Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia (http://www.trekportal.it/coelestis/index.php)
-   Rudi Mathematici (http://www.trekportal.it/coelestis/forumdisplay.php?f=11)
-   -   Qualche quiz (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=33691)

aspesi 07-06-12 08:24

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 599609)
:ok:
D = 1
C = 2*8 + 1 + 5 = 22
B = 4*8 + 1 + 8 = 41
A = 6*8 + 1 + 9 = 58
e
K^2 = 64
Z^2 = 81
Y^2 = 100
X^2 = 121

Non so dimostrare se questa è la soluzione più piccola possibile.

Altre concordanze (per K intero) si hanno con:
D = 9 (K = 10) ; C = 34 ; B = 57 ; A = 78
D = 14 (K =11) ; C = 41 ; B = 66 ; A = 89
D = 26 (K = 13) ; C = 57 ; B = 86 ; A = 113
D = 33 (k = 14) ; C = 66 ; B = 97 ; A = 126....

:hello:

Se si prendono i quadrati alternati:
X = K + 6
Y = K + 4
Z = K + 2

risolvendo si ottiene:
K = 6 +- RADQ(3D + 88)

e le soluzioni per K e D interi positivi sono:
D = 4 (K = 16) ; C = 88 ; B = 164 ; A = 232
D = 11 (K =17) ; C = 99 ; B = 179; A = 251
D = 27 (K = 19) ; C = 123 ; B = 211 ; A = 291
D = 36 (k = 20) ; C = 136 ; B = 228 ; A = 312....

:hello:

Rob77 07-06-12 11:13

Re: Qualche quiz
 
Prossimo?

Erasmus 07-06-12 11:30

Re: Qualche quiz
 
@ aspesi
In questo quiz, dopo aver ragionato tutto il ragionabile, occorre procedere ancora per tentativi.
[Dopo ... i ragionamenti li farò!]
Chiaramente, se ancora non si disponesse di sistemi di calcolo automatico, occorrerebbe sfruttare i ragionamenti per ridurre al massimo il numero di tentativi e calcoli annessi.
Ma dato che i tentativi non ce li toglie nessuno, tanto vale (con i moderni sistemi di calcolo) minimizzare i ragionamenti! Cioè: ridurre il ragionamenti a qanto basta per implementare un programma di calcolo "bovino" ma sicuro (a "forza bruta", per dirla alla astromauh!).
E' quello che ho proposto scrivendo quel programmino in TurboPascal che sta sopra.
Siccome il Pascal è comprensibile anche a chi non lo conosce, la conversione di quel programmino in altro linguaggio è facilissima.
Astromauh, 'ndo sei?
Sotto con la "FORZA BRUTA"!


@ Rob77
Visto che disponi ancora del Pascal, fammelo quel favore: prova a fare un "copia/incolla" del programmino che ho scritto sopra e a farlo girare.
Occhio, però, all'istruzione (quasi in fondo):
while not keypressed do
Mi pare che la "function" di tipo boolean keypressed sia quella TurboPascal per Mac. [Per il TurboPascal sotto MS-DOS dovrebbe essere keypress, ma non sono sicuro].
Comunque ... il signiicato di quell'istruzione è chiaro: «Fino a che non viene premuto un tasto non fare niente!»
Quindi ... sostituiscila come sai tu! ;)
-------------------------

I ragionamenti li metto su un "paper" ... che non ho ancora scritto.:o
Vado a scriverlo.

Poi edito per allegarlo.

Ciao ciao
------------
Gio. 07.06.12 h18.02
Eccomi tornato.
Ragionamenti e soluzione stanno qua:
=> Quiz_1188.png

A ri-ciao!

Rob77 07-06-12 11:33

Re: Qualche quiz
 
Finisco colazione e lo metto ;)

aspesi 07-06-12 12:24

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Rob77 (Scrivi 599724)
Prossimo?

Oggi provo a calcolare l'IMU e a compilare il modulo F24.

Più tardi, forse, se finisco presto (a marzo ho cambiato residenza e non ho ancora capito bene come determinare l'abitazione principale e gli altri fabbricati :()

:hello:

astromauh 07-06-12 12:24

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 599732)
Astromauh, 'ndo sei?
Sotto con la "FORZA BRUTA"!

Sto un po' impicciato...
Prova a chiedere a lui.



:D

Rob77 07-06-12 13:15

Re: Qualche quiz
 
@Erasmus
Ho inserito il codice in Turbo Pascal 7.0.
A parte qualche errore di sintassi che ho corretto (inclusa la riga di codice contenente il keypressed) credo ci sia qualche altro problema.
Il programma va in loop e non esce.

:hello:

Erasmus 07-06-12 18:05

Uote]
 
Quote:

astromauh (Scrivi 599755)
Prova a chiedere a lui.

E chi è 'sto Carneade? :mmh:
E come faccio a chiederglielo? :eek:
=============================================
Quote:

Rob77 (Scrivi 599771)
@Erasmus
... credo ci sia qualche altro problema.
Il programma va in loop e non esce.

:o
a) Che tipo di errori di sintassi hai corretto?
Suppongo che stiano nelle istruzioni di scrivere i risultati, perché è probabilissimo che il mio Turbo per Mac fossde diverso da dal tuo Pascal proprio in questi dettagli ... oppure che abbia sbagliato io perché ... NON MI RICORDO PIU'!
b) Va in loop durante il calcolo o dopo averlo completato?
Fa in tempo a scrivere qualcosa o va in loop prima?
[Bisognerebbe aggiungere una routine di controllo che parte premendo un preciso tasto, scrive i valori delle variabili ed esce premendo un altro preciso tasto, in modo da capire cosa sta facendo il programma, se va avanti o se è davvero in loop (tornando a rifare quel che ha già fatto)].
Lo chiedo perché, forse va in loop poco prima di finire, a calcolo terminato.
[In TurboPascal per Mac, forse occorre aggiungere una variabile di tipo char,
(diciamo var ch: char; )
e aggiungere l'istruzioine di lettura del carattere entrato premendo un tasto.
Questa (sempre in TurboPascal per Mac) è la "function" (di tipo char) "readchar".
Cioe: al posto di
while not keypressed do
scrivere
while not keypressed do;
ch:=readchar


Ma ... se hai capito cosa vorrebbe fare 'sto programma, le correzioni puoi farle tu!
Non ho messo i "for" perché ... non ricordo più se sul TurboPascal questa istruzione funziona anche col tipo longint.
Ma se tu pensi che la sintassi per il tipo longint è uguale a quella per il tipo integer puoi modificare l'avanzamento dei quattro numeri da provare togliendo le istruzioni
"while <condizione> do <istruzione>"
e mettendoci al loro posto le istruzioni
"for <variabile longint>=<estremo inferiore> to <estremo superiore> do"

Dai, che ho nostalgia del Pascal!
Guarda se riesci a far girare quel programma (magari riducendo di molto la costante max ... se no di soluzioni ne trova troppe ... e allora sembra che vada in loop perché non finisce mai di completare il calcolo.
Ecco: controlla che non succeda proprio questo!!!

Grazie dell'attenzione, Rob77. :)
Ciao, ciao

Erasmus 07-06-12 18:24

Re: Uote]
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 599824)
E chi è 'sto Carneade? :mmh:

:spaf:
Solo adesso m'accorgo che è Totò Riina ....
Ma che c'entra?
Pensi che lui sia il padreterno della "forza bruta"? :mad:
------------------------------------------------------------------------------------------
Io penso che il vero Totò Riina sia stato solo un ... esaltato (malavitoso precedente da quattro soldi, arruolato, accarezzato e laudato fino a fargli credere d'essere un dio, da qualcun altro ... tanto abile che tutt'ora non sappiamo chi sia ... ma certamente –così io penso– invischiato nella politica U]sicula/U] e, tramite questa, in quella nazionale).
Insomma: mi rifiuto di credere che il regista dell'operazione "Capaci" (che ... per "intellighentia" fa invidia al MOSSAD) sia stato quello lì, col tipo di istruzione che ha, con l'ambiente che ha frequentato prima, ... e con quella faccia da grullo!
Ma queste .. sono solo vecchie mie considerazioni molto personali. E non c'entrano un fico con Rudi Mathematici né con la "forza bruta" che si usa qui.
------------------------------------------------------------------------------------------------
:hello:

Rob77 07-06-12 21:18

Re: Qualche quiz
 
@Erasmus

Avevo iniziato a correggerlo ma successivamente mi son messo a fare un altro quiz di Aspesi e non ce l'ho fatta a metterlo a finire.
Al più presto metto la nuova versione!

Rob77 07-06-12 23:18

Re: Qualche quiz
 
Gli errori di sintassi erano qualche ; e : mancanti.
La riga con il keypressed l'ho dovuta rimuovere perchè neanche con keypress veniva accettata la sintassi.

Detto questo il problema principale è che l'algoritmo non è dei migliori in termini di performance.
Con un max pari a 700 e passa milioni immagina quante combinazioni si spazzola prima di trovare la prima valida.
In realtà neanche con max a 10.000 riesco a far scendere i tempi.

:hello:

aspesi 13-06-12 13:24

Re: Qualche quiz
 
Vi sono 5 persone: 3 fedeli, un sagrestano ed un parroco.
I fedeli sanno che il parroco e' un frequentatore di Rudi Mathematici, e gli
propongono il seguente quesito:

"Il prodotto delle eta' di noi 3 fedeli e' 2450, la somma invece e' uguale al doppio dell'eta' del sagrestano.
Ci dica la nostra eta'."

Il parroco pur conoscendo perfettamente l'eta' del sagrestano dichiara di non poter rispondere con precisione.

Allora i fedeli gli danno un'ulteriore informazione:
"Lei e' il piu' anziano di tutti noi".

A questo punto il parroco indovina.

Qual'e' l'eta' di ciascuna delle 5 persone ?

:hello:

Rob77 13-06-12 16:44

Re: Qualche quiz
 
Diciamo che le uniche due triplette, tali per cui il prodotto dei membri sia pari a 2450, che generano ambiguità sono:

50 7 7 --> Somma: 64
49 10 5 --> Somma: 64

Questo è il motivo per cui il parroco con la sola prima informazione non sa rispondere.
Se con la seconda (--> lui è il più vecchio) riesce invece ad arrivare ad indentificare le età questo implica che lui abbia proprio 50 anni.

Le altre sono 49, 10, 5 e 32.

:hello:

Erasmus 13-06-12 16:58

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 601034)
... 3 fedeli, un sagrestano ed un parroco.

Oggi, chissà perché, sei decisamente clericale: prima scherzi da prete, ora gli indovinelli del parroco ...
------------------
Quote:

aspesi (Scrivi 601034)
non poter rispondere con precisione

Davvero "con precisione" (dicendo l'età esatta invece che approssimativa) o piuttosto ... "sicurezza" (non dovendo rischirare la scelta tra più di una soluzione)?
:mmh:
------------
:fis:

Erasmus 13-06-12 17:02

Re: Qualche quiz
 
Porco mondo ... con la mia solita lentezza nel fabbricare i post ... "arrivo al fumo delle candele" (tanto per restare in tema)
-------------
;)

Rob77 13-06-12 17:09

Re: Qualche quiz
 
Eddai che vuoi che sia...
Questo quiz era robetta semplice semplice...Mica come quello là del numero da 10 cifre...

aspesi 13-06-12 21:16

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Rob77 (Scrivi 601099)
Questo è il motivo per cui il parroco con la sola prima informazione non sa rispondere.
Se con la seconda (--> lui è il più vecchio) riesce invece ad arrivare ad indentificare le età questo implica che lui abbia proprio 50 anni.

Le altre sono 49, 10, 5 e 32.

:hello:

:ok:
Solo per completare, riporto le possibili terne che danno per prodotto 2450 (fino ad un'età del più anziano di 100 anni), con in quarta colonna la semisomma (età del sacrestano):

7 14 25 23
7 10 35 26
5 14 35 27
5 10 49 32
7 7 50 32
2 35 35 36
2 25 49 38
5 7 70 41
1 49 50 50
5 5 92 51
1 35 70 53
1 25 98 62

Come hai detto, se la prima informazione (prodotto=2450 e semisomma nota) non e'
sufficiente, significa che due delle possibili terne hanno uguale semisomma, quindi la scelta si restringe a:
5 10 49 32
7 7 50 32

Il piu' vecchio dei fedeli ha 49 o 50 anni e il parroco 50 o piu'.
Ma se il parroco avesse piu' di 50 anni, l'ultima informazione non sarebbe stata sufficiente, quindi l'unica soluzione possibile e':

5 10 49 32
ed il parroco 50.

:hello:

aspesi 27-07-12 11:31

Re: Qualche quiz
 
Ho trovato questo:

ABCD e' un quadrato e P e' un punto nel piano che contiene ABCD.
Supponiamo che sia AP=7, BP=3 e CP=9.

Calcolare il perimetro del triangolo ADP e l'area del quadrato ABCD.

L'ho calcolato considerando il punto P interno al quadrato.:)
Ma quante sono le soluzioni? :mmh:

:hello:

Erasmus 28-07-12 03:40

Quiz di geometria piana
 
Quote:

aspesi (Scrivi 609846)
ABCD e' un quadrato e P e' un punto nel piano che contiene ABCD.
Supponiamo che sia AP=7, BP=3 e CP=9.
Calcolare il perimetro del triangolo ADP e l'area del quadrato ABCD.

Le domande specifiche sono ... "noise". ;)
Il succo del quiz consiste nel trovare la lunghezza del lato del quadrato e la posizione di P rispetto al quadrato, ossia le distanze di P dalle rette AB e BC. Fatto questo, resta da trovare la distanza di P da D (cioè dal quarto vertice del quadrato): cosa che si fa con Pitagora dopo aver calcolato la distanza di P dalle altre due retta AD e DC.
Quote:

aspesi (Scrivi 609846)
L'ho calcolato considerando il punto P interno al quadrato.:)
Ma quante sono le soluzioni? :mmh:

A me vengono equazioni "biquadratiche" (di 4° grado ma nei soli termini di grado pari).
Tenendo conto che il lato del quadrato deve essere positivo, mi risultano due soluzioni: una col punto P interno al quadrato (che allora ha il lato lungo circa 9,7) ed una col punto P esterno al quadrato (che allora ha il lato lungo circa 6.0).
Precisamente, il lato del quadrato viene √[65 ± √(833)].
In entrambi i casi la distanza di P dal quarto vertice D è PD =11.

La risposte al quiz è questa:
Se P è interno al quadrato, allora
Area(ABCD) = 65 + √(833); Perimetro(ADP) = 11 +7 + √[65 + √(833)].
Se P è esterno al quadrato, allora
Area(ABCD) = 65 – √(833); Perimetro(ADP) = 11 +7 + √[65 – √(833)].
-------------------------
Chiamo q la lunghezza [incognita] del lato del quadrato.

Metto B nell'origine di un riferimento cartesiano, cioè B(0, 0).
Metto A sul semiasse positivo delle ordinate, cioè A(0, q).
Metto C sul semiasse positivo delle ascisse, cioè C(q, 0)
Affinché ABCD sia un quadrato, il quarto vertice deve essere D(q, q).

Chiamo x e y le coordinate [incognite] di P.
Codice:

        î y
        |
      A •—––––––––——————•D                                î y
        |                                  |                                  |
        |      P interno              |                                A •––––––––––––––• D
        |    al quadrato              | q ≈ 9,7                      |                        |
        |                                  |                                  |    P esterno      |
        |      P                          |                                  |  al quadrato      | q ≈ 6,0
y > 0–l–- - •                          |                                  |                        |
        |    |                            |                          x < 0 |                        |
    ––•–––l––––––––––––––––•––––––>              –i––––•––––––––––––––•––––>
      B    x > 0                      C          x                • – – -i B                    C      x
                                                                      P        y < 0
AB= BC = q
AP = 7;  BP = 3;  CP = 9.

Immediate sono le tre equazioni che legano le distanze AP, BP e CP alle incognite q, x e y. Eccole:
AP^2 = x^2 + (q – y)^2 = 49;
BP^2 = x^2 + y^2 = 9;
CP^2 = (q – x)^2 + y^2 = 81.
Sviluppo i quadrati dei binomi nella 1ª e nella 3ª equazione, poi sostituisco in esse x^2 + y^2 con 9 (come dice la 2ª equazione) e semplifico.
Ottengo il sistema (cambiando ordine alle equazioni):
x^2 + y^2 = 9 ;
q^2 – 2qx = 72;
q^2 – 2qy = 40 .

Dalla 2ª e dalla 3ª di questo ricavo:
x = (q^2 – 72)/(2q) ––> x^2 = [(q^2 – 72)/(2q)]^2;
y = (q^2 – 40)/(2q) ––> y^2 = [(q^2 – 40)/(2q)]^2;

Sommo membro a membro le uguaglianze di destra; e dato che é x^2 + y^2 = 9, uguaglio la somma a 9.
Ottengo:
[(q^2 – 72)^2 + (q^2 – 40)^2]/(4q^1) = 9 ––>
q^4 – 144q^2 + 5184 + q^4 – 80q^2 + 1600 = 36q^2 ––>
2q^4 – 260q^2 + 6784 = 0 ––> q^4 – 2·65q^2 + 3392 = 0 ––>
q^2 ^ = 65 ± √(833). [NB: questa è l'area del quadrato].

Due soluzioni per q (che deve essere positivo, rappresentando un valore assoluto):
q1 = √[ 65 + √(833)] ≈ √(65 + 28,8617393793 ...) ≈ 9,68822684392.
q2 = √[ 65 – √(833)] ≈ √(65 – 28,8617393793 ...) ≈ 6,01151067711.

Con ciò, ancora due soluzioni per le la coppia x e y delle coordinate di P (che sono le distanze di P rispettivamente dalle rette AB e BC). Eccole:
x1 = (q1^2 – 72)/(2q1) = [65 + √(833) – 72]/{2·√[ 65 + √(833)]} ≈ 1,1282631864176
y1 = (q2^2 – 40)/(2q1) = [65 + √(833) – 40]/{2·√[ 65 + √(833)]} ≈ 2,7797521799928

x2 = (q2^2 – 72)/(2q1) = [65 – √(833) – 72]/{2·√[ 65 – √(833)]} ≈ –2,9827560247076
y2 = (q2^2 – 40)/(2q1) = [65 – √(833) – 40]/{2·√[ 65 – √(833)]} ≈ –0,32119541881924

Si controlla facilmente che in entrambi i casi risulta
AP^2 = 49; BP^2 = 9; CP^2 = 81.

Il quadrato della distanza di P da D è allora:
DP^2 = (q–x)^2 + (q – y)^2 = [q – (q^2 – 72)/(2q)]^2 +[q – (q^2 – 40)/(2q)]^2.
Diciamo d la distanza DP.
Allora, sviluppando i quadrati e semplificando si ha:
d^2 =[(q^2 + 72)^2 + (q^2 + 40)^2]/(4q^2) = (q^4 + 112q^2 + 3392)/(2q^2).

Sostituendo q^2 col suo valore, cioè:
q^2 = 65 + √(833) oppure q^2 = 65 – √(833)
si trova che la distanza risulta la stessa nei due casi.
Infatti:
d1^2 = {[65 + √(833)]^2 + 112·[65 + √(833)] + 3392} / {2·[65 + √(833)]} = 121;
d2^2 = {[65 – √(833)]^2 + 112·[65 – √(833)] + 3392} / {2·[65 – √(833)]} = 121.

d1 = d2 = √(121) ≈ 11.
------------------
Bello!
Imperniamo con un chiodo piantato in un tavolo 4 asticelle [rigide e rettilinee] a formare 4 raggi lunghi rispettivamente 15 cm, 35 cm, 45 cm e 55 cm.
Ci sono due e due sole possibilità di far sì che, girando opportunamente i 4 raggi, le loro 4 punte libere costituiscano i 4 vertici di un quadrato.
----------------
:hello:

Erasmus 28-07-12 11:52

Re: Quiz di geometria piana
 
Tramite quest'ultimo quiz ho fatto una sensazionale scoperta ... di geometria euclidea! :rolleyes:

Chissà se Euclide lo sapeva! :D

Non si finisce mai di imparare anche a livelli elementari. :o

«La somma dei quadrati delle distanze di un punto da due vertici opposti d'un rettangolo (in particolare quadrato) è uguale alla somma dei quadrati delle distanze di quel punto dagli altri due vertici [opposti] di quel rettangolo».
------------------
Dato un qualunque rettangolo ABCD ed un punto P qualsiasi
[nello spazio n-dimensionale, con n ≥ 2; in particolare nello spazio tridimensionale (n=3), ancora più in particolare nello stesso piano del quadrato, (n = 2)]
risulta (sempre):
PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2 (*)

La dimostrazione [della (*)] è facilissima se, in un riferimento cartesiano [ortogonale e isometrico], si colloca il rettangolo ABCD con un vertice nell'origine e i due vertici non a lui opposti uno su un asse cartesiano e uno su un altro.
Per esempio, nello spazio tridimensionale (con p e q qualsiasi, |p| ≥ 0 e |q| ≥ 0 lati del rettangolo):
A(0, 0, 0)
B(p, 0, 0)
C(p, q, 0)
D(0, q, 0)

Sia allora P(x, y, z), con x, y e z reali qualsiasi (anche negativi).
Con ciò:
x^2 + y^2 + z^2 = PA^2
(p – x)^2 + y^2 + z^2 = PB^2
(p – x)^2 + (q – y)^2 + z^2 = PC^2
x^2 + (q – y)^2 + z^2 = PD^2

Sommando membro a membro la 1ª e la 3ª equazione e sommando membro a membro la 2ª e la 4ª equazione si ha (rispettivamente):
x^2 + y^2 + z^2 + (p – x)^2 + (q – y)^2 + z^2 = x^2 + y^2 + 2z^2 + (p – x)^2 + (q – y)^2 = PA^2 + PC^2
(p – x)^2 + y^2 + z^2 + x^2 + (q – y)^2 + z^2 = x^2 + y^2 + 2z^2 + (p – x)^2 + (q – y)^2 = PB^2 + PD^2.
Confrontando {, essendo identici i secondi membri di queste ultime uguaglianze, devono essere uguali anche i terzi membri, ossia} deve essere:
PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2, (quod erat demonstrandum).

----------------
:hello:

Erasmus 03-08-12 10:03

Re: Quiz di geometria piana
 
Ispirato :rolleyes: dall'ultimo quiz di Nino II (aspesi), [V. #1218], mi va di complicarlo un po'.
Abbiamo visto che non è necessario che il punto P distante rispettivamente
a = PA, b = PB e c = PC
da tre vertici del quadrato ABCD appartenga al piano del quadrato. Questo potrebbe essere definito dalla aggiuntiva conoscenza della distanza h di P dal piano del quadrato, (distanza che nel quiz di aspesi vale 0).
Allora le tre distanze a, b e c [rispettivamente dai vertici della base A, B e C] vengono ad essere le lunghezze di tre spigoli della superficie laterale di una piramide a base quadrata.
Abbiamo anche visto che non darebbe alcuna informazione in più il conoscere la lunghezza d del quarto spigolo [della superficie laterale] PD, perché sempre e comunque è una sola la somma dei quadrati delle distanze di P da due vertici opposti della base:
PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2.
[Ossia: a^2 + c^2 = b^2 + d^2.]
Naturalmente, [a parità di a, b e c], al variare di h varia la lunghezza q del lato del quadrato.

Domanda fondamentale: Per h ≠ 0, ci saranno ancora due soluzioni?
Vediamo la cosa in un altro modo ... più geometrico.
Il punto P si può pensare vertice di una piramide quadrata con base ABCD di [lato q] ed altezza h. Sia H il piede della perpendicolare per P al piano del quadrato in questo piano. Allora
h = HP.
Nel caso del quiz di aspesi, cioè per h = 0, ci sono due soluzioni. Una con H=P interno al quadrato di lato q1 ed un'altra con H = P esterno al quadrato di lato q2 < q1.
Algebricamente parlando, è l'incognita q (lato del quadrato) ad avere due possibilità per le stesse distanze. E geometricamente succede che per il per il quadrato più grande P=H è interno mentre per quello più piccolo P=H è esterno.
La domanda allora diventano due:
Se è h > 0, (cioè: se geometricamente abbiamo a che fare con una piramide a base quadrata) ci saranno due soluzioni, ossia due distinte piramidi con uguale altezza (e con base quadrata di lato diverso)?
E se le soluzioni sono due, succederà ancora che per la piramide a base minore H risulterà esterno alla base quadrata?
[La seconda piramide ... "pendente" come la Torre di Pisa, :D con almeno una parete (faccia laterale) a "strapiombo"].

A queste domande si può dare risposta – con procedimento logico induttivo – guardando cosa succede in qualche esempio; oppure, date le tre distanze [lunghezze di tre spigoli della superficie laterale]
a = PA, b = PB e c = PC
ma non l'altezza h della piramide
osservarndo che, invece di considerare q dipendente da h, possiamo [invertendo la relazione tra q ed h] pensare h dipendente da q e studiare la funzione:
h = f(q).
Se questa non è monotòna in intervalli di q nei quali è h > 0, allora le soluzioni sono più di una.
Sempre su qualche esempio (cioè con metodo induttivo) si potrà poi vedere se H è interno o no alla base quadrata.

A tal fine, immaginiamo di proiettare ortogonalmente H sulle rette AB e BC rispettivamente in M ed N; e poniamo allora
x = BN; y = BM (o viceversa).
Sempre dovrà risultare:
x^2 + y^2 + h^2 = PB^2 = b^2.
Se H è interno al quadrato (base della piramide) dovrà essere:
(q – x)^2 + y^2 + h^2 = PC^2 = c^2 (*)
x^2 + (q – y)^2 + h^2 = PA^2 = a^2. (**)
Ma se H è esterno dovrà essere ... una delle tre seguenti:
(q + x)^2 + y^2 + h^2 = PC^2 = c^2
x^2 + (q – y)^2 + h^2 = PA^2 = a^2
oppure
(q – x)^2 + y^2 + h^2 = PC^2 = c^2
x^2 + (q + y)^2 + h^2 = PA^2 = a^2
oppure
(q + x)^2 + y^2 + h^2 = PC^2 = c^2
x^2 + (q + y)^2 + h^2 = PA^2 = a^2.

Noi possiamo benissimo tener buone in ogni caso entrambe le (*) e (**) [quelle con H interno] dando però la possibilità alle incognite x ed y di essere reali (e basta, invece di imporre che siano non-negative).
Saranno i valori (relativi, con segno!) di x ed y che ci diranno la posizione di H rispetto al quadrato base della piramide.

Affrontiamo, allora, il seguente quiz (sdoppiato in due ... per migliore analisi e comprensione della questione ;)).
1) Di una piramide a base quadrata ABCD e vertice P si conoscono le lunghezze di tre spigoli della superficie laterale, cioè:
a = PA = 39 cm;
b = PB = 33 cm;
c = PC = 52 cm.
Inoltre si sa che gli spigoli PA e PC sono ortogonali uno all'altro.
Determinare la lunghezza q del lato della base e l'altezza h della piramide.
Stabilire anche la posizione di H (piede della perpendicolare per P al piano di base nello stesso piano) dicendo se H è interno od esterno al quadrato di base.


2) Di una piramide a base quadrata ABCD e vertice P si conoscono le lunghezze di tre spigoli della superficie laterale, cioè:
a = PA = 39 cm;
b = PB = 33 cm;
c = PC = 52 cm.
Inoltre si sa che, tra le infinite piramidi con tali dati, questa è quella di volume massimo.
Determinare la lunghezza q del lato della base e l'altezza h della piramide.
Stabilire anche la posizione di H (piede della perpendicolare per P al piano di base nello stesso piano) dicendo se H è interno od esterno al quadrato di base.

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:hello:

nino280 05-08-12 10:04

Re: Qualche quiz
 
Sono tanto tonto che non sono riuscito a capire nemmeno la differenza fra la domanda n°1 e la n°2:D
Ciao

Erasmus 05-08-12 14:57

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 611299)
... non sono riuscito a capire nemmeno la differenza fra la domanda n°1 e la n°2:D
Ciao

Le condizioni preliminari le hai capite: si conoscono le lunghezze di tre spigoli della superficie laterale della piramide, che sono appunto a = 39 cm, b = 33 cm e c = 52 cm.
Il quarto spigolo della superficie laterale ha pure lunghezza d fissata.
Infatti, deve essere comunque:
a^2 + c^2 = b^2 + d^2 ,
e quindi, noti a, b, e c:
d^2 = a^2 + c^2 – b^2 = 39^2 + 52^2 – 33^2 = 1521 + 2704 – 1039 = 3136;
d = √(3136) cm = 56 cm.
Questi dati sono gli stessi per l'una o l'altra domanda,

Ma questi dati [le lunghezze degli spigoli della superficie laterale] non bastano ad individuare la piramide. Imfatti, gli stessi spigoli li puoi divaricare più o meno, ottenendo piramidi a base (quadrata) grande e altezza bassa, o viceversa a base piccola e grande altezza.
Se si analizza per bene la questiione, si vede che tra tutte le possibili piramidi con quei dati spigoli laterali, ce ne sono addirittura due "degeneri" (piramidi fasulle!), ossia con altezza nulla: il punto P sta in realtà nel piano della base quadrata, in un caso internamante al quadrato, nell'altro esternamente. E' questo il precedente quiz di aspesi! Lui ha dato le lunghezze
a = 3; b = 7; c = 9 [per cui risulta d = √(49 + 81 - 9) = √(121) = 11].
Io ho cambiato numeri: 39 al posto di 7; 33 al posto di 3, 52 al posto di 9 (e di conseguenza 56 al posto di 11).
Ma di piramidi ce ne sono infinite con lato q della base (quadrata) diverso e consequente altezza h diversa da zero.
Tra tutte queste ci sarà quella con volume massimo perché non è possibile avere il lato della base maggiore della somma di due spigoli laterali né avere l'altezza maggiore del più piccolo dei quattro spigoli. Cioè: non è possibile che il volume sia grande a piacere, e quindi deve esistere qualche piramide (forse una sola) a volume massimo possibile.
Domanda 2: come è fatta la piramide col volume massimo possibile?
[Cioè: quanto è lungo il lato q della base? Quanto vale l'altezza h della piramide?]

Al posto della condizione che il volume sia il massimo possibile, diamo una condizione ... più facile.
«Gi spigoli AP e CP sono perpendicolari una all'altro»
Beh: allora è tutto più facile, perché la diagonale AC della base deve essere un'ipotenusa!
Essa sarà lunga √(39^2 + 52^2) cm = √(1521 + 2704) cm = √(4225) cm = 65 cm.

L'altra diagonale BD è lunga ancora 65 cm e i due spigoli BP e DP sono lunghi
BP = 33 cm e BP = 56 cm.
Siccome √(33^2 + 56^2) fa ancora 65, anche questi due spigoli sono perpendicolari uno all'altro!

Il lato della base sarà lungo 65/√(2) cm e l'altezza ....
Beh: almeno questa trovatela tu! :D
[Devi semplicemente scomporre gli spigoli (pensati come spostamenti da un vertice della base a P) in tre spostamenti, ciascuno ortogonale agli altri due, come si fa con le coordinate cartesiane, e come ho già ampiamente spiegato.]

Ecco che la domanda 1 era dunque facilina.

Supposto di conoscere la lunghezza q dello spigolo della base e l'altezza h, (che invece sono le incognite), proviamo ad esprimewre le lunghezze degli spigoli tramite quelle. Avremo tre equazioni.
Se metto B nell'origine di un sistema di riferimento cartesiano tridimensionale e A sul semiasse positivo di y e C su quello di x, la base mi viene nel piano <x, y> [di equazione z = 0].
Le tre euazuini sono quelle che uguagliano la distanza di P da un vertice al rispettivo spigolo laterale della piramide. In funzione di q e h posso dunque calcolare le tre coordinate di P (e la z è proprio l'altezza h).
Quindi posso avere l'espressione del volume in funzione di q.
[Viene un polinomio di 5° grado].
Annullo la derivata rispetto a q che viene un polinomio di 4° grado ma solo nei gradi pari.
Ottengo allora un'equazione biquadratica, risolubile in q^2 come equazione di 2° grado.
Così posso rispondere alla seconda domanda.
Nella prima domanda, senza fare derivate, so che q^2 vale (65^2)/2 [perché il quadrato della diagonale è pari alla somma dei quadrati di due spigoli opposti – Pitagora!].
Dividendo il triplo del volume per tale q^2 ottengo l'altezza h della piramide.

------
:hello:

aspesi 06-08-12 14:38

Re: Quiz di geometria piana
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 610007)
Precisamente, il lato del quadrato viene √[65 ± √(833)].
In entrambi i casi la distanza di P dal quarto vertice D è PD =11.


:hello:

:ok:
Scusa, ho visto solo adesso...:o
Perfetto (come al solito...)
L = RADQ((65) +- 7*RADQ(17))

:hello:

aspesi 14-09-12 20:03

Re: Qualche quiz
 
Si devono ottenere tutti i numeri interi da 1 a 36 staccando uno o piu' francobolli da un foglio rettangolare di due francobolli per tre, portanti i valori 1,2,3,5,8,17 e sommando questi valori.

I valori restanti (dopo aver staccato i numeri la cui somma è da 1 a 35) devono pero' formare sempre un "pezzo" solo (devono cioe' rimanere attaccati almeno per un lato).

Qualcuno sa ricostruire questo foglio di francobolli ?

L'esempio riportato sotto non va bene in quanto e' impossibile ottenere le somme 7,10,12,15,24,27 e 32.

.--------.-------.------.
| .. 1 ..|.. 2 ..|.. 3 .|
|--------|-------|------|
| .. 5 ..|.. 8 ..|. 17 .|
'--------'-------'------'

:hello:

aspesi 20-09-12 09:54

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 620480)

.--------.-------.------.
| .. 1 ..|.. 2 ..|.. 3 .|
|--------|-------|------|
| .. 5 ..|.. 8 ..|. 17 .|
'--------'-------'------'

:hello:

Nessuno vuole tentare?

:hello:

Erasmus 20-09-12 15:54

Re: Qualche quiz
 
Si tratta dunque di ricollegare in altro modo i 6 "francobolli".
Ma ... lo sai bene che trovo noiosi i quiz che si risolvono a tentativi.

Ho trovato, però, che bisogna rispettare qualche regola.
Per esempio, se lo schema geometrico è un rettangolo 3 x 2, i francobolli 1 e 17 devono toccarsi per un lato oppure non toccarsi nemmeno per un vertice, se no non si riesce a staccare 18 (lasciando ancora 18 a francobolli connessi non sconnessi).

Ci proverà anche astromauh e, aiutato da Nettuno, vedrai che ci riuscirà!
--------
P.S.
Non è detto nemmeno che sia sufficiente una opportuna permutazione dei numeri nel rettangolo 3 x 2.
Puotrebbe darsi che lo schema geometrico buono fosse questo:
Codice:

———————————
|    a  |    b    |    c    |
 ———————————————
          |    d    |    e    |    f    |
          ———————————–

--------------
:hello:

aspesi 20-09-12 20:29

Re: Qualche quiz
 
Si possono fare molte considerazioni per circoscrivere il problema.

Ad esempio:
-Stacco 32, rimane 4 che puo' essere formato solo come 3+1
Quindi i numeri 3 ed 1 devono essere adiacenti (formano una tessera di domino)
-Stacco 29, rimane 7 che puo' essere formato solo come 5+2
Anche 5 e 2 formano una tessera di domino
-Stacco 24, rimane 12, che puo' essere solo 8+3+1
la casella 8 deve essere adiacente alla tessera 3+1
-Stacco 21, rimane 15, che puo' essere solo 8+5+2
la casella 8 deve essere adiacente alla tessera 5+2
-Stacco 15, rimane 21, che puo' essere solo 17+3+1
17 deve essere adiacente alla tessera 3+1
-Stacco 12, rimane 24, che puo' essere solo 17+5+2
17 deve essere adiacente alla tessera 5+2

A questo punto...

:hello:

aspesi 25-09-12 08:43

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 622035)
A questo punto...

:hello:

Si deduce che le due tessere 3+1 e 5+2 devono essere adiacenti tra loro, ed entrambe adiacenti sia ad 8 che a 17.
Indicando con xx xx ed yy yy le due tessere, la disposizione deve essere del tipo:

xx xx 17
08 yy yy

--------

.--------.-------.------.
| .. 1 ..|.. 3 ..|..17 .|

|--------|-------|------|
| .. 8 ..|.. 2 ..|. 5. .|
'--------'-------'------'

Erasmus 25-09-12 10:24

Re: Qualche quiz
 
Porco mondo!
Stamattina la soluzione non c'era ancora.

Ci credi se ti dico che l'avevo trovata anch'io, uguale a questa?

Guarda cosa avevo fatto per controllarla!
=> Francobolli.PNG

------------
:hello:

aspesi 25-09-12 10:29

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 622848)
Porco mondo!
Stamattina la soluzione non c'era ancora.

Ci credi se ti dico che l'avevo trovata anch'io, uguale a questa?

Guarda cosa avevo fatto per controllarla!
=> Francobolli.PNG

------------
:hello:

Ci credo, ci credo e mi spiace, potevo aspettare ancora un po'... :(
(Ho apprezzato molto la tua fatica)

:hello:

Erasmus 27-09-12 06:59

Re: Qualche quiz
 
Un moderno pallone da calcio è fatto da 20 pezze esagonali e da 12 pentagonali.
Diventa una sfera gonfiandolo: ma prima di gonfiarlo (cioè: sostituendo gli arche di confine tra due pezze con le loro corde)... è un poliedro con 32 facce (di cui 20 sono esagoni regolari e 12 sono pentagoni regolari), 60 vertici e 90 spigoli tutti della stessa linghezza
Eccolo qua:
=> football.png

Supponiamolo gonfio e sferico. I lati comuni a due pezzi adiacenti sono allora arche di cerchio massimo tutti uguali.
Di quanti gradi ? :mmh:
:D

---------------
:hello:

Erasmus 27-09-12 07:17

Re: Qualche quiz
 
Una volta aspesi ha postato un quiz in cui si chiedeva di scomporre un quadrato in 7 triangoli rettangoli simili.

Facciamo il quiz un po' meno difficile!

Ricavare da un quadrato 5 triangoli rettangoli simili (con 5 tagli ... ed una giunta :D) [consumando in tal modo tutto il quadrato].

-------------
:hello:
---
P.S:
Avevo messo che i 5 triangoli sono in progressione geometria: ma era sbagliato! :o
Comunque, detto L il lato del quadrato, le aree A0, A1, A2. A3 e A4 dei 5 triangoli oltre a verificare l'unguaglianza:
A0 + A1 + A2 + A3 + A4 = L^2
verificano le proporzioni seguenti:
A0 / A1 = (A1/A2)^2 = (A2/A3)^2 = (A3//A4)^2

Insomma: E' come se si partisse da 6 triangoli simili ed in progressione geometrica decrescente ma poi si eliminasse il secondo ...
-----------------
[P. S. 2
Gio. 27.09-12 h 17:10
Ri-edito perchè ... devo farlo! :lipssealed:

NOOO!
Sbagliato!


Come ho detto più sotto, i cinque triangoli sono davvero in progressione geometrica.

aspesi 27-09-12 12:40

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 623303)

Ricavare da un quadrato 5 triangoli rettangoli simili



Immagino che questi 4 tagli, che scompongono il quadrato in 5 triangoli rettangoli simili (addirittura 4 uguali) sia troppo facile e non vada bene...:)

:hello:

Erasmus 27-09-12 16:07

Re: Qualche quiz
 
Ma dai!
E' quasi come quello della scomposizione in 7 triangoli simili.
Ti ricordi? Astromauh obiettava che poteva ritagliare un quadrato in un numero a piacere di triangoli ed in mille modi diversi. Tu gli rispondevi che i 7 triangoli dovevano essere simili ma nessuno uguale a qualche altro.
=====================
Ormai perdo colpi ... senza ritegno!
Inizialmente ero sicuro che i miei 5 triangoli fossero in progressione geometrica.
Dopo, ripensandoci, mi sono convinto di no, e avrei giurato che ... fossero come 6 elementi in progressione geometrica decrescente dai quali fosse stato eliminato il secondo, ossia del tipo
1, x^2, x^3, x^4, x^5.
E sono andato a "modificare" per togliere le parole "in progressione gepmetrica" e precisare anche dettagliatamente.
Adesso ci ripenso ... e i 5 triangoli mi tornano ancora in progressione geometrica. :lipssealed:
...
Vado ad "editare", ma in vece di correggere aggiungo! :o
Pensi che davvero sono ormai da "rottamare"?

----------
:hello:
---------------
P.S.
Occhio alla ... pignoleria si Erasmus!
Quote:

Erasmus (Scrivi 623303)
[...]
... (con 5 tagli ... ed una giunta :D) [...]


aspesi 27-09-12 21:23

Re: Qualche quiz
 
Potrebbe essere così:


L'angolo fra l'ipotenusa e il cateto minore è circa 49,8 gradi e il rapporto fra le aree dei cinque triangoli è circa 2,407.

Se è così, fai tu lo spiegone...;)

:hello:

nino280 28-09-12 07:44

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 623302)
Un moderno pallone da calcio è fatto da 20 pezze esagonali e da 12 pentagonali.
Diventa una sfera gonfiandolo: ma prima di gonfiarlo (cioè: sostituendo gli arche di confine tra due pezze con le loro corde)... è un poliedro con 32 facce (di cui 20 sono esagoni regolari e 12 sono pentagoni regolari), 60 vertici e 90 spigoli tutti della stessa linghezza
Eccolo qua:
=> football.png

Supponiamolo gonfio e sferico. I lati comuni a due pezzi adiacenti sono allora arche di cerchio massimo tutti uguali.
Di quanti gradi ? :mmh:
:D

---------------
:hello:

---------------
:hello:[/quote]
Il pallone da calcio è assimilabile ad una molecola buckminsterfullerene
ed il fullerene a sua volta altro non è, geometricamente parlando, che un icosaedro troncato.
Se tronco un icosaedro ad occhio vedo che due lati adiacenti sono a 120° , non saprei dire dopo gonfiato il pallone a quanti gradi sono due lati adiacenti o come tu dici, due cerchi massimi adiacenti.
Ciao

aspesi 28-09-12 08:19

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 623547)
---------------
:hello:
Se tronco un icosaedro ad occhio vedo che due lati adiacenti sono a 120° , non saprei dire dopo gonfiato il pallone a quanti gradi sono due lati adiacenti o come tu dici, due cerchi massimi adiacenti.
Ciao

120 gradi sono gli angoli interni degli esagoni regolari. Per il pentagono l'angolo è 108 gradi.
Nello sviluppo dell'icosaedro troncato dovrebbero esserci degli spazi vuoti di 12 gradi ad ogni vertice del pentagono. Gonfiando il pallone, se gli angoli fossero tutti uguali potrebbero essere di 116 gradi ...:mmh:

:hello:

Erasmus 28-09-12 10:35

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 623496)
Potrebbe essere così:
http://i46.tinypic.com/sb4j7s.jpg
[...]

Se è così, fai tu lo spiegone...;)

Sì, è così.
Vedo che hai imparato a 'postare' immagini tramite hosting ..
[Però ... il quadrato ha quattro lati uguali. Vedo per la seconda volta che gabelli per quadrato un rettangolo più alto che largo: prima solo del 16%, ora arrivi a 31% (in altezza) di più della larghezza.

Sì, è così: e addirittura sembra quasi che tu mi abbia copiato!
Guarda cosa avevo preparato (nel caso che nessuno avesse risposto):

=>Cinque triangoli simili. PNG

--------------
Ti spiego come m'è venuto in mente il quiz (come variante di quello tuo di una volta).
Dal quadrato, ritaglia un primo triangolo rettangolo con un taglio rettilineo per un vertice.
[Allora l'inclinazione φ sul lato del quadrato che sta nel triangolo asportato tè minore di 45 gradi].
Ti resta un trapezio.
Se l'angolo φ è molto piccolo oppure molto prossimo a 45° puoi suddividere il trapezio (con quel zig-zag che sappiamo) in molti triangoli simili a quello asportato; e ti rimane un trapezietto in cui di triangoli fatti così non ce ne stanno più.
Se invece φ è prossimo a 30°, di triangoli in quel trapezio ce ne stanno 6 (non uno di più né uno di meno). A farci stare 5 triangoli simili a quello asportato non ce la fai per qualsiasi inclinazione.
Ce la faresti su un rettangolo più largo che lungo, cioè solo se l'inclinazione fosse maggiore di 45 gradi: ma allora, dal quadrato, col primo taglio asporti un trapezio e lasci un triangolo (invece che viceversa). Allora ... aggiungiamo al trapezio asportato col primo taglio un triangolino che lo trasformi in un triamgolo.
Ma il triangolino lo puoi prendere solo dal triangolo che resta.

In conclusione, fatto 1 il lato del quadrato, deve essere:
1 + [cos(φ)]^4 = tan(φ) ––> cos(φ) ≈ 0,64777499160 ... --> φ ≈ 49,6259449 gradi.

Allo stesso risultato arrivi se sommi le aree dei 5 triangoli.
Provvisoriamente metto s al posto di sin(φ), c al posto di cos(φ) e t al posto di tan(φ).
Ottengo le aree:
A1 = t/2 = (s/c)/2 = s/(2c)·1;
A2 = s·c/2 = [s/(2c)]·(c^2);
A2 = (s·c)·(c^2)/2 = [s/(2c)]·(c^4);
A3 = (s·c^2)·(c^3)/2 = [s/(2c)]·(c^6);
A3 = (s·c^3)·(c^4)/2 = [s/(2c)]·(c^8);
A1 + A2 + A3 + A4 + A5 = 1 =>[s/(2c)]·(1 + c^2 + c^4 + c^6 + c^8) = 1

Sommo i termini in progressione geometrica e mi ricordo che
1 – c^2 = s^2; 2·s·c = sin(2φ).

Allora ricavo:
[s/(2c)]·[(1 – c^10)/(1 – c^2)] = 1 => (1 – c^10)/(2sc)=1
ossia
{1 – [cos(φ)]^10} / sin(2φ) – 1 = 0

Con la calcolatrice grafica guardo per quale x si annulla la funzione
f(x) = {1 – [cos(x·π/180)]^10}/[sin(2x·π/180] – 1
e trovo appunto x = 49,62594491362 gradi.

Oppure, ricordando che
c^2 = 1/(1 + t^2)
2·s·c = 2·t/(1 + t^2)

trasformo prima l'equazione in φ nell'equivalente equazione in t ottenendo:
[1 – 1/(1 + t^2)^5] = 2t/((1 + t^2) => (1+t^2)^5 – 1 = 2·t·(1 + t^2)^4 =>
=> t^9 – 2·t^8 + 5·t^7 – 8·t^6 + 10·t^5 – 12·t^4 + 10·t^3 – 8·t^2 + 5·t – 2 = 0.
Poi la risolvo andando a vedere (con la calcolatrice grafica) dove si annulla ila funzione
y = x^9 – 2·x^8 + 5·x^7 – 8·x^6 + 10·x^5 – 12·x^4 + 10·x^3 – 8·x^2 + 5·x – 2

Trovo che si annulla solo per x = 1,176074599587...
E allora φ= (180/π)·arctan(x) = 49,6259449136... gradi

-----------
:hello:

aspesi 28-09-12 10:56

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 623574)
Sì, è così.

[Però ... il quadrato ha quattro lati uguali. Vedo per la seconda volta che gabelli per quadrato un rettangolo più alto che largo: prima solo del 16%, ora arrivi a 31% (in altezza) di più della larghezza.

-----------
:hello:

Veramente... sul mio schermo vedo quadrato il mio disegno (e rettangolo con la base mooolto più lunga, il tuo) :mmh:

:hello:

Forse è perché io uso una risoluzione di 1152 X 864 pixel? :mmh:


Tutti gli orari sono GMT. Attualmente sono le 00:57.

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