Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia (http://www.trekportal.it/coelestis/index.php)
-   Rudi Mathematici (http://www.trekportal.it/coelestis/forumdisplay.php?f=11)
-   -   Qualche quiz (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=33691)

nino280 13-12-18 08:41

Re: Qualche quiz
 
Volevo fare dei veri complimenti ad Erasmus per la soluzione (sempre grande)
Ad Aspesi per i bellissimi quizzi che ci propone.
A me che pure alla fine li faccio diventare in un certo qual modo "vivibili" no volevo dire visibili.
E anche a Mizarino che ci sopporta.:D:D
Ma attenzione è in arrivo un nuovo disegno. Tenetevi pronti.
Ciao

nino280 13-12-18 08:49

Re: Qualche quiz
 
https://i.postimg.cc/G3P53DdS/Tetraedro-dei-Centri.png

Abbiamo dunque, in generale, un tetraedro di vertici A, B, C e D costituiti dai centri delle 4 sfere.






Sopra in blu una frase presa dal paper di Erasmus sempre sul problema delle 4 sfere.
Parla di un non precisato tetraedro.
Eccolo il tetraedro.
E' sempre e soltanto lo stesso disegno in cui ho nascosto le sfere che mi coprivano il tetraedro. Naturalmente B E G J sono i centri delle nostre sfere.
E se no, come avrei potuto fare il disegno se non avessi avuto tali punti?
Ciao
Ad ogni modo una spiegazione del mio modo di procedere ve la devo.
Io avevo sin dal primo giorno i centri B E G perché centri delle sfere di raggi già note ( 2 3 6 )
Avuto da Erasmus il raggio della quarta, lo andavo a sommare ad ognuno dei raggi noti.
Che diventavano dopo l'aggiunta di 1,101020 rispettivamente
3,101020 ; 4,101020 ; e 7,101020.
Tracciato ancora altre tre sfere con questi tre raggi maggiorati, li facevo intersecare fra di loro.
Tali intersezioni andavano ad incontrarsi in un unico punto J
In realtà avevo due punti comuni a tutte e tre le intersezioni, ma ho preso quello più logico e più vicino al pavimento.
Ciao

aspesi 13-12-18 09:21

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 827445)
ti ho fatto vedere che non c'è bisogno (nel testo) di prendere i cerchi di raggio 1, ma quello che è da dimostrare si può dimostrare anche assumendo che i cerchi siano di raggio solo un pelo maggiore di [√(2)]/2 < 1.
Rileggi con più attenzione ... e vedrai che va bene!
Ho visto quel che dici tu. Ma quel che ho detto o mi pare più semplice (e più chiaro). :)
–––
:hello:

OK, se i punti li disponi nel modo che vuoi tu, va bene.
Ma il quiz chiede di dimostrare che (in qualunque modo si mettano i 51 punti, al limite anche con due punti sovrapposti) esiste almeno un cerchio di raggio 1 cm che ne contiene almeno tre.

Non sono convinto (ma potrei benissimo sbagliarmi, nelle visualizzazioni spaziali sono scarso) che non ci sia una disposizione di 51 punti all'interno del quadrato 7*7 tale che un qualsiasi cerchio di raggio solo un pelo maggiore di RADQ(2)/2 ne possa contenere almeno 3.
Un quadrato 7x7, area 49, in teoria è divisibile in 26 pezzetti (in ciascuno dei quali possiamo mettere 2 punti) di area ciascuno 1,8846... e supponendoli quadrati, di lato 1,3728..., la cui diagonale (che sarebbe il diametro del cerchio) è 1,94..., valore ben superiore a RADQ(2) che tu affermi essere sufficiente (un pelo di più).

:hello:

Erasmus 13-12-18 10:40

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 827455)
[...] Ma il quiz chiede di dimostrare che (in qualunque modo si mettano i 51 punti, (ecc. ecc.) ...

Oh pofferbacco! :mad:
Metto i punti il più lontano possibile uno dal più prossimo, e constato che ci sono sempre cerchi di raggio solo un pelo di più di [√(2)]/2 che abbracciano almeno tre punti.
In aualunqua altro modo vengano messi i punti non potranno essere tutti più distanti di così da quelli più vicini.
––––
:hello:

Erasmus 13-12-18 16:20

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 827443)
[...] è possibile determinare il raggio x della quarta sfera in funzione dei nraggi a, b e c delle altre tre sfere.
[Per esempio: uguagliando l'area di HKL alla somma delle aree di HKX, KLX e LHX.

Ho provato anche questo criterio.
E ho trovato esattamente lo stesso raggio x calcolato con l'altro criterio.

Un veloce ripasso!
Il quadrato dell'area S di un triangolo di lati dilunghezza a, b e c è:
Codice:

          2[(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2] –  (a^4 + b^4 + c^4)
S^2 = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
                                          16

Ricordo che la proiezione sul pavimento del triangolo di vertici i centri di tre palle sferiche di raggi rispettivi a, b e c, tangenti a due a due e poggiate sul pavimento – triangolo di lati
[a+b, b+c , c+a] –
è un triangolo di lati:
[2√(ab), 2√(bc), 2√(ca)]
Il quadrato dell'area di un triangolo di lati 2√(ab), 2√(bc), 2√(ca) vale:
Codice:

2[16(cab^2 +abc^2 +bca^2] –16[(ab)^2 +(bc)^2 +(ca)^2)] 
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– =2[abc(a+b+c)–[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2].
                                          16

I quadrati delle aree dei tre triangolini HKX, KLX e LHX in cui è ripartito il triangolo HKL si ricavano dalla formula qui sopra sostituendovi con x un colpo a, un altro b e un terzo c.
Riassumendo:
[S(HKL)]^2 = 2[abc(a+b+c) – [(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2];
[S(HKX)]^2 = 2[abx(a+b+x) – [(ab)^2+(bx)^2+(xa)^2];
[S(KLX)]^2 = 2[xbc(x+b+c) – [(xb)^2+(bc)^2+(cx)^2];
[S(LHX)]^2 = 2[axc(a+x+c) – [(ax)^2+(xc)^2+(ca)^2].
Occorre poi risolvere l'equazione (nell'incognita x):
S(HKL) – [S(HKX) + S(KLX) + S(LHX)] =0.
Naturalmente io ho risolto l'equazione col mio "Grapher" trovando – per (a, b, c) = (6, 3, 2) – lo stesso identico valore di x, cioè:
x = 1,10102051443364.
Quote:

aspesi (Scrivi 827450)
[...] è proprio x = 6 – 2*RADQ(6)
e immagino che la sfera più grossa che contiene le altre 3 abbia raggio = 6 + 2*RADQ(6)

Non credo! Potrei anche sbagliare ma (come ho già detto) questo è un caso particolare del problema del raggio della quinta sfera incastrata e tangente altre quattro date sfere ciascuna delle quali tangente le altre tre, dato che qui il piano tangente alle tre date sfere è pensabile come quarta sfera di raggio infinito.
E come fa una sedsta sfera di raggio grande quanto vuoi ma pur sempre finito ad essere tangente alle 4 date sfere di cui una ha raggio infinito? :mmh:
Quote:

aspesi (Scrivi 827450)
Sarebbe interessante scoprire se il primo 6 indica il valore del raggio della sfera maggiore, il 2 il valore della sfera minore e il 6 sotto radice il prodotto dei due raggi delle sfere più piccole (ma dubito sia così bello!).

Infatti non è così!
Se fosse così, partendo da sfere di raggi 15, 5 e 3 si dovrebbe trovare:
x = 15 –3√(15) ≈ 3,38104996137775
Invece si trova – con quell'equazione che ora anche tu potresti risolvere dando ad (a, b, c) i valori che vuoi –
x= 2,03464834591373.
Quote:

aspesi (Scrivi 827450)
In questo caso, se le 3 sfere avessero raggio 3, 4, 12 quella quadritangente piccola potrebbe avere raggio 1,607695155 ???

Con questi raggi il mio "Grapher" mi dà (circa):
x≈1,7142857...
Ma ora che ti ho scritto due modi di risolvere il problema, puoi risolvere tu stesso l'una o l'altra equazione partendo da tre sfere con dati raggi (a, b, c) che preferisci! :)
–––
:hello:

aspesi 14-12-18 14:56

Re: Qualche quiz
 
In un rombo ABCD avente lato = 1 u e angoli ABC = ADC = 60° è inscritto un altro rombo A’B’C’D’.
Sapendo che l’area di quest’ultimo è metà dell’area di ABCD, calcolare la misura del lato di A’B’C’D’.

:hello:

nino280 14-12-18 17:15

Re: Qualche quiz
 
Mi sembrerebbe radice di 2 fratto 2 = 0.7071 circa
Ciao
Però non ho idea come si inscrive un rombo in un altro rombo.
Ora devo andare alla cena del circolo, intanto che ceno ci penso.
Magari tracciando righe sul tovagliolo.:D
Ciao, buona serata.

aspesi 14-12-18 17:43

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 827532)
Mi sembrerebbe radice di 2 fratto 2 = 0.7071 circa

Ciao, buona serata.



Buona cena e semper alegher :D

:hello:

Erasmus 14-12-18 18:33

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 827526)
In un rombo ABCD avente lato = 1 u e angoli ABC = ADC = 60° è inscritto un altro rombo A’B’C’D’.
Sapendo che l’area di quest’ultimo è metà dell’area di ABCD, calcolare la misura del lato di A’B’C’D’.

Che cosa intendi cicendo che il rombo A'B'C'D' è "inscritto" nel rombo ABCD?
Il ronbo A'B'C'D', per esere "inscritto" in ABCD dovrebbe avere i vertici sul perimetro di ABCD. Se no .... NON E' "INSCRITTO" nel rombo ABCD.
Un parallelogramma è un "rombo" se ha i lati uguali. E' un "rettangolo" se ha gli angoli uguali.
Dunque il "quadrato" è un "rombo rettangolo"! :)
Ci sono un'infinità di rettangoli inscritti nel tuo rmbo. Tutti con due lati paralleli ad una diagonale e gli altri due paralleli all'altra diagonale. Ogni rerttangolo lo puoi pensare ottenuto dal tuo rombo (che è la giustapposizione di due triangoli equilateri) tagliandogli due triangoli equilateri uguali simmetrici rispetto ad una diagonale e due triangoli uguali simmetrici rispetto all'altra diagonale.
Se il rombo (che ha due angoli opposti di 60° ciascuno) ha il lato lumgo L, detta x la lunghezza dei lati di un rettangolo inscritto paralleli alla diagonale corta, la lunghezza delgli altri due lati è (L –x )·√(3) e l'area di questo rettangolo è x·(L – x)·√(3).
Il rettangolo di area massima è quello con x=L(2. La sua area è dunque
(L^2)·[√(3)]/4
esattamente metà dell'area del tuo rombo – che è (L^2)[√(3)]/2 –.
Tra tutti i possibili rettangoli inscritti uno solo è anche rombo (cioè "quadrato").
Se un suo lato è lungo x – e quindi l'altro lato è lungo (L–x)√(3) –, per essere quadrato occorre che sia
x = (L–x)√(3) ––> x = L·[3 – √(3)]/2.
Allora la sua area è x^2 = (3/2)[2-√(3)]L^2 = [3– (3/2)√(3)]·L^2
Il rapporto della sua area con quella del tuo rombo viene
[6 –3√(3)]/√(3) =2√(3) – 3 ≈ 0,4641.
E' questo l'unico rombo inscritto nel tuo rombo. La sua area non è metà di quella del tuo, ma è quasi metà.
–––––––
Si può inscrivere un parallelogramma non rettangolo sscegliendo i vertici A', B', C' e D' nel modo seguente.
Percorriamo il perimetro di ABCD i nel verso
A –––>B –––>C –––>D –––>A
e fissiamo il punto A' più avanti del tratto x del vertice A, il punto B' più avanti dello stesso tratto x del vertice B, il punto C' più avanti dello stesso tratto x del vertice C e il punto D' più avanti dello stessso tratto x del vertice D.
Allora il parallelogramma A'B'C'D' si ottiene ritagliando dal rombo ABCD quattro trinagoli: A'D'A, B'A'B, C'B'C e D'C'D.
I triangoli acutangoli A'D'A e C'B'C sono uguali.
Rispetto al lato lungo L – x, l'altezza è x·[√(3)]/2 e quindi l'area di uno di questi due triangoli è
x·(L – x)·[√(3)]/4
Gli altri due triangoli B'A'B e D'C'D sono ottusangoli ed uguali. Rispetto al lato lungo L – x assunto come base, l'altezza è ancora x·[√(3)]/2 e perciò l'area è la stessa di quella dei due triangokli acutangoli.
L'area dei quattro triangoli è allora x·(L – x)·√(3). Affinché l'area del parallelogramma A'B'C'D' inscritto sia metà dell'area del rombo ABCD occorre che anche l'area dei detti quattro triangoli sia metà dell'area del rombo ABCD; e quindi x deve essere tale che:
x·(L – x)·√(3) = [L^2)·[√(3)]/4 ––> x·(L – x) = (L^2)/4 ––> x = L/2.
Allora il parallelogramma A'B'C'D' è un rettangolo di lati
A'D' = B' C' = L/2;
A'B' = C' D' = √(3)·L/2
e la sua area è ovviamente (L^2)·[√(3)]/4, ossia metà dell'area del tuo romo.
Ma questo paralllelogramma NON E' UN ROMBO!
–––
:hello:

aspesi 14-12-18 19:47

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 827541)
Che cosa intendi dicendo che il rombo A'B'C'D' è "inscritto" nel rombo ABCD?
Il rombo A'B'C'D', per essere "inscritto" in ABCD dovrebbe avere i vertici sul perimetro di ABCD.
–––
:hello:

Certo!
Ha i vertici sul perimetro di A B C D, ha i 4 lati uguali e gli angoli a due a due uguali (quelli opposti).
Quindi, A' B' C' D' è un rombo e è inscritto nel rombo A B C D che ha le caratteristiche ( lati unitari e 2 angoli da 60 gradi e 2 da 120 gradi) che ho indicato.

Dunque (O è il centro incrocio delle diagonali del primo rombo):
AB = BC = CD = AD = 1
AO = OC = 1/2
DO = OB = Radq(3)/2

A'B' = B'C' = C'D' = D'A' = ??????? (trovare)

:hello:


astromauh 14-12-18 22:21

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 827543)

L'area del rombo grande dovrebbe essere pari a cos(30) = 0,86602.

Osservando il tuo disegno, che però non so se è fatto per dare giusto un'idea, oppure riproduce bene le proporzioni, sembra che una diagonale del rombo piccolo sia parallela ad un lato del rombo grande. Se realmente fosse così, allora anche il valore di questa diagonale sarebbe uguale ad 1.

Chiamo x il valore dell'altra diagonale del rombo piccolo.

(1 * x) / 2 = cos(30) / 2

x = cos(30)

Applicando il teorema di Pitagora il lato del rombo piccolo dovrebbe essere sqrt( 0.5^2 + (cos(30) /2)^2 ) = 0,66143 (forse)

:hello:

aspesi 14-12-18 22:40

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 827546)
Osservando il tuo disegno, che però non so se è fatto per dare giusto un'idea, oppure riproduce bene le proporzioni,

No, non riproduce le proporzioni, è solo per dare un'idea e rispondere a Erasmus, che, come spesso gli capita, non aveva capito... :D

Quote:

astromauh (Scrivi 827546)
...il lato del rombo piccolo dovrebbe essere sqrt( 0.5^2 + (cos(30) /2)^2 ) = 0,66143 (forse)

:hello:

:ok: Il risultato è giusto, ci si può arrivare anche senza la tua osservazione (sembra che una diagonale del rombo piccolo sia parallela ad un lato del rombo grande)

:hello:

astromauh 14-12-18 23:17

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 827547)

:ok: Il risultato è giusto, ci si può arrivare anche senza la tua osservazione (sembra che una diagonale del rombo piccolo sia parallela ad un lato del rombo grande)

Non metto in dubbio che ci si possa arrivare anche senza la mia osservazione.

Ma quella diagonale, è o non è parallela ad un lato del rombo grande?

Io credo di si, perché arrivare ad una conclusione giusta, seguendo un ragionamento sbagliato, può succedere, ma è piuttosto raro.



Ho appena visto un divertente filmato dove si vede che non siamo gli unici bravi con i numeri. :D

:hello:

nino280 15-12-18 01:02

Re: Qualche quiz
 
https://i.postimg.cc/L84Q1kFQ/Rombo-facile.png

Arrivato dalla cena.

Non ho letto tutte le risposte e i metodi adoperati sia da Astromauh che da Erasmus.
Rifaccio il disegno con più calma perché il primo che è poi risultato sbagliato, lo avevo fatto in non più di 5 minuti per la fretta.
Comunque, eccolo:


Trovo il lato essere 0,661438
Che si, leggendo velocemente gli altri messaggi mi sembra anzi è uguale alla risposta di Astromauh
Messo come l'ho messo io e col senno di poi risulta semplicissimo.
Come si vede la diagonale maggiore che è 10 (si io l'ho fatto 10 volte maggiore) si colloca esattamente a metà del lato obliquo.
Mi pare anche Astromauh l'abbia anche detto che è parallela a due lati.
La minore è 8,66025 (sempre 10 volte)
Ciao

Erasmus 15-12-18 02:41

Re: Qualche quiz
 
@ aspesi.
Hai ragione!
Prima ho sbagliato perché pensavo che tu mettessi i punti A', B', C' e D' alla stessa distanza dai rispettivi vertici A. B, C e D. Allora il parallelogramma con area metà di uella del dato rombo viene un rettangolo (con i vertici nei punti medi dei lati del rombo ABCD).
Quote:

astromauh (Scrivi 827546)
Applicando il teorema di Pitagora il lato del rombo piccolo dovrebbe essere sqrt( 0.5^2 + (cos(30) /2)^2 ) = 0,66143 (forse)

La risposta esatta è [√(7)]/4 ≈ 0,66143782776615.
In effetti , sicome cos(30°) = √(3)/2, risulta
0,5^2 + [cos(30°)/2]^2 = 1/4 + 3/16 = 7/16,
Ma non ho capito come ci sei arrivato. :mmh:
---------------
Io ho ragionato così. Costruisco un parallelogramma inscritto e poi gli impongo di essere rombo e di avere area metà del rombo ABCD.
Mettiamo A' tra A e B distante x da A e D' tra A e D distante y da A.
Analogamente mettiamo B' tra B e C distante y da C e C' tra C e D distante x da C.
Siccome gli angoli in A e in C valgono 60°, con Carnot il quadrato del lato A'D' e del suo uguale B'C' mi viene
x^2 + y^2 – xy (*)
Alloram sempre con carnot, siccome gli angoli in B e in D valgono 120° il quadrato del lato A'B e del suo uguale C'D mi viene
(1– x)^2 + (1–y)^2 + (1 – x)(1 – y = x^2 + y^2 + 3 – 3(x+y) + xy. (**)
Siccome in un rombo i lati consecutivi devono essere pure uguali, uguaglio la (*) alla (**) e ricavo
2xy –3(x+y) +3 = 0 ––> y = 3(1 – x)/(3 –2x) (***).
Se l'area del rombo inscritto deve essere metà dell'area del rombo ABCD, anche la somma delle aree dei triangoli AA'D', BB'A', CC'B' e DD'C' deve essere metà dell'area di ABCD.
La somma delle aree dei due triangoli (uguali) dalla parte dei vertici A e C vale [tenendo conto della (***)]
2·{xy[(√3)]/4} = [3x(1–x)/(3–2x)]·[√(3)]/2.
La somma delle aree dei due triangoli (uguali) dalla parte dei vertici A e C vale
2{(1 – x)(1 – y)[√(3)/4} = [x(1– x)/(3–2x)]·[√(3)]/2.
La somma delle aree dei quatrro trinagoli devo uguagliarla a metà dell'area del rombo ABCD – che vale [√(3)]/2 – ottenendo [dopo aver diviso entrambi i membri per √(3)/2]:
3x(3 – 2x) + x/(3 – 2x) = 1/2 ––> 8x^2 – 10x +3 = 0 ––> x = [5 ±√(25 – 3·8)]/8.
Ho due soluzioni: x=4/8 = 1/2 oppure x = 6/8 = 3/4.
Vediamo quanto mi viene y:
y = 3(1 – x)/(3 – 2x) ––> se x = 1/2 allora y =3/4, e se x = 3/4 allora y = 1/2
Con Carnot il quadrato dei lati A'D' e B'C' viene
1/4 + 9/16 – 3/8 = (4+9– 6)16 = 7/16.
Quindi A'D' = B'C' = √(7)/4.
Sempre con Carnot il quadrato dei lati A'B'' e C''D' viene
(1 –1/2)^2 + (1 – 3/4)^2 + (1 – 1/2)(1 – 3/4) = 1/4 + 1/16 + 1/8 =(4+1+2)/16=7/16.
Quindi A'B' = C'D' = √(7)/4.
Il partallelogramma A'B'C'D' è effettivamente un rombo!
Nb: I suoi vertici A' e C' sono i punti medi rispettivamente del lati AB e CD del rombo ABCD. Perciòl a diagonale A'C' del rombo inscritto è parallela ai lati BC e AD del rombo ABCD e lunga come essi, cioè 1.
Siccome l'area di un rambo è metà del prodotto delle diagonali. l'altra diagonale B'D' è proprio l'altezza del rombo ABCD, (ossia la distanza tra due lati opposti; e quindi è lunga √(3)/2) .
––––
:hello:

Erasmus 15-12-18 03:18

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 827337)
Sul pavimento vi sono tre palle tangenti fra loro di raggi 2 cm, 3 cm e 6 cm.
Una quarta palla, più piccola delle altre, è a contatto con il pavimento ed è tangente ad esse.
Trovare il raggio della quarta palla.

Avevo già spiegato come, in generale, partendo da tre spere di rispettivi raggi a, b e c (con abc) tangenti a due a due, tangenti tutte tre lo stesso piano, una quarta sfera incastrata tra le tre ed il piano e tangente le tre sfere ed il piano deve avere un raggio x che soddisfa la seguente equazione:
Abbiamo visto anche che per (a, b, c) = (6, 3, 2) risulta
x = 6 – 2√(6).
Stasera, con un po' di pazienza ho risolto in generale l'equazione che sta nell'iummagine qui sopra.
Viene alla fine un'equazione di 3 grado però con termine noto nullo (e quindi con una soluzione x = 0 ... che geometricamente non va bene. Dividendo allora per x viene una equazione di 2° grado. Ma i coefficienti vengono un po' complicati. :)
Comunque, l'equazione viene del tipo:
Ax^2 – Bx + C = 0
dove
A = (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 – abc·(a + b + c);
B = abc·(ab + bc + ca);
C = (abc)^2.

La soluzione che va bene è:
Codice:

      B – √(B^2 – 4AC)
x = ––––––––––––––––
              2A

Con ancora un po' di pazioenza si potrebbe ancher dare x idirettamente in funzione di a, b e c.
[Ma, a questo punto, mi parrebbe una fatica sprecata]
Per controllo, supponiamo (a, b, c) = (6, 3. 2).
Con questi valori abbiamo:[/code]
A = (6·3)^2 + (3·2)^2 + (2·6)^2 – 6·3·2·(6 + 3 + 2) = 324 + 36 + 144 – 36·11 = 3·36;
B = 6·3·2·(6·3 + 3·2 + 2·6) = 36·(18 + 6 + 12) = 36^2 = 3·36·12;
C = (6·36·2)^2 = 36^2 = 3·36·12.
L'equazione da risolvere diventa
3·36·[x^2 –12x + 12] = 0 ––> x = [12 ± √(144 – 48)]/2 = 6 ± √(24)
La sfera incastrata tra le altre ed il pavimento non può avere il raggio maggiore di quello della sfera più grande.
La soluzione giusta è dunque proprio
x = 6 – √(24) = 6 –*2√(6).
-----
Sono contento di aver risolto il quiz di aspesi con un procedimento che si può fare "a mano" (con matita e foglio di carta) senza nemmeno l'aiuto di una calcolatrice .

Lasciatemi ripetere: ;)
Ci sono tre sfere di raggi rispettivi a, b e c. Ciascuna di esse è tangente le altre due ed il medesimo piano.
Incastrata tra le tre sfere ed il comune piano tangente ci può stare una quarta sfera tangente le altre tre sfere ed il comune piano tangente. Sia x il suo raggio. Ovviamente x dipende dai raggi a, b e c delle tre sfere.
Allora: Dati a, b e c, trovare x

Se diciamo A, B e C i centri delle sfere di raggi rispettivi a, b e c ed X il centro della sfera di raggio (incognito) x, i quattro centri A, B, C e X sono i vertici di un tetraedro di spigoli di lunghezza:
AB = a + b;
BC = b + c;
CA = c + a;
AX = a + x;
BX = b + x;
CX = c + x.
La proiezione ortogonale di questo tetredro sul piano tangente le quattro sfere dà luogo ad un triangolo i cui vertici – diciamoli H, K e L – sono le le proiezioni rispettivamente di A, B e C, ed un punto – diciamolo P – interno al triangolo HKL che è la proiezione di X .
Se due sfere tangenti di raggi rispettivi r ed s e centri risìpettivi R ed S sono tangenti allo stesso piano rispettivamente nei punti U e V, il quadrilatero RSVU è un trapezio rettangolo di basi
RU = r e SV = s
e lato obliquo
RS = r+s
Allora l'altezza di questo trapezio rettangolo è
UV = √[(r+s)^2 – (r–s)^2] = 2√(rs).
Pertanto, la proiezione HKL del triangolo ABC dei centri delle date sfere ha i lati delle seguenti lunghezze:
HK = 2√(ab);
KL = 2√(bc);
LH = 2√(ca).
Le distanze dai vertici del triangolo HKL del punto interno P proiezione di X sono:
HP = 2√(ax);
KP = 2√(bx);
LP = 2√(cx).

Una via per ricavare l'incognita x è quella di considerare un angolo del tiangolo HKL come somma dei due angoli in cui viene diviso dalla semiretta retta di origineil suo vertice passante peril punto interno P.
Prendiamo, per esempio, l'angolo LHK di vertice H. Abbiamo evidentemente:
LHK = LHP + PHK.
Di qìuesti tre angoli è facile scrivere l'espressione del coseno.
Per esempio, il coseno di LHK è:
Codice:

                [2√(ca)]^2 + [2√(ab)]^2 – [2√(bc)]^2    a(b+c) – bc
cos(LHK) = ––––––––––––––––––––––––––––––––  =  ––––––––––.
                          2·[2√(ca)]·[2√(ab)]                          2a√(bc)

Analogamente abbiamo:
Codice:

                a(c+x) – cx
cos(LHP) =  ––––––––––;
                  2a√(cx)

                a(b+x) – bx
cos(PHK) =  ––––––––––.
                  2a√(bx)

Dai coseni degli angoli LHP e PHKsi calcolano poi i seni e quindi si scrive l'equazione:

cos(LHP)·cos(PHK) – sin(LHP)·sin(PHK) = cos(LHK)

dalla quale, portando tutto al primo membro ed eliminando i denominatori viene l'equazione riportata dall'immagine sopra.
Isolando il radicale, quadrando e semplificando si arriva facilmente alla forma descritta sopra.
–––––––
:hello:

astromauh 15-12-18 07:33

Re: Qualche quiz
 


Utilizzando il bel disegno di nino280, provo a spiegare meglio come sono arrivato alla soluzione.

Inizialmente non riuscivo a capire che cosa voleva intendere Aspesi, scrivendo che il rombo piccolo dovesse essere inscritto nel rombo grande, e tuttora la cosa non mi è chiarissima. Però quando ho visto il primo disegno postato da Aspesi ho notato che una diagonale del rombo piccolo sembrava essere parallela ad un lato (a due lati) del rombo grande.

Ma iniziamo dal principio.

AE = cos(30) * AD (osserva il triangolo DAE)

Ma AD = 1 (lato unitario rombo grande)

e quindi

AE = cos(30) AE è una semi-diagonale del rombo grande

DE = cos(60) * DC (osserva il triangolo EDC)

Ma DC = 1 (lato unitario del rombo grande)

e quindi

DE = cos(60) DE è l'altra semi-diagonale del rombo grande

Siccome l'area di un rombo è data dal prodotto delle diagonali diviso due, l'area del nostro rombo è

A = 2 * cos(30) * 2 * cos(60) / 2

A = 2 * cos(30) * cos(60)

Ma siccome il cos(60) = 1/2

A = cos(30) L'area del rombo grande è cos(30); A = 0,866025403;


L'area del rombo piccolo il quiz ci dice che deve essere la metà di quello grande, e quindi

A2 = cos(30) / 2 L'area del rombo piccolo

Anche l'area del rombo piccolo è data dal prodotto delle sue diagonali diviso due.

Una di queste diagonali già la conosciamo ed è uguale a 1 ossia al lato del rombo grande, perché HG è parallela a DC.

Dal disegno di nino280 si vede subito che IK, ossia l'altra diagonale del rombo piccolo, dovrebbe essere uguale a sin(60) però se facciamo finta di non conoscere il suo valore e lo chiamiamo x abbiamo che il prodotto delle diagonali diviso 2 deve essere uguale a A2.

(1 * x ) / 2 = cos(30) / 2

x = cos(30) (il cos(30) = sin(60) ;) )

Infine osserviamo il triangolo rettangolo DEI dove i due cateti sono le semi-diagonali del rombo piccolo e dove l'ipotenusa è il lato del rombo piccolo.

Applicando il teorema di pitagora abbiamo che il lato del rombo piccolo è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle semi-diagonali.

Una semi-diagonale = 0,5 mentre l'altra è cos(30)/2

Lato = sqrt(0,5^2 + (cos(30)/2)^2)

Lato = sqrt(0,25 + 0,1875) = 0,66143782

:hello:

aspesi 15-12-18 09:59

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 827555)
A
Sono contento di aver risolto il quiz di aspesi con un procedimento che si può fare "a mano" (con matita e foglio di carta) senza nemmeno l'aiuto di una calcolatrice .

:hello:

:ok::ok:

:hello:

aspesi 15-12-18 10:14

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 827560)
Siccome l'area di un rombo è data dal prodotto delle diagonali diviso due, l'area del nostro rombo è

A = 2 * cos(30) * 2 * cos(60) / 2

A = 2 * cos(30) * cos(60)

Ma siccome il cos(60) = 1/2

A = cos(30) L'area del rombo grande è cos(30); A = 0,866025403;

:hello:

Si può vedere anche che l'area del rombo grande è il doppio dell'area del triangolo equilatero ABH (1/2*RADQ(3)/2)

:hello:

astromauh 15-12-18 10:48

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 827565)
Si può vedere anche che l'area del rombo grande è il doppio dell'area del triangolo equilatero ABH (1/2*RADQ(3)/2)

:hello:

Triangolo equilatero ABD.

:hello:

nino280 15-12-18 11:30

Re: Qualche quiz
 
Visto che ci siamo metto la mia soluzione:
https://www.geogebra.org/classic/pbtbkyvt

Il link di sopra è interattivo.

In pratica mi ero messo nelle condizioni di cercare tutti gli infinito rombi possibili inscritti nel rombo grande.

aspesi 15-12-18 11:50

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 827567)
Triangolo equilatero ABD.

:hello:

:spaf: Sì, certo ABD

:hello:

astromauh 15-12-18 13:44

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 827526)
In un rombo ABCD avente lato = 1 u e angoli ABC = ADC = 60° è inscritto un altro rombo A’B’C’D’.
Sapendo che l’area di quest’ultimo è metà dell’area di ABCD, calcolare la misura del lato di A’B’C’D’.

Quote:

nino280 (Scrivi 827572)
Visto che ci siamo metto la mia soluzione:
https://www.geogebra.org/classic/pbtbkyvt

Il link di sopra è interattivo.

In pratica mi ero messo nelle condizioni di cercare tutti gli infinito rombi possibili inscritti nel rombo grande.

Credo di aver finalmente capito.

I rombi iscritti nel rombo ABCD sono infiniti, ma tra questi ce n'è soltanto uno la cui area è la metà di ABCD, che è quello che ha una diagonale pari ad un lato di ABCD, e l'altra diagonale pari al sin(60).

Infatti l'area del rombo con queste diagonali è cos(30)/2 ossia giusto la metà dell'area del rombo grande che è cos(30).


:hello:

nino280 15-12-18 19:23

Re: Qualche quiz
 
Certo giusto è così.
Ma io a mezzogiorno ho avuto un problema con postimage. Non mi permette di inviare immagini.
A quell'ora dovevo ancora lavarmi, prepararmi da mangiare e mangiare, preparare il borsone per un torneo imminente, andare al circolo e altro ancora, il tutto da fare in un'ora soltanto.
E sto maledetto immage non mi funziona e mi condiziona tutto. Anche il torneo.
Se mangio un'ora prima di giocare poi ho tutto sullo stomaco e al digiuno non puoi giocare. Insomma una cosa così.
Ora vedo se riesco a risolvere anche solo per completare quel messaggio di spiegazione lasciato a metà.
Mi sa che abbiamo la maledizione o il virus di Mizarino:D
Lui non riesce a inviare MP io ora a mettere immagini.
Comunque tutto è andato per il meglio. Devo essere riuscito a resettare, ho giocato molto bene e vinto una gran bella partita.
Direi abbiamo vinto, perché era un doppio.
Ciao

astromauh 15-12-18 19:43

Re: Qualche quiz
 
Da quando ho iniziato ad usare postimage ricevo un sacco di spam sul cellulare, non ho nemmeno capito come fanno, perché non mi arrivano sulla email, nemmeno come SMS, o su Whatsapp, mi arrivano e basta.

Forse dovrei formattare lo smart phone. :lipssealed:

:hello:

nino280 15-12-18 21:03

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 827572)
Visto che ci siamo metto la mia soluzione:
https://www.geogebra.org/classic/pbtbkyvt

Il link di sopra è interattivo.

In pratica mi ero messo nelle condizioni di cercare tutti gli infiniti rombi possibili inscritti nel rombo grande.

https://i.postimg.cc/gJXY7NJM/Rombi-Infiniti.png


Per fortuna ha ripreso a funzionare postimage, allora cerco di concludere.
Ultimamente io uso mettere una parte interattiva, cliccabile, ed una rigida, sulla quale io stesso me ne servo per poterne parlare.
Allora si vede lo slider posizionato in una posizione un pò a caso e che in questo caso è 10° col suo bel rombo inscritto.
Mi da all'interno la sua area che come si vede è 49,70795 cosi quadrati.
Ma io so per certo che l'area del rombo grande è 86,60254 (ricordo per l'ennesima volta 10 volte)
Io devo cercare un'area metà cioè 43,30127
Ho combinato che da 0° e con una retta che passa per il centro del grande rombo, si espandono via via rombi.
E' elementare che l' altra diagonale in questo caso la minore doveva avere la sola condizione di essere perpendicolare alla prima diagonale e andare a "morire" sugli altri 2 lati.
Un pò per "C..." al cubo, già quando lo slaider era a Zero e prima ancora di andare a leggere i vari rombi mi dava l'area 43,30127
A questo punto ho finito, perché nell'istante che mi dà l'area mi restituisce anche i lati di tale rombo, e i 4 lati erano di lunghezza 6,61438
Ciao

nino280 16-12-18 08:46

Re: Qualche quiz
 
https://www.geogebra.org/classic/pbtbkyvt

Affinché non si dica che abbia raccontato frottole, rimostro il disegno in cui si vede il valore, dato che io ne avevo dato la lunghezza del lato ma senza mai mostrarlo.
E ora esagero e lo mostro in tre posti diversi.
Sul disegno
Nella zona denominata "algebra" (almeno così la chiama Geo)
In più faccio una roba diciamo alla Bertrand Russell in cui c'era un barbiere che sbarbava tutti quelli che non si sbarbavano da soli e quindi poi sbarbava se stesso in quanto barbiere:D
In pratica faccio controllare a GeoGebra se stesso.
Ancora una volta prendo in prestito la soluzione di Astromauh che alla fine della fiera aveva fatto Pitagora per trovare la lunghezza ,io gli faccio calcolare tutti gli infiniti teoremi di Pitagora compreso naturalmente quello che a noi interessa.
Ma vado a prendere ancora volta il disegno solo perché non mi ricordo le lettere ivi segnate.



Ok solo per dire:
oltre a mettere in risalto le 4 lunghezze dei lati come accennavo sia sul disegno che li sulla sinistra a fianco dei pallini rosa, chiamo f e j le semi diagonali e nella parte all'estrema sinistra il calcolo con Pitagora del lato o se vogliamo degli infiniti Pitagora se pensiamo o facciamo variare col solito bottone il rombo inscritto.
Ciao
Che poi sti numeri a forza di vederli di qua di la su e giù tipo sto 6.61438 o 0,661438 me li sogno di notte.:D:D

nino280 16-12-18 21:01

Re: Qualche quiz
 
https://i.postimg.cc/fRJnjRrn/Sfere-a-Pacchetto.png



Sono venuto di qui a mettere questo disegno perché nella sezione delle estrazioni casuali io non mi ci raccapezzo.:D
Voleva essere una risposta ad un quiz che ha postato li Erasmus.
Ho impacchettato 4 sfere di raggio 10, messi due piani paralleli uno tangente alle tre in basso e l'altro estremo alla sfera appoggiata.
E allora se la formula è come ho scritto di la SQRT(6)/3 *2x +2x è giusta e vado a sostituire x con 10 e fatti i conti trovo 36,32993
dovrei aver fatto giusto perché come si vede dal disegno la distanza fra i piani è proprio quel numero.
Ciao
P.S. Più che altro per avere una certa continuità, perché era qui che abbiamo parlato di sfere per un po' di giorni:hello:

aspesi 17-12-18 14:57

Re: Qualche quiz
 
Sempre 6

0 0 0 =6
1 1 1 =6
2 2 2 =6
3 3 3 =6
4 4 4 =6
5 5 5 =6
6 6 6 =6
7 7 7 =6
8 8 8 =6
9 9 9 =6

Ottenere 6 utilizzando sempre e solo tre volte la stessa cifra.
Sono consentite tutte le operazioni aritmetiche, le parentesi, il fattoriale e la radice quadrata.

:hello:

Mizarino 17-12-18 15:05

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 827648)
Sempre 6
Ottenere 6 utilizzando sempre e solo tre valori di una stessa cifra.

La parte difficile di questo quiz è capire cosa voglia dire... :D

nino280 17-12-18 15:08

Re: Qualche quiz
 
Il primo che mi viene in mente: con il 4
radice di 4 + radice di 4 + radice di 4 = 6
Con il 2
2! + 2! +2! = 6
Con il 5
5/5 + 5 = 6
Con il 3
3 x 3 - 3 = 6
Con il 6
6 x 6 : 6 = 6
con l'uno
(1+1+1)! = 6
Ci rimane solo 7; 8 e 9
Visto che con lo zero l'ha già fatto Mizarino.

aspesi 17-12-18 15:15

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 827650)
Il primo che mi viene in mente: con il 4
radice di 4 + radice di 4 + radice di 4 = 6
Con il 2
2! + 2! +2! = 6

:ok:
Anche (4 - 4/4)!

:hello:

aspesi 17-12-18 15:17

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 827649)
La parte difficile di questo quiz è capire cosa voglia dire... :D

:D
Ma nino280 l'ha capito ;)

:hello:

Mizarino 17-12-18 15:46

Re: Qualche quiz
 
Non per fare l'Erasmus della situazione, ma "tre valori di una stessa cifra" è una contraddizione in termini e genera confusione.
Allora scrivi: "Utilizzando 3 volte la stessa cifra"

Comunque ne aggiungo una mia:
(0!+0!+0!)! = 6

P.S.

Carino è
8 - radice(radice(8+8)) = 6 ;)

nino280 17-12-18 16:32

Re: Qualche quiz
 
Allora prendendo spunto da Mizarino
radice (radice di 9x9) + radice 9 = 6
Ci rimane il 7
7 - 7/7 = 6

aspesi 17-12-18 17:14

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 827654)
"Utilizzando 3 volte la stessa cifra"

Vado a correggere

Quote:

Mizarino (Scrivi 827654)
Carino è
8 - radice(radice(8+8)) = 6 ;)

Anche
{[radq(8 + 8)]!/8}!

:hello:

aspesi 17-12-18 22:26

Re: Qualche quiz
 
Determinare la somma S degli n addendi:

S = 3 + 33 + 333 + 3333 + 33333 + ...

:hello:

nino280 18-12-18 04:57

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 827662)
Determinare la somma S degli n addendi:

S = 3 + 33 + 333 + 3333 + 33333 + ...

:hello:

Bello.
Credo però che l'unica è fare girare un programmino.
Ciao

nino280 18-12-18 07:28

Re: Qualche quiz
 
E invece mi sbagliavo si può fare senza un programmino, come dite voi, senza la forza bruta, anche se in un certo senso anche la mia soluzione è un po' bruta.
Ho perso l'immagine un attimo che arrivo
Ma tu pensa, avevo intitolato questa formula Sommatoria Aspesi e quando sono andato a prenderlo c'era un altro file con questo nome e copiandolo per metterlo qui ho pescato quello sbagliato.
Ma ora eccolo:
https://i.postimg.cc/rmRXcNvf/Sommatoria-Aspesi.png


Faccio fare una sommatoria come si vede dalla formula.
Si capisce di più se la si guarda piuttosto che io che cerco di spiegarla.
Insomma la mia n variabile è li nell'indice di sommatoria che è in pratica un esponente, e poi sottraggo il fattore n/3
Se funziona allora OK
Fatti i conti a mano coincide.
Ciao

aspesi 18-12-18 07:39

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 827667)

OK, però è una sommatoria e non una formula chiusa

:hello:


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