Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Qualche quiz (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=33691)

aspesi 28-03-12 17:03

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 581412)
Tu lascia stare i numeri, posta "quizzi" con meno precisazioni possibili sui valori dei dati dimensionali.

Ok, spiegami questo.

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Prendiamo un vaso a sezione quadrata di lato 1m, ed alto 2m, e riempiamolo fino a meta' di acqua (consideriamo trascurabile lo spessore delle pareti, in modo che il volume dell'acqua che abbiamo messo sia esattamente la meta' del volume del vaso). Ora, cominciamo ad inclinare il vaso, facendo perno su un lato della base (tale lato, quindi, resta sempre a contatto con il pavimento).
1) Per quale valore di tale inclinazione (considerando 90 gradi il vaso dritto e 0 gradi il vaso disteso per terra) la superficie dell'acqua raggiunge l'altezza massima da terra?
2) E quale e' tale altezza?
3) Come si puo' descrivere la curva dell'altezza in funzione dell'inclinazione ( dove cresce o decresce)

:hello:

astromauh 28-03-12 17:07

Re: Qualche quiz
 
A me veniva 50625 cm^3, perché lo spigolo più corto mi veniva 22,5 cm. :confused:

Adesso controllo meglio se ho sbagliato qualcosa.


B= ( sqrt(2)*h * sqrt(h^2 - ((sqrt(2) * h)/2)^2) )/2

V= corto * lungo * h

corto= B / (2/3) / h
lungo= B / (1/5) / h

V= corto * lungo * h

:hello:

aspesi 28-03-12 17:10

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 581423)
A me viene 50625 cm^3.

Con quale procedimento?:mmh:

astromauh 28-03-12 17:36

Re: Qualche quiz
 
Ho calcolato la superficie "B" che è la stessa in entrambi i casi, e che vale 450 cm^2.

La superficie "B" sarebbe la base formata dall'acqua quando l'acquario viene inclinato.

E' un triangolo rettangolo che ha come cateti h.

La formula per ricavare la sua superficie dovrebbe essere questa:

B= ( sqrt(2)*h * sqrt(h^2 - ((sqrt(2) * h)/2)^2) )/2

Il volume dell'acqua restante dopo ciascun inclinamento, si calcola moltiplicando l'area di questa superficie per lo spigolo su cui è inclinato l'acquario.

Siccome il volume di questa acqua restante è in un caso 2/3 ed in un altro 1/5 dell'acqua totale, si ottiene facilmente la lunghezza degli spigoli, che in un caso mi viene identica ad Erasmus (75) ed in un altro mi viene diversa (22,5).

Corto= 450 / (2/3) / 30 = 22,5
Lungo= 450 / (1/5) / 30 = 75

Chi ha sbagliato? :confused:

PS
Mi sa che ho sbagliato io. :o
Credo che il mio ragionamento sia valido solo se l'altezza dell'acquario è inferiore ad entrambi gli spigoli, ma questo non è il nostro caso.

Erasmus 28-03-12 20:00

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 581418)
Ok, spiegami questo.

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Prendiamo un vaso a sezione quadrata di lato 1m, ed alto 2m, e riempiamolo fino a meta' di acqua (consideriamo trascurabile lo spessore delle pareti, in modo che il volume dell'acqua che abbiamo messo sia esattamente la meta' del volume del vaso). Ora, cominciamo ad inclinare il vaso, facendo perno su un lato della base (tale lato, quindi, resta sempre a contatto con il pavimento).
1) Per quale valore di tale inclinazione (considerando 90 gradi il vaso dritto e 0 gradi il vaso disteso per terra) la superficie dell'acqua raggiunge l'altezza massima da terra?
2) E quale e' tale altezza?
3) Come si puo' descrivere la curva dell'altezza in funzione dell'inclinazione ( dove cresce o decresce)

:hello:

Nel piano cartesiano, la distanza di un punto P di coordinate cartesiane [x, y] = [a, b] dalla retta r di equazione
y = mx + q
è
d = |ma + q – b|/√(1 + m^2).

[NB. Questa formula della distanza di un punto da una retta si ricava di solito laboriosamente per via analitica ragionando in coordinate cartesiane; questo perché a scuola si insiste nell'insegnare le funzioni circolari dopo della geometria analitica [cosa che ho criticato anche altrove); ma la formula è ovvia se si osserva che:
• se m = tan(α) allora cos(α) = 1/√(1 + m^2);
• ma + q è l'ordinata del punto Q della retta r di equazione y = mx + q sulla verticale per P;
• |ma + q – b| è la distanza tra Q e P
• la distanza di P(a,b) datta retta r di equazione y = mx + q è allora |PQ|·cos(α).]

Inclinando dell'angolo α il vaso (come dici) l'acqua avanza sulla parete che gira attorno ad uno spigolo della base e si ritira sulla parete opposta dello stesso tratto.
Metto il vaso col centro della base in O(0, 0) e con lo spigolo attorno al quale lo ruoterò [dell'angolo α in senso orario] visto prospetticamente del punto P(1/2, 0).
Lasciami ... ruotare anche il riferimento cartesiano (pensandolo solidale col vaso).
E' come se il vaso fosse rimasto fermo ma avesse girato dell'angolo α [in senso orario] l'accelerazione di gravità g, e quindi anche il profilo del "pelo libero" dell'acqua.

Questo aveva inizialmente l'equazione cartesiana y = 1.
Adesso, posto m = tan(α), verrà ad avere l'equazione y = mx + 1.
In questo riferimento solidale col vaso inclinato, l'altezza che tu chiedi è la distanza del punto P(1/2, 0) dalla retta r di equazione y = mx + 1.
La formula della distanza (detta di sopra) la scriviamo allora per:
q = 1; a = 1/2, b = 0.
e diventa:
d(m) = (m/2 + 1)/√(1 + m^2):

Se chiamiamo h(α) l'altezza del "pelo libero" dell'acqua nel vaso inclinato [che è proprio la distanza di P(1/2, 0) dalla retta r di equazione x·tan(α) + 1] e ricordiamo che
m = tan(α)
otteniamo:

h(α) = {[tan(α)]/2 + 1}·cos(α) = (1/2)· sin(α) + cos(α).

Ovviamente, per α= 0 abbiamo h = 1 (altezza dell'acqua a vaso verticale).

Il massimo di h(α) capita [annullando la derivata dh/dα, (1/2)·cos(α) – sin(α) = 0] per:
tan(α) = 1/2 ––> α = arctan(1/2) rad ≈ 0,4636476 (circa).
α = (180/π)·arctan(1(2) gradi ≈ 26,565° (circa)
e vale
hmax = (m/2 + 1)/√(1 + m^2) = (1/4 + 1)/√(1+1/4) = (1/2)·√(5) ≈ 1,1180

NB: Questo va bene fino ad un certo angolo (= arcat(2), maggiore di 45°), oltre il quale succede che [guardando di profilo] invece di essere un trapezio la prospettiva dell'acqua ed un triangolo quello che occorrerebbe aggiungere per avere un rettangolo, è un triangolo la prospettiva dell'acqua ed un trapezio quello che occorrerebbe aggiungere per avere un rettangolo.

Ovviamente, per α = 90° la formula non vale perché darebbe h(π/2) = 1/2 ... mentre invece l'acqua esce tutta e resterà h = 0 ;)
Ma andrebbe bene per ogni inclinazione α se il vaso fosse "tappato" da un ... "soffitto" impermeabile (come il fondo) a quota doppia del lato di base (2 nella nostra "normalizzazione).

---------
:hello:

nino280 28-03-12 22:27

Re: Qualche quiz
 
http://www.trekportal.it/coelestis/s...=15285&page=17

Da Erasmus:
Sono cascato là cliccando sul link postato da Nino I – non ricordo più in quale thread l'abbia fatto
Come facevi a leggere la storia senza avere il thread?
Quello che ho messo sopra è il link giusto?
Vedi#169
Ciao

Erasmus 28-03-12 22:49

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 581500)
http://www.trekportal.it/coelestis/s...=15285&page=17

Da Erasmus:
Sono cascato là cliccando sul link postato da Nino I – non ricordo più in quale thread l'abbia fatto
Come facevi a leggere la storia senza avere il thread?
Quello che ho messo sopra è il link giusto?
Vedi#169
Ciao

:mmh:
Certo che è giusto! Chi l'ha mai messo in dubbio?
Oh bella: quel che non ricordo è in quale thread stavo quando ho cliccato sul link che hai messo tu , in quale thread tu hai messo il link a quello della lunga storia di ricciomarino.
Prova a rileggere!
«Non ricordo più in quale thread l'abbia fatto IO (di cliccare sul tuo link)»
Oppure (visto che "abbia" è equivoco, può essere "abbia io" o anche "abbia lui, Nino I")
«Non ricordo più in quale thread l'abbia fatto LUI (di mettere il link al thread in cui sono cascato)»
-------------
:hello:

astromauh 29-03-12 07:24

Re: Qualche quiz
 

L'immagine qui sopra spiega il ragionamento che avevo fatto.

Le prime due figure rappresentano l'acquario visto stando di fronte al suo lato maggiore "a", e stando di fronte al suo lato minore "b".

La terza figura mostra l'acquario inclinato di 45° sul suo lato maggiore, e la quarta figura mostra l'acquario inclinato sempre di 45° sul suo lato minore.

La Base "B" delle masse d'acqua contenute nelle figure 3 e 4 è la stessa, e si calcola facilmente con la formula che avevo riportato:

B= ( sqrt(2)*h * sqrt(h^2 - ((sqrt(2) * h)/2)^2) )/2

B= 450;

Per cui il volume dell'acqua che rimane nell'acquario nei due casi sarà:

V1= 450 * a
V2= 450 * b

Sappiamo inoltre che

V1= (2/3) * V
V2= (1/5) * V

e che

V= a * b * h

per cui abbiamo che

(2/3) * a * b * 30 = 450 * a

e

(1/5) * a * b * 30 = 450 * b

Dalla prima equazione possiamo eliminare a, e dalla seconda possiamo eliminare b,
per cui le equazioni diventano:


(2/3) * b * 30 = 450

e

(1/5) * a * 30 = 450

Da cui si ricava che

b = 450 * (1/30) * (3/2)

a = 450 * (1/30) * (5/1)

b= 22,5
a= 75

Però non si tratta di una soluzione valida perché b < h , mentre il mio procedimento è valido solo se sia "a" che "b" sono maggiori di h.

Praticamente nella figura n.3 se b < h l'acqua restante sarebbe minore e sarebbe minore la superficie "B".

:hello:

astromauh 29-03-12 07:46

Re: Qualche quiz
 
Porca vacca, sto male.

mi esce il sangue dal naso, ho chiamato il 118

:hello:

Erasmus 29-03-12 08:43

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 581561)
Porca vacca, sto male.

mi esce il sangue dal naso, ho chiamato il 118

:hello:

:o
Speriamo che non sia nulla di grave.
Raramente il sangue dal naso lo è.
AUGURI!
E appena puoi facci sapere come è andata.
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:hello:


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