Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Qualche quiz (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=33691)

aspesi 07-10-21 12:20

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 845302)
Ne sei sicuro?

Ciao

Mi riferivo (non ho fatto i conti) al disegno (sviluppo della piramide rettangolare) postato da Erasmus, che sulla sinistra ha riportato i valori che io ho solo copiato.

:hello:

Erasmus 07-10-21 13:32

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 845293)
[...]
Mi hai spostato l' 88 che prima era consecutivo al 233 e al 208 cioè veniva dopo, ora tu me lo piazzi al centro.]

No! L'ordine è smpre quello. Prima i due spigoli lunghi erano a cavallo del lato lungo della base. Adesso, girando di 90 gradi la base rispettoai tre spigoli (o viceversa, ché fa lo stesso), i due spigoli lunghi sonoa cavallo del lato corto della base ... se no hai ragione lo spigolo corto 88 on ce la fa a congiungere il veertice della piramide col quarto vertice della base.
–––
Ma l'esempio (purtroppo diventato – per colpa mia – un tormentone ) voleva essera sol un esempio del vero quiz che era:
Cone si fa a trovare il volume di una piramide rettangolare conoscendo le lunghezze dei due spigoli della base e le lunghezze di tre spigoli della superficie laterale?
Insomma: voleva essere una domanda di geometria solida, quella che si studia per bene nelle scuole per periti. [Lo so perché ho fatto da fuori-corso di Ingegneria il supplente di matematica per tutto il terzo trimestre in un ITIS qui a Verona]
Ovviamente il vero problema è:
«Noti gli gli spigoli della base rettangolare e tre dei 4 sigoli della superficie laterale, come si fa a trovare l'altezza della piramide?»
Ma c'è anche un'altra soluzione: pensare la piramide rettangolare unione di due piramidi triangolari dove la base è un triangolo rettangolo con cateti i lati del rettangolo della rettangolare e ipotenusa la diagonale di quel rettangolo.
Allora di questa mezza piramide conosci tutti i 6 spigoli ... e puoi andare con una formula in cui ogni spigolo ha lo stesso trttamento!
Anche di questa formula una volta avevamo parlato. La formula sembra complicata ma in realtà è facile ricordarla perché ha un suo preciso e facile ordine. Per dimostrarla conviene usare un pizico di trigonometria sferica (pure facile da imparare ... e molto importante dal punto di vista della cultura generale).
––––––––
:hello:

aspesi 09-10-21 12:59

Re: Qualche quiz
 


:hello:

Errata corrige: la più piccola coppia di scatole cugine è (1,2,2) e (4,1,1).

nino280 09-10-21 14:34

Re: Qualche quiz
 
Io ultimamente sono facilmente irritabile e anche mi stanco molto facilmente.
Io di questo Quiz mi sono irritato e stancato prima ancora che leggessi tutta la "trama" del quiz. Vale a dire mi sono fermato a metà della lettura della trama stessa. :D:D
Ciao

aspesi 09-10-21 15:41

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 845363)
Io ultimamente sono facilmente irritabile e anche mi stanco molto facilmente.
Io di questo Quiz mi sono irritato e stancato prima ancora che leggessi tutta la "trama" del quiz. Vale a dire mi sono fermato a metà della lettura della trama stessa. :D:D
Ciao

Beh... ci sono problemi alla portata di tutti, ed altri che necessitano di intuito e intelligenza :D

:hello:

nino280 09-10-21 18:55

Re: Qualche quiz
 


Visto che non ci sono Quiz geometrici da risolvere faccio un passo indietro e mostro come avevo promesso e chiamata, la mia invenzione.
E sarebbe quella di determinare il vertice di una piramide conoscendo la base e le lunghezze di tre spigoli laterali.
Si capisce subito il motivo per cui dopo aver usato il sistema delle sfere che si intersecano io vado immediatamente a "nasconderle" , perchè è chiaro, le sfere mi coprono il disegno.
Ma qualcosina della piramide si intravede se si aguzza la vista.
Ma di fondamentale importanza sono le reciproche intersezioni delle tre sfere.
Le intersezioni di sfere (quando ci sono) sono evidentemente cerchi.
E sti tre cerchi sono ora in bella vista: sono quelli in Blu.
E queste intersezioni convergono nel punto V vertice della piramide. (Si vede la V anche se l'ho mossa un pò verso l'alto, solo la lettera, altrimenti se era vicino al suo punto non si vedeva perchè era coperta da ben tre colori)
Ciao
P.S. La figura rappresenta la "mia" Piramide.
Quella con spigoli 233 ; 208 ; 188
:hello:

Mizarino 10-10-21 07:24

Re: Qualche quiz
 
@Aspesi: Erasmus ti censurerebbe, perché hai omesso di dire che vuoi rapporti razionali fra i lati delle scatole cugine... :D

aspesi 10-10-21 09:06

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 845380)
@Aspesi: Erasmus ti censurerebbe, perché hai omesso di dire che vuoi rapporti razionali fra i lati delle scatole cugine... :D

:D
La più piccola terna di scatole cugine ha volume 20 e lunghezza nastri 28:
x y z
a) 1, 5, 4
b) 2, 2, 5
c) 2, 10, 1

Un programmatore che frequenta un gruppo di matematica ha trovato poi:
-quaterna di scatole gemelle (volume 48 e lunghezza nastri 42):
a) 1, 8, 6
b) 1, 12, 4
c) 2, 3, 8
d) 3, 16, 1

5 scatole:
volume 160 lunghezza nastri 56
[2, 10, 8] [2, 16, 5] [4, 4, 10] [4, 20, 2] [10, 16, 1]
6 scatole:
volume 360 lunghezza nastri 80
[2, 18, 10] [2, 20, 9] [4, 6, 15] [4, 30, 3] [6, 30, 2] [18, 20, 1]
7 scatole:
volume 1632 lunghezza nastri 168
[2, 34, 24] [2, 48, 17] [3, 17, 32] [4, 12, 34] [4, 68, 6] [12, 68, 2] [34, 48, 1]
8 e 9 scatole:
volume 4800 lunghezza nastri 156
[8, 30, 20] [8, 40, 15] [10, 20, 24] [10, 48, 10] [12, 16, 25] [12, 50, 8] [16, 50, 6] [20, 48, 5] [30, 40, 4]
10 scatole cugine:
volume 30240 lunghezza nastri 260
[20, 54, 28] [20, 56, 27] [21, 45, 32] [24, 36, 35] [24, 70, 18] [28, 30, 36] [28, 72, 15] [30, 72, 14] [36, 70, 12] [54, 56, 10]
11 scatole cugine (ci vuole BRT per trasportarle):
volume 52920 lunghezza nastri 400
[12, 90, 49] [12, 98, 45] [14, 60, 63] [14, 126, 30] [18, 42, 70] [18, 140, 21] [21, 35, 72] [42, 140, 9] [49, 135, 8] [60, 126, 7] [90, 98, 6]
12 scatole cugine:
volume 100800 lunghezza nastri 548
[12, 112, 75] [12, 150, 56] [14, 80, 90] [14, 180, 40] [18, 56, 100] [18, 200, 28] [24, 40, 105] [24, 210, 20] [40, 210, 12] [56, 200, 9] [80, 180, 7] [112, 150, 6]

ecc...ecc...

Mizarino 10-10-21 10:17

Re: Qualche quiz
 
Io sono ancora fermo alle coppie...
Intanto trovo che fra la più piccola (1 2 2) e (4 1 1) e quella che avevi inizialmente menzionato e successivamente corretto (9 2 1) ce ne sono molte altre...

P.S. Adesso sono arrivato anche alle terne... :D
La prima è quella che hai detto tu (1 5 4), (2 2 5), (2 10 1) ..., la seconda, con V=24, è (4 2 3), (6 2 2), (6 4 1), che però ha la lunghezza di nastro più corta.

aspesi 10-10-21 11:15

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 845390)
P.S. Adesso sono arrivato anche alle terne... :D
La prima è quella che hai detto tu (1 5 4), (2 2 5), (2 10 1) ..., la seconda, con V=24, è (4 2 3), (6 2 2), (6 4 1), che però ha la lunghezza di nastro più corta.

E' vero!
Quindi è da considerare la soluzione migliore.
Non l'avevo trovata...

:hello:

Mizarino 10-10-21 11:54

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 845392)
E' vero!
Quindi è da considerare la soluzione migliore.

Dipende ... vuoi risparmiare spazio o vuoi risparmiare nastro? :D

Erasmus 10-10-21 21:06

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 845367)
Beh... ci sono problemi alla portata di tutti, ed altri che necessitano di intuito e intelligenza

Tu, intelligente dall'intuito super,, perché hai trascuratiìo la risposta ad un problema alla tua portata? :mmh:
Te lo ripeto:
«Se di una piramide rettangolare conosci gli spiholi della base e tre dei quattro spigoli della superficie laterale, come fai a trovare il suo volume?»
–––
:hello:

nino280 10-10-21 21:44

Re: Qualche quiz
 
https://www.geogebra.org/m/qmum6szf

Lo sbocciare della mia meravigliosa Piramide.

Bisogna all' apertura del Link andare a cercare con la barra di scorrimento verticale a fianco della parte algebrica del disegno lo Slider denominato " u " poi muovere il pallino oppure cliccare sul triangolino che c'è alla destra del pallino per avviare l'animazione.
Il triangolino è un pò coperto ma se si adopera la barretta di scorrimento orizzontale grigia che c'è li in basso, e allora l'animazione parte in automatico.
Ciao

nino280 11-10-21 06:52

Re: Qualche quiz
 


Mi sono deciso a disegnare la Piramide sbilenca di Erasmus:D
Come si vede il vertice cade fuori la base.
Comunque devo ammettere che come erroneamente pensavo (cioè ruotando solo la base di 90° come diceva Erasmus, la necessità di sistemare l' 88 fra lo spigolo 233 e lo spigolo 208 non sussiste più, a patto che faccio partire l'88 dal cateto minore della base.
Solo due paroline sul disegno, non voglio ripetere sempre le stesse cose.
Il sistema di costruire la piramide facendo uso di intersezioni di sfere aventi i raggi degli spigoli della piramide è come si vede efficacissimo.
Credo altresì che i miei valori coincidono perfettamente con i valori di Erasmus che deve averli trovati analiticamente. Ho dato un'occhiata velocissima ma mi pare di sì.
In più è degno do nota il piano che mi sono costruito (è quello color azzurrino) per poter misurare l'altezza della piramide che come si vede e come dicevo cade fuori della base. Ad ogni modo questo piano sta sul piano X Y
Va da se e ciò che risulta, che a seconda di dove piazzi l'88 si hanno piramidi di volume diverso e cioè : la piramide di volume Zero cioè quella che non si crea, poi la piramide che ho appena disegnato uguale a quella di Erasmus, poi una terza piramide che avevo già disegnato ma che ora non ricordo più i valori (bisogna tornare indietro a leggere tutti gli altri messaggi ma che ricordo che il volume era circa 1/3 di quella che ho appena disegnato e che l'altezza mi pare fosse 33 virgola qualcosa, insomma tali valori li ho da qualche parte e dovrei andare a prenderli, di certo era la piramide con l'88 intermedio al 233 e 208.
Ciao
P.S.
Se qualcuno ha fatto girare lo sviluppo della mia piramide che ho postato ieri sera l'animazione, io ho anche tentato a suo tempo di fare la stessa cosa con la piramide sbilenca (quella con l'88 intermedio) e cioè con altezza che cade fuori dalla base, ma GeoGebra mi va in Tilt.
Vedo ora che lo spigolo da 88 non si legge tanto bene perchè coperto da un segmento o spigolo, ma è certo che quello è un 88
Però la domanda sorge spontanea.
Ma con tante piramidi esistenti, perchè andare a sceglierne una sbilenca?
No, era troppo semplice una in cui il vertice cade nella base, in tal caso trovare l'altezza è facile perchè hai già la superficie di base del rettangolo, invece così (vedi disegno) uno si deve andare a costruire un piano.
Ciao

nino280 12-10-21 06:39

Re: Qualche quiz
 
Per Aspesi.
Nella piramide prova che avevo postato io, cioè quella con uno spigolo da 188 invece che 88; tu avevi calcolato con estrema precisione dove cascava il vertice cioè la sua proiezione sulla base, che era se ricordo bene il punto H e ci avevi mostrato la distanza da due lati della base, i più vicini, uno mi pare fosse 32 e l'altro non me lo ricordo.
Ora riusciresti a fare la stessa cosa con la piramide di Erasmus chiamiamola così per brevità che poi è la stessa di questo mio ultimo disegno di ieri sera?
Ciao

aspesi 12-10-21 07:40

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 845418)
Per Aspesi.

Ora riusciresti a fare la stessa cosa con la piramide di Erasmus chiamiamola così per brevità che poi è la stessa di questo mio ultimo disegno di ieri sera?
Ciao

Sto andando a castagne, spero di riuscirci perché ho da ieri la sciatica alla gamba destra che mi fa impazzire, a camminare riesco, ma faccio una fatica terribile a chinarmi.

Magari ci guarderò (ma tu puoi dare il risultato molto più facilmente).

:hello:

nino280 12-10-21 10:01

Re: Qualche quiz
 

Hai ragione.
Quattro cliccate bene assestate e via.
Ho tolto solo il piano che imbrogliava non poco.
Allora facciamo così.
L'altra volta tu hai dato i numeri e io avevo controllato.
Ora i numeri li do io e poi tu controlla:D
Ciao

nino280 12-10-21 21:04

Re: Qualche quiz
 
https://www.geogebra.org/m/pqssvnna
La piramide che si schiude.
L'unico lavoro da fare è cercare il pallino nella parte algebrica e azionarlo.
Ciao
Il pallino si trova proprio al fonda della parte Algebrica.
Ma ora vedevo ancora sotto allo Slider per comandare l'animazione un dato ; Sviluppo Piano e poi V = 62.112,3928
Non so cosa sia, ma potrebbe essere la superficie laterale della Piramide.
bisognerebbe fare i conti per saperlo , i valori li abbiamo tutti.
:hello:
https://www.geogebra.org/m/pqssvnna

Ad un certo punto questo Link non si apriva più.
Ho provato a reimpostarlo.
Sembra che ora vada.
Vi ricordate quando dicevo che faccio uso di sfere e delle loro reciproche intersezioni?
Qui sono andato a riprendere tali intersezioni (l'ho fatto solo per 2 ) il bello è vedere come i vertici dei triangoli delle superfici laterali nell'animazione dello sviluppo della piramide , percorrono proprio queste " Intersezioni"
:hello:

aspesi 13-10-21 07:22

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 845435)
Ma ora vedevo ancora sotto allo Slider per comandare l'animazione un dato ; Sviluppo Piano e poi V = 62.112,3928
Non so cosa sia, ma potrebbe essere la superficie laterale della Piramide.
bisognerebbe fare i conti per saperlo , i valori li abbiamo tutti.
:hello:

Sì, la superficie laterale è 38880,3928 (13634,47043+7660,22454+5583,338064+12002,35977)

La superficie totale (aggiungendo la base 23232) è 62112,3928

:hello:

nino280 13-10-21 08:29

Re: Qualche quiz
 


ho dispiegato le Ali e fatto misurare tutte le superfici laterali, che coincidono (mi pare) con tutti i tuoi valori
Ciao

aspesi 15-10-21 17:06

Re: Qualche quiz
 
In un piano cartesiano, la retta y=x rappresenta “la costa”, al di sotto di questa retta c’è il mare.

Abbiamo le coordinate di 2 città:
città A= (1;5)
città B= (7;15)

Si vuole costruire un porto(P) sulla costa, da questo porto verranno costruite 2 ferrovie perfettamente rettilinee, una collegherà il porto con la città A, l’altra collegherà il porto con la città B.

Trovare la posizione del porto in modo tale che la somma delle lunghezze delle due ferrovie sia minima…
Quali sono le coordinate del porto?
E qual è la somma minima delle lunghezze delle 2 ferrovie?

Schizzo


E quali sarebbero le due distanze se desiderassimo che le due ferrovie avessero la stessa lunghezza (PA = PB)?

:hello:

Mizarino 15-10-21 20:17

Re: Qualche quiz
 
E' abbastanza semplice, con un tantino di geometria analitica, solo che ora non ho il tempo di fare i passaggi necessari.
Dalla formula della distanza fra due punti alla fine la somma S delle due distanze viene un polinomio di 2° grado in X, dove X rappresenta le due coordinate uguali (X,X) del porto.
A quel punto si trova il minimo della parabola, nonché le due distanze individuali e la loro somma.
:hello:

nino280 15-10-21 20:36

Re: Qualche quiz
 


Ciao

aspesi 16-10-21 01:20

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 845518)
Ciao

Fuoco, sei vicino, ma non è esatto.
Prova a ottimizzare

:hello:

nino280 16-10-21 04:35

Re: Qualche quiz
 


Ma perchè non era giusto?
Forse perchè non ci avevo messo il mare?
:D:D

aspesi 16-10-21 07:06

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 845521)

Ma perchè non era giusto?

:D:D

E' sbagliato, già alla seconda cifra decimale delle coordinate di P.
E le distanze k e q
E la loro somma è 10*RADQ(2), prova con qualche decimale in più e ti accorgi che la tua somma è leggermente maggiore

:hello:

nino280 16-10-21 08:27

Re: Qualche quiz
 
Non capisco.
Dici che la somma delle delle distanze delle due ferrovie è 10 * rad di 2
che fa 14,14213562
Esattamente come avevo scritto nel primo disegno.
Ciao
Ora ti metterò di seguito l'animazione di questo porto di mare.
Prova tu stesso a trovare un numero inferiore nelle somme delle due ferrovie inferiore a
14,14214 o comunque a 14,14213562 che è suo parente prossimo.
Ciao

nino280 16-10-21 08:51

Re: Qualche quiz
 
https://www.geogebra.org/m/yfftk6as

Con lo scroll tira leggermente su tutto il disegno.
Ti comparirà il solito pallino che andrai a muovere.
Sulla sinistra in "Case" ti compare intanto la somma delle distanze delle due ferrovie (che io ho indicato con k e q) in automatico e devi dunque leggere il valore "d" di detta somma.
Prooovaaa.
Ciao
Devi cercare in parole povere il valore minimo.
Ora però avendo fatto un nuovo disegno, l' ho memorizzato con il pallino fuori posto.
Il suo valore cioè "a" deve essere ripeto come da primo disegno = a 8,0026
:hello:

aspesi 16-10-21 09:16

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 845527)
Non capisco.
Dici che la somma delle delle distanze delle due ferrovie è 10 * rad di 2
che fa 14,14213562
Esattamente come avevo scritto nel primo disegno.
Ciao
Ora ti metterò di seguito l'animazione di questo porto di mare.
Prova tu stesso a trovare un numero inferiore nelle somme delle due ferrovie inferiore a
14,14214 o comunque a 14,14213562 che è suo parente prossimo.
Ciao

Allora, se prendiamo le tue coordinate del punto P (5,65869 ; 5,65869) con Pitagora, le distanze risultano:

da A = 4,705025508
da B = 9,437117411

La cui somma è 14,14214292 (7,29557E-06 più alta del risultato 10RADQ(2))

Coordinate esatte P = 17/3; 17/3

:hello:

nino280 16-10-21 09:57

Re: Qualche quiz
 
A ho capito.
Avevo fatto un errore di dieci alla meno sei:mad:
Ma questi errori di arrotondamento io li ho sempre fatti e li farò sempre.
Avevo creduto che avessi sballato completamente tutto o che avessi fatto un errore di concetto.
Anche se avevi detto "Fuoco" alla prima tua risposta.
Su questa faccenda degli arrotondamenti ne abbiamo già parlato svariate volte.
Per evitare questo disguido dovrei disegnare con 10 cifre dopo la virgola, e ho già detto che non mi piace, diciamo anche che non è il caso.
Ciao
Adesso aspettiamo la dimostrazione matematica di Erasmus che magari la sta già preparando, o di Mizarino che si era già pronunciato dicendo che era facile.
Mettiamola così, visto che non ci azzecco mai le ultime cifre decimali, i miei disegni prendiamoli come abbozzi, o come sgrossature (un termine molto usato dai tornitori) e sta a voi la stesura delle equazioni.
Ciao
Ma tu, 17/3 come l'hai trovato?

aspesi 16-10-21 15:26

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 845531)
A.
Ciao
Adesso aspettiamo la dimostrazione matematica di Erasmus che magari la sta già preparando, o di Mizarino che si era già pronunciato dicendo che era facile.
Mettiamola così, visto che non ci azzecco mai le ultime cifre decimali, i miei disegni prendiamoli come abbozzi, o come sgrossature (un termine molto usato dai tornitori) e sta a voi la stesura delle equazioni.
Ciao
Ma tu, 17/3 come l'hai trovato?

Io ho trovato coordinata P 5,666666... per approssimazioni successive (minimizzando la somma delle due ferrovie), deducendo 17/3.
Ho visto anche che i due segmenti sono uno il doppio dell'altro

(Scusa sono bloccato con l'ernia del disco, non riesco neppure a stare seduto davanti al PC :cry:)

:hello:

Esiste un teorema che dice:
Data una retta r e due punti esterni A e B, il punto O della retta r che minimizza la somma AO + OB è quel punto tale che i segmenti AO e OB formino angoli congruenti con la retta r

aspesi 18-10-21 09:58

Re: Qualche quiz
 


Devi trovare il centro di massa della figura a L:
Hai a disposizione solo due oggetti:
-una matita
-una riga NON graduata

Soprattutto per nino280... ;)

:hello:

nino280 18-10-21 18:57

Re: Qualche quiz
 


Mi costruisco una L a mio piacimento.
Poi prolungo il lato di 8 verticale fino ad incontrare l'8 di sotto. (tratto tratteggiato)
Ottengo 2 rettangoli uno orizzontale ed uno verticale.
Ne faccio le diagonali e congiungo gli incontri di queste 4 diagonali. (Diagonali Blu)
Ma dal disegno è tutto più chiaro che la mia spiegazione.
Idem poi faccio la stessa cosa prolungando il lato di 6
Anche qui come prima ho rettangoli, bla bla (ora diagonali in rosso).
Succede che i due congiungimenti dei punti di intersezione delle diagonali si incontrano in un punto.
Ebbene quello è il centro di massa della figura.
Ciao
Ma ho fatto anche la verifica con il Teorema di Varignon (ora devo cenare metterò in seguito le Equazioni).
E Varignon mi diceva che preso il vertice in basso a sinistra nell' origine il punto che stiamo cercando si trova a x 2,5 e y 3,5
E questo punto, con queste coordinate è lo stesso punto della costruzione grafica che ho mostrato che si può ottenere con un semplice righello (anche non graduato)
Ciao
Varignon :
x = [(8^2 * 10) - (6^2 * 8)] / 2 * (10 * 8) - (6 * 8 ) = 352 / 64 = 5,5
In verità il 5,5 bisogna sottrarlo all'estremo destro della L e quindi abbiamo 8 - 5,5 = 2.5
Per la y si ha
y = [(10^2 * 8) - (6 * 8^2)] / 2* (10 * 8) - (6*8) = (800 - 384) / 64 = 6.5
e 10 - 6,5 = 3,5
Che come ho già detto sono le coordinate x e y se parto dall' origine che io avevo messo sul vertice basso e a sinistra della L
Quindi questo quiz, si può risolvere in due modi diversi.
Ma ho la sensazione che si possa risolvere anche in un terzo modo, cioè con il Poligono Funicolare.
Proverò.
Ciao

Erasmus 19-10-21 00:04

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 845537)
Quote:

nino280 (Scrivi 845531)
[...] Adesso aspettiamo la dimostrazione matematica di Erasmus che magari la sta già preparando, [...]

Io ho trovato coordinata P 5,666666... per approssimazioni successive (minimizzando la somma delle due ferrovie), deducendo 17/3.
Ho visto anche che i due segmenti sono uno il doppio dell'altro

:ok:
Sono due giorni che tento di rispondere qui! Ma il modem mi fa brutti scherzi! Per due volte credevo anche di aver inviato la risposta. ma poi la risposta mia non la vedevo.
Finalmente ho capito cosa succedeva: era il modem che interrompeva la connessione ad Internet e poi la riprendeva ... quando ne aveva voglia lui!
---------------
Sperando di poter finalmente rispondee vengo al quiz in questione..
Geometricamente la cosa è molto semplice perché anche la luce segue il percorso a lunghezza minima!
Supponiamo che la costa [rettilinea] sia speculare e che un raggio diluce venga emesso da A [o da B], si rifletta in un punto P della costa e vada poi a colpire B [o A].

Come si fa a trovare la giustaposizione di P sulla retta-costa?
Pensiamo ad un specchio piano. L'immagine di un oggetto la vediamo come se nel semispazio dietro lo specchio ci fosse un oggetto uguale (e simmetrico) dell'oggetto reale e noi lo vedessimo in linea retta.
Vediamo allora la costruzione geometrica che individua il punto P sulla retta-costa tale che il percoso
AP + PB
sia l più breve possibile..
Facciamo finta che in A [o in B] ci sia l nostro occhio che vede specchiarsi B [o A] nella retta-costa. Il nostro occhio vede l'oggetto specchiato di là della costa e lo vede alla stessa distanza dalla costa alla quale sta (dalla sua parte) l'oggetto reale.
Supponi che il tuo occhio sia in B.
Considera la retta r per A perpendicolare alla retta-costa; e sia A' l'ntersezione. La distanza di A dalla retta-costa è dunque AA'. Considera ora il punto A'' ancora sulla retta r (cioè allineato con A e A'), ma dall'altra parte di A rispetto alla retta-costa e tale che A' sia il punto centrale di AA". Allora A'' è l'immagine di A che il tuo occhio vede da B.
Congiungi ora B con A'' con un tratto rettilineo: l'intersezione di BA'' con la retta–costa è il punto P tale che
AP + PB
sia il percoso minimo al variare di P sulla retta-costa.
Tento di fare una figura qui senza ricorrere all'inserzione di una immagine.
Codice:

                                                                                        B
                                                                                        • B
  A                                                                        ·
 A•                                                        ·
                                              ·                                                   
–A'–––––––––––––––P–––––Q–––––––––––––––––––––––––B'–––––––  r           
              .                                                     
 
 A''

Anche se la figura è poco espressiva, voi fate conto cher P è il punto della retta r allineato con e B.
Allora AP + PB = B.
Se considriamo qualsiasi altro punto Q di r abbiamo il percorso
AQ + QB = Q + QB >B
(dato che in ogni triangolo un lato è minore della somma dgli altri due).
–––––––
Venendo alla soluzione dello specifico quiz, la costa è la retta r di equazione y = x.
Il punto A sta in (x, y) = (1, 5).
La retta p per A perpendicolare alla retta r ha euqazine y = –x + 6.
L'intersezione A' di p con r sta in (3, 3). La distanza di A dalla retta r è dunque
AA' = √[(1 – 3)^2 + (5 – 3)^2] = √(8) = 2√(2).
Il punto B sta in (x, y) = (7, 15).
La retta q per B perpendicolare alla retta r ha equazine y = –x + 22.
L'intersezione B' di q con r sta in (11, 11). La distanza di B dalla retta r è dunque
BB' = √[(7 – 11)^2 + (15 –11)^2] = √(32) = 4√(2).
Siccome la distanza di B da r è il doppio della distanza di A da r, il punto P (su r tra A' e B') dista da B' il doppio di quanto dista da A'. Ha dunque coordinate
x =y = 3 + (11 – 3)/3 = 17/3.
[il porto P deve essere dunque costruito sulla costa nel punto di coordinate (17/3; 17/3)].
Le distanze di A e B da P valgono:
AP = √[(17/3 – 1)^2 + (17/3 – 5)^2] = √(200/9) = (10/3)·√(2) ≈ 4,7140452.
PB = √[(7 – 17/3)^2 + (15 – 17/3)^2] = √(800/9) = (20/3)·√(2) ≈ 9,4280904 = 2·AP
La somma di queste due distanze è 10√(2) ≈14,1421356.
––––––––––
Quote:

aspesi (Scrivi 845537)
Esiste un teorema che dice:
Data una retta r e due punti esterni A e B, il punto O della retta r che minimizza la somma AO + OB è quel punto tale che i segmenti AO e OB formino angoli congruenti con la retta r

Brutto modo di trasdurre in geometria piana la legge di riflessione della luce che, nei tratti senza ostacoli, viaggia in linea retta, fa quindi il percorso più breve tra sorgente ed oggetto illuminato (anche se tramite riflessioni e/o rifrazioni).
La legge di riflessione ... la sanno anche i bambini delle medie: L'angolo di incidenza e l'angolo di riflessione sono uguali.
Questi angoli sono le inclinazioni della luce in arrivo e in ritorno sulla perpendicolare allo specchio. Sono dunque complementari degli angoli di inclinazione sulla retta di appartenenza di P (qelli che nomini con questo teorema).
–––––
:hello:

nino280 19-10-21 10:47

Re: Qualche quiz
 


Rimetto questa figura perchè la mia precedente era poco chiara.
Ho soltanto aggiunto lettere ai valori delle lunghezze più le coordinate cartesiane del centro di massa che credo si possa chiamare anche baricentro.
Il motivo principale del nuovo disegno è dovuto al fatto che avevo scritto la formula del Teorema di Varignon, ma caso vuol che c'era "contaminazione" di numeri, perdonatemi il termine forse poco appropriato.
Avendo preso il ramo lungo della L = 10 poi il ramo corto = 8 e lo spessore = 2
a me serviva il valore di h minore da inserire nella formula e questo h minore mi veniva appunto 10 - 2 = 8 , quindi per farla breve uno che legge non sa a quale valore ( 8 ) io mi riferivo.
Ma ora scrivo le due formule di Varignon con le lettere così si capisce meglio.
Ben inteso io questa formula mica la sapevo, avendola vista forse una sola volta 50 anni fa.
Credo che fosse il 1972 o 1973 o giù di lì.
La copio dal vecchio libro di meccanica che ho conservato.
x = [(B^2 * H) - (b^2 * h)] / 2 * (B*H) - (b*h)
x è la coordinata del baricentro però devo fare 8 - 5,5 = 2,5
e 5,5 mi viene se sostituisco alle lettere le quote del disegno.
Per la coordinati y ho
y = [(B * H^2) - (b * h^2)] / 2 * (B * H) - (b * h)
anche qui andando a sostituire, ottenevo 6,5
E poi 10 - 6,5 = 3,5
Se si legge il valore di N come da disegno si vede x = 2,5 e y = 3,5
Ciao

aspesi 19-10-21 11:07

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 845585)

Mi costruisco una L a mio piacimento.

Ebbene quello è il centro di massa della figura.
Ciao

Ciao

:ok:

Se X gatti catturano (X+4) topi in (4X+2)'
e (X+2) gatti (uguali ai precedenti) catturano (2X+2) topi (uguali ai precedenti) in (3X+3)',

quanto vale X?

:hello:

nino280 19-10-21 14:35

Re: Qualche quiz
 

Salto per il "momento" il problema dei gatti e dei topi di Aspesi e parlo ancora della nostra L
E mi vado a calcolare il "momento" di Inerzia di questa figura, nonchè la Risultante che dovrà passare evidentemente per il punto N che abbiamo già, il così detto Baricentro o centro delle masse.
Avevamo già i punti di incontro delle diagonali dei rettangoli della L, allora vengo giù da detti punti con due parallele.
Da due punti equidistanti dall'ascissa mi traccio due Vettori (V e U)
Questi Vettori sono due Forze Equipollenti alle aree dei rettangoli.
E avevamo 10 x 2 = 20
E 6 x 2 = 12
Quindi i Vettori hanno intensità 20 e 12 e sono complanari e concordi come senso e verso. Ok.
Devo però avere l'accortezza di invertirli di posizione come si usa fare.
E allora congiungo come da disegno l'estremo dell'uno con l'origine dell'altro, ottengo una nuova intersezione che se torno su con una nuova parallela (la mia Risultante) come si vede passa ancora per il Baricentro della L che era il nostro punto N.
Potrei fare la stessa cosa e trovarmi la risultante nell'altro verso cioè a 90° da questa facendo delle parallele agli incontri delle diagonali ma parallele all'ascissa e non all'ordinata.
Credo che dovrebbe funzionare perchè non capisco perchè no.
Nota mi manca ancora il Poligono Funicolare che ricordo vagamente.
Lo farò in seguito.
Ciaè

Mizarino 19-10-21 14:55

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 845531)
Adesso aspettiamo la dimostrazione matematica di Erasmus che magari la sta già preparando, o di Mizarino che si era già pronunciato dicendo che era facile.

E' facile concettualmente, ma avevo sbagliato nel pensare che fosse facile il procedimento, perché avevo preso un abbaglio.

Date le coordinate cartesiane dei punti, e dette d1 e d2 le due distanze, si ha:

d1^2 = (x-1)^2 + (x-5)^2; d2^2 = (x-7)^2 + (x-15)^2 da cui sviluppando si ha:

z = d1+d2 = sqr(2)*[sqr(x^2-6x+13)+sqr(x^2-22x+137)]

a questo punto si può andare per tentativi, oppure si fa la derivata della funzione z e la si eguaglia a zero, trovando la soluzione dell'equazione risultante.

z' = (x-3)/[sqr(x^2-6x+13)]+(x-11)/sqr(x^2-22x+137) = 0

Avendo il computer, conviene risolverla con il più triviale dei metodi numerici iterativi, che non sempre funziona ma in questo caso sì, che consiste nello scrivere l'equazione nella forma:

x = 3 + (11-x)*sqr[(x^2-6x+13)/(x^2-22x+137)]

Poi partire da un valore tentativo di x, es. x=5, calcolare il valore del 2° membro e avere così un nuovo valore di x, quindi ripetere iterativamente fin quando la differenza fra due successivi valori non diventa minore della precisione desiderata.

Ho trovato così x = 5.6666666666666666

Poi sostituendo si può trovare d1 e d2.

P.S. L'abbaglio iniziale era stato pensare che si potesse fare tutto sui quadrati, ma naturalmente non è possibile, perché il minimo della somma delle due distanze non coincide con il minimo della somma dei due quadrati.

nino280 19-10-21 15:07

Re: Qualche quiz
 
Mizarino Ok, niente male.
Basta sostituire da "Facilissimo" come usa dire sovente Erasmus, a "Un pochino complicato"
ed è tutto Ok.
Ciao

nino280 19-10-21 18:04

Re: Qualche quiz
 
Altre volte io avevo calcolato il baricentro di figure geometriche, ad esempio di un triangolo, e che facevo? Ritagliavo la figura su un cartoncino, facevo un forellino nel baricentro, ci infilavo uno spillo e lo appendevo ad un muro, ad una porta che è di legno.
Facevo girare, ma finito di girare il cartoncino si bloccava, non penzolava dondolando prima di fermarsi del tutto. Insomma qualsiasi posizione io mettevo il triangolo o la figura che avevo fatto, lui stava fermo.
Qui abbiamo un problema ed il giochino non si può fare, per via del fatto che il baricentro cade fuori dalla figura, e allora dove faccio il buco per lo spillo?
Ma ho avuto un'idea che credo essere interessante.
Disegno una circonferenza qualsiasi, diciamo che la elle ci stia dentro,
Nel centro della circonferenza faccio il mio foro per lo spillo.
Ora alle stesse distanze delle coordinate del centro della circonferenza con quelle che ho già della elle, incollo la mia elle. Ora che ci penso se colla ci metto la colla ha un suo peso.
Lo scopo evidentemente è quello di sorreggere la elle.
Giro, secondo me ho lo stesso effetto di quando il baricentro mi cadeva all'interno della figura.
Domanda: e se invece di incollare la elle sulla circonferenza, io ritaglio la L?
Che cosa succede, ottengo lo stesso effetto?
Ciao


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