Re: Qualche quiz
 

Il primo:
se si sottrae a un numero formato da un numero dispari di cifre lo stesso numero con le cifre invertite, il risultato è divisibile per 99.
Se si dividono i numeri divisibili per 99 in gruppi di due cifre a partire dall'unità, la somma dei numeri formati da questi gruppi è anch'essa divisibile per 99.
Perciò per indovinare una cifra sostituita da un asterisco, basta fare la somma dei gruppi di due cifre, partendo da destra, e sottrarre 99 o un suo multiplo.

Il secondo:
i numeri del tipo XYXY sono divisibili per 101.
Per trovare una cifra sostituita da un asterisco in un numero divisibile per 101, occorre fare la somma dei gruppi alternati di due cifre (di posto pari e di posto dispari) ed eseguirne poi la sottrazione. La differenza a 101 o a un suo multiplo indica la cifra da trovare.
Es. 3737 * 562 =
2 | *0 | 01 | 94
(2 + 01 + 101) - (94 + *0) = 10

:hello:

Uote]
 

:ok:
Il succo del quiz è tutto qui.
---------------
Se X e Y sono entrambi pari o entrambi dispari, sono pari sia X–Y che X+Y. Ma allora N non solo deve essere pari. ma essere anche divisibile per 4.

[Quindi – V. il "quiz nel quiz" – no c'è nessun X se N è doppio di un dispari. Di doppi di un dispari ce n'è uno ogni quattro ––> "quiz nel quiz": Probabilità richiesta 1/4].
Se X e Y sono uno pari e uno dispari, sia X–y che †+Y sono dispari. E allora deve essere dispari N.
In questo caso una soluzione c'è sempre; Y – X = 1 e Y + X = N, cioè ; X = (N–1)/2 e Y = (N+1)/2.
[E' il caso di N numero primo].
Se N è dispari e non è primo, ci sono più soluzioni, precisamente quanti sono i prodotti del tipo
A·B = N con A < B
Es: N = 105.
Posso scrivere
105 = 1·105 ––> Y+X = 105 e Y – X = 1, cioè 2X = 104 ––> X = 52 (e Y = 53)
105 = 3·35 ––> Y+X = 35 e Y – X = 3, cioè 2X = 32 ––> X = 16 (e Y = 19)
105 = 5·21––> Y+X = 21 e Y – X= 5, cioè 2X = 16 ––> X = 8 (e Y = 13)
105 = 7·15––> Y+X = 15 e Y – X = 7, cioè 2X = 8 ––> X = 4 (e Y = 11)
:ok:

Re: Qualche quiz
 

E' uno scherzo o si conosce la soluzione? :mmh:

Il problema dei buoi del sole (di Archimede)

Amico, se partecipi della sapienza, calcola, usando diligenza, qual era il numero dei buoi del Sole che pascolavano nelle pianure della sicula Trinacria, divisi in 4 gruppi di colori diversi: l'uno bianco come il latte, il secondo di color nero lucente, il terzo fulvo e il quarto screziato.
In ciascun gruppo c'erano tori in quantità, divisi secondo la seguente proporzione:
1) Tori bianchi = tori fulvi + (1/2 + 1/3) dei tori neri
2) Tori neri = tori fulvi + (1/4 + 1/5) dei tori screziati
3) Tori screziati = tori fulvi + (1/6 + 1/7) dei tori bianchi
4) Vacche bianche = (1/3 + 1/4) di tutti i bovini neri
5) Vacche nere = (1/4 + 1/5) di tutti i bovini screziati
6) Vacche screziate = (1/5 + 1/6) di tutti i bovini fulvi
7) Vacche fulve = (1/6 + 1/7) di tutti i bovini bianchi
Amico, se tu dirai veramente quanti erano i buoi del Sole, quale era il numero dei ben pasciuti tori e quante erano le vacche di ciascun colore, nessuno dirà che sei ignorante o inesperto sui numeri; tuttavia non sarai ancora annoverato tra i sapienti.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Questo quiz è una bufala. :D

Re: Qualche quiz
 

Però, un maestro elementare ha proposto una soluzione che parrebbe ragionevole
http://www.cartesio-episteme.net/ep8...e-savarino.htm

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Questo quiz è una b[u]oiata!
––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ci risiamo! :mad:

Hai riportato un'altra volta un quiz in maniera scorretta, perché nel quiz originale ci sono delle condizioni ulteriori.

Quando i tori bianchi si univano al numero
di quelli neri, formavano un gruppo di uguale lunghezza e
e larghezza, e tutte le pianure ampie
della Trinachia erano piene della moltitudine.

Qui ad esempio si dice che la somma dei tori bianchi e neri deve essere un quadrato.

http://www.istitutosuperiorelagrangi...ede/3buoi2.pdf

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Trinacria, please! :mad:
-------
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ma è davvero un quiz posto da Archimede di Siracusa? :mmh:
Inizialmente ho preso la cosa come la solita bufala inventata da qualcuno dei nostri tempi (come l'altro quiz sui colori che girava anni fa spacciato per "problema di Einstein").
Andando però adesso dove manda il link postato da Astromauh, vedo che Astromauh ha fatto solo un "copia/incolla" (di una frase che contiene proprio "della Trinachia").

Leggo anche il testo greco [nel quale ci sta proprio Θρινακιης (Thrinakìes), che sembra un genitivo e quindi si tradurrebbe in italiano proprio con "della Thrinakia"].

Con una piccola ricerca, ho scoperto che un certo Ludwig Heiberg (filologo danese, nato 1854 e morto 1928, studioso di testi greci antichi, specialmente di classici della matematica, come Archimede, Eratostene, Apollonio, ecc.) ha [tra l'altro] tradotto in latino tutto quello che ci è pervenuto di Archimede (tra cui la famosa lettera di Archimede ad Eratostene nella quale il siracusano spiega all'alessandrino il metodo logico-matematico che lui usa nelle sue dimostrazioni – rinvenuta nel 1906 proprio da Heiberg – ) col titolo "Archimedis opera omnia".
Naturalmente, di brani degli scritti di Archimede esistono varie copie conservate ora in musei.
Heiberg ha studiato in particiolare (tra l'altro) il "codice Fiorentino", il "codice Parigino" ed un "palinsesto di Costantinopoli" (da lui visitato in loco nel 1906).
Questo "palinsesto", se non ho capito male, sarebbe stato scritto materialmente da un copista del medioevo, quando il greco era ormai degenerato in dimotikì (= "(dialetto) popolare") dando origine al greco moderno, (come il latino ha dato origine alla "vulgaris eloquentia" = parlata del volgo); e quindi con parecchi errori ortografici di trascrizione, essendo l'originale [perduto] in dialetto dorico, – Siracusa era colonia di origine spartana – con flessioni addirittura arcaiche (come il genitivo in –oio anziché in –ou, per esempio Helioio al posto di Heliou = del Sole; genitivo in -oio che io ricordo da quando studiavo Omero al Liceo.

Per esempio: Alcìnoo era il re dei Feàci che ospitò Ulisse (Odisséus), arrivato come naufrago nella sua isola quando Nettuno (Poséidon), tornando da una cena presso gli Etìopi, ne vide la zattera, riconobbe l'uomo che aveva accecato suo figlio Polifemo ... e la strapiombò!
Ecco: ricordo che più di un esametro del Libro VI dell'Odissea terminava con i due "piedi" –un dàttilo ed un trochèo – da noi scanditi con accenti tònici per imitare [male!] la metrica greca:
-Àlkino–òio (i. e. "di Alcìnoo" ).

In "Google libri" si possono leggere (come anteprima) alcune pagine di rari testi da biblioteca.
Ed ecco un frammento della prefazione di Heiberg proprio in quel suo "Archimedis opera omnia".

Il testo che si legge qui sopra inizia dicendo (pressapoco):
«Del "problema dei buoi" tratto dal codice Parigino, dagli scritti di Enrico Lebègue son venuto a sapere queste cose:
...»

Insomma: a questo punto sembra proprio che 'sta "b[u]oiata" di quiz sia proprio di Archimede. :eek:

[Però ..., sempre se non ho capito male, sembra anche che alcuni studiosi reputino "apocrifa" l'attribuzione ad Archimede di parte del contenuto del "palinsesto di Costantinopoli", al quale sarebbe connesso (tramite fonti medievali perdute) anche il "codice parigino".
Secondo me, il quiz è frutto di qualche matematico bizantino di fine del primo millennio, ovviamente attribuito dall'autore al sommo Archimede ... Ma questa è solo una mia ipotesi, ossia di uno che di queste cose è un perfetto ignorante!]

Venendo all'aspetto matematico, dal testo greco (zeppo, come detto, di errori ortografici), si deduce (con linguaggio moderno) un sistema di 7 equazioni lineari in 8 incognite (una per colore e per sesso).
Le equazioni sono indipendenti e quindi il sistema è indeterminato avendo più incognite che equazioni.
Esigendo soluzioni di 8 numeri tutti interi positivi, si tratta dunque di un problema "diofantino".
Sempre se non ho capito male, un aiuto a pervenire alla soluzione – gli 8 numeri interi pensati dall'autore del quiz – viene dal fatto che la somma di due di questi è un "numero quadrato" (cioè del tipo n·n) e la somma di altri due è un "numero triangolare" (cioè del tipo n·(n+1)/2).

Il sospetto che il quiz non sia originariamente di Archimede, ma molto posteriore, viene dal fatto che ai suoi tempi non c'era una attrezzatura adatta (nemmeno dal punto di vista della rappresentazione dei numeri) per affrontare roba del genere.
[Ma io penso in altro modo: che cioè Archimede si occupava di argomenti o fisico-pratici o di vera astrazione matematica (come in geometria dove ha anticipato di quasi duemila anni le nozioni di limite e di integrale).

Comunque: l'interesse per questo quiz va ben oltre il "passatempo" di cercarne la soluzione.
–––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Mi sa che tu sottovaluti le capacità degli antichi greci.

http://it.wikipedia.org/wiki/Macchina_di_Anticitera


:hello:

Re: Qualche quiz
 

Stavo rispondendo ... diffusamente ore fa. E' saltata la tensione (per un violento temporale in arrivo)... e ho perso tutto!
Non è così!
Non sottovaluto certo Archimede, che considero uno dei più grandi "geni" dell'umanità!
Quel che intendevo dire ... non l'hai capito! :D

Ho anche detto che Archimede si è occupato o di argomenti fisico-ptratici (natanti, come determinare la densità dei corpi, "specchi ustori", ecc.) o di matematica astratta al massimo grado.
[E' il precursore della nozione di "limite" e dell'uso degli integrali definiti, quelli detti modernamente "secondo Riemann, che è del secolo '800.
Pensa al PI-Greco di Archimede, da lui pensato come limite del rapporto tra perimetro di poligoni regolari e diametro del cerchio inscritto (o circoscritto ...fa lo stesso!) al tendere all'infinito del numero di lati e quindi a zero della lunghezza di ciascun lato; pensa all'area del segmento di parabola; pensa ai due teoremi della sfera (area della sfera pari a quella laterale del cilindro "equilatero" di uguale diametro; volume della sfera pari al volune dell'anticlessidra dello stesso cilindro equilatero); ... sostanzialmente tutti esempi di integrazione].

Ma Archimede ... non penso che si sarebbe occupato di siffatte "masturbazioni cerebrali"!
Non c'è alcun progresso teorico né alcuna utilità pratica in questo quiz.

Invece, questioni del genere potrebbero essere davvero della cultura orientale dell'alto medioevo, influenzata in anticipo (rispetto all'Europa ... imbarbarita e feudale) dalla cultura araba, a sua volta influenzata dalla cultura più orientale (indiana, per esempio).
In effetti, l'approccio classico greco ai problemi è [quasi] sempre geometrico. Quello orientale, invece, è più spesso numerico.

Metti pure che sia come la questione se è nato prima l'uovo o la gallina: fatto sta che viene dall'oriente sia la rappresentazione "posizionale" dei numeri [mediante cifre che, in fondo, non sono che coefficienti di un polinomio che ha per base la base numerica] sia "l'algebra", ossia il trattamento sistematico di uguaglianze tra espressioni numeriche.

Insomma: benché la struttura linguistica del greco e del latino (come di tutte le attuali lingue europee) sia intrinsecamente "decimale" [cioè a raggruppamenti inscatolati come le "matrëske": unità, decine di unità, centinaia (= decine di decine), migliaia, (=decine di decine di decine), ecc.], i greci rappresentavano i numeri piccoli con una lettera dell'alfabeto, quelli più grossi con una lettera apostrofata ... cioè con una simbologia che non serviva a nulla nel fare i calcoli (che dovevano essere fatti a mente ... oppure proprio con i "calcoli", cioè con "sassolini".
[ Ma figurati quanto ci metteresti a fare la somma di due numeri da parecchie cifre facendo un mucchio di tanti sassolini (o fagioli, o chicchi di mais, o lenticchie ...) quanto è il primo numero, un secondo mucchio di tanti detti oggettini quanto è il secondo numero, e infine contando l'unione dei due mucchi!

Come per la coppia uovo/gallina, la mancanza di rappresentazione posizionale dei numeri e il predominio della geometria sulla matematica dei numeri sono– secondo me – via via che passa il tempo, una la causa dell'altro e l'altro la causa dell'una
–––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Al supermercato

Stamattina sono andato al supermercato e in 10 minuti ho speso la metà dei soldi che avevo in tasca.
Alla fine sono rimasto con tanti centesimi quanti erano all'inizio i miei euro e con un numero di euro uguale alla metà del numero di centesimi che avevo all'inizio.

Quanto ho speso?

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Avevo in tasca 99 € e 98 cent
Spendo 49 € e 99 cent
Mi restano 49 € e 99 cent
:)

Re: Qualche quiz
 

:ok:
Bentornato!
(Non vorrei che Erasmus ci resti male, visto che molte sue "invocazioni" sono state vane... :D)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ho già detto una volta ad Erasmus che io affronto solo i quiz che a colpo d'occhio prevedo di poter risolvere in meno di dieci minuti ... ;)
Comunque ogni multiplo intero di questa soluzione è anche una soluzione... ;)

Re: Qualche quiz
 

Dipende dal taglio (suddivisione tra euro e centesimi che avevo all'inizio)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Sì, ma esiste sempre un modo compatibile con le condizioni del quiz.
Metti di partire con 198 € e 196 cent
La metà fa 99 € e 98 cent, che se un € è diviso in monetine fanno 98 € e 198 cent
che soddisfano le condizioni imposte.
:)

Re: Qualche quiz
 

Certo, ma converrai che 198 euro + 196 centesimi, convenzionalmente significano 199 euro + 96 centesimi.
Che, se è il valore di partenza, non è una soluzione corretta.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Non ho capito come si fa a trovare in fretta la soluzione data da Mizarino :o
O lui l'ha pure fatta trovare al computer (per tentativi successivi)? :mmh:
––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Non penso sia necessario.
Forse, ha ottenuto il risultato "a mente".
O, più verosimilmente, buttando giù un piccolo sistema di equazioni...;)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Così ho fatto io.
Ma ...
---
Oops. :lipssealed:
Accidenti: solo adesso, andando a rileggere, vedo di aver trascurato l'informazione più importante: la spesa è stata metà della somma disponibile. :o

Vediamo di mettere le cose more mathematico.
Vengano allora non due, bensì tre equazioni lineari in 4 incognite.

a) Dico Ep (Euro prima) e Cp (centesimi prima) la somma di partenza.
Il valore in centesimi della somma disponibile in partenza è 100·Ep + Cp.

b) Dico Ed (Euro dopo) e Cd (centesimi dopo) la somma residua dopo la spesa.
Il valore della somma dopo la spesa è 100 Ed + Cd

c) «[...]ho speso la metà dei soldi che avevo in tasca» [Quindi inizialmente avevo il doppio di quello che mi è rimasto].
1. 100·Ep + Cp = 200·Ed + 2·Cd

d) «[..] sono rimasto con tanti centesimi quanti erano all'inizio i miei euro»
2. Cd = Ep

e) « e con un numero di euro uguale alla metà del numero di centesimi che avevo all'inizio»
3. Ed = Cp/2

Insieme:
100·Ep + Cp = 200·Ed + 2·Cd
Cd = Ep
Ed = Cp/2
Elimino Cd = Ep ed Ed = Cp/2. La prima equazione diventa
100 Ep + Cd = 200·(Cp /2)+ 2 Ep ––>(100 – 2) Ep = (200/2 – 1) Cd ––> 98 Ep = 99 Cp.

Una soluzione immediata dell'ultima equazione è
Ep = 99;
Cp = 98.
[Infatti allora 98·99 = 99·98].
E la soluzione generale è
Ep = 99·k; Cp = 98·k (con k per ora arbitrario purché non nullo).

Siccome devono essere interi positivi sia il numero Ep di euro che il numero Cp di centesimi, e siccome 99 e 98 non hanno fattori comuni (sono cioè coprimi), k deve essere intero positivo.

OK.
Le 3 equazioni sulle 4 incognite, con la condizione che queste devono essere numeri interi, portano univocamente alla soluzione dell'Illustrissimo.
Al quale dunque ancora una volta ... chapeau!

----
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ma tu, aspesi, come avevi risolto il quiz?
–––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Avete ragione entrambi. L'ho trovata prima abbattendo la mosca con un cannone, poi usando un elastico... ;)
Il codice è questo:
La condizione risolvente si esprime con una equazione in due incognite, che naturalmente è la stessa di Erasmus. In questi casi l'equazione è indeterminata, ma se si pone come incognita unica il rapporto fra le due variabili, diventa determinata.
Ecco perché si hanno infinite soluzioni... ;)

Re: Qualche quiz
 

Caspita, con le 3 equazioni che hai indicato (solo con simboli diversi dai tuoi Ei Ci Ef Cf )
Non mi pare difficile in 5 minuti...

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Trovare un numero di 4 cifre che sia un quadrato perfetto e tale che il numero formato dalle prime due cifre a sinistra superi di 1 il numero formato dalle ultime due cifre.
(Non per tentativi)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Non so cosa intendi scrivendo "non per tentativi".

Il numero è ... 8281 quadrato di 91.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Trovare un numero di 4 cifre che sia un quadrato perfetto e tale che il numero formato dalle prime due cifre a sinistra superi di 4 il numero formato dalle ultime due cifre.
(Non per tentativi)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

L'ho risolto! ;)
Ma dove è finita la soluzione?
Eppure son sicuro d'averla messa qui in questo 'post' ...
–––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Trovare un numero [intero] di 4 cifre che sia quadrato d'un numero intero e tale che il numero formato dalle ultime due cifre a destra superi di 5 il numero formato dalle prime due cifre.
----
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ma chi sei, il corvo parlante? :D

:ok:

Per il tuo quiz di soluzioni ne ho trovate due: 2025 e 3136;


:hello:

Re: Qualche quiz
 

1) Corvo sarai TE, ecc. ecc. ecc. :mad:
2) :ok: [Una variante era necessaria, se no il nuovo quiz era una noiosa ripetizione!]

–––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Indichiamo con A le ultime due cifre; il quadrato perfetto da trovare si può scrivere:

100(A+1) + A

Sia B la radice quadrata di questo numero:

101A + 100 = B^2

da cui:

101A = B^2 - 100 = (B + 10) (B - 10)

Uno dei due fattori è divisibile per il numero primo 101. Inoltre B ha due cifre al massimo e quindi la sola ipotesi possibile è B + 10 = 101.
Da cui B = 91 e il quadrato è 8281

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Indicando con X il numero formato dalle ultime due cifre, quello formato dalle prime due cifre è X+4; e il numero quadrato perfetto – diciamolo Y^2 – vale 100·(X+4) + X.
Abbiamo dunque l'uguaglianza:
100(X+4) + X = Y^2
da cui:
101·X = Y^2 – 400 ––> 101·X = (Y + 20)(Y–20).

Almeno uno dei due fattori (Y+20) e (Y–20) deve essere divisibile per il numero primo 101.
Siccome X e Y sono entrambi minori di 100, l'unica possibilità è Y+20 = 101 ––> Y = 81.
Allora Y–20 = 61 e perciò:
101 X = 101·61 –––> X = 61; X+4 = 65;
e il numero richiesto è 6561 = 81^2
–––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

:mmh:? :confused: ???

–––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Non capisco il tuo ultimo post, cosa vuoi dire?

? ???

:mmh:

Alludi forse al fatto che ho trovato la soluzione per tentativi? :D

Re: Qualche quiz
 

2) Alludo.
1) Una soluzione si può trovare con qualche equazione e qualche ragionamentino,
[analogamente a come ha fatto aspesi per il suo quiz e come ho fatto io per il tuo. :p].

Aspettiamo aspesi (o Miza, o qualcun altro ... – dove diavolo è finito maucarlino? –).
Semmai, posto io la spiegazione domani o posdomani.

[Suggerimento: Il numero cercato o è dispari o è pari... :)]
––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ho l'impressione che si passi da:

101x - 500 = y^2
101x + 611 = z^2

1111 = (z - y) (z + y) = 11 * 101

Da cui risolvendo:
z = 56
y = 45

Ma non trovo l'inizio, perché si arriva alle prime due equazioni? :mmh:

:hello:

Re: Qualche quiz
 

:confused: Da dove viene la seconda equazione?

Lapalissiano: dal fatto che sai già che una soluzione [per Y] è 45 e l'altra è 56; e perciò 45+56 = 101.
--------------
Se, però, si potesse sapere a priori che, se le soluzioni fossero due, allora la somma sarebbe 101 ... avremmo una notevole, formidabile :eek: nuova informazione!

[Ma la seconda tua equazione sarebbe ugualmente gratuita, perché ancora non sapresti che una soluzione è 45 né che è 56].
------------------------
Ripartiamo da zero.Detto X il numero fatto dalle ultime due cifre e detto Y il numero di cui quello da trovare è il quadrato, si ha:
100(X–5) + X = Y^2 ––> 101·X – 500 = Y^2.
NB: Se X è pari, anche Y è pari; se X è dispari anche Y è dispari.
Chissà!
Forse le soluzioni sono due, una pari e una dispari.

Facciamo questa ipotesi.
[Chissà! Forse la soluzione è unica, e quindi il supporne due porterà a trovarne due ma coincidenti ... Staremo a vedere...)

Supponiamo, dunque, che ci siano due soluzioni per Y.
Supponiamo che siano distinte.
[L'ipotesi verrà abbandonata solo se porterà a qualche contraddizione.]

Siano dunque Y1 ed Y2, con Y1 < Y2, le due soluzioni per Y; e siano X1 ed X2 i rispettivi numeri formati dalle ultime due cifre. Abbiamo il sistema:
101·X1 – 500 = Y1^2
101·X2 – 500 = Y2^2
Sottraendo membro a membro la prima equazione alla seconda:
101·(X2 – X1) = Y2^2 – y1^1 = (Y2 + Y1)·(Y2 – Y1).

Siccome X1, X2, Y1 e Y2 sono tutti interi [positivi] minori di 100 e 101 è un numero primo, deve essere
Y1 + Y2 = 101. (*)
Con ciò, semplificando, si ha anche
X2 – X1 = Y2 – Y1 (**)

Posto ancora
∆ = X2 – X1 = Y2 – Y1
S = X2 + X1
abbiamo
X1 = (S – ∆)/2
X2 = (S + ∆)/2
Y1 = (101 – ∆)/2
Y2 = (101 + ∆)/2
e quindi, sostituendo e moltiplicando tutto per 2:
101·S – 101·∆ = 1000 + (101^2 – 2·101·∆ + ∆^2)/2;
101·S + 101·∆ = 1000 + (101^2 + 2·101·∆ + ∆^2)/2.

Sottraendo membro a membro si arriva all'identità ∆ = ∆.
Sommando membro a membro si ha invece:
2·101·S = 2000 + 101^2 + ∆^2. (***)

Ah, così? Ma allora la somma 2000 + ∆^2 deve essere divisibile per 101.
Possiamo trattare l'uguaglianza come segue:
101·(2S– 101) = 2000+ ∆^2 = 2020 + (∆^2 – 20) = 20·101 + (∆^2 – 20) ––> 2·S – 121= (∆^2 – 20)/101.

Dunque (∆^2 – 20)/101 deve essere intero.
Toh ... che per (∆^2 – 20)/101 = 1 (minimo intero positivo) viene ∆^2 = 121 = 11^2 ––> ∆ = 11. :ok: Eureka!
Allora si ha anche:
2S – 121 = 1 ––> 2S = 122 ––> S = 61.

Pertanto:

Y2 + Y1 = 101 e Y2 – Y1 = 11
da cui
( 2·Y1 = 101 – 11 = 90 ––> Y1 = 45) e (2·Y2 = 101 11 11 = 112 ––> Y2 = 56).

(X2 + X1 = S = 61) e (X2 – X1 = ∆ = 11)
da cui
(2·X1 = 61 – 11 = 50 ––> X1 = 25) e (2·X2 = 61 + 11 = 72 ––> X2 = 36) e

Il numero richiesto è
N1 = 100·(X1 – 5) + X1 = 100·(25 – 5) + 25 = 100·20 + 25 = 2025 = 45^2 = Y1^2
oppure
N2 = 100·(X2 – 5) + X2 = 100·(36 – 5) + 36 = 100·31 + 36 = 3136 = 56^2 = Y2^2.

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Ci sono forse altre soluzioni oltre a queste due?

Se ci fosse una terza soluzione, [diciamo X3 il numero fatto dalle ultime due cifre del numero di 4 cifre N3 = Y3^2], dovrebbe essere pure:
Y2 + Y3 = 101
Y1 + Y3 = 101
da cui, sottraendo membro a membro, Y2 – Y1 = 0.
Ma ciò è assurdo perché Y2 – Y1 = ∆ = 11 ≠ 0.
Pertanto, le soluzioni distinte sono 2 [e 2 sole].
––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

@ aspesi.
Credevo che almeno una frase di commento l'avresti messa! :o

Mi pare che meriti una qualche considerazione anche il fatto che pure quest'ultimo quiz (con due soluzioni, una pari ed una dispari) si può risolvere non per tentativi.

La convenienza di risolvere questo quiz per tentativi o per via logico-matematica dipende dai mezzi di calcolo a disposizione.

Per esempio, la mia vecchia Calcolatrice Grafica (che non è solo grafica!) sa fare in un battibaleno il conto seguente:
√[100*(n–5) + n]
dove n è un parametro che si può prendere intero e far variare con un clic di una unità alla volta.
Allora parto da n = 5 e continuo ad aumentare n di una unità alla volta con una successione di clic controllando solo se, per caso, il risultato è intero.
In pochi secondi scopro che per n=25 il risultato è intero e vale 45 (e quindi una soluzione – cioè il numero cercato – è 2025 = 45^2).
In altri pochi secondi, sempre con una successione di clic, scopro che il risultato è intero anche per n = 36 (e vale 56, e quindi va bene anche il numero 3136) e che non ci sono più risultati interi fino ad n = 99 (compreso), [cioè che le soluzioni sono due ... e non di più!].
Voglio dire: ai nostri giorni è conveniente trovare la soluzione (o le soluzioni) per tentativi perché disponiamo di mezzi di calcolo rapidissimi.
Ma fino a vent'anni fa, (anche usando una calcolatrice elettronica scientifica), sarebbe stato molto più conveniente impostare le facili equazioni e risolverle che farsi una barca di radici quadrate controllando quando dessero un risultato intero.
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Al post #28 del thread "Domanda da gnorante" c'erano gli enunciati dei due teoremi di Guldino ed un paio di quiz.
Il secondo chiedeva il volume generato da una certa figura ∑ girando attorno all'asse delle ordinate.
La figura ∑ era, in fondo, la seguente (anche se là era messa capovolta .. e penzoloni dalla retta di equazione y = 1, quasi come un lenzuolo appeso ad un filo orizzontale).

La risposta era facilissima ... tanto che Miza ha risposto giusto "a naso"! :D
Sì: era facilissima impiegando il 2° teorema di Guldino perché:
a) Si vede subito che l'area A è uguale a quella del rettangolo largo 2π e alto 1, cioè A = 2π.
b) Per motivi di simmetria, l'ascissa XG del baricentro G vale XG= π
Allora, col secondo teorema di Guldino, il volume V viene:
V = (2π · XG)·A = (2π·π)·(2π) = 4·π^3
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Adesso, invece, immaginiamo di far girare la figura ∑ di sopra attorno all'asse delle ascisse.
L'area è sempre la stessa A = 2π. Ma:
Quanto vale l'ordinata YG del baricentro G?
Oppure:
Quanto vale il volume generato da ∑ girando attorno all'asse delle ascisse?

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:hello:

Re: Qualche quiz
 

Prenditi anche tu un po' di vacanza disintossicante da internet... ;)

:hello: