Re: Qualche quiz
 

A Erà, lascia pèrde, tanto nun te li regala mica!

:D

Re: Qualche quiz
 

Cantarellus cibarius ;) Il miglior fungo dopo il porcino (per me), dal fragrante profumo di frutta.
Ne avevo già raccolto più di 20 chili all'inizio di agosto (la maggior parte regalati, in larga parte mangiati più volte con spezzatino e polenta o come sugo per pastasciutta e risotto, tre vasi sott'olio, ma non è il massimo, anche essiccati e congelati non mi piacciono)

Credo, ma non sono sicuro, che in Val d'Aosta il limite sia 1 chilo al giorno. Ma basta metterli nello zaino, facendo eventualmente più viaggi verso l'auto; mai visto un controllo, salvo vicino ai paesi, ove ci sono i cartelli di divieto e vigila la forestale.

Li mangio (ne ho quasi la nausea quest'anno...:)) e in buona parte li regalo. I porcini, se piccoli, li conservo sott'olio, dopo una bollitura in aceto e il resto li essico

Quello di ieri sui 2 chili e mezzo.
Oggi ho fatto un'escursione sopra il lago Vargno, la "Pera Bianca" e il colle Marmontana.
Sono tornato proprio adesso. Nel pomeriggio un nebbione terribile, menomale che conosco bene quei luoghi... Al ritorno ho raccolto un po' di more selvatiche, ma belle grosse e senza semi.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Nuovo quiz, facile facile facile.

Con che cifra finisce 2^n, con n intero positivo ... grande a piacere (e, naturalmente, in rappresentazione "in base 10")?

Però ... non rispondete subito voi "abitués" di Rudi Mathematici.
Vediamo se arriva un qualcuno meno "abitué" di voi.
---------
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Questa la sapevo ma non posso rispondere. :mad:

Re: Qualche quiz
 

Bravo!
Ti ringrazio.

Però ... potresti rispondere ad altra domanda esemplificativa senza far capire la soluzione del quiz.
Per esempio:
2^317 e 2^387 terminano con la stessa cifra o no?
2^317 e 2^399 terminano con la stessa cifra o no?
2^335 e 2^399 terminano con la stessa cifra o no?

–––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Hai ripetuto per due volte la stessa domanda. :fis:


La risposta alla prima e alla seconda domanda, che sono identiche, è NO, mentre per la terza domanda è SI.


:hello:

Re: Qualche quiz
 

Scusa, Erasmus, ma questa roba, più che facile, mi pare veramente banale...
o hai proposto il quiz per vedere se arriva qui qualche frequentatore delle altre sezioni del forum?

Mah... io penso di no ;)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Porco mondo, è vero! :o
Vado a correggere ...
–––––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Comunque ha ragione Aspesi, a questo quiz si potrebbe rispondere anche a mente, senza carta, né penna, anche se i numeri che hai proposto sono dei numeracci.

Sebbene 2^399 sia un numero di 121 cifre è facile sapere con che cifra termina.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

@ astromauh
Dalle risposte alle domande esemplificative, vedo che sai rispondere esattamente al quiz.
E vedo anche che sai che il numero di cifre decimali di a^n è
Int[n·log(a)/log(10)] + 1
[dove "log"indica il logaritmo in base arbitraria purché maggiore di 1]

Mica male per uno strolico :DHo esordito dicendo "Nuovo quiz facile facile facile".
[Facile al cubo, per me! :)]
Ma non lo direi proprio "banale". :mad:

Banale o no, io lo trovo "elegante".
D. Con che cifra termina 2^n?
R. Sia r = n mod 4 (cioè: <resto della divisione n : 4>).
Se r = 0 allora 6
altrimenti 2^r

Proviamo a complicare solo un po' la domanda.
«Siano m ed n due interi maggiori di 1.
Con che cifra termina m^n?»

La risposta è ancora facile.

Proviamo a complicare davvero la domanda.
Cambiando base numerica, cioè il numero di cifre distinte, possiamo in generale assegnare a ciascuna cifra un posto nell'elenco delle b cifre, cioè un numero d'ordine.
Per esempio, in un sistema a b = 16 cifre, invece di individuarle con il loro nome o il loro carattere grafico, cioè uno di questi
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
potrei individuarle con il "posto" in questo ordine nel quale, ad esempio:
«0 è la prima cifra, 9 è la decima cifra, C è la tredicesima cifra...»
In generale potrei indicare con Cr la r-esima cifra, con r da 1 a b inclusi., (da 1 a 16 inclusi per b = 16).

Allora:
Siano m ed n due interi maggiori di 1.
In una rappresentazione posizionale (dei numeri) in base b (maggiore di 2 e diverso da 10),
• dette C1, C2, ..., Cb le b cifre distinte
• detta M la cifra con cui termina m
• detta Cr la cifra con cui termina m^n
quanto vale r?

A questa domanda ... non so [ancora] rispondere. :o
–––––
Ciao, ciao

Re: Qualche quiz
 

La cifra con cui termina m^n dipende dalla cifra con cui termina m e dalla cifra con cui termina n.

Ad esempio se m termina con 0, 5, o 6, anche m^n termina rispettivamente con 0, 5, o 6.

Stavo cercando una formula che permettesse di calcolare sempre l'ultima cifra di m^n, tenendo conto delle ultime cifre di m e di n, perché credo che esista una formula che permette di farlo.

Però strada facendo sono stato sopraffatto dalla noia, perché non vedo in questo nulla di utile.


Veramente io non avevo calcolato le cifre di quel numero in base alla "tua" formula, ma avevo semplicemente letto il risultato sulla calcolatrice. :D



:hello:

Re: Qualche quiz
 

Non credo,
Vedi che se m termina con 0, 1, 5 o 6 , m^n termina pure con la stessa cifra. Cioè il ciclo è ad un a sola fase.
Se m termina con 4 o con 9 il ciclo è a due fasi.
Se m termina con 2, 3, 7 o 8 il ciclo è di 4 fasi.
Per rispondere alla domanda «con che cifra termina m^n?» bisognerà fare un procedimento esaustivo.–––––––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Bello questo programma italianizzato. :)

Avevo notato che la cifra finale di m^n è la cifra finale di un numero che ha come base l'ultima cifra di m, e come esponente uno di questi quattro numeri: 1, 2, 3, 4 indipendentemente dal valore di n.

Se ad esempio l'ultima cifra di m è 5, la soluzione è unica perché sia 5^1 che 5^2 che 5^3 e 5^4 terminano sempre con 5.

Nel caso del 4 finale le soluzioni sono due perché 4^1 ha come cifra finale 4, 4^2 ha come cifra finale 6, e 4^3 ha come cifra finale 4 e 4^4 ha come cifra finale 6.

Per cui pensavo di poter risolvere il quiz con un'unica formula, si trattava di vedere quando per una certa cifra finale i risultati sono più di uno, se c'era un criterio applicabile a tutte le cifre, per trovare il risultato in base al valore di n.

A questo punto però, mi sono stufato.


:hello:

PS
Insomma pensavo che fosse possibile trovare una procedura che in base alla cifra finale di n permettesse di decidere che esponente scegliere tra 1, 2, 3, e 4, perché la cifra finale di m^n è sempre la cifra finale di m^1 o m^2 o m^3 o m^4.

Verifica del quiz scorbutico per n = 11
 

Ritorno sul quiz "scorbutico" di aspesi delle distanze di un vertice di un poligono regolare da ciascun altro vertice.
Ci sarebbe da dimostrare, in generale, quello che è un vero teorema.
«Fatto 1 il raggio del cerchio circoscritto ad un poligono regolare di n lati, il prodotto delle distanze di un vertice da ciascun altro vertice vale n»
E' facile vedere che, numerando le n–1 distanze in un verso ciclico, la k-esima (con k = 1, 2, ..., n–1) vale
dk = 2·sin(kπ/n).
Si tratta di dimostrare, dunque, che per qualsiasi intero n > 1 si ha
P(n) = <Prodotto, per k da 1 a n–1, di 2·sin(kπ/n)> = n.

Il singolo caso, cioè un esempio per un dato n, si verifica facilmente se si ha la sola pazienza di continuare a ripetere l'applicazione della formula di prostaferesi seguente:
2·cos(p·x)·cos(q·x) = cos[(p–q)x] + cos([p+q)x].

Quel che bisognerebbe trovare sarebbe il poter scrivere in generale i calcoli da fare, senza doverli fare effettivamente,
Faccio un esempio in altro campo per farmi capire.
La potenza n-esima di un binomio, diciamols (a+b)^n, è:
<Somma, per k da 0 a n, di C(n.k)·(a^k)·[b^(n–k)]>
dove C(n,k) è il numero di combinazioni di k elementi scelti da n e vale C(n,k) = n!/(k!·(n–k)!].
Per dimostrare che quella formula vale per ogni n, la si verifica per n = 0 e n=1 e poi si aplica l'induzione completa, dimostrando che se è valida per certo n, allora è valida anche per il successivo n+1.
Chiaramente, per convincersi che la formula è buona, basterebbe verificarla per n crescente, per esempio da 1 fino a 11 ... Questo modo induttivo-sperimentale non è però, accettabile in matematica, anche se è quello che fa intuire i teoremi che poi occorre dimostrare per sola via logica.

Non mi pare che, nel caso del quiz in questione si possa usare il metodo di induzione completa; e mi pare che nemmeno il calcolo simbolico conduca in porto.
Quel che ho trovato è che occorre, con pazienza, continuare a trasformare i prodotti di funzioni trigonometriche in somme fino che di prodotti non ce ne sono più. Allora si arriva ad una espressione del tipo
P(n) = n – {1 –cos(π/n)+ cos(2π/n) – cos(3π/n) + ... +[(–1)^(n–1)]·cos[(n–1)π/n]}
e di prova facilmente che l'espressione nella parentesi graffa { ...} vale 0.

Cioè: a questa modello sono arrivato in tutti gli esempi che ho verificato. Ma – ripeto – bisognerebbe dimostrare che a questo risultato si arriva per qualsiasi n.
Avevo mostrato il caso dell'ettagono regolare (n=7)
Ieri ho verificato l'endecagono (n = 11).
Data la faticaccia per arrivare in fondo, mi permetto di mostravi tutti i passaggi che bisogna fare.
––––––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ho solo tradotto in italiano dall'unico linguaggio di programmazione che conosco, (che è il Pascal). Questo è davvero un "like english". Solo l'istruzione di assegnazione [per esempio "x:=n", che in Pascal si legge "x becomes n" – cioè non "x è uguale ad n", bensì "x diventa n" –] ho preferito metterla nel vecchio modo di assegnazione del Basic "Let x = n" (traducendo in "Poni x:= n;" ).
Ero tentato di usare l'istruzione "case <variabile> of", che è la scelta tra più di due alternative.
Ma poi ho pensato che per voi, moderni, la cosa sarebbe stata inconsueta.

In Pascal l'istruzione "case <variabile> of " funziona pressapoco così:-----
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Tanto moderno non debbo essere, visto che il pascal (turbo) è il primo linguaggio di programmazione che ho conosciuto.

Era un linguaggio piuttosto barboso, forse è per questo che ti piace tanto. :D


:hello

PS

Scherzo, solo che mi costava un po' di fatica mettere tutti quei punti e virgola.

Ma hai deciso di farmi concorrenza? Cos'è quel cerchio con 11 raggi?
Guarda che i raggi dovrebbero essere 12.

:)

Re: Qualche quiz
 

Sai leggere?
Cos'è quella stella (che non è un cerchio) si capisce leggendo il "papiro".
[Beh, veramente non basta saper leggere, occorre anche essere in grado di capire ...:D]
--------
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Purtroppo i simboli contenuti nel tuo papiro non li capisco proprio, per cui non ci provo nemmeno a cercare di capire di che cosa si tratta. :o

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Vedo soltanto ora questo quiz sui segmenti che partono da un vertice di un poligono inscritto che moltiplicati fra di loro fanno, non so cosa fanno.:D
Bah, accendiamo il Cad e faccio un esagono da 100 è evidente che Erasmus l'ha già fatto tramite le lettere, ma io lo faccio con i numeri.
Non so nemmeno quanti giorni fa Erasmus lo ha già fatto, forse 10 giorni fa, ma io sono indietro, mi ricordo all' avviamento ed anche alle serali, allora vi erano i trimestri, al quarto trimestre, io dovevo ancora capire le cose del primo trimestre; dicevo:
disegno un esagono raggio 100 (ho sentore che sia la verifica più veloce) traccio cinque segmenti da un vertice a tutti gli altri vertici, e misuro: 100;173,205;200;173,205;100 moltiplico fra di loro e la calcolatrice mi da 5,999999erottix10^10 quindi 60 miliardi.
Poi scopiazzo la vostra formula e risolvo:
6 x 100^5 = 6 x 10^10 = 60 miliardi:hello:
Adesso Erasmus mi dirà: ci mancava tanto la tua verifica:D

Re: Qualche quiz
 

Beh... per l'esagono è molto facile, visto che, posto =r il raggio del cerchio circoscritto, le distanze di un vertice da tutti gli altri sono:
r
r*RADQ(3)
2r
r*RADQ(3)
r

Per cui il loro prodotto è: (1*RADQ(3)*2*RADQ(3)*1)r^5 = 6r^5

Difficile è verificare il teorema mano a mano che aumentano i lati del poligono (v. Erasmus per l'endecagono :eek:)
Ma con il tuo CAD la verifica dovrebbe essere più semplice.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

E' facile per ogni n-agono regolare se si conoscono i valori delle funzioni seno e coseno di un n-esimo di angolo piatto, e quindi (per multiplazione) di kπ/n, (k = 1, 2, ..., n).

Fare la verifica col CAD di Nino280 o con la mia Calcolatrice Grafica o con qualsiasi mezzo di calcolo automatico (più o meno diabolico), equivale a conoscere sempre i valori delle funzioni trigonometriche.
[Tu NON li sai (sempre); ma il CAD, la Calcolatrice, ecc SI' :D].
--------------

Per l'esagono abbiamo: [NB: angoli scrtti in modo da non infastidire Nino280 :D]
P(6) = (2^5)·sin(30°)·sin(60°)·sin(90°)·sin(120°)·sin(150 °).

Nino280 e anche noi sappiamo che:
sin(30°) = sin(150°) = 1/2;
sin(60°) = sin(120°) =√(3)/2;
sin(90°) = 1.

Con ciò il prodotto P(6) diventa:
P(6) = 32·[(1/2)^2]·1·[√(3)/2]^2 = 32·(1/4)·1·(3/4) = 8·3/4 = 24/4 = 6.

Oppure, geometricamente, (per far piacere ai Nini – e ... scusa, aspesi, se ridico qauel che hai sinteticamente già detto tu –), delle 5 distanze:
• le due minori (due lati) sono lunghe come il raggio, diciamo 1.
• la maggiore è lunga come il diametro, cioè 2.
• le altre due diagonali sono lati di un triangolo equilatero che ha il centro distante un raggio [cioè 1] dai vertici (*), e quindi la loro lunghezza è √(3).

(*) In generale, se L è il lato d'un triangolo equilatero ed R è la distanza del centro dai vertici, R è 2/3 dell'altezza H, la quale è √(3)/2 volte il lato L ; e quindi:
R = (2/3)·H = (2/3)· [√(3)/2] ·L = [√(3)/3]·L
da cui L = [3/√(3)]·R = √(3)·R.

Sicché il nostro P(6) viene da:
P(6)·R^5 = (2^5)·{R·[√(3)R]· (2R)·[√(3)R]·R} = 32·{(1^2)·[√(3)^2]·2}·R^5 = 6·R^5.
----------------

Ho detto, però, che per n abbastanza piccolo (tale da non farti mollare nella faticaccia di proseguire i conticini algebrici noiosi e con un fottìo di termini), si trova che la formula è giusta senza conoscere i valori delle funzioni trigonometriche.
Questo è molto importante perché fa pensare che, qualunque sia n, la verifica si può fare "in linea di principio": basta avere sufficienti dosi di pazienza e di diligenza; e si può anche fare, programmando il computer (che di pazienza e diligenza ne ha sempre a sufficienza) a fare i calcoli simbolici (senza usare i valori delle funzioni trigonometriche), dato che c'è, in sostanza, solo da applicare ripetutamente una formula di prostaferesi (sempre quella) ... e fare poi la semplificazione dei termini simili.
Ho "postato" appunto la verifica per l'ettagono (n = 7) eper l'endecagono (n = 11).
Ma mica, in tali verifiche, ho usato i valori delle funzioni trigonometriche!
Continuando ad applicare la stessa formula di prostaferesi, nel caso di n dispari si arriva a
P(n) = n + <proiezione su una retta di una stella di vettori a simmetria centrale, quindi con somma nulla>
Nel caso di n pari si semplifica continuamente fino a ridursi a frazioni dispari di angolo piatto e quindi .... ancora come prima (anche se la stella ha meno raggi!).

Ma questo teorema ... mi sta ancora ossessionando, perché vorrei trovare una dimostrazione generale "deduttiva".
Invece siamo tuttora ... alla situazione sperimentale "induttiva" (come in Fisica e, in generale, per ogni "legge" in ambito scientifico).
Siccome ogni volta che verifico la formula su un esempio trovo che funziona, "induco" che la "legge" deve essere "generale" (valida per ogni intero n > 1). Ma questa induzione, anche se come ingegnere mi persuade (come mi convince, per esempio, la congettura di Goldbach), non è una "dimostrazione matematica" di quella tesi!
------
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ma per l'esagono (e il triangolo equilatero, e il quadrato, ...) il calcolo è semplicissimo anche senza conoscere i valori delle funzioni trigonometriche. Basta Pitagora e un po' di geometria elementare (è questo che volevo dire)

Esattamente quello che avevo scritto. ;)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Sì. Avevo già visto; e perciò sono andato a modificare (prima di leggerti in quel che ho citato) per scusarmi della ripetizione. :o
-------
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Certamente!
Ma, [a parte il fatto che la trigonometria è comoda ma non indispensabile in quanto, in fondo, non è altro che applicazione di Pitagora e di similitudini tra triangoli], proprio dalla facilità della geometria del quadrato, del triangolo equilatero e dell'esagono t'hanno insegnato per primi i valori delle funzioni seno e coseno degli angoli di 45°, 30° e 60°; e di conseguenza quelli di 120° e 150°. In fondo, non c'è altro che il teorema di Pitagora per
• triangolo rettangolo isoscele (come quello che ha per cateti i lati L d'un quadrato e per ipotenusa la diagonale D dello stesso), cioè
L^2 + L^2 = D^2 ––> L/D = √(2)/2 ––> sin(45°) = cos(45°) = √(2)/2;
• triangolo rettangolo metà del triangolo equilatero, (per il quale è facile trovare l'altezza H), cioè
(L/2) / L = 1/2 ––> sin(30°) = cos(60°) = 1/2;
H^2 = L^2 – (L/2)^2 ––> H/L = √(3)/2 ––> sin(60°) = cos(30°) = √(3)/2.
Subito dopo ti insegnavano:
sin(150°) = sin(180°–30°) = sin(30°)= 1/2; sin(120°) = sin(180° –60°) = sin(60°) = √(3)/2;
cos(150°) = cos(180°–30°) = –cos(30°)= –√(3)/2; cos(120°) = cos(180° –60°) = –cos(60°) = –1/2.

Dunque, tra i primi particolari valori delle funzioni seno e coseno che si imparavano e la geometrietta cui ti riferisci tu non c'è poi tanta differenza!
–––––––––––––
Più avanti ti insegnavano la sezione aurea e ti mostravano che il triangolo isoscele con angolo al vertice di 36 gradi aveva la base B che era la sezione aurea del lato obliquo L; ovvero:
B : L = (L–B) : B ––> B^2 = L·(L– B) ––> B/L = [√(5) – 1]/2 ––> sin(18°) = cos(72°) = [√(5) – 1]/4.

Ecc. ecc.

––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

B : L = (L–B) : B ––> B^2 = L·(L– B) ––> B/L = [√(5) – 1]/2 ––> sin(18°) = cos(72°) = [√(5) – 1]/4. ( Da Erasmus)

Faccio una osservazione + che banale anzi banalissima che non si pensi che la sezione aurea sia radicequadratadicinquemenounofrattoquattro come si potrebbe pensare osservando il finale di questa espressione di Erasmus,
bensì fratto 2, ed in effetti è scritta correttamente dopo il terzo =
Ciao

Re: Qualche quiz
 

:mmh:
Quanto grignolino hai bevuto stasera? :D
------------
Dal fatto che la base B di un triangolo isoscele con angolo al vertice di 36° (e quindi angoli alla base di 72°) è uguale alla sezione aurea d'un altro lato L di quel triangolo viene
B/L = [√(5) –1]/2.

La mediana relativa alla base – mediana che è anche asse della base, altezza del triangolo relativa alla base e bisettrice dell'angolo opposto – spacca quel triangolo isoscele in due triangoli rettangoli uguali. Ciascuno ha un cateto "mezza base" opposto all'angolo "mezzo angolo al vertice" di 18° (e adiascente all'altro angolo acuto che è di 72°); e per ipotenusa un lato L
Dunque
(B/2)/L = sin(18°) = cos(72°) = [√(5) – 1]/4.

Occhio: io non direi mai che la sezione aurea è √(5 – 1]/2 :mad:
[Si dice "sezione" con un latinismo ... perché "sectio" significa "ritaglio", cioè "parte di un tutto"].
« La sezione aurea X di una grandezza [misurabile] M è la parte di M che è media proporzionale tra la grandezza stessa M e la la restante parte M – X » (complementare della sezione aure rispetto ad M ).
Con le parole che si usavano una volta nelle scuole di base insegnando le proporzioni:
«X è uguale alla Sezione Aurea di M quando vale la proporzione:
M sta ad X come X sta ad M–X »
In formula:
M/X = X/(M–X), ossia X^2 = M·(M–X) {da cui il "rapporto aureo" X/M = [√(5) – 1]/2 }
––––––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Che è sta storia del /4? E' la prima volta che la sento. Ho sempre saputo /2 grignolino o non grignolino.
Matematicamente, il numero aureo corrisponde a una delle due possibili soluzioni dell'equazione di secondo grado , le cui radici[12] sono:
Tra le due soluzioni possibili, quella che ha un senso anche a livello geometrico è la radice positiva, ovvero il numero irrazionale 1,618....
Ciao
Insomma se mi si chiede quale è il numero aureo io rispondo 0,618033988 oppure il suo reciproco che è 1,618033988 mica gli dico che è 0,309016994.:hello:

Re: Qualche quiz
 

Gia...

Piuttosto, quanti sono i numeri (tra loro distanti esattamente l'unità) che hanno questa particolarissima proprietà di essere il reciproco di sé stessi?

Re: Qualche quiz
 

Ne avevamo già parlato secoli fa e non mi ricordo se vi erano altri casi, ma mi ricordo però che per fare il quadrato di 1,618033988 . . . basta aggiungergli 1
Ciao
Si grazie Aleph dei puntini, ma chi non sa che Fi è trascendente ed irrazionale?:hello:

Re: Qualche quiz
 

E daje!
Ma hai letto quel che ho scritto?

Te lo ripeto oer la terza volta:
«La "sezione aurea" di una grandezza è quella parte [della grandezza] che è media proporzionale tra la grandezza stessa e la restante parte»
<Grandezza> sta a <sua sez. aurea> come <sua sez. aurea> sta a <Grandezza meno sua sez. aurea>
Sia X la sezione aurea di M, In formula:
M : X = X : (M – X) da cui X^2 = M·(M – X) ossia (X/M)^2 + (X/M) – 1 = 0
(che, se poni x il "rapporto aureo" X/M, è QUASI l'equazione di 2° grado che hai messo tu).
Occhio: Entrambi i valori [1±√(5)]/2 della soluzione che indichi tu sono sbagliati ... perché c'è un segno sbagliato nell'equazione!
Che questi siano entrambi sbagliati è evidente: uno è negativo e l'altro è maggiore di 1 (ed è il reciproco di quello giusto).
Se al posto di cercare il rapporto <sezione aurea di una grandezza>/<grandezza> (che è il rapporto aureo [mica la stessa "sezione aurea"], cerchi il reciproco, allora viene l'equazione che hai messo tu. Infatti, partendo da quella giusta:
x^2 + x – 1 = 0;
dividi tutto per x^2 ... e fa' conto che 0/x^2 = 0. Ricavi
1 + 1/x – (1/x)^2 = 0.
Poni y = 1/x, ottenendo 1 + y – y^2 = 0, cambi segno a tutto e riordina. Ottieni:
y^2 – y – 1 = 0
----------------------
Mi ripeto ancora (spero per l'ultima volta).
«Dal fatto che la base B di un triangolo isoscele con angolo al vertice di 36° è uguale alla "sezione aurea" del lato obliquo L, viene che il rapporto tra "mezza -base" ed il lato (rapporto che è il seno di mezzo angolo al vertice, cioè di 18° oppure il coseno dell'angolo adiacente che è di 72°) vale:
(B/2) / L = sin(18°) = cos(72°) = [√(5)–1]/4

[Il "fratto 4" nell'espressione di sin(18°) = cos(72°) viene dal fatto che è MEZZA base di quel triangolo isoscele che va divisa per il lato obliquo per avere appunto sin(18°) [ovvero cos(72°)].

Ma perché mi fai passare sotto queste forche caudine?
---------------------------------------------------------------
Non volevo fare una lezione sulla sezione aurea!
Volevo far notare ad aspesi che le prime nozioni su particolari valori delle funzioni "seno" e "coseno" altro non sono che dire in altro modo le rudimentali nozioni di geometria (piana).
Dopo aver imparato [come si fa a trovare] i valori di seno e coseno per angoli di 30° e 45° (e loro multipli), si imparavano i valori di seno e coseno di 18° (e dei suoi multipli) sfruttando la nozione di "sezione aurea" applicata ad un triangolo isoscele con l'angolo al vertice di 36°
Tutto qua.


Rivedi la mia scrittura che hai citato come possibile fonte di equivoco.
«B : L = (L–B) : B ––> B^2 = L·(L– B) ––> B/L = [√(5) – 1]/2 ––> sin(18°) = cos(72°) = [√(5) – 1]/4.»
Vedrai che non c'è nulla di equivocabile.
Ma, ovviamente, perché il mio invito sia ben accolto, sarà utile non essere sotto l'influsso del seducente tuo grignolino! :D
----------
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Non capisco, una volta scrivi:
(B/2) / L = sin(18°) = cos(72°) = [√(5)–1]/4

e subito dopo scrivi:

«B : L = (L–B) : B ––> B^2 = L·(L– B) ––> B/L = [√(5) – 1]/2 ––> sin(18°) = cos(72°) = [√(5) – 1]/4.»

Ma è B/2 o e B tutto intero che è radice di cinque meno 1 fratto 4 ?
Ciao

Re: Qualche quiz
 

:mmh:
La risposta è "ZERO numeri" :D
[NESSUN numero ha questa "stranissima proprietà"].

Reciproci di sé stessi sono solo 1 e –1. E se dicendo "tra loro esattamente distanti l'unità" intendi dire che il valore assoluto della loro differenza è 1 ... vedi bene che
| 1 – (–1)| = |(–1) – 1|= 2.

Ma tu intendevi non "ciascuno reciproco di sé stesso" bensì «uno reciproco dell'altro», cioè:
«due numeri x e y tali che: |x – y| = 1 ∧ xy = 1»
[Ovviamente x ≠ 0 ∧ y ≠ 0, dato che xy = 1 ≠ 0].
Se due numeri non sono uguali uno dei due è maggiore dell'altro, lapalissiano.
Sia allora x il maggiore dei due.

y = x–1 ∧ y = 1/x, da cui :
x – 1 = 1/x ⇒ x^2 – x = 1 ⇒ x^2 – x – 1 = 0 ⇒ x = [√(5) + 1]/2 ∨ x = –[√(5) –1]/2
Diciamo che x può essere uno dei due numeri, (uno positivo e l'altro negativo):
x1 =[√(5) + 1]/2; x2 = –[√(5) – 1]/2.

Se x = x1 = [√(5)+1]/2 allora y = x1 – 1 = [√(5)–1]/2 = –x2
altrimenti y = x2 – 1 = – [√(5)+1]/2 = –x1.

Le coppie {x, y} di numeri x ed y distinti tali che |x – y| = 1 ∧ xy = 1 sono due: una di numeri entrambi positivi, l'altra di numeri entrambi negativi; e precisamente:
{x1, y1} = {[√(5) + 1]/2, [√(5) – 1]/2};
{x2, y2} = {–[√(5) – 1]/2, –[√(5) + 1]/2}.
–––––––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

A ridaje! :lipssealed:
Sia B/L il rapporto tra base B e lato L di un triangolo isoscele
Siccome, quando l'angolo al vertice vale 36°, B è uguale alla sezione aurea di L, in tal caso B/L = [(√(5) – 1]/2. OK?
Se l'angolo al vertice è 36°, spaccando il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli, questi vengono col cateto maggiore in comune e il cateto minore lungo B/2. OK?
Ora, PER DEFINIZIONE, in un triangolo rettangolo si chiama "seno" di uno dei due angoli acuti il rapporto tra i cateto opposto a quell'angolo e l'ipotenusa.
Quindi, siccome il cateto lungo B/2 è opposto all'angolo di 18°, abbiamo PER DEFINIZIONE della Funzione SENO:
(B/2) fratto L = sin(18°), OK?
E siccome B/L valeva [√(5) – 1]/2, il sin(18°) è la metà di questo numero, cioè [√(5) – 1]/4. OK?
La scrittura da te citata dice esattamente questo.
[La freccia –––> stava a sostituire il simbolo di "implicazione" il quale, posto tra due affermazioni sta a significare che la seconda viene logicamente dalla prima.]
Me l'hai fatto dire già un sacco di volte!
Eccone una: Per toglierti i dubbi ... prova a chiederlo al tuo CAD o alla tua Calcolatrice.

Adesso, però, per favore ... cambia disco! :D
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:hello:

Re: Qualche quiz
 

:confused:
Che cos'è Fi? :mmh:
Supposto che Fi sia un trascendente, non dà alcuna informazione aggiungere "e irrazionale".
[I trascendenti sono un sottoinsieme degii irrazionali.
Diverso sarebbe dire "irrazionale e trascendente" (che vorrebbe dire: non solo irrazionale, ma anche trascerndente).
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:hello:

Re: Qualche quiz
 

«B : L = (L–B) : B ––> B^2 = L·(L– B) ––> B/L = [√(5) – 1]/2 ––> sin(18°) = cos(72°) = [√(5) – 1]/4.»

Va benissimo che avevo sfacciatamente torto su questa espressione che ti avevo contestato, figurati che l'avevo interpretata doppiamente o triplamente (si dice?) male perchè non avevo capito che quel B:L era in realtà l'estremo di una proporzione che dovevo leggere con "sta" e non diviso anche se in definitiva pensandoci bene è poi la stessa cosa , e l'altro mio errore (di sbaglio) era stato che non so perchè ho interpretato l'implicazione come "uguale" quindi mi portava tutto fuori, comunque come giustamente mi hai già detto, cambiamo disco.
Ma ora . . . . . ufffffaaaaa!!! Ti metti anche a contestarmi tutto parola per parola, non ti pare che sia un po troppo.
Fi è la lettera greca che io non riesco a scrivere e che indica su tutti i libri la sezione aurea, io so che tu lo sai ma so anche che fai il nesci. E come che mi dicessi cosa è Pi.
Poi mi contesti anche il trascendente irrazionale che sarebbe irrazionale trascendete o era il contrario?
Ciao

Re: Qualche quiz
 

:mmh:
Mai vista questa lettera greca prima di adesso in questo senso [anzi: nel senso di rapporto o tra la sezione aurea e il tutto ... o viceversa – quello che tu chiamavi "numero aureo", dato che la sezione aurea non è un numero ma una parte di un qualcosa di misurabile, per esempio di un segmento].
Occhio: (√5 –1)/2 è irrazionale, ma non è trascendente!
Qui ... sei tu che lo sai ma fai il finto tonto!

Ah no? Dici che non lo ricordi più?
Allora cùccati che te lo dica! :D
•Razionale è un numero se (e solo se) è rappresentabile come rapporto tra numeri interi.
• Due grandezze "omogenee" (cioè misurabili con la stessa unità di misura ... due aree, due segmenti, due masse, due frequenze ... mai un'area e un segmento, una massa ed una frequenza, ... :mad:) sono "commensurabili" se (e solo se) esiste un loro sottomultiplo comune (ossia un'altra grandezza omogenea [con esse] contenuta esattamente un numero intero di volte in ciascuna delle due).
Quindi: dire che due grandezze sono "commensurabili" (che letteralmente vorrebbe dire "misurabili con una medesima [opportuna] unità di misura") equivale a dire che il loro rapporto è razionale. Se dico che A è 5/4 di B intendo che se divido A in cinque parti trovo che B vale 4 di queste parti. E se divido B in 4 parti, trovo che A vale 5 di queste parti. Se uso questa parte come unità di misura trovo che A vale 5 e B vale 4.

Nella cultura occidentale (la nostra), si dice che i primi a scoprire che ci sono grandezze incommensurabili (ossia con rapporto irrazionale) siano stati i Pitagorici, quando hanno scoperto che l'ipotenusa ed un cateto di un triangolo rettangolo isoscele (cioè ... mezzo quadrato tagliato lungo una diagonale) sono incommensurabili, ossia che √(2) non è un numero razionale. Si dice che ci sono rimadti tanto male da tener segreta la scoperta ... per non sputtanarsi, perché fino allora avevano sostenuto che "tutto è numero", cioè che bastasse prendere per unità di misura un pezzettino opportunamente piccolo per farcelo stare esattamente un numero intero di volte in ciascuna di più grandezze omogenee.
Ma, al giorno d'oggi, anche un bambino può capire che, se la radice quadrata di un numero intero non è pure intera, allora non è nemmeno razionale.
Prendiamo, per esempio, √(5). Siccome
2·2 = 4 < 5 e 3·3 = 9 > 5,
√(5) non è intera e sarà compresa tra 2 e 3 esclusi.
Questo numero ... deve esistere perché – ci insegna Pitagora – è il rapporto tra l'ipotenusa ed il cateto minore di un triangolo rettangolo che ha il cateto minore metà di quello maggiore.
Supponiamo (per assurdo) che √(5) sia razionale, cioè del tipo
√(5) = p/q,
con p e q numeri interi opportuni, già ridotti a numeri "coprimi" (= senza fattori comuni).
Senz'altro deve essere q > 1, se no √(5) sarebbe intera.
Allora sarebbe
5 = (p^2)/(q^2) = (p·p)/(q·q)
Siccome 5 è intero, vuol dire che tutti i fattori di q·q si semplificano con altrettanti identici fattori di p·p. Ma i fattori di q·q e di p·p altro non sono che gli stessi fattori [rispettivamente] di p e q, soltanto raddoppiati dai loro "gemelli".
Quindi, se (p·p)/(q·q) si semplificasse in 5, anche p/q si semplificherebbe in un numero intero il cui quadrato farebbe 5. Ma abbiamo visto che √(5) non è un numero intero.
Quindi l'iporesi che √(5) sia razionale conduce a contraddizione (cioè ad un "assurdo").
I numeri irrazionali sono ... pane quatidiano nelle equazioni algebriche di 2° grado a coefficienti interi [o razionali, ... fa lo stesso, V. nota (*) più sotto].
Quel tuo "numero aureo" è uno di questi casi:
x^2 – x – 1 = 0 ––> x = [1 ± √(5)]/2.
Quando un numero (razionale o no) può essere soluzione di una equazione algebrica (di grado qualsiasi) a coefficienti razionali [che poi è lo stesso di dire a coefficienti interi (*)], quel numero è "algebrico".
• Algebrico è un numero [razionale o no] che può essere soluzione di una [opportuna] equazione algebrica a coefficienti interi.
Ci sono dei numeri ... più bastardi dei numeri algebrici irrazionali, (per esempio "e" – base dei logaritmi naturali – o "π" –rapporto tra circonferenza e diametro dello stesso cerchio–= . Sono i numeri "trascendenti"
• trascendente è un numero che non può essere soluzione di alcuna equazione algebrica a coefficienti interi [o razionali ... fa lo stesso (*)], per elevato che sia il suo grado.
Ovviamente, nessun numero trascendente può essere razionale, del tipo p/q.
[Se no sarebbe soluzione dell'equazione p·x – q =0, e non sarebbe trascendente. ––> contraddizione!]. Tantomeno intero.

(*) Dire "equazione algebrica a coefficienti interi" o "a coefficienti razionali" fa lo stesso perché, per passare da una equazione algebrica a coefficienti razionali ma non [tutti] interi ad un'altra equivalente a coefficienti interi, basta moltiplicare tutto per il minimo comune multiplo dei denominatori [dei coefficienti].

Re: Qualche quiz
 

Sezione aureaSimbolo
Valore1,6180339887...

Come vedi il simbolo comunemente adoperato per indicare la sezione aurea è 0/ zero tagliato come i meccanici per indicare il diametro , e al mio paese si legge Fi

Lessi un libro anni fa 2003 " La sezione aurea"
storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni. Mario Livio, la copertina mostra il simbolo di Fi.
Eccolo:
http://bur.rcslibri.corriere.it/libr...rea_livio.html

Se apri il link a fianco del cavalluccio marino si intravede.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

E' vero Ø non è trascendente, ma mi ricordavo molto ma molto vagamente che Fi non è un irrazionale qualsiasi ma aveva qualche particolarità, infatti si dice che Fi è il più irrazionale fra gli irrazionali, che sinceramente non so cosa significa. Provo ad cercarlo in rete:

Essendo i numeratori della frazione continua tutti 1, ne risulterà che, ogni frazione si scelga, questa presenterà la minore accuratezza di approssimazione verso l'omologa persa al medesimo numerare di qualsiasi altro numero irrazionale; ovvero il numero aureo è il numero più difficile da approssimare con un rapporto fra due interi razionali, da qui l'affermazione di numero "più irrazionale" fra gli irrazionali. (Presa da Wiki)
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Appunto: non significa un tubo!
Ogni irrazionale è diverso da ogni altro!
[E cavati dalla testa che quel tuo "rapporto aureo" si indichi universalmente con la lettera greca "phi maiuscolo" Φ (che poi non è nemmeno il tuo Ø) . Vedi che a dire 'ste fesserie è una pagina web ... accattivante per il popolo bue, nella quale si confonde sezione aurea, Fibonacci, legge di Mendel, conchiglie e lumache, piramidi d'Egitto ... e quant'altro in un unico calderone, senza per altro spiegare alcunché di "scientifico"].

Insomma: Se G è una grandezza e Sa(G) è la sua sezione aurea, allora
Sa(G)/G = (√5 – 1)/2
G/Sa(G) = (√5 + 1)/2
Punto e basta!

Ovviamente, essendo (√5 –1)/2 < 1, una progressione geometrica con questa ragione tende a zero. E una progressione con ragione reciproca, cioè (√5 + 1)/2, diverge.
E via a tutte le spirali! E via a tute le conchiglie e lumache il cui guscio cresce con legge esponenziale!
E con ciò?
Tutte queste cose van bene con qualsiasi progressione geometrica di ragione diversa da 1.

Proprio la definizione di "sezione aurea" porta all'equazione del "rapporto aureo" x:
x^2 + x –1 = 0
o del suo reciproco y = 1/x (che è il "tuo" fottutissimo "numero aureo"):
y^2 – y – 1 = 0.
Dare come grande meraviglia il fatto che y e x, numeri uno reciproco dell'altro, differiscono di 1 è ancora ... da popolo bue dato che la cosa è ovvia essendo i due numeri del tipo a ± 1/2.
E anche non sapendo questo si ha subito
y – x = 1 e y·x = 1 ––> y = x + 1 ––> (x+1)·x = 1 ––> x^2 + x – 1 = 0 ; oppure
y – x = 1 e y·x = 1 ––> x = y – 1 ––> y·(y – 1) = 1 ––> y^2 – y– 1 = 0,
cioè le due equazioni di sopra.

E così pure [è ancora da popolo bue] dare per sorprendente il fatto che y sia quel numero il cui quadrato differisce di un'unità dal numero stesso, dato che la menzionata equazione:
y^2 – y – 1 = 0
è equivalente a
y^2 – y = 1.
Oh bella: che c'è di tanto speciale nel fatto che dire y^2 – y –1 = 0 è lo stesso di dire y^2 – y = 1? :mmh:

E sono stufo anche di Fibonacci, della legge di Mendel ... e compagnia bella!
Altre volte (più di una) ne abbiamo parlato.
Ho ripetutamente spiegato la connessione tra le sequenze linearmente dipendenti e le progressioni geometriche.
Se, per esempio, nella sequenza a(n) succede che per qualsiasi n
A·a(n+2)+B·a(n+1) + C·a(n) = 0 [dove A, B e C sono tre costanti e A ≠ 0]
la seguenza a(n) è la somma di due seguenze che sono progressioni geometriche; e le ragioni di queste progressioni sono le soluzioni dell'equazione associata
A·y^2 + B y + C = 0.

La sequenza di Fibonacci – già l'abbiamo visto più volte – è il paerticolare caso in cui un termine è la somma dei due precedenti, ossia
a(n + 2) = a(n + 1) + a(n) ––> a(n+2) – a(n + 1) – a(n) = 0 ––> y^2 – y – 1 = 0.
Toh! L'equazione associata è la stessa di quella del tuo fottutissimo "numero aureo".
Le soluzioni di questa equazione erano y1 = (√5 + 1)/2 e y2 =(1 – √5)/2 = – (√5 – 1)/2.
Perciò la successione di Fibonacci è la somma di due progressioni geometriche: una di ragione y1, l'altra di ragione y2.
Esistono cioè due costanti H e K per le quali, se diciamo F(n) la sequenza di Fibonacci, (con n = 0, 1, 2, 3, ...], abbiamo:
F(n) = H·[(√5 + 1)/2]^n + K·[(1 – √5)/2]^n
E siccome F(0) = 0 e F(1) = 1, troviamo H e K così:
n = 0 ––> H + K = 0 ––> K = – H;
n = 1 ––> H·(√5 +1)/2 + K·(1 –√5)/2 = 1 ––> H·[(√5 +1)/2 –(1–√5)/2] = 1 ––> H = √(5)/5; K = – √(5)/5.
E in conclusione:
F(n) = [√(5)/5]·{ [(√5 + 1)/2]^n – [(–√5 +1 )/2]^n}

Ovviamente – e anche questo l'abbiamo visto più volte – , siccome la seconda delle due progressioni geometriche ha una ragione di valore assoluto minore di 1, a lungo andare questa diventa trascurabile rispetto all'altra. Per cui al crescere di n si tende sempre meglio ad avere
F(n+1)/F(n) = (√5 + 1)/2 = y1.
Allo stesso rapporto si tenderebbe anche con la sequenza (per esempio):
..., 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ... [ e poi sempre uil prossimo termine somma degli ultimi due]
che con quella di Fibonacci
..., 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
sembra aver poco a che fare. :D

Certo: tutta 'sta roba è qualcosa di "elegante".
Ma non ci trovo niente di sorprendente, né di speciale, tanto meno di "magico".

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:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ciao,ciao.