Re: Qualche quiz
 

:ok: Però può essere anche 10x12, ecc..., l'unica cosa sicura è che l'area è 120

xy - (3/8)xy - (4/10)xy = 27
xy = 27*40/(40-15-16) = 120

:hello:

Re: Qualche quiz
 

E' vero!
Diciamo che io ho preso la prima combinazione che mi è capitata senza vedere oltre.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

A me sembra un disegno un pò raffazzonato.
Ci sono gli angoli da 90° che tutto sembrano meno che siano angoli retti.
Poi ancora facendo una proporzione fra il lato in basso L e il valore L/5 che il quiz chiedeva,
e tale proporzione che a me viene (rispetto sempre al disegno del quiz) essere circa 11 ed è misurando meno di 10
Ho fatto un esperimento e cioè ho cercato di sovrapporre il disegno del quiz con il mio, ebbene . . . . .
Ciao

Re: Qualche quiz
 

:hello:

(L'ho risolto solo per tentativi :o)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

(5S-3)/(8S-2) = RADQ(S/(2S+7))

(25S^2+9-30S)/(64S^2+4-32S) = S/(2S+7)

50S^3+18S-60S^2+175S^2+63-210S = 64S^3+4S-32S^2

14S^3 - 147S^2 + 196S -63 = 0



S =1/2
S=1
S=9 cm^2 che è la soluzione corretta

:hello:

Re: Qualche quiz
 

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Provo a fare come prima cosa un ingrandimento perchè si vede poco o nulla.
A me sembra come dato a + b = 4*rad. quad. di 2
Dico sembra perchè vedo lettere e segni ombrati e quindi confuse.

Ciao

Re: Qualche quiz
 

E se ho visto bene da quelle parti ci vedo un bel isoscele e quindi P M = 4

Ciao
Vedo ora che ho fatto uso di un segmento in meno.
Nell' originale ce l'ho messo quel segmento, ma la sostanza non cambia, perchè non cambia nulla nel risultato finale.
Non lo metto a posto di qua perchè non ho nessuna voglia di cancellare questo disegno per metterne un' altro con un segmento in più dato che è ininfluente.
:hello:

Re: Qualche quiz
 

:ok:

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Si legge con difficoltà ...
Detto r il raggio del cerchio piccolo e detto R il raggio del quarto di cerchio grande si trova subito:
R = [√(2) + 1]r.

Calcolando allora a, b ed x in funzione di r si trova:
a = √[2 – √(2)]r;
b = x = √[2 + √(2)]r; (*)
a + b = {√[2–√(2)] + √[2+√(2)]}r = √(2)·√[2+√(2)]r. [V nota [°]]
Allora, se è a +b = 4√(2), si ha:
r = 4/√[2 + √(2)]
e allora la (*)
cioè
x = √[2 + √(2)]·r
diventa
x = √[2 + √(2)]·4/√[2 + √(2)] = 4.
––––
[°] √[2–√(2)] + √[2 + √(2)] = √({√[2–√(2)] + √[2 + √(2)]}^2) =
= √{[2–√(2)] + [2+ √(2)] +2√([2–√(2)]·[2+√(2)]} =
= √[4 +2√(4 – 2)] ) = √{2·[2+√(2)]} = √(2)·√[2+ √(2)].
–––––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Questo, Erasmus probabilmente non lo sa risolvere... :D

Preso un triangolo qualunque ABC, individuare il punto P in modo che la somma delle sue distanze dai vertici PA + PB + PC sia minima.

Es. per nino280, sia:
AB = 10 cm
BC = RADQ(250) cm
AC = RADQ(170) cm

La somma delle distanze dei vertici A B C dal punto I (incentro) dovrebbe essere = 22,13621913 cm

Ma questa NON è la distanza minima... (che è un pelino minore)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Interessante.
Ma non si può far nulla se di un problema o Quiz non ci dedichi anima e corpo come si usa dire. Cosa che per il momento non ho fatto.
Lo farò ! !
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Comunque, almeno 10 minuti li ho dedicati al tuo quiz e al tuo triangolo.
Ma non più di 10 minuti.
Perchè mi sono alzato tardissimo, poi ho visto un pò di televisione sull'Ucraina e poi aprendo il frigo : VUOTO
Devo uscire :mad:
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Ma il problema non è questo.
E' quello di trovare il vero punto dal quale la somma delle 3 distanze dai 3 vertici è minore (di quella dell'incentro e di qualunque altro, baricentro, ecc...).

Un aiutino: questa distanza (che ho calcolato facendo un disegnino a mano con un foglio millimetrato, non so fare meglio...) è circa 22,0267 (però non so quanto questa misura sia precisa).

Un aiutone :D: da questo punto (chiamiamolo P), si dipartono i 3 segmenti che uniscono i vertici del triangolo, in modo che gli angolo APC = BPC = APB siano di 120 gradi

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ma che il punto non sia questo io l'ho capito perfettamente.
E ho anche scritto che non l'ho affrontato.
Ho detto anche che ho solo verificato quel tuo triangolo che menzionavi, e nulla più.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

OK, non avevo capito.
I valori considerando l'incentro sono perfetti, io l'ho calcolato con le coordinate X_i e Y_i che risultano 3,613608255 e 3,346221166 se si considera 0,0 le coordinate del vertice A

:hello:

Re: Qualche quiz
 

:mad: Qiesta è una vera ... "perfida" provocazione! Ieri avevo scritto molto a proposito di questo quiz. Ma, dovendo sospendere più volte per incombenti altre priorità, per ben due volte ho perso tutto!
Dicevo che si può sempre ricorrere al metodo di annullare le derivate parziali rispetto alle varibili.
Se i vertici A, B e Cdelgtriangolo ABC stanno rispettivamente nei punti di coordinate (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3) un piunto P di coordinate (x, y) dista dai vertici rispettivamente
d1 =√[(x–x1)^2 +(y – y1)^2];
d2 =√[(x–x2)^2 +(y – y2)^2];
d3 =√[(x–x3)^2 +(y – y3)^2].
Il punto P con somma delle sue disatanze dai vertici minima sta in (x, y) tali che sia:aspesi mi dirà che non è molto facile risolere questo sistema.
E' vero: ma esaminandone il significto ...si impara parecchio!
Per esempio, si dimostra facilmente che – tranne i triangoli ottusangoli con l'angolo ottuso non minore di 120° – ciascuno dei tre lati deve essere visto da P sotto l'angolo di 120°
[Ma ora non mi dilungo certo a rispiegare la dimostrazione.
Dico solo, a mo' di aiuto, che i tre addendi della (1) possono essere intesi come coseni degli angoli di inclinazione dei segmenti PA, PB e PC sull'asse delle ascissa x; e gli addendi della (2) come seni degli stessi angoli (o come coseni degli angoli di inclinazione di quei segmenti sull'asse delle ordinate y).
Ma – cjhedo ad aspesi – dove starà il punto P – nel caso di un triangolo di lati (7, 8, 13)?
E dove se il triangolo ha i lati (7. 8, 14)?
Se poi, per comodità di scrittura, chiamo (provvisoriamente) x, y e z le distanze del punto dal quale i lati (lunghi a, b e c) sono visti sotto angoli di 120°, queste tre distanze sono le soluzioni del sistema seguente Neanche questo sistema è tanto facile!
Ma è abbastanza facile ricavare da esso equzioni in una sola incognita chje andremo popi a risolvere con qualche moderno mezzo di calcolo
––––––––––––––-
Adfesso, per raccogliere la" perfida" provocazione di aspesi, gli mostro una figura che fa vedere come si trova graficmente il punto con somma minima delle distanze dai vertici,
––––––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Bravo (anzi, forse, bravissimo! :D);)

Ma mi vuoi prendere in castagna?
Con un triangolo di lati 7, 8 e 13, il punto di minima distanza dai vertici è semplicemente il vertice di congiunzione dei lati 7 e 8 (che forma un angolo di 120°)

Sono buono, non ti faccio perdere tempo con le derivate, questo punto, graficamente, si trova facilmente (più o meno come hai scritto tu): basta costruire un triangolo equilatero su ciascuno dei 3 lati del triangolo di partenza: il punto P, che si chiama di Fermat-Torricelli, esiste se nessuno degli angoli del triangolo supera i 120°, ed è l'intersezione dei segmenti che collegano i vertici del triangolo ABC con quelli dei triangoli equilateri (e anche l'intersezione delle circonferenze circoscritte ai 3 triangoli equilateri)

:hello:
http://www.unife.it/scienze/matematica/insegnamenti/matematiche-elementari/materiale-didattico/28%20-%20punto%20di%20fermat.pdf

Re: Qualche quiz
 

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Riprendo il quiz del punto P la somma delle cui distanze dai vertici del triangolo ABC è minima.a) Mai sentito nominare prima d'ora questo "punto di Fermat-Torricelli". Grazie per avermelo insegnato! Non si finisce mai di imparare (se non morendo!)
b) Però ... il punto così determinato (come ho fatto anch'io) esiste anche se un angolo del triangolo è maggiore di 120 gradi, nel qual caso è esterno al triangolo; e in tal caso non è più il punto la somma delle cui distanze dai vertici è minima. Ovviamente quest'ultimo punto esiste sempre! Ossia: dati tre punti A, B e C non allineati c'è ed è unico il punto la somma delle cui distnze da A, B e C è minima (ed è complanare con A, B e C). Se il triangolo ABC è ottusangolo con l'angolo ottuso maggiore di 120 gradi il punto i Fermat-Torricelli (trovato come hai detto) è esterno ad ABC mentre il punto la cui somma delle distanze da A, B e C è minima è interno al triangolo ABC.

Sia ABC un triangolo i cui angoli interni sono tutti minori di 120 gradi. I suoi lati abbiano lunghezze:
BC = a; CA = b; AB = c.
Sia P il punto la somma delle cui distanze da A, B e C è minima.
si ponga:
x = PA; y = PB; z = PC.
Sfruttando il fattio che da P ogni lato è visto sotto l'angolo di 120 gradi si ricava (col teorema di Carnot) il seguente sistema: [code]
x^2 + xy + y^2 = c^2; (1)
y^2 + yz + z^2 = a^2; (2)
z^2 + zx + x^2 = b^2. (3)
Da qui è facile ricavare tre equazioni di cui una nella sola incognita x, una nella sola incognita y ed una nella sola incognita z. Infatti:
a) Ricavando y dalla (1) e z dalla (3) e sostituendo nella (2) y e z con le relative espressioni si trova:
v = [√(4c^2 – 3x^2) – x]/2;
z = [√(4b^2 – 3x^2) – x]/2;
[√(4c^2 – 3x^2) – x]^2 + [√(4c^2 – 3x^2) – x]·[√(4b^2 – 3x^2) – x] + [√(4b^2 – 3x^2) – x]^2 = 4a^2. (4)
b) Ricavando z dalla (2) e x dalla (1) e sistutuendo nella (3) e z ed x con le relative espressioni si trova:
z = [√(4a^2 – 3y^2) – y]/2;
x = [√(4c^2 – 3y^2) – y]/2;
[√(4a^2 – 3y^2) – y]^2 + [√(4a^2 – 3y^2) – y]·[√(4c^2 – 3y^2) – y] + [√(4c^2 – 3y^2) – y]^2 = 4b^2. (5)
c) Ricavando x dalla (3) e y dalla (2) e sistutuendo nella (1) e x ed y con le relative espressioni si trova:
x = [√(4b^2 – 3z^2) – z]/2;
y = [√(4a^2 – 3z^2) – z]/2;
[√(4b^2 – 3z^2) – z]^2 + [√(4b^2 – 3z^2) – z]·[√(4a^2 – 3z^2) – z] + [√(4a^2 – 3z^2) – z]^2 = 4c^2. (6)
Risolvendo con Grapher le equazioni (4), (5) e (6) per
a^2 = 100; b^2 = 240; c^2 = 250
ho trovato:
x ≈ 11,945154105395;
y ≈ 5,98505524oo59:
z ≈ 5,559333892535.
E quindi la somma minima delle distanze di P dai vertic è:
x + y + z ≈ 23,489543237989.

@ nino280 e aspesi:
I vostri risultati (entrambi 22 e rotti decimali) sono sbagliati! :p
–––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ciao

Re: Qualche quiz
 

Non capisco cosa vai scrivendo.
Io questo quiz non l'ho manco esaminato.
Perchè dopo aver visto le "vostre" soluzioni ho desistito.
Quel 22 e rotti che tu dici, era solo una verifica di un esempio che diceva Aspesi che io ne ho verificato la veridicità, diciamo l'esattezza.
Mi ero già spiegato con Aspesi a suo tempo che quel disegno non era la soluzione del quiz.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

E sia. Lo faccio.
Conformemente ai dati del quiz e adoperando il teorema di Fermat - Torricelli che nemmeno io conoscevo, ho trovato il valore : vedere disegno.
Io l'ho ottenuto come si vede dall' intersezione dei tre circocentri degli equilateri costruiti sui lati. Ma ci si arrivava ugualmente congiungendo i vertici opposti degli equilateri (cioè la loro intersezione)
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Avevo detto che Erasmus non sapeva risolvere questo problema... :D
Adesso, non so se è colpa del tuo procedimento o solo dei calcoli che hai sbagliato.

Ti consiglio comunque di (ri)leggere bene i miei messaggi precedenti; per approfondire, cerca con google "Punto di Fermat"

:hello:

Re: Qualche quiz
 

:ok: (ma l'area è espressa al quadrato; se i lati dei quadratini sono a, l'area del triangolo è 5/2a^2; nel tuo caso a=10 mm, quindi l'area è 250 mm^2)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

:ok:
Il risultato è praticamente uguale a quello che avevo trovato io facendo un disegnino a mano (l'avevo scritto in un messaggio precedente, 22,0267*) e conferma che il valore trovato da Erasmus (23 e rotti) è sbagliato :D)

:hello:

*Coordinate del Punto di Fermat (x=2,95, y=2,55) considerando il vertice A come origine (x=0, y=0)

Re: Qualche quiz
 

Per quanto riguarda le coordinate del Punto di Fermat io trovo (andando a rilevare i valori) una leggera differenza rispetto ai tuoi valori.
Precisamente x = 2,93794 e y = 2,50595
Ciao
Invece per il calcolo che ha fatto Erasmus, credo di aver capito dove può aver sbagliato, l'ho letto una sola volta il suo paper e anche molto velocemente.
C'è un lato che è radice di 170 e non radice di 240.
Ad ogni modo come si vede, la differenza fra queste somme di distanze fra i due sistemi, cioè fra la condizione dell'incentro e la condizione del punto di Fermat, è quasi impercettibile, essendo di circa 0,1 e sarebbe fra il 22.13622 ed il 22.0265.
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ma quanto valevano i lati?
Ah: un lato era √(170). Io invece ero convinto – mi pareva di ricordarli a memoria – che i lati fossero
[a, b, c] = [10, √(240), √(250)].
Ho preso dunque 240 al posto di 170.
Ho scritto infatti:Esattamente come ho fattoi io! I punti H, K ed L sono infatti i centri dei cerchi circoscritti i tuoi tre tringoli equilateri.
Quanto alle derivate ... e come faresti a dismostrare che i lati sono visti da quel punto sotto l'angolo di 120 gradi?.
Invece, per il significto dei termini di quelle derivte (da me già rilevato) è facile !
Nella derivata rispetto ad x i tre termini sono tre coseni degli angoli fatti dai tre segmenti "distanze" con l'asse delle ascisse x; e nella derivata rispetto ad y i oseni degli angoli con l'asse delle ordinte, cioè i seni degli angoli con l'asse delle ascisse.
Allora, combinando, hai tre vettori tutti eoi intensità 1 con somma zero: cosa possibile xsolo se uno è inclinato sugli altri di ±120 gradi,
Ma se non parti con le derivte come la trovi la regola dei 120 gradi?
Infine: la domanda era di determinare dove sta il punyo o di dire quant'è quella somma minima?.
Penso che sarai fd'accordo che è più breve il mio procedimento che quello di trovare esattanente il punto con la Geometria Analitica per poi calcolare le tre distanze. Io ottengo direttamente le equazioni in ciascuna distanza come incognita, Equazioni irrzionali che però con i moderni mezzi di calcolo hanno la stessa difficoltà delle equazioni di secondo grado.
––––––––-
:hello:

Re: Qualche quiz
 

E' chiaro? :mmh:
Può darsi ... ma per un cieco chiaro o scuro fa lo stesso!
Però un cieco intelligente e colto capirebbe una adeguata spiegazione. :mad: Vedi mo'? Toh che il cieco per il quale chiaro o scuro fa lo stesso capisce al volo questa adeguata spiegazione!
Adesso il cieco procederà da solo (e a modo suo), forse rifacendo quiel che altri ha già fatto.
––––––––
Metto x = ED e y = AD (e tengo conto del fatto che anche AE = 5)
Siccome EC è parallela ad AB i triangoli rettngoli CDE e ACB sono simili.
Allora:
(6+y)/6 = 5/x ==> y = 30/x – 6 = 6(5–x)/x ==> y^2 = 36[(5 – x)^2]/x^2.
Dal triangolo rettangolo ADE [essendo AE = 5] ricavo:
y^2 = 25 – x^2 ==> y^2 = (5+x)(5–x).
Eliminando y ho dunque l'equqaione in x:
(x^2)(5+x)(5–x)) = 36(5 – x)^2
Scarto subito la soluzione x = 5 che mi darebbe l'assurdo y = 0 e allora mi resta:
P(x) =x^3 + 5x^2 +36x = 180.
Prima di imbarcarmi per andar a risolvere un'equazione di 3° grado guardo se, per caso, c'è qualche soluzione intera positiva.
P(1) = 1 + 5 + 36 = 42 (troppo poco!)
P(2) = 8 + 20 + 72 = 90 (ancora poco).
P(3) = 27 + 45 + 108 = 72 + 108 = 180 OK!
Una soluzione accerttabile è dunque x = 3.
Se divido P(x) – 180 per x – 3 trovo x^2 + 8x + 6 0 i cui zeri non sono reali.
Dunque l'unica soluzione accettabile è x = 3 e di conseguenza
y = 6(5 – 3)/3 = 4.
Allora posso trovare il diametro del cerchio:
2r = √[(4+6)^2 + 5^2] = 5√(5)
e quindi risalire al'angolo al centro di BC (che è
2arcsin{5/[5√(5)]}= 2arcsin[√(5)/5]
e a quello di EC che sarà π – 4arcsin[√(5)/5].
Calcolata allora l'area derlla lunetta di corda EC [sotrraendo il triangolo isodcele OEC al relativo settore], le si aggiunge l'area del triangolo CDE che è 9.
Il conto se lo faccia qualcun altro!
Al cieco basta aver capito come si arriva alla soluzione
–––––––––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Giochi della Bocconi



:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ci sono 2 quadrati come nel disegno, ciascuno di lato 10 cm.

Trovare la lunghezza dei raggi a, b e c

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ciao

Re: Qualche quiz
 

:ok:

(10-r) ; r = 15 : 5
15r = 50 -5r
r = 50/20 = 2,5 cm

(10-R) : R = 10 : 5
10R = 50 - 5R
R = 50/15 = 10/3 cm

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Però lui chiedeva R1:R2: R3 che è = 0.6
Mentre 10/3 = 3.333333
Vabbè queste sono quisquiglie o come dire cercare il pelo nell'uovo che di norma non fanno parte del mio bagagliaio tecnico:D
Solo sei d'accordo anche tu di questa banalissima sottigliezza?
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Non ho capito cosa intendi per "banalissima sottigliezza"
Hai c= R grande = 10:2 = 5
b = R piccolo trovato = 2,5
a = R medio trovato = 10/3

Se vuoi 5:2,5:10/3 viene 5*2/5*3/10 = 6/10

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Intendo proprio quello che ho scritto.
Se vedi il quiz c'è scritto:
a : b : c = ?
E quindi devi dividere fra di loro i tre raggi
O no ?
Ciao
Non è mica una proporzione che devi trovare il medio come dici tu.
a : b = c :
Non è così

Re: Qualche quiz
 

????????
Non ho fatto nessuna proporzione.
Nel messaggio precedente ho semplicemente diviso i valori dei raggi.
Che sono 5 (cerchio più grande) 2,5 (cerchio più piccolo) e 10/3 (cerchio intermedio)

E il risultato di queste divisioni è ovviamente 6/10

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Si ok.
La cosa finisce li. Piccole incomprensioni.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Disporre i numeri da 1 a 27 in fila, in modo che la somma di due numeri consecutivi sia sempre un quadrato perfetto, non è facile.
Eppure, un amico informatico mi dice che ci sono ben 70 soluzioni, ad esempio:
1 8 17 19 6 3 13 12 24 25 11 14 22 27 9 16 20 5 4 21 15 10 26 23 2 7 18
e
8 17 19 6 10 26 23 13 3 1 15 21 4 12 24 25 11 5 20 16 9 27 22 14 2 7 18

E mi dice anche che c'è un'unica soluzione che inizia con il 26, invogliandomi a trovarla.
Io non ci sono però riuscito :o*

:hello:

* E invece, sfruttando una delle 2 soluzioni precedenti, l'ho scoperta facilmente

------------
Questa è una stringa da 1 a 31 :p:eek:

1 24 25 11 5 4 12 13 3 6 30 19 17 8 28 21 15 10 26 23 2 14 22 27 9 16 20 29 7 18 31

e quest'altra da 1 a 32:
1 24 25 11 5 31 18 7 29 20 16 9 27 22 14 2 23 26 10 15 21 28 8 17 19 30 6 3 13 12 4 32

Re: Qualche quiz
 

:hello: