)/2 = (n^2 + 5n + 6)/2. Faccio la differenza membro a membro. Ottengo:
B(n+3) B(n+2) B(n+1)+B(n) = n+2. Riscrivo mettendo n+1 al posto di n e sottraggo membro a membro:
B(n+4) B(n+3) B(n+2)+B(n+1) = n+3

B(n+4) 2B(n+3) +2B(n+1) B(n) = 1. Riscrivo mettendo n+1 al posto di n e sottraggo membro a membro.
B(n+5) 2B(n+4) +2B(n+2) B(n+1) = 1.

B(n+5) 3B(n+4) + 2B(n+3) + 2B(n+2) 3B(n+1) + B(n) = 0.

Constato che B(n) linearmente dipendente di ordine 5. Il polinomio caratteristico associato :
P5(x) = x^5 3x^4 + 2x^3 + 2x^2 3x + 1 = (x^5 +1) 3(x^4 + x) + 2(x^3 + x^2).
Si vede subito che P5(1) =0 (perch si pu raccogliere a fattore comune il binomio x+1).
Raccogliendo il fattore (x+1), [NB: x^5 +1 = (x+1)(x^4 x^3 +x^2 x +1); x^3 +1 = (x+1)(x^2 x +1)], si trova:
P5(x) = (x+1)(x^4 4x^3 + 6x^2 4x + 1) = (x+1)(x1)^4.
P5(x) = 0 implica x +1 = 0 oppure (x1) = 0, cio x = 1 oppure x = 1.
Lo "zero" x = 1 semplice. Gli corrisponde l'addendo Y1, 1(n) = A(1)^n (con A costante arbitraria):
Lo "zero" x = 1 ha molteplicit 4. Gli corrisponde la somma di 4 addendi quindi con 4 costanti arbitrarie che dico E, B, C e D del tipo:
Y1, 4(n) = [E + Bn + Cn^2 + Dn^3]1^n = E + Bn + Cn^2 + Dn^3.

Le costanti A, E, B, C e D si calcolano sapendo che, per n = 0, 1, 2 e 3 e 4, B(n) vale (rispettivamente) 0, 0, 1, 3 e 7. C' da risolvere questo sistema lineare (nelle incognite A, E, B, C e D):
B(0) = A(1)^0 + E + B0 + C0^2 + D0^3 = 0 > A + E = 0 > E = A;
B(1) = A(1)^1 + E + B1 + C1^2 + D1^3 = 0 > 2A + B + C + D = 0;
B(2) = A(1)^2 + E + B2 + C2^2 + D2^3 = 1 > 2B + 4C + 8D = 1;
B(3) = A(1)^3 + E + B3 + C3^2 + D3^3 = 3 > 2A + 3B + 9C + 27D = 3;
B(4) = A(1)^4 + E + B4 + C4^2 + D4^3 = 7 > 4B + 16C + 64D = 7.

Si trova:
A = 1/16; E = 1/16; B = 1/12; C = 1/8; D = 1/12

In definitiva:
B(n) = (1/12)n^3 + (1/8)n^2 (1/12)n (1/16) + (1/16)(1)^n. (^^)

Questa non una sequenza propriamente polinomiale e quindi nemmeno Tr(n) = A(n) + B(n) perch contiene una funzione "esponenziale" (che poi una progressione geometrica, anche se di "ragione" ... sciocca (q = 1) per cui la progressione una sequenza del tipo ..., A, A, A, A, A, A, A, A, ... ossia a valore assoluto costante e segno alterno).

c) Sommando la (^) che dava A(n) alla (^^) che d B(n) si ottiene alla fine:
Tr_(n) = <Numero A(n) di tr. diritti + numero B(n) di tr. capovolti> ;
Tr_(n) = (1/4)n^3 + (5/8)n^2 + (1/4)n 1/16 + (1/16)(1)^n (^^^).

Ciao ciao
:hello:
---------------
P.S.
Vedo che mi hai gi risposto.
Ma io, lentissimo, ho cominciato questo lungo messaggio (in due puntate) subito dopo aver inviato il precedente. [Naturalmente, sospendendo anche per fare altro].

Erasmus 01-12-10 18:03

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 424756)
Quote:

Contare quanti triangoli ci sono in questa figura (tutti, anche capovolti;)) :

................................/\
.............................../__\
............................../\../\
............................./__\/__\
............................/\../\../\
.........................../__\/__\/__\
........................../\../\../\../\
........................./__\/__\/__\/__\

Se troppo facile... trovare la formula in funzione di n
Tr_(1) = 1.

Tr_(n) = ?
E quanti parallelogrammi si vedono nella stessa figura?

La risposta ... per me facile (dopo la discussione del caso precedente, che contiene questa risposta come ... sottoprodotto).
Ma non ti dico di pi, cos sei obbligato a leggere davvero (e sul serio! :D) la fiumana scritta da me in precedenza (sui triangoli). :fis:

Ciao, ciao.
:hello:


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