Re: Qualche quiz
 

Quanto vale l'ordinata YG del baricentro G?

Ci provo:

YG = 0,6713258370

–––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Acqua! :p
---------
Ma che cos'è quel numero che hai scritto?
–––––––––––––––––––––––
Noto YG, il volume V del solido di rotazione (dato che l'area A vale 2π) è (con Guldino):
V = 2πYG·A = 4(π^2)·YG.

Viceversa, noto il volume V, l'ordinata del baricentro viene:
YG = V/(2π·A) = V/(4·π^2). (*)

Hai quindi due possibilità.
a) Trovare direttamente YG come rapporto tra il momento statico rispetto all'asse delle ascisse e l'area (che vale 2π).
b) Trovare prima il volume e poi applicare Guldino a rovescio [come in (*)].
--------------
Svolgimento.
a) La curva che delimita superiormente la figura ∑ è f(x) = 1 – cos(x).
Dividi ∑ in striscioline orizzontali alte dy = d[1– cos(x)] = sin(x)·dx.
A quota y = 1 – cos(x) la strisciolina è lunga 2(π – x) e dista dall'asse delle ascisse 1– cos(x).
Pertanto, il momento statico rispetto all'asse delle ascisse x vale: Noto Ms, hai subito:
YG = Ms/A
V = 2πG·A = 2π·Ms.

b) Pensa al solido generato dalla rotazione di ∑ attorno all'asse delle ascisse e affettalo in dischi verticali di raggio r = 1 – cos(x) e spessore dx.
Ricavi: Noto V hai subito:
YG = V/(2π·A) = V/(4π^2)

Adesso, fa' tu i due integralni.

------------
:hello:

Re: Qualche quiz
 

faccio una domanda per verificare se ho ben compreso il significato del baricentro in relazione alla figura precedente in cui compare il punto G: la retta di equazione y=3/4 divide l'area sottesa dalla curva y = 1-cos(x) in due parti uguali che valgono π ?

Re: Qualche quiz
 

:ok:Evidentemente NO, dal momento che a dividere ∑ in due parti di uguale area è la retta di equazione y = 1, più alta di quella di equaz. y = 3/4
--------
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ciao, Erasmus: grazie per la spiegazione.

Mi resta però un dubbio: la retta y=1 non divide forse l'area ∑ in due parti diseguali, di cui quella "al di sopra" vale 2 e quella "al di sotto" vale (2π - 2)?

Il dubbio mi è venuto calcolando l'integrale definito di (1-cos(x)) tra π/2 e 3π/2: mi viene 2 + π.

Per ottenere l'area al di sopra della retta y=1 devo sottrarre il rettangolo famoso di lunghezza π e altezza 1 quindi di area π. Il risultato è 2.

D'altro canto se considero l'integrale definito tra 0 e π/2 di (1-cos(x)) mi viene (π-2)/2 che sommato al famigerato rettangolo e all'integrale definito tra 3π/2 e 2π dà ancora:

(π-2)/2 + π + (π-2)/2 = 2π - 2

che è il valore atteso dell'area al di sotto della retta y=1.

Dov'è che sbaglio?

Re: Qualche quiz
 

Hai ragione, ho detto una cavolata. :o

Comunque: in generale non sono le aree che vengono uguali dividendo ∑ in due con una retta per il baricentro, bensì i momenti statici rispetto a quella retta.

La retta y = k che divide ∑ in due parti di area uguale si trova uguagliando l'aree tra
y=0 e y=k a quella tra y=k e y = 2.

Non so se ho fatto giusto il conto, ma ora a me viene questa equazione trascendente nell'incognita k (ottenuta cercando la quota k alla quale l'area di sopra vale π):
[π – arccos(1 – k)]·[1 – k] + √[2k – k^2] = π/2.
––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ho risolto quell'equazione trascendente che dà la quota k che divide l'area di ∑ in due parti uguali ... e mi viene quel numero di cui ti chiedevo cosa fosse! ;)
k = 0,67132 ...

Allora ... io ho capito che numero era quello là e tu hai capito dov'era che sbagliavi. :D
––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Perfetto, grazie mille!!

Curiosità: sia H il punto di coordinate XH = π. e YH=0,67132...; rispetto a y=1-cos(x) definita nell'intervallo (0, 2 π) questo punto ha la caratteristica di dividere l'area sottesa dalla curva in 2 parti uguali sia rispetto alla retta x = π = XH sia rispetto alla retta y = YH.

Esiste una denominazione specifica per un punto con questa proprietà (azzardo: ortocentro?). E' un concetto generalizzabile? Hai qualche riferimento?

Saluti cordiali
:)

Re: Qualche quiz
 

Ortocentro ... no di sicuro! L'ortocentro è definito solo per i triangoli ed è l'intersezione delle rette per un vertice perpendicolari al lato opposto.

Non mi pare che il tuo punto H sia un punto caratteristico di un discoide qualsiasi.

Il tuo punto dipende dall'orientamento delle rette che dividono in due l'area del discoide.
Naturalmente, per particolari figure con un preciso centro di simmetria (come è il caso dei parallelogrammi, dei poligoni regolari con un numero pari di lati, delle ellissi, ...) il punto che stai pensando è unico: è il centro di simmetria, (ovviamente "simmetria centrale" :)).

Ma in generale (in un discoide che non abbia un centro di "simmetria cemtrale" ) ci sono infiniti punti di questo tipo.
Pensa ad un triangolo equilatero Te con i lati lunghi L.
Le mediane coincidono con gli assi, con le bisettrici e con le altezze. Il "centro" C del triangolo Te è baricentro, circocentro, incentro e ortocentro. C dista da un vertice il doppio di quanto dista da un lato. Una retta parallela ad un lato per questo "centro" C divide il triangolo in un triangolinno e in un trapezio isoscele. Il triangolino (pure equilatero) ha i lati lunghi 2/3 dei lati di Te – cioè ≈ 0,6667·L – e quindi ha area 4/9 dell'area di Te; il trapezio ha area (1 – 4/9) = 5/9 dell'area di Te. Le due aree non sono uguali!
La retta s secante parallela ad un lato divide Te in due parti di uguale area se l'area del triangolino è metà di quella di Te, ossia se i suoi lati sono lunghi L/√(2) ≈ 0,7071 ·L.
Sia K l'intersezione di s con la mediana perpendicolare ad s – mediana che pure divide Te in due parti di uguale area – .
Le distanze di K dal lato parallelo ad s e dal vertice opposto non stanno nel rapporto
"uno a due" = 1/2 = 0,5
bensì nel rapporto:
[1 – 1/√(2)]/[1/√(2)] = 1/[1 + √(2)] ≈ "uno a due e rotti" ≈ 1/2,4142 = 0,4142 < 0,5

Vedi allora che su ogni mediana, tra il punto medio di un lato e C, ci sta un punto siffatto, distinto da quelli sulle altre madiane.

Ma nel triangolo di punti tali che due opportune perpendicolari per uno di essi dividono il triangolo in due parti di aree uguali ce ne stanno infiniti.

Tieni fisso il triangolo equilatero e assumi una direzione qualsiasi. C'è sempre una retta s con quella arbitraria direzione che spacca il triangolo in due parti di uguale area.
Prendi ora la direzione ortogonale alla prima: nella nuova direzione c'è ancora una retta p (perpendicolare ad s) che spacca il triangolo in due partri di area uguale.
Ora p ed s si intersecano in un punto K interno al triangolo che dipende dalla direzione arbitraria assunta inizialmente.

Se facciamo variare in tutti i modi la direzione di s girando con continuità una retta r per un punto fisso F e prendendo s parallela ad r, il punto K descrive una linea chiusa Λ (lambda maiuscolo) tutta interna al triangolo.
[Ecco un bel quiz: determinare l'equazione cartesiana di questo luogo "lambda" !]
––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

[Nuovo] quiz facile facile.

Siano a e b due numeri reali arbitrari (ma non entrambi nulli).
Si consideri la funzione f(x) = x^2 – (a + b) x + ab.

Trovare dove sta il minimo [assoluto] di f(x) senza far uso del calcolo differenziale.

[In altre parole, determinare x tale che per ogni x ≠ x sia f(x) > f(x) ignorando che la derivata di f(x) si annulla in x.]

–––––––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Questo lo so pure io (che la derivata di f(x) è uguale a zero in x = (a+b)/2)
quindi il minimo è la media aritmetica di (a+b)

Solo con il ragionamento di uno che è arrivato al quadrato dei binomi:
nessuno ci vieta di considerare il caso particolare in cui a=b (diverso da 0)

Allora, si ha:
a=b
a+b = 2a ------>(A)
ab = a^2

f(x) = x^2 -2ax +a^2
f(x) =(x - a)^2

Il valore di questa funzione è sempre positivo per x>a e per x<a e si azzera per x=a

Il minimo di f(x) è quindi x=a
e dalla (A) si deduce che è = (a+b)/2

Buon Ferragosto a tutti

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Occhio a come parli! [Pardon: a quel che scrivi! ;) ]
a) Non «la media aritmetica di (a+b)», bensì « la media aritmetica di a e b», ossia (a+b)/2.
b) Non «il minimo è la media aritmetica», bensì «il minimo sta nella media aritmetica».
[NB: nelle correzioni il colore blu sta ad indicare «Errore grave!»! :D ]
Infatti il minimo vale:
f[(a+ b)/2] = [(a+b)/2]^2 – (a+b)·[(a+b)/2] + ab = – [(a – b)^2]/4 = – [(a – b)/2]^2.Lo vieta la logica!
Infatti il caso particolare è compreso nel caso generale, non viceversa. :p
[E il quiz si colloca nel caso generale in cui a e b sono reali ARBITRARI purché non entrambi nulli.
Altro Errore grave!, anzi GRAVISSIMO!]
In generale (cioè per a e b reali arbitrari purché non entrambi nulli):
a) Aggiungiamo al binomio [in x] x^2 – (a+b)·x un termine in modo da avere un trinomio che sia il quadrato di un binomio.
Ovviamente il termine da aggiungere è [(a+b)/2]^2 dato che:
x^2 –(a+b)·x =x^2 – 2·x·[(a+b)/2] = [x –(a+b)/2]^2 – [(a+b)/2]^2.
b) Pertanto Nell'ultimo membro qui sopra l'addendo –[(a – b)/2]^2 è costante (cioè non dipende da x) e l'addendo [x –(a+b)/2]^2 (essendo un quadrato) non è mai negativo.
Cioè: il minimo di questo addendo non può essere minore di zero.
Tale addendo si annulla in x = (a + b)/2.
Dunque 0 è il suo minimo assoluto.
Allora f(x) è minima in tale x dove vale
f[(a + b)/2] = 0 –[(a – b)/2]^2.
Sì, hai capito il "clou" del quiz.
Ma hai commesso tre errori gravi! Grazie.
Contraccambio.
[Peccato che gli auguri non siano sempre veritieri ... :o]

–––––––
Ciao a tutti gli eventuali lettori.

Re: Qualche quiz
 

Atro quiz ... forse un po' sciocco ...

Sia x una variabile reale.
Indichiamo con |x| il valore assoluto (o modulo) di x.

Sia f(x) una funzione reale di x definita per ogni x reale.
Stabilire come deve essere f(x) affinché, per ogni x reale tranne x = 0, sia:–––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Riscriviamo la (1) come
La funzione x/|x| è la funzione segno di x o sgn(x): vale 1 per x > 0 e -1 per x < 0. In x =0 non è definita. Di conseguenza la (1) è vera per ogni x >0. Per x < 0 è vera solo se f(x) = 0. In sintesi affinché la (1) sia vera per ogni x != 0 si deve avere f(x) = 0 per x < 0 e f(x) qualsiasi purché definita per x > 0.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

:ok: La funzione f(x) deve essere nulla in ogni x < 0.

Ma tu ne conosci di funzioni fatte così?

Voglio dire: usando come "mattoni" funzioni che ci insegnano a scuola, come si fa a costruire una funzione f(x) con la [detta] proprietà di essere nulla in ogni x < 0 ? :mmh:
––––
:hello:

P.S. @ maucarlino.
Ho visto che per simboleggiare "diverso da zero" hai scritto "|= 0".
Il simbolo di "diverso" (cioè " ≠ ") si scrive con lo stesso tasto di "uguale" (cioè "=") tenendo però premuto anche il tasto "optional" (quello stesso che tieni premuto per scrivere le parentesi quadre "[" e "]).

Re: Qualche quiz
 

Ho appena provato, ma non mi funziona.

So scrivere le parentesi quadre usando il tasto [Alt Gr], ma non riesco a scrivere "diverso".



:hello:

Re: Qualche quiz
 

Cos'è "Alt Gr" ? :mmh:

Io ho la tastiera "Apple".
Ma quel che ho detto l'ho desunto dalla tastiera del [mini]computer di mia moglie – il quale è pure Apple, precisamente un MacMINI – la quale tastiera è invece per computer con sistema operativo Microsoft.
[Ed infatti, per scrivere caratteri speciali a volte occorre premere tasti diversi da quelli indicati dalla stessa tastiera. Ma non è il caso delle parentesi quadre].
Su tale tastiera il tasto con la scritta "option" è il terzo da sinistra nella fila inferiore (cioè dalla parte di chi scrive).
[Sulle tastiere Apple è invece il secondo, sempre da sinistra a destra nella fila inferiore].

Comunque: ci sarà pure anche sui maledetti vostri computer la possibilità di scrivere "≠" ! :mad:
Come diceva aspesi, «chi non sa cerca!» (fin che trova).
Allora [cari astromauh e maucarlino]: uno di voi due cerchi e trovi come ca... – pardon! – come diavolo deve fare per scrivere "≠" e lo insegni all'altro.

–––
Ciao ciao.

P.S.
Mi par di ricordare che nei linguaggi di programmazione per intendere "diverso" di solito si scrive
<> ["minore maggiore"].
Questo modo di simboleggiare "diverso" mi ha sempre fatto schifo!
Quando programmavo in TurboPascal, per dire
«se x è diverso da y»
dicevo
«se x non è uguale ad y»
Ossia: invece di scrivere
if (x<>y)
scrivevo
if not (x=y).
Non sarebbe male, anche se meno conciso, quest'altro modo di scrivere:
if ((x<y) or (x>y))

P.S. 2
Ma voi vedete come vedo io questo caratterre "≠" (per 'diverso da' ) ?
Io lo vedo come "uguale sbarrato". Per sicurezza, vi faccio una figura di come lo vedo io:
Lo chiedo perché ho cercato questo simbolo nel "codice ASCII esteso" ma non l'ho trovato.
O meglio: il cercare "=" (uguale a) o il cercare "≠" (diverso da) porta allo stesso numero ASCII 61 ("equals sign").
E' quindi probabile che "≠" (diverso da) non sia un carattere speciale ma sia invece uno "stile" dello stesso carattere "=" (uguale a); cioè: stile "sbarrato".

P.S. 3
Usando "Equation Editor" ho scoperto che in "font Symbol" questo carattere è quello che nei font normali è "pi-greco minuscolo", cioè[NB: lo scrivo in font Arial]
π
Questo carattere io lo scrivo con "p" tenendo premuto anche il tasto "option" (che sulle tastiere Apple si chiama "alt", cioè "alternative").

Vediamo, con un anteprima, se è vero anche anche qui sul forum (e se è vero anche per voi).
[Cliccate su "QUOTA" per vedere cosa scrivo nella prossima riga].
Caratteri b π p in font Symbol ––>b π p
Carattere π in font Arial ––> π

No: non funziona! In questo forum il tag font=<font name> non funziona con il font Symbol (quello che scrive in greco).
Se però scrivo su un mio foglio di editor i caratteri b π p (qui scritti in font Arial), poi ne converto il font in Symbol e poi copio e incollo sull'editor di questo forum mi risulta ... eccolo qua:
––> (copiato da mio editor scritto in font Symbol e chiesto in font Arial qui sul forum) β ≠ π

Adesso ... arriva Epoch, esperto massimo di queste faccende, e ci spiega tutto.

Re: Qualche quiz
 

C'è qualcosa di strano nell'editor di questo forum. :mad:

Per favore, provate a cliccare su "QUOTA" per vedere cosa ho scritto davvero.

Cioè:
• Scrivo una frase senza chiedere nessun font.
• Riscrivo la frase chiedendo "font=Symbol".
• Copio come appare questa volta e la incollo su un mio foglio di editor.
• Scopro così che i caratteri dell'alfabeto sono diventati in font Times: ma gli altri (per esempio lo spazio " ", le parentesi quadre "[ ]", lo stesso π –che però diventa p–, ecc) sono passati in font Symbol.
Ma che razza di scherzi sono questi? :mmh:
Ditemi se anche da voi succede così.

[O cara mama, seré la porta
che no entri più nissun!
Mi voi far finta
de èssar morta
par far piànsar
far piànsar qualchedun.
π, p, µ, Ω, € ]

[O cara mama, seré la porta
che no entri più nissun!
Mi voi far finta
de èssar morta
par far piànsar
far piànsar qualchedun.
π, p, µ, Ω, € ]

––––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Io ho cercato nella mappa dei caratteri, ma non ho trovato ≠ :o
Come ho fatto allora a scrivere ≠?
Ho fatto un Copia-Incolla dal tuo messaggio...;)

Io lo vedo come te

:hello:

Re: Qualche quiz
 

≠ ≠ ≠
≠ ≠ ≠
≠ ≠ ≠ ≠ ≠

Re: Qualche quiz
 

Leggendo la tua domanda, d'istinto ho pensato alla funzione gradino:

Q(x) = 0 per ogni x < 0

Q(x) = 1 per ogni x > 0

Quindi possiamo scrivere che la (1) è soddisfatta per ogni g(x)

g(x) = Q(x) * f(x)

o, volendo usare ancora la funzione segno, con un piccolo trucco

g(x) = f(x) * (sgn(x)+1)/2

PS: Non avendo ancora dimestichezza col simbolo ≠ (questo è un copia e incolla del tuo) e non amando molto l'uso comune del "<>", ho usato - nel post precedente - il simbolo "!=" mutuandolo dal linguaggio C, in cui è un operatore con il significato di "NOT EQUAL". Meglio il simbolo che hai usato tu, mi tocca apprendere come ricavarlo con Windows... :rolleyes:

Re: Qualche quiz
 

Solo x i finestrali.
Quasi tutti quelli che hanno Windows hanno anche Word
Allora entraci.
Poi nell'ordine:
Inserisci
Simbolo (ti compaiono 150 mila simboli)
ne scegli uno che ti piace,
Ora hai due possibilità, o clicchi sul simbolo e poi clicchi ancora su inserisci, oppure clicchi sul tasto "tasti di scelta rapida", si apre una finestra dal nome Personalizza tastiera e vai su "nuova combinazione"
A questo punto decidi da te quali tasti usare Per esempio per il simbolo infinito 8 coricato scegli Alt ed una qualsiasi lettera della tastiera es F. Poi salva le modifiche. Bene d'ora in poi con Alt + F ottieni infinito.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

:ok:
Però ... occhio ad evitare confusioni di simboli!
Per esempio, nel testo del quiz e nella mia successiva domanda, f(x) era già la funzione [che doveva essere] nulla in ogni x < 0 (e qualsiasi per x > 0) ... mentre adesso tu mi chiami g(x) la funzione richiesta – richiesta appunto col nome f(x) – e chiami f(x) il fattore della "funzione gradino" (fattore che è una arbitraria funzione definita in ogni x reale).

Siccome l'essenziale è che f(x) sia nulla in ogni x < 0, la tua "funzione gradino"
Q(x) = [sign(x) + 1]/(2x)
[che io preferirei scrivere così: (x + |x|)/(2x); cioè in forma esplicitamente comprensibile]
può essere sostituita da
x + |x|
e la funzione f(x) richiesta diventa dove g(x) è una arbitraria funzione definita in ogni x reale.

L'esempio ... più "elementare" di una f(x) tale che sia:è proprio
f(x) = x + |x| (cioè – col nuovo significato di g(x) espresso in (*) – assumendo g(x) = 1)
dato che allora (essendo x^2 = |x|^2, ossia x/|x| = |x|/x per ogni x ≠ 0) si ha: come richiesto.

In generale, detta g(x) una arbitraria funzione definita in ogni x reale e posto f(x) = g(x)·(x + |x|):–––––––
:hello:

P.S.
Ho notato [nel citarti con QUOTA] che hai tentato di indicare con Θ(x) la tua "funzione gradino", che poi espliciti in [sign(x) + 1]/2,
chiedendo di scrivere la lettera Q di Q(x) in font Symbol. Ma io (nel tuo post) continuo a vedere Q(x) invece di Θ(x).

Insomma: è solo sul mio computer che il tag "font=Symbol" non funziona (qui nei forum di Coelestis) sulle lettere dell'alfabeto, oppure anche tu vedi che dove volevi scrivere Θ(x) sta scritto invece Q(x)? :mmh:
––––––

In merito a questa "funzione gradino" [che il mio prof. Gasparini – di "Elettro 2", 4° anno di "Ingegneria Industriale, sezione Elettrotecnica", Padova a.s. 1958/'59 – indicava con 1(x)] ... guardati le due immagini (fatte copiando la finestra della "Calcolatrice Grafica" direttamente dallo schermo del monitor) di questa figura:

Re: Qualche quiz
 

a)Fatta 100 l'area del cerchio grande, ad occhio (senza fare calcoli) quant'è l'area [in giallo] della parte non coperta dai quattro cerchi bianchi?

b) Calcola il rapporto esatto tra l'area dei quattro cerchi bianchi e quella del cerchio grande: saprai allora quanto sei andato vicino con la stima "ad occhio".
–––––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Se dico 1/3 sono andato abbastanza vicino? ;)
(Sempre ad occhio, mi pare un po' di più di 1/3, vicino al 35%. Se ho tempo, faccio il calcolo esatto, ma non adesso, oggi è una bella giornata e vado a funghi... :))

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Io dico invece, circa 1/4.

Senza tener conto del cerchietto piccolo, appare evidente che il raggio dei tre cerchi uguali è meno della metà di quello del cerchio grande.

Se prendiamo il raggio dei tre cerchi uguali come unità di misura, l'area delimitata dai tre cerchi è 3 *pi * 1^2 = 3 * pi

L'area del cerchio grande è invece pi * 2^2= 4 * pi

Per cui

4 * pi - 3 * pi = pi

e quindi l'area in giallo è circa 1/4 dell'area totale.

E per essere più precisi, un po' meno di 1/4, perché l'area del cerchio grande è qualcosa in più di 4 * pi, e dall'area in giallo non abbiamo ancora sottratto l'area del cerchietto più piccolo.

Per cui, ad occhio, direi che fatta 100 l'area del cerchio grande, l'area in giallo dovrebbe valere circa 21.


:hello:

Re: Qualche quiz
 

Astromauh prende 1 il diametro dei tre cerchi e mi pare 2 per quello grande giallo il che mi sembra abbastanza inverosimile. Appoggio invece l' un terzo di Aspesi.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

:ok:
Errore relativo = 1 – <valore stimato/<valore vero> ≈ 4,4%
Hai un occhio stupendo!
[ Se no ... come fai a trovare i funghi? :D

Una volta – quasi trent'anni fa – ho cercato "finferle" (funghi piccolissimi che, a Moena in Val di Fassa, sono tutt'altro dai noti "finferli") con l'amico di Moena che mi aveva insegnato come riconoscerli. Beh: ne ho raccolti quattro-cinque nel tempo in cui lui ne ha raccolti un centinaio!
Peggio l'indomani con i "porcini" (che a Moena dicono "brise"). Io nessuno, lui una dozzina!]

Però:
a) Perché rispondi con un'altra domanda? :mad:
b) Perché non rispondi adeguandoti alla domanda?
Se nella domanda è detto "Fatta 100 l'area, ecc. ... quant'è ecc. ..." non dovevi dire "1/3" bensì "100/3" :D ( facciamo "33÷34 per cento").
Acqua!
Proprio col ragionamento che fai tu a riguardo di quattro cerchi, dovresti (semmai) dire "Più di 1/4", e non "Un po' meno di 1/4".
Supponiamo di trascurare l'area del cerchietto centrale (che però, se i cerchi che lo coronano fossero 4 [invece di 3] sarebbe più grande). Allora:
a) Il raggio R del cerchio grande è un pò maggiore del doppio del raggio r dei tre cerchi uguali. Diciamo R/r > 2, ossia r/R < 1/2.
b) In figure simili il rapporto delle aree è sempre il quadrato del rapporto delle lunghezze che si corrispondono. Quindi, nel nostro caso
<Rapporto–aree> = (R/r)^2 > 2^2 = 4. Ossia:
<area di uno dei tre cerchi uguali>/<area del cerchio grande> minore di 1/4.
[NB: trattandosi di rapporti, del pi-greco ce ne possiamo fregare!]
c) Se fosse r/R = 1/2, l'area di uno dei cerchi uguali sarebbe un quarto dell'area del cerchio grande. Allora l'area dei 3 cerchi sarebbe 3/4 dell'area del cerchio grande e la parte non coperta (in giallo) sarebbe il restante quarto.
d) Ma siccome l'area di uno dei cerchi uguali è minore di 1/4, l'area dei tre cerchi è minore di 3/4, e la restante area (in giallo) è maggiore di 1/4.

Ma ... questi ragionamenti non bisognava farli!
Era chiesto di rispondere ad occhio.
Confrontando risposte diverse (date ... immediatamente, al volo!) si potrebbe osservare come diversamente sono percepite le stesse figure da persone diverse. ...
–––––––
Vedo adesso anche l'intervento di Nino280 ... con un ragionamento che riassume quanto sto dicendo io...

Bravi Nini!

Ciao, ciao.

Re: Qualche quiz
 

Altro quiz:
Quanti sono i "nipotini" di Erasmus? :mmh:
;)
Rispondo io.
Fino a ieri erano 4. Da oggi pomeriggio sono 5.
[Nato Alessandro, primogenito della mia figlia di età minore. Tutto OK]
Adesso vado a vederlo ....]
:hello:

Re: Qualche quiz
 

OK, mi hai convinto, allora dico anch'io 35. :)

Ho sbagliato qualche calcolo. :o

Prendendo in considerazione il cerchio piccolo, sin dall'inizio, si può stimare il suo raggio come 1/6 di quello dei tre cerchi uguali.

Per cui, l'area del cerchio grande è pari a

pi * (2 + 1/6)^2 (area totale)

mentre la somma dei tre cerchi uguali è sempre 3 * pi

e l'aria del cerchio piccolo è pi * (1/6)^2

Per cui l'area bianca è uguale a pi * ( 3 + (1/6)^2)

La percentuale è quindi pi * ( 3 + (1/6)^2) / pi * (2 + 1/6)^2 ossia

3,027 / 4,694 = 0,644 (Area bianca in percentuale)

1 - 0,644 = 0,356 circa (Area gialla in percentuale)

L'unico errore potrebbe scaturire dal fatto che il raggio del cerchio piccolo potrebbe non essere 1/6 del raggio dei tre cerchi.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Da oggi pomeriggio sono 5!

Congratulazioni! :)

Mi sono rifatto con questa risposta, perché con l'ultima non ho fatto in tempo, perché hai risposto mentre stavo scrivendo il post in cui mi correggevo.



PS

Ricordati di farti dire a che ora è nato (esattamente) !

:D

Re: Qualche quiz
 

Io (modestamente :D) sono un esperto micologo e conosco perfettamente le finferle (Cantharellus lutescens, più piccole e scure del maschile Cantharellus cibarius, molto più comune)

Sono certo che quest'anno i porcini li troveresti anche tu (ovvio, se vai in un bosco di faggi e abeti...).
Mai visto così tanti funghi (e un'estate così piovosa...:mad:) come quest'anno.
In poco più di un'ora ho raccolto 26 porcini (circa 2 kg) e una borsata di finferli....

--------

Congratulazioni per il quinto nipotino!

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Esattamente! (per l'errore...:D)
E' un po' più piccolo di 1/6, precisamente [2*RADQ(3)/3 - 1] = 0,1547.. (posto = 1 il raggio dei tre cerchi).
Il raggio del cerchio grande invece è [2*RADQ(3)/3 + 1] = 2,1547....

Ne consegue che l'area gialla è il 34,8674296...% del cerchio grande.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

I complimenti a nino280 sono immeritati :mad: (scherzo)

Scusa, ma quale sarebbe il ragionamento di nino280?

Non mi pare che abbia fatto dei ragionamenti. Dovendo scegliere tra la mia risposta e quella di Aspesi, ha scelto quest'ultima per una questione di "simpatia".

Il mio errore iniziale è stato quello di non aver tenuto conto del fatto che se l'area totale era qualcosa in più di 4 * pi, allora anche l'area gialla, che era data dalla differenza tra l'area totale e quella dei tre cerchi, era maggiore di quella calcolata in precedenza.

pi / 4* pi = 1/4 = 25/100 (vecchio calcolo)

(pi + qualcosa) / 4 * pi + qualcosa = 1/4 + qualcosa = più del 25/100 (nuovo calcolo)

Questo perché, se si aumenta della stessa quantità, tanto il valore del numeratore, che quello del denominatore di una frazione, il valore della frazione aumenta.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Quest'anno sono aumentati i funghi, ma anche gli avvelenamenti da funghi.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

E' necessario conoscere almeno le 10-15 varietà sicuramente commestibili e le 5-6 che danno intossicazioni gravi o addirittura mortali.

Sarebbe utile rilasciare un attestato, previa esame, a chi, anche saltuariamente, va in cerca dei funghi.

Re: Qualche quiz
 

Per quanto riguarda i funghi, di te mi fiderei... :ok:

ma non so se accetterei i tuoi consigli su come investire in borsa. :D

Re: Qualche quiz
 

Non mi sono limitato solo ad appoggiare l'Aspesi ma ho proprio fatto i calcoli e guarda caso ho trovato gli stessi suoi valori.
Area dei tre cerchi (fatto 1 il raggio) 9,424
Area del cerchio grande 14,585 che sottraendo 9,424 trovo circa 5 che è poi 1/3 di 14,5
Anche io ho trovato il valore 2,1547 che dovrebbe essere il raggio cerchio grande (anche se tutto pasticciato perché ho fatto i calcoli su un foglio svolazzante e di fortuna) ma l'importante che i valori sono gli stessi di Nino ASP
dicevo 2,1547^2 x Pi = 14,585 ecc ecc
E fatti bene i conti trovo quel 5 che dicevo che poi sono anche i nipoti di Erasmus. Auguri Nonno Vicentino.:hello:
E con più esattezza; 5,085/14,585 = 0,348645%

Re: Qualche quiz
 

Mi spiego meglio.
Il raggio cerchio grande è 1 + 1/cos 30° = 1 + 1,154700538 = 2,1547. . .

Auguri ad Alessandro.

Re: Qualche quiz
 

:ok:
Si può vedere la cosa direttamente con considerazioni elementari di geometria; ma anche come caso particolare del problema di "4 cerchi tangenti a due a due" (ampiamente discusso qui in Rudi Mathematici molto tempo fa).
–––––––––––
La figura che segue non ha bisogno di spiegazioni.
E' del tipo della precedente, con la sola differenza che dove là ci stavano tre cerchi uguali, qui ce ne stanno 17.

Se cliccate sulla figura per saperne il nome vedete che si chiama "Cuscinetto" (perché fa venire in mente i cuscinetti a sfere o a rulli [cilindrici]).

In generale, di cerchi uguali (qui in verde) ce ne può essere un numero intero n qualsiasi purché maggiore di 2.
Stanno in una corona circolare (qui in rosso).
Diciamo Ri il raggio minore della corona circolare ("i" come "interno"; raggio del cerchio interno alla corona, qui disegnato in celeste), Re il raggio maggiore della corona ("e" come "esterno") ed R il raggio di ciascuno degli n cerchi uguali (qui disegnati in verde).

Quiz di matematica:
Nota la lunghezza Ri del raggio del cerchio interno alla corona, dare le lunghezze
• R del raggio degli n cerchi uguali della corona;
• Re del raggio del cerchio esterno, (quello maggiore della corona crcolare).
–––
:hello: