Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   Rudi Mathematici (http://www.trekportal.it/coelestis/forumdisplay.php?f=11)
-   -   Qualche quiz (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=33691)

Erasmus 23-11-13 23:46

Re: Quiz di geometria piana
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 611032)
Ispirato :rolleyes: dall'ultimo quiz di Nino II (aspesi), [V. #1218], mi va di complicarlo un po'.
[...]
1) Di una piramide a base quadrata ABCD e vertice P si conoscono le lunghezze di tre spigoli della superficie laterale, cioè:
a = PA = 39 cm;
b = PB = 33 cm;
c = PC = 52 cm.
Inoltre si sa che gli spigoli PA e PC sono ortogonali uno all'altro.
Determinare la lunghezza q del lato della base e l'altezza h della piramide.
Stabilire anche la posizione di H (piede della perpendicolare per P al piano di base nello stesso piano) dicendo se H è interno od esterno al quadrato di base.


2) Di una piramide a base quadrata ABCD e vertice P si conoscono le lunghezze di tre spigoli della superficie laterale, cioè:
a = PA = 39 cm;
b = PB = 33 cm;
c = PC = 52 cm.
Inoltre si sa che, tra le infinite piramidi con tali dati, questa è quella di volume massimo.
Determinare la lunghezza q del lato della base e l'altezza h della piramide.
Stabilire anche la posizione di H (piede della perpendicolare per P al piano di base nello stesso piano) dicendo se H è interno od esterno al quadrato di base.

Questo era rimasto irrisolto :)
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:hello:

aspesi 24-11-13 09:58

Re: Quiz di geometria piana
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 701950)
Questo era rimasto irrisolto :)
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:hello:

1) q=65/RADQ(2)
Il resto lo lascio, se vuole, al cad di Nino....:D

:hello:

Erasmus 25-11-13 01:20

Re: Quiz di geometria [non sempre] piana
 
Quote:

aspesi (Scrivi 701970)
1) q=65/RADQ(2)
Il resto lo lascio, se vuole, al cad di Nino....:D

Spiritoso! :mad:
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Speravo che Miza intervenisse [e magari anche Luciano ... e Rob77 – come mai non si vede più? –]

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Ho fabbricato un paper con la discussione completa di questo quiz.
E' in due pagine.
Posto adesso la prima pagina. E' una introduzione, i quiz non sono espressamente risolti!
La seconda puntata ...a domani!
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:hello:

aspesi 25-11-13 11:04

Re: Qualche quiz
 
Non ho guardato il tuo papier (che probabilmente avrei difficoltà a seguire :D) ...

Ho fatto questo ragionamento:
- Conoscendo le lunghezze degli spigoli AP, BP, CP e DP (quest'ultimo si calcola), si possono calcolare con Erone le aree delle due superfici laterali triangolari APD (=887,5860) e BPC (=748,1036).
-Da queste si determinano le altezze, cioè le apoteme delle due facce opposte della piramide:
ap_APD = 38,6227
ap_BPC = 32,5532
-A questo punto, con Pitagora si scrivono due equazioni alle due incognite H - y (e H - (q-y))
ap_BPC^2 = H^2 + y^2
ap_APD^2 = H^2 + (65/radq(2) - y)^2
Da cui, per sottrazione:
ap_APD^2 - ap_BPC^2 = 65^2/2 -(2*65/radq(2))y
e quindi:
y = 18,2814
e H = 26,935

Ho sbagliato? :mmh:
Non va...:( Facendo i calcoli con gli altri due triangoli (il piede H cade a sinistra fuori dal quadrato ABCD, la x è negativa) ... ma mi viene un H diverso...

:hello:

Erasmus 25-11-13 18:26

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 702129)
Non ho guardato il tuo papier (che probabilmente avrei difficoltà a seguire ) ...

Questo è un insulto alle mie capacità didattico-pedagogiche... :mad:
Quote:

aspesi (Scrivi 702129)
Ho fatto questo ragionamento:
- Conoscendo le lunghezze degli spigoli AP, BP, CP e DP (quest'ultimo si calcola), si possono calcolare con Erone le aree delle due superfici laterali triangolari APD (=887,5860) e BPC (=748,1036).

Non ti seguo ...
Suppongo che stai parlando del Quiz 1).
Quote:

aspesi (Scrivi 702129)
-Da queste si determinano le altezze, cioè le apoteme delle due facce opposte della piramide:
ap_APD = 38,6227
ap_BPC = 32,5532

Occhio:
a) "apotema" è maschile!
b) L'apotema di una Piramide (se esiste) è uno solo. Esiste solo se anche la base ha l'apotema (ossia: se la base è un poligono che ammette un cerchio inscritto) e se la piramide è retta (ossia: L'altezza è il segmento di estremi il vertice ed il centro del cerchio inscritto nella base). Allora tutte le facce laterali hanno la stessa altezza (che è appunto l'apotema della piramide). In sostanza: occorre che la superficie laterale ammetta un cono retto inscritto, tangente cioè con una sua generatrice a ciascuna faccia laterale lungo la sua altezza. In tal caso l'area della superficie laterale della piramide vale la metà del prodotto del perimetro del poligono di base per l'apotema (della piramide) [come si fa per l'area di un poligono che ammette un cerchio inscritto].
Comunque: non controllo il calcolo, ma il concetto è giusto (anche se si farebbe prima lasciando perdere Erone e lavorando direttamente sulle equazioni che legano i vari segmenti in questione.
Quote:

aspesi (Scrivi 702129)
-A questo punto, con Pitagora si scrivono due equazioni alle due incognite h - y (e h - (q-y))
ap_BPC^2 = H^2 + y^2
ap_APD^2 = H^2 + (65/radq(2) - y)^2

Mi pare giusto.
Ma perché non usi i simboli del testo del quiz? [q il lato del quadrato-base; h l'altezza della piramide].
Quote:

aspesi (Scrivi 702129)
Non va... Facendo i calcoli con gli altri due triangoli (il piede H cade a sinistra fuori dal quadrato ABCD, la x è negativa) ... ma mi viene un H diverso...

Non pretenderai che ti controlli i calcoli, spero ... :D

Se, per comodità, chiami a, b e c le lunghezze dei tre spigoli AP, BP e CP, cioè:
a = AP; b = BP: c = CP
e chiami q il lato del quadrato di base, hai subito:
1) x^2 + (q – y)^2 + h^2 = a^2
2) x^2 + y^2 + h^2 = b^2
3) (q – x)^2 + y^2 +h^2 = c^2
-----------------
Sottrai membro a membro la 2) alla 1) e alla 3): ottieni (rispettivamente):
q^2 – 2q·y = a^2 – b^2 –––> y = (q^2 – a^2 + b^2)/(2q) –––> y^2 = [(q^2 – a^2 + b^2)/(2q)]^2
q^2 – 2q·x = c^2 – b^2 –––> x = (q^2 – c^2 + b^2)/(2q) –––> x^2 = [(q^2 – c^2 + b^2)/(2q)]^2
Da qui:
x^2 + y^2 = [(q^2 + b^2 – c^2)^2 + (q^2 + b^2 – a^2)^2]/(4q^2).
Metti allora quest'espressione nella 2) e trovi:
h^2 = b^2 – [(q^2 + b^2 – c^2)^2 + (q^2 + b^2 – a^2)^2]/(4q^2).
Solo adesso metti i numeri
a= 39; b = 33; c = 52; q^2 = (65^2)/2.
[Anzi: magari i numeri li metti dopo aver lavorato un po' su questa espressione di h^2 ... semplificandola. Così puoi ottenere una formula generale per h, e non solo il valore per queste date lunghezze degli spigoli].
-------
:hello:

Erasmus 25-11-13 18:43

Re: Qualche quiz
 
Sperare che qualcuno intervenga discutendo come risolvere i quiz mi pare troppo! :D

Metto allora anche la seconda pagina del mio nuovo papiro.
[Premetto di nuovo la prima pagina per poter leggere di seguito il papiro intero.]
=> Quiz_Piramide, pag. 1 di 2
=> Quiz_Piramide, pag. 2 di 2


Buona lettura!
–––––––––
:hello:

aspesi 25-11-13 18:46

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 702201)
Questo è un insulto alle mie capacità didattico-pedagogiche...
-------
:hello:

Sempre meglio... che un insulto alle mie capacità di comprensione ed apprendimento... :D

:hello:

aspesi 25-11-13 18:58

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 702201)
Occhio:
a) "apotema" è maschile!
-------

Caspita!
Questo è un errore da matita blu :D

(Guardare il risultato #1534:
y = 18,2814
e H = 26,935

che è identico al tuo, ma trovato in modo moooolto più semplice, no, eh... :mad:

(e magari cercare l'errore, del perché facendo gli stessi miei calcoli con gli altri due triangoli APB e DPC non mi viene lo stesso risultato?)

:hello:

Erasmus 25-11-13 19:21

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 702209)
Sempre meglio... che un insulto alle mie capacità di comprensione ed apprendimento... :D

E chi le insulta?
Anzi: ti sto dicendo che se leggessi certamente capiresti!.:D
-----------
Ho riletto controllando il valore dell'altezza.
h = 22,935 è giusto!

Dove parli di x e del piede H dell'altezza sul quadrato di base, forse non ho capito.
Tu dici che H è fuori del quadrato e che il tuo calcolo «Non va perché x è negativo».
Forse ho capito (ma forse no).
Se parti con l'idea che H stia fuori del quadrato e fai un disegno con questa idea, siccome invece H è dentro, giustamente x ti viene negativo!
E' come nel "teorema delle proiezioni": «In un triangolo un lato è la somma delle proiezioni degli altri due»:
AB (lato opposto all'angolo gamma di vertice C) = c = a·cos(beta) + b·cos(alfa).
Se alfa o beta è ottuso, ma tu nel disegno li hai entrambi disegnati acuti per visualizzare meglio il teorema, fatti i conti ti viene una proiezione maggiore del lato c e l'altra negativa. Infatti, geometricamente, in questo caso il lato c è la differenza delle proiezioni degli altri due lati.
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:hello:

aspesi 25-11-13 19:58

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 702218)
e che il tuo calcolo «Non va perché x è negativo».
Forse ho capito (ma forse no).
Se parti con l'idea che H stia fuori del quadrato e fai un disegno con questa idea, siccome invece H è dentro, giustamente x ti viene negativo!

:hello:

:ok:
Avevo invertito il segno.
Ho rifatto i calcoli, e mi viene, giustamente, x=5,412086518 e h=26,93508194.

(A proposito, pensavo che l'apotema fosse l'altezza dei triangoli (facce laterali) della piramide,
e, nel caso fosse, come in questo caso, irregolare, di "apotemi" ce ne fossero quattro... :o)

:hello:


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