Re: Qualche quiz
 

Nino, grazie tante per il "Bello".
Comunque ho notato la tua segnalazione riguardo al sorpasso, cosa che io non mi ero accorto, perché non avevo guardato nei minimi dettagli il "filmato".
Ciao

Re: Qualche quiz
 

:ok:
Resta da capire (se c'è una ragione...) perché è proprio con un angolo di poco più di 101 gradi

:hello:

Re: Qualche quiz
 

https://www.geogebra.org/classic/c4twtjra

Aspesi aveva trovato che l'inversione avveniva da 101,2 a 101,3 gradi.
poi però mi era sorto un dubbio:
non sarà che quel 101 vale solo per quel particolare tipo di triangolo che io avevo fatto un po' a caso?
Devo dire che in realtà quel triangolo era anche un poco particolare perché era sì variabile ma aveva l'altezza costante.
Dire se valeva solo per quel triangolo io non ero in grado.
L'unica era costruirne un altro diverso.
Allora siccome la mia bacheca oramai straripa di disegni, faccio che adoperare lo stesso di prima e ci disegno sopra:




E come si vede ora ne ho due.
Per non che mi dia fastidio tengo il vecchio triangolo sulla destra e ora il triangolo diverso a sinistra.
Anche questo è variabile e anche questo è particolare: è sempre isoscele, perché ha la base ed il lato t costanti cioè = a 10
Io devo verificare la storia del 101,2 virgola 3
Stesso trucco di prima che faccio fare le somme al sistema e guardo quando avviene il sorpasso.
Sorpresa: il sorpasso avviene fra 101,2 e 101,3 gradi.
Ciao
P.S.
Il sistema a mezzogiorno voleva fregarmi (si perché queste prove le ho fatte oggi a mezzogiorno) ma io ero attento e non ci è riuscito, prima di mangiare sono ancora in me:D
Io prima di darli in pasto a voi per essere certo di quello che faccio e anche per controllare se lui fa giusto faccio delle verifiche.
La verifica era fare un disegno semplice in modo che sia anche semplice fare un controllo.
Allora metto lo slider gamma a 60° e siccome ho già detto che i triangoli che ottengo con il mio cinematismo sono tutti isosceli, a 60° è evidente che non soltanto è isoscele ma è anche equilatero.
Misuro un segmento che va da un vertice all'incentro.
E' = 5,7735
Per 3 = 17,3205
Ma lo faccio calcolare al sistema.
Mi restituisce un 14,2652
Come mai?
Non mi freghi:D
E' successo questo:
quando disegno un segmento lui d'ufficio mi mette l'etichetta a quel segmento.
Ora i tre segmenti che dai vertici andavano all'incentro me li ha chiamati c d e
Poi nella formula gli ho detto di sommarmi c d e ma al posto del valore del segmento mi ha sommato il logaritmo naturale e che se non ricordo male è 2,718281
Non mi freghi, ho rinominato e con f e tutto è andato a posto.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Sarà magari un risparmio per chi costruisce (e poi gestisce) l'autostrada. Ma non per gli utenti!! Supponiamo che i lati uguli siano AB e BC (con AB = BC), cioè che i punti più distanti uno dall'altro siano gli estrremi A e C.
Le distanze di A e di C dall'incentro I sonoi comunque minori dei lati uguali. Quindi per andare da A a C sarebbe conveniente non passare per B bensì per I,
––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Sì, però per andare a B (venendo da A o da C) si fanno meno chilometri.
Comunque, è solo un quiz ... ;)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Riprendo questo quiz (che probabilmente è sfuggito a Erasmus)

Per dire che ho ricavato questa formula:

l = RADQ{1/2 * (RADQ[3 * (a+b+c) * (a+b-c) * (a+c-b) * (b+c-a)] + (a^2+b^2+c^2))}

dove:
l = lato del triangolo equilatero da determinare
a b c = lunghezze dei segmenti dal punto interno P ai vertici A B C del triangolo

che nel caso in esame diventa:

l = RADQ{1/2 * (RADQ[3 * (27) * (7) * (9) * (11)] + (64+81+100))]} = RADQ(240,9620192) = 15,52295137

:hello:

Re: Qualche quiz
 

La formula l'hai ricavata tu?
Se si complimentissimissimi.:D
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Sì. :)
Magari si può esprimere in un modo più semplice e succinto.

Ci ho pensato su per un po', poi ho fatto un disegnino (solo con la biro su un foglio di carta ;)) e mi è venuta l'idea di trasformare il triangolo in un esagono che ha area doppia (calcolandone l'area con la formula di Erone) e facendo poi qualche semplificazione.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Scusate, non sono capace di disegnare e non ho voglia di imparare :)



Questo è l'esagono sbilenco :D, la cui superficie è doppia rispetto al triangolo equilatero azzurro.

Il punto interno di incrocio è D e i 3 tratti a b c noti sono BD, DC e DA
Si ha:
BD = BG = DG
DC = DE = EC
DA = DF = FA

ADC è congruente (uguale) a AFB
ADB è congruente (uguale) a BGC
BDC è congruente (uguale) a ACE
Ne consegue che l'area dell'esagono è il doppio di quella del triangolo ABC e si può calcolare conoscendo solo a b c, sommando le aree dei 6 triangoli che formano l'esagono (con la formula di Erone).
Conoscendo l'area del triangolo equilatero ABC, si trova infine la lunghezza del lato.

Nino280, se vuoi, tu che conosci bene geogebra puoi fare un disegnino meno osceno del mio :D

Ciao

Re: Qualche quiz
 

https://i.postimg.cc/9fxxs800/Esacono-Con-Triangolo.png



Il disegno l'avrei anche fatto. Ma mi sa che poi dimostra pochino.
Dimostra solo che l'area dell'esagono è doppia di quella del triangolo.
Ed infatti ho lasciato i rispettivi valori delle aree marcati li all'interno.
Solo poi le varie uguaglianze che hai scritto non zo.
Un' altra cosa. Si nota che il punto D a me è spostato verso sinistra e a te a destra.
Penso che il motivo sia che io ho fatto partire il segmento lungo 10 da B mentre tu lo hai fatto partire da A
Il motivo, di questa diversità è che per non rifare tutto da capo ho adoperato il vecchio disegno cambiando solo gli indici dei vari vertici e rendendoli uguali al tuo disegno. Non ho invertito il segmento da 10
Se dovesse essere necessario magari domani rifaccio tutto da capo.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Detta x la lunghezza incognita del lato del triangolo equilatero, col mio "Grapher" trovo:
----------------
Se x è la lunghezza del lato del triangolo equilatero ABC di centro O, le distanza di O da ciascun vertice è x/√(3).
Cerco allora anzitutto l'ordine di granderzza di x, per esempio pensando che la distanza del centro dai vertici è circa la media geometrica delle tre distanze 10, 9 e 8.
Ossia x≈[√(3)]·(10·9·8)^(1/3) ≈ 15,524
Ci sono tanti modi di risolvere questo problemino .
Per esempio con la trigonometria. Basta ricordare che i coseni degli angoli al centro (la cui somma è un angolo giro) sono
(10^2 + 9^2 – x^2)/(2·10·9) = (181–x^2)/180;
(9^2 + 8^2 – x^2)/(2·9·8) = (145 – x^2)/144;
(8^2 + 10^2 – x^2)/(2·8·10) = (164 – x^2)/160.
Oppure con la geometria analitica:
Detta questa volta L la lunghezza del lato, immaginiamo di porre:
• il vertice A in [XA, YA] = (0, L/√(3)];
• il vertice B in [XB, YB] = [–L/2, –L/√(12)];
• il vertice C in [XC, YC] = [L/2, –L/√(12)].
Poi prendiamo un punto P di coordinate [x, y] incognite e imponiamo che la sua distanza da A sia 10, quella da B sia 9 e qualla da C sia 8.
Otteniamo così tre equazioni nelle incognite x, y e.
[NB. Per come stanno ora i vertici, il centro sta in [0, 0] e le coordinate (x, y) di P sono entramber positive ... e piccole rispetto ad L che sappiamo in anticipo essere circa 15.52].
Eliminando X e Y resta una equazione in L, forse con più soluzioni, ma allora la soluzione giusta sarà la più prossima a 15,52.
––––––––––
Ma l'approccio che piace di più ad aspesi è senz'altro quello senza trigonometria e senza geometria analitica! ;)
Basta allora uguagliare la somma delle aree dei tre triangoli di lati (z. 10, 9), (x, 9, 8) e (x, 8, 10) all'area del triangolo di lati (x, x, x). Si ottiene una equazione nella sola incognita x.
Ma l'equazione contiene radici di polinomi in x^2.
Se allora ci saranno più soluzioni, occorrerà prendere per buona la più prossima a [√(3)]·(720)^(1/3) ≈ 15,524.
Ricordando che l'area di un triangolo di lati a, b e c è[/code]
√[a+b+c)(–a+b+c)(a–b+c)(c+b–a)]
S(a, b, c) = –––––––––––––––––––––––––––––––
4[/code]
e che quella di un triangolo equilatero di lato x è √(3)·(x^2)/4, l'equazione che piace ad aspesi diventa [per triangoli di [x, 10, 9), (x. 9, 8), (x, 8, 10) e (x, x, x)]:

––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

No, non è quello che ho inteso dire.
Non è un esagono REGOLARE quello che devi costruire, ma un esagono corrispondente alle indicazioni che ho scritto nel mio messaggio precedente (in pratica ha i lati lunghi in sequenza 8, 9, 10 come le distanze dai vertici; in ogni caso, quello che ho scritto prima vale sempre, anche se le distanze dai vertici fossero, che so, 4, 7, 12, ove ovviamente sia possibile all'interno di un triangolo equilatero).

:hello:

NB: il mio disegnino precedente non si legge bene, per ingrandirlo cliccaci sopra

Re: Qualche quiz
 

Guarda la formula che ho trovato io ;) (messaggio #3166 http://www.trekportal.it/coelestis/s...postcount=3166

:hello:

Re: Qualche quiz
 

https://i.postimg.cc/tg8YfQK2/Lati-Corrispondenti.png





Fatto nuovo disegno con esagono sbilenco.
Risulta che i lati opposti dell'esagono sono uguali e ancora una volta l'area dell'esagono è doppia di quella del triangolo.
Curioso il fatto che io avevo capito male e avevo disegnato sopra al triangolo un esagono regolare invece di uno sbilenco, ma l'area dei due esagoni erano poi equivalenti.
Per inciso il lato dell'esagono regolare era 8,96218
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Nell'ultima immagine ...c'è un trucco!
E' ottenuto con un piccolo montaggio, cioè aggiungendo la frecia e i due numeri con la soluzione a 16 cifre significative sullo sfondo della vera immagine di "Grapher" che, con quella scala, non può avere la risoluzione corrispondente a tutte quelle cifre della soluzione.
Per avere una alta accuratezza sulla soluzione occorre un'alta risoluzione, cioè dilatare parecchio La scala dell'immagine della finestra di "Grapher". Allora della curva cartesiana della funzione –scritta in testa alla figura – si può vedere solo un piccolo dettaglio molto ingrandito.
La figura che segue è autentica! ;)
–––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Che vuoi dire dicendo : "la formula che ho trovato io".?
L'hai trovata nel senso che l'hai inventata tu o nel senso che l'hai scovata in rete?
Propendo per la seconda ipotesi. :mad:
[La tua filosofia è infatti: "Chi non sa cerca!" [E molto spesso, cercando, trova!]
-----------------
Credo comunque che la tua formula si ricavi lkavorando un po' su quella che ho pensato che preferisci, cioè l'uguagliare la somma delle aree dei tre triangoli con lati
(L, a, b); (L, b, c); (L, c, a)
all'area del triangolo equilatero di lati (L, L, L).
Siccome ho "Grapher", al posto di risolvere io l'equazione (smanettando fino ad esplicitare L in funzione di a, b e c), preferisco farmi risolvere l'equazione da lui
Naturalmente, l'equazione f(x) = 0 va trasformata in
y = f(x) . (*)
allora "Grapher" mi dà il grafico cartesiano. della fubzione y = f(x).
Se "clicco" un punto del grafico, in basso compaiono le scritte che dànno le coordinate cartesiane del punto "cliccato". Cliccando allora sul punto di intersezione del grafico con l'asse delle ascisse, l'ordinata vieney =0 e l'ascissa x = ecc. ecc è la soluzione dell'equazione (*)
f(x) = 0.
––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

E propendi malissimo! :mad:
Stavolta l'ho proprio "inventata" io, non credo ci sia in rete

:hello:

Re: Qualche quiz
 

:ok::ok: E' proprio questo che intendevo.
Il problema l'ho risolto con questo disegno e facendo i ragionamenti che ho scritto prima.
L'area del triangolo equilatero di cui si vuole il lato è uguale alla metà della somma di 3 triangoli uguali di lato a b c (8, 9, 10) + la somma di 3 triangoli equilateri di lati a (8), b (9) e c (10).

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Sono contento.:rolleyes:
Magari ci arrivo al terzo tentativo, l'importante è che ci arrivo.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

https://www.geogebra.org/classic/snwhdp4g

Ma torniamo al Teorema di Aspesi.
Questa volta non aspetto che mi diciate: BELLO
Piace molto anche a me e bello me lo dico da solo.
Vado a prendere una istantanea




Questa è una istantanea con lo slider posizionato a 20°
Se si mette lo slider a 0° (dal link cliccabile di sopra) i triangoli colorati si posizionano come erano all'inizio a formare l'esagono sbilenco.
Muovendo il bottone detti triangoli trasmigrano vabbè diciamo ruotano.
Succede che a 60° si vanno a posizionare ordinatamente all'interno dell'equilatero.
Provare per credere:D
Ciao

Re: Qualche quiz
 

:ok::ok: Te lo ripeto anch'io...;)
Vediamo se Erasmus commenterà...

Ciao

Re: Qualche quiz
 

–––
:hello:

P.S.
Corretto l'errore (omissione d'un esponete) (ven. 07Z/12/2018 h13:35)
@aspesi
Grazie della segnalazione.
[Ma già m'ero accorto dell'errore]

Re: Qualche quiz
 

Per nino280 e eventualmente Erasmus (io non so risolvere questi problemi di geometria solida):

Sul pavimento vi sono tre palle tangenti fra loro di raggi 2 cm, 3 cm e 6 cm.
Una quarta palla, più piccola delle altre, è a contatto con il pavimento ed è tangente ad esse.
Trovare il raggio della quarta palla.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

https://i.postimg.cc/PJ3F2qp4/Sfere-sul-Piano.png





Ho incominciato a lavorare su questo Quiz.
Per ora sono arrivato alle prime tre palle sul pavimento.
Più difficile è mettere la quarta pallina fra queste tre ed il pavimento, cioè nell'interstizio.
Ci sto ancora pensando.
In termini tecnici si dovrebbe trattare di una "Quadritangenza"
Ciao

Re: Qualche quiz
 

https://www.geogebra.org/classic/qfxqfxhh

Qui ci metto la versione cliccabile.
Cliccare dopo l'apertura sull' ultima icona sulla destra "Ruota vista grafica 3D" e col mouse far ruotare il disegno.
Lo si può posizionare con il pavimento be non parliamo più di pavimenti e palle ma di piani e sfere è più appropriato, allora diciamo con il piano di profilo fino quasi a farlo sparire a testimonianza della veridicità del disegno.
Prima fare un clic in un punto qualsiasi del disegno per portarlo in versione 3D
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Ti ringrazio per la segnalazione, ma ti prego, per favore, di cancellare questo tuo messaggio perché la correzione l'ho fatta (e, andando a modificare per cambiare la figura già ti ho ringraziato). L'errore l'ho visto appena inviata la figura. Ma avevo altro da fare e così ho corretto il testo originale, rifabbricata la figura e caricata su "postimage.org" quando ho potuto ... e dopo aver sostituito la figura mi sono accorto di questa tua segnalazione.
Dici che non sei pratico di geometria ... ma vedo che hai beccato l'errore: vuol dire che hai seguito tutti i passaggi.

[Ma non mi dici niente a proposito della mia discussione del quiz dei 51 punti nel quadrato di lato 7 cm?]
------------
Il problema della quarta sfera tangente a tre sfere tangenti a due a due e tutte quattro tangenti ad un piano [il pavimento] ... possiamo immaginarlo un caso particolare di quello di una quinta sfera incatrata tra quattro sfere (ciascuna già tangente alle altre tre), considerando il piano (il pavimento!) come una sfera di raggio infinito (analogamente al caso di un cerchio incastrato tra due cerchi tangenti e una retta tangente ad entrambi (considerabile come terzo cerchio di raggio infinito).
Già molto tempo fa avevano dimostrato che la formula del quarto cerchio incastrato tra tre cerchi tangenti a due a due si può estendere da due dimensioni a tre (cascando così nel caso di cui il tuo quiz è un particolare quando una sfera degenera in un piano (cioè il suo raggio tende all'ifinito). Più recentemente qualcuno è riuscito a dimostrare che quella formula si può estendere ad n >3 dimensioni.
\vedrò in seguito se sarò capace di risolvere il problemino che hai posto. Per ora ... ls formula non me la ricordo più|!
–––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Fatto! :)

Se ho capito quello che hai scritto (ma non ne sono sicuro :D, dici che si potrebbero mettere fino a 64 puntini...) hai sbagliato (o hai risolto un quiz diverso).
Questa è la mia soluzione:
Dividiamo il quadrato in 25 quadratini di lato sqrt(2) (infatti, a meno di qualche centesimo, 25*(1,4^2)=49 cm^2) ognuno dei quali si può'considerare inscritto in un cerchio di raggi 1 cm.
Ora, disponendo a caso i 51 punti sui 25 quadratini, possono capitare due cose:
1)I punti si distribuiscono in numero (quasi) uguale e cioè' in 24 quadratini vi saranno 2 punti e nel quadratino rimanente gli altri tre punti(e quindi anche nel cerchio di raggio 1 cm ad esso circoscritto).
2)I punti si distribuiscono in numero diseguale: in tal caso e' certo che in almeno un quadratino capiteranno tre punti o più (e quindi anche nel cerchio di raggio 1 cm ad esso circoscritto).
già riportata al post http://www.trekportal.it/coelestis/s...postcount=3088

So che la soluzione è r=circa 1,1 cm (6 - 2*radq(6))
e ci potrebbe essere anche 10,9 cm (6 + 2*radq(6))
ma non ho idea su come ci si arriva
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Per quanto riguarda il quiz della quarta sfera nell'interstizio, cedo le armi e mi arrendo.:)
Non sono riuscito a trovare un algoritmo, inteso come algoritmo grafico, che mi risolve il problema.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Probabilmente non serve a nulla, prova comunque a guardare qui:
http://www.feliceragazzo.it/wp-conte...-di-Soddy1.pdf
http://www.robertoocca.net/sp/fg/crc...c_tangent2.pdf
http://www.fallavollita.eu/public/Pd...ytechnique.pdf

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Interessante, molto interessante.
Anche se per esaminare tutta la roba che hai postato mi ci vorrà circa 1 mese.:D
Comunque una occhiata alla velocissima glielo data.
Mi sembra comunque strano che non ho trovato nulla che si riferiva o riguardava il quiz. Ma ripeto gli dato una sbirciata veloce.
E fra le 37 o le 47 o le 57 immagini non ne ho vista neanche una con la sferetta negli interstizi.
Esempio ne metto una a caso presa dal primo dei tuoi link:
https://i.postimg.cc/6qgRdfF9/Intere...teressante.png



Ci sono sette sfere ma quella centrale non è negli interstizi.
Nel senso che se prendiamo per esempio le prime tre sfere di sopra ,due non si toccano.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

https://i.postimg.cc/YqQ4bsDW/Pappo-Pappus.png

Per quanto sempre scorrendo il primo link postato da Aspesi ho intravisto una immagine a me familiare.
Trattasi della catena di Pappo.
Ne parlammo anche qui tempo fa e io ne feci una copia quando ancora mi funzionava la stampante.
Quella copia che è anche la stessa dell'immagine che ho messo qui sotto, è poi rimasta da allora sul comodino della mia camera da letto:D:D

Re: Qualche quiz
 

Che palle!...
:D

Re: Qualche quiz
 

Le palle di Pappo.
Apelle figlio di Apollo fece una palla di pelle di pollo . . . .

Re: Qualche quiz
 

Infatti, non c'è nulla relativo al quiz (che, ripeto, ho trovato solo come testo e risultato, di cui non sono neppure certo, ma non conosco la procedura per risolverlo).
I link precedenti pensavo potessero esserti utili per poter disegnare le 4 sfere, ma potrei benissimo sbagliarmi.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ad ogni modo indipendentemente se trovo o non trovo qualcosa inerente al quiz (va detto e ripetuto che bisognerebbe esaminare il tutto con estrema attenzione) io di quei link non butto via nemmeno una virgola. Se avevo subito risposto che erano interessanti, sono interessanti per davvero, almeno per me.
Intanto 5 minuti fa ne prendo uno lì segnalato non ricordo come l'hanno chiamato teorema pinco o teorema pallino, e lo faccio io.
Il motivo è che fino a che non lo faccio io, primo non lo capisco pienamente (anche perché lì è espresso male perché stranamente parlano di quadranti) e secondo è proprio costruendolo che poi ci sono più probabilità che mi rimanga impresso.
Eccolo:
https://i.postimg.cc/W4YXPF9R/Fuochi-nei-Centri.png


Detto in parole povere fra di noi.
Disegnato una circonferenza diciamo piccola.
Disegnata una circonferenza più grande ma tangente alla piccola internamente.
Ora prendo i centri di queste due circonferenze e li faccio diventare i fuochi di un ellisse.
Ma GeoGebra non si accontenta dei punti dei due fuochi, vuole almeno tre punti, cioè i due fuochi più un altro punto.
Come terzo punto prendo allora la distanza media sull'ascissa che va ad incrociare gli estremi di destra delle circonferenze.
Ok, per capirci meglio, dico la distanza che va da 10 a 40 diviso 2.
E poi traccio facilmente il mio ellisse.
Le conseguenze di questa roba e a cosa mi può servire? Be non lo so.
Intanto comincio ad incassarlo.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Ecco che mi smentisco da solo.
Avevo fatto un disegno senza sapere a che cosa mi sarebbe servito.
E' passata soltanto forse un'ora che ecco che ci trovo una superba applicazione.
Del resto se nel link postato da Aspesi avevano messo quel disegno sotto sotto un motivo doveva esserci.
Ma io l'ho trovato smanettando da solo senza più ritornare in quel link.
Ma veniamo al dunque:
https://i.postimg.cc/SNRnMRqs/Propriet-Immediata.png



Metto un punto a caso sull'ellisse.
Lo si vede è il punto E
Ora cliccando su E ho la possibilità di disegnare un'altra circonferenza.
Non ho il valore del raggio di detta ultima circonferenza ma io la posso espandere a mio piacimento semplicemente muovendo il mouse.
Perbacco questa circonferenza che ora ho creato è tangente sia alla circonferenza piccola sia alla grande.
Sarà un caso?
Allora ripeto il tutto di sotto con un altro punto anche questo preso a caso e che è il punto G
Tutto come prima.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Ho già detto che è un caso particolare del problema di una quinta sfera tangente quattro sfere già mutuamente tangenti.
[Cioè :Ci sono 4 sfere di raggio noto di cui ciascuna è tangente alle altre tre. Trovare il raggio di una quinta sfera tangente a tutte la altre quattro. Basta infatti conseìiderare il pavimento come il caso limite di una sfera al tendere all'infinito del suo raggio]. Ho anche detto che c'è una formula che è l'estensione del problema del quarto cerchio tamgente ad altri tre già tangenti a due a due dal piano (bidimensionale) allo spazio (tridimensionale). Ma non ho ancora ritrovato quella formula.
Però saprei risolvere questo quiz particolare (ma il dare il risultato non serve a granché! E' molto più interessante qualche "osservazione" sul particolare problerma.
a) Consideriamo due sole sfere, di raggio diverso tangenti una all'altra ed etrambe tangenti al medesimo piano.
Pensiamo per semplicità a due palle sferiche pesanti su un pavimento aorizzontale e in mutuo contatto.
Sia A il centro della sfera di raggio maggiore a, sia B il centro della sfera di raggio minore b, sia H il punto di appoggio sul pavimento ddella sfera maggiore e sia K il punto di appoggio sul pavimento della sfera minore.
Allora possiamo considerare il trapezio rettangolo di:
• base maggiore AH = a,
• base mainore BK = b,
• lato obliquo AB = a+b
Quanto vale il quarto lato HK (che è l'altezza ddel trapezio)?
Facile: la differrnza di quota dei centri A e B è AH – BK = a – b.
Con Pitagora troviamo allora
HK^2 = (a+b)^2 – (a–b)^2 = 4ab ––> HK =2√(ab)
b) Cose analoghe valgono per ogni coppia di sfere tangenti.
Siano allora tre sfere (di raggi rispettivi a, b e c) di centri rispettivi A, B e C tangenti il medesimo piano rispettivamente in H, K e L.
Evidentemente il triangolo HKL (dei punti di contatto delle sfere con il comune piano tangente) è la proiezione ortogonale su quel piano del triamgolo ABC i cui vertici sono i centri delle sfere.
Se le tre sfere sono tangenti a due a due abbiamo:
AB = a+b ––> HK = 2√(ab);
BC = b+c ––> KL = 2√(bc);
CA = c+a ––> LHL = 2√(ca).
c) Sia x il raggio della quarta sfera, pure tangente lo stesso piano e tangente tutte tre le sfere.
Sia D il centro di questa quarta sfera, sia x il suo raggio e sia X il punto di contatto col comune piano tangente.
In generale D non sarà complanare con gli altri tre centri A, B e C.
Abbiamo dunque, in generale, un tetraedro di vertici A, B, C e D costituiti dai centri delle 4 sfere.
Ma la proiezione dei 6 spigoli di questo tetraedro sul piano tangente dà luogo ad un triangolo di lati
HK = 2√(ab),
KL = 2√(bc),
LH = 2√(ca)
internamente al quale c'è un particolare punto X che dista dai vertici H, K e L del triangolo rispettivamente
HX = 2√(ax);
KX = 2√(bx);
LX = 2√(cx).

Allora è possibile determinare il raggio x della quarta sfera in funzione dei nraggi a, b e c delle altre tre sfere.
[Per esempio: uguagliando l'area di HKL alla somma delle aree di HKX, KLX e LHX.
Oppure: uguagliando un angolo del triangolo HKL alla somma delle due parti in cui viene diviso dalla semiretta per X di oriogine il vertice di quell'angolo (*)].

(*) E' faciile applicare questo criterio per risolvere il nostro problema.
In generale, in un triangolo di vertici A, B e C e lati rispettivamente opposti di lunghezza a, b e cA[/i]) il coseno di un angolo si ricava facilmente dal teorema di Carnot. Per esempio. il coseno di α di vertice A vale:Ricordando poi che in generale:
cos(φ + ψ ) = cos(φ)·cos(ψ) – sin(φ)·sin(ψ), (**)
nel nostro problema si pussono scrivere – per esempio – i coseni degli angoli K[B]H[/b]L. KHX e KHX che valgono rispettivamentee quindi, tramite la (**) ottenere una equazione in x.
Per (a, b, c) = (6, 3, 2), risolvendo la detta equazione col mio "Grapher" ricavo:
x = 1,10102051443364.
La detta equazione, dopo aver eliminato i denominatori, mi vìene:
che per (a, b, c) = (6, 3, 2) è risolta appunto da:
x = 1,10102051443364.
––––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

No! Ti prego di andare a rileggere, perché (invece) mi pare di aver risolto bene proprio il tuo quiz!
E di averlo fatto con condizioni più stringenti, ossia con cerchi di raggio solo un pelo (infinitesimo!) maggiore di [√(2)]/2 < 1.

Non ho detto che si possono mettere 64 punti!
Ho detto che, cercando di mettere i punti uno più diatante il più possibile da quello più vicino, ivido il rettangolo 7 X 7 in 49 quadratini 1 X 1 e metto 36 punti nelle intersezioni delle rette che dividono quel quadrato in quadratini 1 X 1.
Allora, che i punti siano 51 o 64 fa lo stesso!
Infatti i 36 punti (distanti al massimo uno dall'altro distano 1 da quelli più vicini e quindi la circonferenza di un cerchio di diametro un pelo maggiore di √(2) può accirarne quattro (e quindi 3 "a fortiori"). Gli altri 51 – 36 = 15 punti li posso mettere un pelo solo meno distanti di 1 da qaulcun altro mettendoli a ridosso (appema "dentro") del perimetro. Il perimetro è lungo 28, e quindi potrei mettere altri 28 punti a ridosso del perimetro (appema "dentro") ciascuno dei quali distante solo un pelo meno di 1 cm da quello più a lui vicino.
Insomma: ti ho fatto bvedere che non cp0'è bisogno (nel testo) di prendere i cerchi di raggio 1, ma quello che è da dimostrare si può dimostrare anche sassumendo che i cercchi siano di raggio solo un pelo maggiore di [√(2)]/2 < 1.
Rileggi con più attenzione ... e vedrai che va bene!
Ho visto quel che dici tu. Ma quel che ho detto o mi pare più semplice (e più chiaro). :)
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:hello:

Re: Qualche quiz
 

Vado a inserire questa sfera dal calcolo di Erasmus nel mio disegno precedente e mi sembra che ci entri perfettamente.
https://i.postimg.cc/yNqNjfVG/Le-Quattro-Sfere.png



La quarta sfera di raggio 1,101020 è naturalmente quella blu.
Solo ho girato l'immagine in mille modi ma non esiste una bella vista che renda giustizia alla sferetta nell'interstizio perché è sempre coperta da almeno una o due sfere.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

:ok: Quindi è proprio x = 6 - 2*RADQ(6)
e immagino che la sfera più grossa che contiene le altre 3 abbia raggio = 6 + 2*RADQ(6)

Sarebbe interessante scoprire se il primo 6 indica il valore del raggio della sfera maggiore, il 2 il valore della sfera minore e il 6 sotto radice il prodotto dei due raggi delle sfere più piccole (ma dubito sia così bello!).
In questo caso, se le 3 sfere avessero raggio 3, 4, 12 quella quadritangente piccola potrebbe avere raggio 1,607695155 ???

:hello: